c = 3 · 10 8m

1 Übungsblatt Kern und Teilchenphysik

1.1 (Muonen)

Muonen werden in einer Höhevon

h = 8000

^{m erzeugtund bewegen sich mit}

einermittleren Geschwindigkeit

v = 0.998 c

^{,mit der} Lichtgeschwindigkeit

c = 3 · 10 ⁸

^m

s

. Auf der Erdewird ein Fluss von

φ ∼ 180

^m

⁻²

s

beobachtet, d.h. die

Teilchen erreichen den Erdboden. Die Lebensdauer der Muonen beträgt

τ = 2.2 · 10 ⁻⁶

^{s. Gemäÿnicht}relativistischerMechanik, beträgtdie Reichweite der Muonenalso:

s = vτ = 0.998 · 3 · 10 ⁸ · 2.2 · 10 ⁻⁶

^m

= 658.68

^m

Sie würden daherden Erdboden nichterreichen. Da siejedoch beobachtet

werdenundSieeineGeschwindigkeitvon

99.8

^%derLichtgeschwindigkeitbesit- zen,mussdie relativistischeMechanikbenutzt werden.Hierausergibt sichmit

HilfederZeitdilatationfürdieLebensdauerderMuonen(

τ ⁰ = γτ

^):

τ ⁰ = 1 q

1 − ^v _c 2 ²

τ = 1

q

1 − (0.998) ²

τ = 34.8 · 10 ⁻⁶

^s

Dasbedeutetandererseits,dasssieeineStreckevon

s = vτ ⁰ = 0.998 · 3 · 10 ⁸

^m

· 34.8 · 10 ⁻⁶

^s

= 10419.86

^m

Somit ist die Weglänge also ca. 15 mal so groÿ wie in der Rechnung mit

der nicht relativistischen Mechanik. Die Teilchen erreichen in diesem Fall,wie

beobachtetdenErdboden.

1.2 (Zerfall eines neutralen Teilchens)

DieImpulse sindalsGraphikimmathematica AusdruckimAnhangzunden.

Wir betrachtendieeinzelnenauftretendenTeilchen:

Teilchen Massein MeV

/c ²

p

938.27203

π ^± 139.57018

K

0 497.648

Λ 1115.683

Esistzubestimmen, welcherderbeidenZerfälle:

K _s ⁰ → π ⁺ π ⁻

Λ → pπ ⁻

p _X ⁰ · p _X ⁰ = p _A ⁺ · p _A ⁺ + p _B ⁻ · p _B ⁻ + 2p _A ⁺ · p _B ⁻

Dies können wir mit

p · p = ^E _c 2 ² − ~ p ² = m ² c ²

(Herleitung siehe Vorlesung) umformenzu:

m ² _X ⁰ c ² = m ² _A ⁺ c ² + m ² _B ⁻ c ² + 2 E A ⁺

c E B ⁻

c − ~ p _A ⁺ · ~ p B ⁻

DieEnergie-Impuls-BeziehungderSRTlautet:

E ² = ~ p ² c ² + m ² c ⁴

setzenwirdas

E

^{ausdieserBeziehungein,erhaltenwir:}

m ² _X 0 c ² = m ² _A + c ² + m ² _B ⁻ c ² + 2 q

~

p ² _A + + m ² _A + c ² q

~

p ² _B − + m ² _B − c ² − p ~ _A ⁺ · ~p _B ⁻

SomitfolgtfürunsereBestimmungsformel(wennwirdiesedirektinEnergien

habenmöchten,wobeiunsereMasseninEinheiten von

eV

c ²

auftreten):

m ² _X 0 c ⁴ = m ² _A + c ⁴ +m ² _B ⁻ c ⁴ +2 q

~

p ² _A + c ² + m ² _A + c ⁴ q

~

p ² _B − c ² + m ² _B − c ⁴ − ~ p _A ⁺ · ~p _B ⁻ c ²

WirkönnennundiegegebenenWerteeinsetzenunddurchVergleichdenzu

erwartendenZerfallbestimmen.Esgilt

~ p ² _A + = 4.68635

^GeV

_c 2 ²

^,

~ p ² _B ⁻ = 0.303721

^GeV

_c 2 ²

und

~ p _A ⁺ · ~ p _B ⁻ = 1.15031

^GeV

_c 2 ²

^{. Die Massen nehmen wiraus der Tabelle und}

ndenfürdenZerfall

K _s ⁰ → π ⁺ π ⁻

0.247654

^GeV

² = 0.20485

^GeV

²

DieAbweichungbeträgthieralsoca.

17.28

^%(siehe mathematica).

DerzweiteZerfall

Λ → pπ ⁻

liefert:

1.24475

^GeV

² = 1.28186

^GeV

²

Dies entspricht einer Abweichung von ca.

2.98

^{% und ist somit sehr viel}

geringeralsderfürden ersten ZerfallermittelteWert. Dahergehen wirdavon

aus,dassderZerfall

Λ → pπ ⁻

^vorliegt.

Esistzuzeigen,dassdie Schwellenenergiegegebenistals:

E = M ² − m ² _A − m ² _B 2m B

c ²

mit

M = P

i m i

^{.Es giltim}Laborsystem:

p

Lab

= p A + p B

wirquadrierenwieder:

p

Lab

· p

Lab

= p A · p A + p B · p B + 2p A · p B

UnterderVerwendungderBeziehung

p · p = ^E _c 2 ² − ~ p ² = m ² c ²

^folgt:

p ²

Lab

= m ² _A c ² + m ² _B c ² + 2 E A E B

c ² − ~ p A · ~ p B

mitderEnergie-Impuls-BeziehungderSRT

p ²

Lab

= m ² _A c ² + m ² _B c ² + 2 E A

p ~ p ² _B c ² + m ² _B c ⁴

c ² − ~ p A · ~ p B

nach Ausnutzen der Vorraussetzung (ruhendes Teilchen

B

⁾

~ p B = 0

^{, folgt}

somitvereinfachend:

p ²

Lab

= m ² _A c ² + m ² _B c ² + 2E A m B

Wir betrachten die Schwellenenergie, d.h. die erzeugten Teilchen besitzen

jeweilsdieRuheenergie

E i = m i c ²

^{.D.h.,wennwirüberalle}Ruheenergien(bzw.

entstandeneTeilchen)summieren,erhalten wir:

N

X

i =1

E i =

N

X

i =1

m i c ² = M c ²

mit

M = P

i m i

^(siehe Aufgabenstellung).

Betrachten wir nun das CM-System (center of momentum), für diesesgilt

~

p tot = 0

^,somit:

p

CM

=







 P ^N

i=1 E i

0 c

0 0









=







 M c

0 0 0









AufGrundderLorentzinvarianzgiltnun:

p ²

CM

= p ²

Lab

einsetzenliefert:

M ² c ² = m ² _A c ² + m ² _B c ² + 2E A m B

2E A m B = M ² − m ² _A − m ² _B c ² M ² − m ² _A − m ² _B

2

Wir betrachtendenProzess:

p + p → p + p + π ⁺ + π ⁻

mit

m p = 938.27203

^MeV

/c ²

^und

m π ^± = 139.57018

^MeV

/c ²

^{. Einsetzen in}

dieSchwellenenergieformelliefert:

E =

4 · (139.57018 + 938.27203) ² − 2 · 938.27203 ²

2 · 938.27203

^MeV

= 1538.07554

^MeV

b)

Wir betrachtendenProzess:

π ⁻ + p → K ⁰ + Σ ⁰

mit

m p = 938.27203

^MeV

/c ²

^,

m _π ^± = 139.57018

^MeV

/c ²

^,

m K ⁰ = 497.648

^MeV

/c ²

und

m Σ ⁰ = 1192.642

^MeV

/c ²

^{.Einsetzen indie}Schwellenenergieformelliefert:

E =

(497.648 + 1192.642) ² − 139.57018 ² − 938.27203 ²

2 · 938.27203

^MeV

= 1043.006

^MeV

fürden Fall:

p + π ⁻ → K ⁰ + Σ ⁰

folgt:

E =

(497.648 + 1192.642) ² − 139.57018 ² − 938.27203 ²

2 · 139.57018

^MeV

= 7011.694

^MeV

dieseristjedocheherschwerexperimentelldurchzuführen,daeinTargetmit

geringer Lebensdauer nicht als Target geeignet ist, zudem müsste es erzeugt

unddann fürdenStoÿ abgebremstwerden,waseinen zusätzlichenerheblichen

Aufwandverursachenwürde.

c)

Wir betrachtendenProzess:

p + p → p + Σ ⁺ + K ⁰

mit

m p = 938.27203

^MeV

/c ²

^,

m K ⁰ = 497.648

^MeV

/c ²

^und

m Σ ⁺ = 1189.37

^MeV

/c ²

^.

Einsetzen indieSchwellenenergieformelliefert:

E =

(938.27203 + 497.648 + 1189.37) ² − 2 · 938.27203 ²

2 · 938.27203

^MeV

= 2734.52

^MeV

Wir betrachten hochenergetische Neutrinostrahlen, welche aus den folgenden

zweiZerfällengewonnenwerden:

π ⁺ → µ ⁺ + ν µ

K ⁺ → µ ⁺ + ν µ

a)

Wir betrachteneinen

E = 200

^{GeVStrahl undbestimmen denAnteil, welcher}

aufeinerStreckevon100mzerfällt.HierzubetrachtenwirzuerstdieGeschwin-

digkeitderPionenundKaonen.Esgilt

γ = E

mc ² = 1 q

1 − ^v _c ² 2

⇒ v = c r

1 − 1 γ ²

Wir können also zuerst

γ

^{bestimmen, um dann auf}

v

^{zu schlieÿen. Mit}

m K ⁺ = 0.493677

^GeV

/c ²

^und

m π ^± = 0.13957018

^GeV

/c ²

^folgt:

γ K ⁺ = 200

^GeV

0.493677

^GeV

= 405.12 γ _π ⁺ = 200

^GeV

0.13957018

^GeV

= 1432.97

HierausergebensichdieGeschwindigkeiten:

v _K ⁺ = 0.999996953 · c v _π ⁺ = 0.999999513 · c

SomitfolgtfürdieFlugzeiten

t = ^s _v

^(mit

c = 3 · 10 ⁻⁸

^):

t _K ⁺ = 3.33 · 10 ⁻⁷ t π ⁺ = 3.33 · 10 ⁻⁷

DieLebensdauernsindgegebenmit:

τ K ⁺ = 1.2385 · 10 ⁻⁸

^s

τ _π ⁺ = 2.6033 · 10 ⁻⁸

^s

AufGrund derhohenGeschwindigkeitderKaonenundPionen müssenwir

relativistischrechnen,d.h.wirbetrachtendieZeitdilatation

τ ⁰ = γτ

^,welchedie

Lebensdauernerhöhtauf:

N f

N i

=

1 − e ^{− τ t}

folgtalsofürdenBruchteilderZerfallenenKaonenundPionen:

N f

N i

K ⁺

= 0.064276 N f

N i

π ⁺

= 0.008896

D.h.eszerfallennurca.

6.4

^{%derKaonenundgeradeeinmalca.}

0.8

^%der

PionenaufderStreckevon100m,einelängereStreckekönntedieAusbeutean

Neutrinosalsonochdeutlicherhöhen.

b)

Es sinddie mini- und maximaleNeutrinoenergiefür beideZerfällezu bestim-

men.Wirbetrachtenhierzu:

p _K ⁺ _,π ⁺ = p _µ ⁺ + p ν µ

Umstellenliefert:

p µ ⁺ = p K ⁺ ,π ⁺ − p ν µ

diesbenötigenwir,damitderWinkel

θ

^zwischen

p _K ⁺ _,π ⁺

^und

p ν µ

^liegt.

WiedereinmaldergleicheAnsatzüberquadrieren:

p _µ ⁺ · p _µ ⁺ = p _K ⁺ _,π ⁺ · p _K ⁺ _,π ⁺ + p ν µ · p ν µ − 2p _K ⁺ _,π ⁺ · p ν µ

Undden sonstigenUmformungen,erhaltenwir:

m ² _µ + − m ² _K + ,π ⁺

c ² = m ² _{ν µ} c ² − 2

E _K ⁺ _,π ⁺ E ν µ

c ² − ~ p _K ⁺ _,π ⁺ · ~ p ν µ

WirkönnendieVoraussetzungnutzen,dassdieRuhemassedesNeutrinos

0

sei.AusführendesSkalarproduktesführtuns zu:

1 2

m ² _K + ,π ⁺ − m ² _µ +

c ² = E _K ⁺ _,π ⁺ E ν µ

c ² −

~ p _K ⁺ _,π ⁺

~ p ν µ

cos θ

Für die Beträge der Impulse mit Hilfe der Energie-Impuls-Beziehung der

SRTerhaltenwir:

E ² = ~ p ² c ² + m ² c ⁴ ⇔ |~ p| = 1 c

p E ² − m ² c ⁴

~ p ν µ

= E ν µ

c ~ p _K ⁺ _,π ⁺

= 1 c

q E _K ² + ,π ⁺ − m ² _K + ,π ⁺ c ⁴

Wirkönneneinsetzen undnach

E ν µ

^umstellen:

E ν µ =

m ² _K + ,π ⁺ − m ² _µ +

c ⁴

2

E _K ⁺ _,π ⁺ − q

E _K ² + ,π ⁺ − m ² _K + ,π ⁺ c ⁴ cos θ

Die Bestimmung der mini- und maximalen Energie erfolgt indem wir

θ = 180

^°bzw.

θ = 0

^{°einsetzen,wobeiderWertminimalfür}

180

^{°undmaximalfür}

0

^°

wird.Esergebensichmit

m _µ ⁺ = 0.105658369

^GeV

/c ²

^,

m _K ⁺ = 0.493677

^GeV

/c ²

^,

m _π ⁺ = 0.13957018

^GeV

/c ²

^und

E _K ⁺ _,π ⁺ = 200

^{GeV die mini- und maximalen}

Energienvon:

E _{ν µ ,}

min

π ⁺

= 0.010

^MeV

E ν µ ,

^max

π ⁺

= 85.38

^GeV

E _ν

µ ,

^min

K ⁺

= 0.291

^MeV

E ν µ ,

^max

K ⁺

= 190.84

^GeV

Rechnungsiehemathematica.