Geometrisches Stereo – Strukturelle Ansätze

Geometrisches Stereo – Strukturelle Ansätze

Y

Z X

pl=Tl(X,Y,Z) pr=Tr(X,Y,Z)

Gliederung:

– Geometrisches Stereo vs. andere Methoden.

– Geometrische Grundlagen.

– Spezifizierung.

– Ähnlichkeitsmaße.

– Modellierung.

– Gar kein Modell – Block Matching Verfahren.

– „Einfache Modelle“ – zeilenweise Ansätze.

– „Kompliziertere Modelle“ – Aufgaben der Energieminimierung.

– Wahrscheinlichkeitmodelle.

– Zusammenfassung.

Geometrisches Stereo vs. andere Methoden

Geometrische Grundlagen

Optische Achse Optische

Achse

Bildschirm P=(X,Y,Z)

(x,y)

(x,y) Bildschirm

Linker

Rechter

Spezifizierung

Y

Z X

p_l=T_l(X,Y,Z) p_r=T_r(X,Y,Z) F

e t v

x_L(v) x_R(v)

Ähnlichkeitsmaße

r r r r

. . .

k=1 k=2

k=k_max . . .

p_l p_r

G

G_r G_l

A(p_l,p_r) = I_l(p_l)−I_r(p_r)2

A(p_l,p_r) =

∑

4p∈F

[I_l(p_l +4p)−I_r(p_r +4p)]²

A(p_l,p_r) =min

C_v

∑

4p∈F

[I_l(p_l +4p) +C_v−I_r(p_r+4p)]²

A(p_l,p_r) = min

C_v,C_s

∑

4p∈F

[I_l(p_l +4p)·C_s+C_v −I_r(p_r +4p)]²

A(p_l,p_r) =

C_vmin,C_s,Tr

∑

4p∈F

I_l(p_l +4p)·C_s+C_v−I_r Tr(p_r +4p)2

Block Matching

Zeilenweise Ansätze

r r r

k=1 k=2

k=k_max . . . k=3 . . .

r r⁰

k=1 k=2 . . . k=k_max

e

f^∗ = arg min

f

"

∑

q_i(f_i) +

∑

g_i(f_i, f_i+1)

#

Energieminimierung

k=1 k=2 . . . k=kmax

r r r r

r r

e e

e e

e

g(k,k⁰) =







0 wenn |k−k⁰| ≤ δ

∞ sonst g(k,k⁰) = c·(k−k⁰)² g(k,k⁰) =







0 wenn k = k⁰ a> 0 sonst

. . .

f^∗ = arg min

f

h

∑

r∈R

q_r f(r)

+

∑

(r,r⁰)∈E

g f(r), f(r⁰)i

Wahrscheinlichkeitsmodelle

Gibbssche Wahrscheinlichkeitsverteilung zweiter Ordnung:

P(f,X) = 1

Z

∏

(r,r⁰)∈E

g_rr⁰ f(r), f(r⁰)

·

∏

r∈R

q_r f(r)

Das Problem kann als Aufgabe der Bayesschen Entscheidung formuliert werden:

d^∗(X) =arg min

d∈D

∑

f

P(f|X)·C(d, f)

Zum Beispiel:

Die Menge der Entscheidungen ist die Menge der Labelings: D=K^R. Die Ko- stenfunktion ist die Deltafunktion

C(d, f) =







0 wenn d = f 1 sonst

⇒

Maximum a-posteriori Entscheidung:

d = arg max

f

P(f|X) =arg max

f

P(f,X) =

= arg min

f

h

∑

(r,r⁰)∈E

˜

g f(r), f(r⁰)

+

∑

r∈R

˜

q_r f(r)i mit ˜g(k,k⁰) = −ln g(k,k⁰) und ˜q_r(k) =−ln q_r(k).

Alternative:

Die Kostenfunktion ist eine additive Kostenfunk- tion der Art:

C(d, f) =

∑

r∈R

c d(r), f(r)

⇒

„Unabhängige“ Entscheidungen in jedem Knoten:

d^∗(r) =arg min

d(r)

∑

k∈K

P f(r) =k|X

·c d(r),k

Die additive Deltafunktion:

c d(r), f(r)

=







0 wenn d(r) = f(r) 1 sonst

⇒

A-posteriori wahrscheinlichster Zustand:

d^∗(r) =arg max

k∈K

P f(r) =k|X

Die quadratische Differenz:

c d(r), f(r)

= d(r)− f(r)2 ⇒

Erwartungswert des Zustandes:

d^∗(r) =

∑

k∈K

P f(r) =k|X

·k

P f(r) =k|X

=

∑

f : f(r)=k

P(f|X)∼

∑

f : f(r)=k

h

∏

(r,r⁰)∈E

g_rr⁰ f(r), f(r⁰)

·

∏

r∈R

q_r f(r)i

MAP-Entscheidung vs. additive Kostenfunktion