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Konstruktion einer Ellipse

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Academic year: 2022

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(1)

Konstruktion einer Ellipse

Rendtel,11.08.2011-002_ab_ellipse.tex V5-Geometrie

Aufgabe 1:

Beobachte wie die Ellipse entsteht. Die Konstruktion basiert auf einer möglichen

Beschreibung der Eigenschaft aller Punkte auf der Ellipse. Entwickel diese Beschreibung.

Aufgabe 2:

Unten siehst Du eine Ellipse mit den wichtigsten Bezeichnungen.F1undF2sind dabei die Brennpunkte. Versuche herauszufinden, wie die Funktionsgleichung einer (halben) Ellipse lautet.

x y

P F1 F2

b a

a e

Vielleicht hilft Dir dabei, dass in vielen Grafik-Programmen die Ellipse aus dem Kreis entsteht, wenn man den Kreis geeig- net staucht oder streckt.

Aufgabe 3:

Versuche, eine Tangente an die Ellipse zu konstruieren.

(2)

Konstruktion einer Ellipse- Lösung

Rendtel,11.08.2011-002_ab_ellipse.tex S.2V5-Geometrie(a) Die Ellipse besteht aus allen Punkten, die von zwei festen PunktenF1undF2eine konstante

Abstandssumme haben (oder so ähnlich).

(b) Die Gleichung der Ellipse in Mittelpunktslage lautet x2/a2

+

y2/b2

=

1, analog die Glei- chung für die allgemeine achsenparallele Lage.

Nimmt man einen Kreis in Mittelpunktslage mit dem Radiusa

(

x2

+

y2

=

a2

)

, so entsteht eine Ellipse, wenn man jedey-Koordinate mit dem Faktora/bmultipliziert:x2

+ (

bay

)

2

=

a2

(c) Eventuell die Lösung von Lernenden:

(i) Konstruktion der Winkelhalbieren- den des WinkelsF2PF1.

(ii) Konstruktion der Senkrechten dazu im PunktPergibt die Tangente.

x y

P

Q F1 F2

Daraus folgt, dass Strahlen, die den Gesetzmäßigkeiten der Optik folgen, von einem Brenn- punkt der Ellipse in den anderen reflektiert werden, worauf einige Anwendungen basieren.

(3)

Konstruktion einer Ellipse- Lösung

Rendtel,11.08.2011-002_ab_ellipse.tex S.3V5-GeometrieDiese Konstruktion sieht überzeugend

aus, ist jedoch kein Beweis, da ja nicht gezeigt ist, dass die scheinbare Tangen- te genau einen Punkt mit der Ellipse ge- meinsam hat. Pist ein Punkt auf der El- lipse. Wir verlängern die StreckeF2Pum eine Strecke der Länge

|

PF1

|

und erhal- ten so als Endpunkt D. Damit ist das Dreieck F1PD gleichschenklig. Wir ver- muten, dass die Symmetrieachse dieses Dreiecks die Tangente ist. Dazu zeigen wir, dass jeder vonPverschiedene Punkt auf dieser Achse, den wir H nennen, nicht auf der Ellipse liegen kann:

x y

P

F1 F2

H

D

Aus Symmetriegründen ist

|

HF1

| = |

HD

|

und daher

|

F2H

| + |

HF1

| = |

F2H

| + |

HD

| >

|

F2D

| =

2a. Mit der Definition der Ellipse folgt die Behauptung, denn

|

F2P

| + |

PF1

| =

2a und

|

F1D

| =

2anach Konstruktion. Die Symmetrieachse ist also Tangente und halbiert den Winkel F1PD. Dann halbiert die zugehörige Normale den WinkelF2PF1, obige Konstrukti- on ergibt also wirklich Tangente und Normale.

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