Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. Davorin Leˇsnik Dipl.-Math. Katja Kulas
SS 2011 27.06.-29.06.11
11. ¨ Ubungsblatt zur
” Mathematik II f¨ ur Maschinenbau“
Gruppen¨ ubung
Aufgabe G1 (Riemann-Integrale) Berechnen Sie das Integral
Z π
4
π 6
Z cos(x) sin(x)
y sin(2x)dy
dx.
L¨osung:
Z π
4
π 6
Z cos(x) sin(x)
y
sin(2x)dy dx=
Z π
4
π 6
y2 2 sin(2x)
y=cos(x) y=sin(x)
dx=
Z π
4
π 6
cos2(x)−sin2(x) 2 sin(2x) dx=
= Z π
4
π 6
cos(2x)
2 sin(2x)dx= 1
4ln(sin(2x))
x=π4 x=π6 = 1
4ln( 2
√3) Aufgabe G2 (Riemann-Integrale)
Sei r, h∈]0,∞[ und K ={(x, y, z)∈R3 |x2+y2 ≤r2(1−hz)2,0≤z≤h}.
(a) Skizzieren Sie K.
(b) Berechnen Sie R
Kd(x, y, z). Interpretieren Sie das Ergebnis.
L¨osung:
(a) (b)
Z
K
d(x, y, z) = Z h
0
Z r(1−hz)
−r(1−zh)
Z
√r2(1−hz)2−x2
−√
r2(1−zh)2−x2
dy
dx
dz=
= Z h
0
Z r(1−hz)
−r(1−zh)
2 r
r2(1− z
h)2−x2dx
dz=
= Z h
0
Z π
2
−π
2
2 r
r2(1−z
h)2−r2(1−z
h)2sin2(t)r(1−z
h) cos(t)dt
dz= x=r(1−z
h) sin(t), dx=r(1−z
h) cos(t)dt
= Z h
0
Z π
2
−π2
2r2(1− z
h)2cos2(t)dt
dz= Z h
0
Z π
2
−π2
r2(1− z
h)2(1 + cos(2t))dt
dz=
11. ¨Ubung Mathematik II f¨ur Maschinenbau
= Z h
0
r2(1− z
h)2 t+sin(2t) 2
t=π2 t=−π
2
dz =
Z h 0
πr2(1− z h)2dz=
=−1
3πr2h(1− z h)3
z=h z=0 = 1
3πr2h Wir erhalten das Volumen des Kegels mit Radius r und H¨oheh.
Aufgabe G3 (Riemann-Integrale)
Berechnen Sie den Schwerpunkt der Halbkugel H={(x, y, z)∈R3|x2+y2+z2 ≤1,0≤z≤1}.
L¨osung: Das Volumen der Einheitskugel ist 43π und deshalb das Volumen von H ist V = 23π.
Man kann auch das IntegralV =R
Hd(x, y, z) berechnen.
Wegen Rotationssymmetrie der Halbkugel sind die x- und y-Koordinaten des Schwerpunkts Null (nat¨urlich kann man die Integrale V1 R
Hx d(x, y, z) und V1 R
Hy d(x, y, z) explizit berechnen).
Z
H
z d(x, y, z) = Z 1
0
Z
√1−z2
−√ 1−z2
Z
√1−z2−x2
−√
1−z2−x2
zdy dx
dz =
= Z 1
0
πz(1−z2)dz =π(1 2z2−1
4z4)
1 0 = π
4 Der Schwerpunkt ist dann V1(0,0,π4) = (0,0,38).
Aufgabe G4 (Gaußsche Integralsatz f¨ur die Ebene)
Sei K={(x, y)∈R2|x+y≤1, x≥0, y≥0}und ∂K sein Rand. Sei F(x, y) =
− 1 +y
(1 +x+y)2, x (1 +x+y)2
. Berechnen Sie R
∂KF (a) direkt,
(b) mithilfe dem Gaußschen Integralsatz.
Bonus: Das Ergebnis spricht daf¨ur, dass es einen dritten Weg gibt, um es zu erhalten. Wie sieht dieser aus?
L¨osung:
(a)
Z 1 0
F(t,0)·(1,0)dt+ Z 1
0
F(1−t, t)·(−1,1)dt+ Z 1
0
F(0,1−t)·(0,−1)dt=
= Z 1
0
− 1
(1 +t)2dt+ Z 1
0
1 +t+ 1−t (1 + 1)2 dt+
Z 1 0
0dt= 1 1 +t
1 0+1
2+ 0 = 1
2−1 +1 2 = 0 (b)
∂F2
∂x = (1 +x+y)2−x2(1 +x+y)
(1 +x+y)4 = 1−x+y (1 +x+y)3
∂F1
∂y =−(1 +x+y)2−(1 +y)2(1 +x+y)
(1 +x+y)4 =−−1 +x−y (1 +x+y)3 Z
∂K
F = Z
K
∂F2
∂x −∂F1
∂y
d(x, y) = Z 1
0
Z 1−x 0
0dy
dx= 0
Wir integrierten F entlang einer geschlossenen Kurve und erhielten 0 — istF vielleicht ein Gra- dientenfeld? Ja: F =∇f, wof(x, y) =−1+x+yx . Deshalb nat¨urlich R
∂KF = 0.
2
11. ¨Ubung Mathematik II f¨ur Maschinenbau
Haus¨ ubung
– Abgabe am 04.07.-06.07.11 in der ¨Ubung –
Aufgabe H1 (Riemann-Integrale) (5 Punkte)
Berechnen Sie das Volumen zwischen dem Paraboloid, gegeben durch z = 1−x2 −y2, und der xy-Ebene in R3.
L¨osung:
Z 1
−1
Z
√1−x2
−√ 1−x2
Z 1−x2−y2 0
dz
dy
dx= Z 1
−1
Z
√1−x2
−√ 1−x2
(1−x2−y2)dy
dx=
= Z 1
−1
y−x2y− 1 3y3
y=√ 1−x2 y=−√
1−x2
dx=
Z 1
−1
p1−x2
1−x2− 1
3(1−x2) dx=
= 2 3
Z 1
−1
(1−x2)32dx= 2 3
Z π
2
−π
2
(1−sin2(t))32 cos(t)dt= 2 3
Z π
2
−π
2
cos4(t)dt= π 4
Aufgabe H2 (Riemann-Integrale) (10 Punkte)
Berechnen Sie die Fl¨ache und den Schwerpunkt der Figur zwischen derx-Achse und dem Graphen von Sinus am Intervall [0, π].
L¨osung:
F = Z π
0
sin(x)dx=−cos(x)
π 0 = 2 1
F Z π
0
Z sin(x) 0
xdy dx= 1
2 Z π
0
xsin(x)dx=−1
2xcos(x)
π 0 +1
2 Z π
0
cos(x)dx= π 2 (Nat¨urlich, wegen Symmetrie.)
1 F
Z π 0
Z sin(x) 0
ydy
dx= 1 2
Z π 0
sin2(x)
2 dx= 1 8
Z π 0
(1−cos(2x))dx= π 8 Der Schwerpunkt ist (π2,π8).
Aufgabe H3 (Gaußsche Integralsatz f¨ur die Ebene) (5 Punkte) Sei W der Rand des Rechtecks [−1,1]×[0,1] und F(x, y) = 1+xy22,arctan(x)y
. Berechnen Sie das Integral R
W F.
L¨osung:
Z
W
F = Z
[−1,1]×[0,1]
∂F2
∂x −∂F1
∂y
d(x, y) = Z 1
−1
Z 1 0
− y 1 +x2dy
dx=
=−1 2
Z 1
−1
1
1 +x2dx=−π 4
3
