g 10 g 11 g g 1k g 20 g 21 g g 2k G m (k+1) g m0 g m1 g m2... g mk u(t k) v m (t) u(t 1) = j=0

(1)

7 Faltungskodes

7.1 Einordnung

Algebraishe Kanalkodes

Kodes ohne Gedahtnis Kodes mit Gedahtnis

Blokkodes blokfreie (sequentielle) Kodes

(binar, nihtbinar) (binar)

Wiederh.kodes HAMMING{K. zyklishe Kodes Faltungskodes

Paritatskodes [onvolutional odes℄

RM{Kodes

BCH{Kodes RS{Kodes

Je nah Anwendungsfall haben beide Kodeklassen Vorteile.

In der Kodeverkettung sind Blok- und Faltungskodes gleihbe-

rehtigt nebeneinander, um Vorteile beider Kodeklassen zu nut-

zen.

Faltungskodes

•

^relativ ^einfah implementierbar

•

leistungsstarke Dekodierungsverfahren

−→

soft-deision De- kodierung, iterative Dekodierung

•

^breite ^praktishe ^Anwendung (Mobilkommunikation, Satelli-

(2)

7.2 Kodiershaltung und Beshreibung

−→

mathematish shwieriger zu analysieren als Blokkodes

−→

^gute ^Faltungskodierer werden mit Hilfe von Suhverfahren rehentehnish ermittelt

Faltungskodierer bestehen aus

•

^einem ^(oder ^mehreren) Shieberegister(n)

•

^und modulo-2-Addierern.

Allgemeines Shaltbild (ein Shieberegister mit Gedähtnis

k

^):

u(t) u(t 1) u(t 2) u(t k)

g

10

g

11

g

12

g

1k

v

1 (t)

g

m0

g

m1

g

m2

g

mk

v

m (t)

...

... ... ... ...

...

a ^∗ = (..., u(t), u(t + 1), u(t + 2), ...) −→

a = (..., (v ₁ (t), v ₂ (t), ..., v m (t)), (v ₁ (t+1), v ₂ (t+1), ..., v m (t+1)), ...)

Auf ein Eingabebit

u(t)

^zum ^Zeitpunkt

t

^wird ^eine Kodesequenz

v(t) = (v ₁ (t), v ₂ (t), ..., v _m (t))

^ausgegeben

→

^Koderate

R = 1 m .

Ein Eingabebit beeinusst

K = k + 1

Kodesequenzen bzw.

(k + 1)m

Ausgabebits

→

Einusslänge

.

(3)

mehrere Shieberegister

•

^Anzahl ^Eingänge

n > 1

^:

Gedähtnis

k =

^max

k _i

^, ^d.h. ^bestimmt ^durh ^längstes ^Shie-

beregister mit

i = 1, 2, ..., n

•

^Koderate

R = n m

•

^Aufw^and ^wähst exponentiell mit steigendem

k

^und

n

−→

^weniger ^praktishe ^Anwendung

−→

ⁱⁿ ^weiteren Betrahtungen Konzentration auf

n = 1

−→

^zur ^Erhöhung ^der ^Koderate Punktierung der Kanalkodefolge

−→ (K = k + 1, R)

^Faltungskode, z. B.

(7, ¹ ₂ )

^Faltungskode

(4)

Generatormatrix

G _m×(k+1) =



 



g ₁₀ g ₁₁ g ₁₂ . . . g _1k g ₂₀ g ₂₁ g ₂₂ . . . g _2k

...

g _m0 g _m1 g _m2 . . . g _mk



 



−→

^Kodierung:

Berehnung der Kodesequenz

v(t) = (v ₁ (t), v ₂ (t), ..., v _m (t))

zum Zeitpunkt

t

G _m×(k+1) ·



 



u(t) u(t − 1)

.

u(t − k)



 

 =



 



v ₁ (t) v ₂ (t)

.

v _m (t)



 



Faltungssumme

v _i (t) = P k j=0

g _ij ·u(t − j)

^mod

2 (i = 1, 2, ..., m)

Vollständige Beshreibungsformen eines Faltungskodierers

−→

Zustandsübergangstabelle, Zustandsgraph, Baumdiagramm, Trellisdiagramm

(5)

Beispiel

Faltungskodierer mit

G _2×3 = 1 0 1 1 1 1

!

= (5 ₈ , 7 ₈ )

u(t)

v (t)

v (t) ₂

1

mit

z(0) = (0, 0)

Zustandsübergangstabelle Zustandsgraph

u(t) z(t) z(t + 1) v (t)

0 0,0 0,0 0,0

1 0,0 1,0 1,1

0 1,0 0,1 0,1

1 1,0 1,1 1,0

0 0,1 0,0 1,1

1 0,1 1,0 0,0

0 1,1 0,1 1,0

1 1,1 1,1 0,1

11 1/11 0/11

0/01

1/00

1/10 0/10

1/01 0/00 00

01 10

(6)

freie Distanz

d _f

•

^wihtige Kodeeigenshaft

•

^Betrahtung ^aller ^Kodefolgen

a _i

^, ^die ^zum ^Zeitpunkt

t = 0

^den

Nullzustand verlassen und spätestens nah

k + 2

^Übergängen

(frühestens nah

k + 1

⁾ ^zum ^ersten ^Mal ^wieder ⁱⁿ ^den ^Nullzu-

stand übergehen. Auh Ausnahme(n):

G = (53 ⁸ , 75 ⁸ )

^, ^nah

(k + 3) d f = 8

^!

d _f = min

i w(a i ) → f _k = ⌊ ^d ^f ₂ ⁻¹ ⌋

^(innerhalb

(5..6) · K

⁾

•

^Gute ^F^alt.kodes:

d _f _(max)

^unter ^allen ^Kodes ^gleiher ^Koderate

und gleiherEinusslänge,Einbeziehung desDistanzspektrums

−→

^Beispiel:

d _f = 5

Baumdiagramm

v(t)=

u(t)= ⁰

1

00

11

00

00 11 00

00

11

01

10

00

10 10 01

11

00 01 10

00 00 10

10 01

11

10

01

11

•

^Struktur ^wiederholt

sih nah

(k + 1)

^Stufen

•

^Baum ^wähst ^mit

t

^ex-

ponentiell

• a ^∗ = (1101) → a = ?

•

^Anwendung ^bei ^sequen-

tieller Dekodierung

(7)

Trellisdiagramm

Zum Taktzeitpunkt

t = k + 1

^führen ^Pfade ^mit ^gleihen ^F^olgezu-

ständen auf einen Knoten

−→ 2 ^k

^Knoten ^zu ^jedem ^Zeitpunkt

t ≥ k

^!

00

10

01

11 00 11

11 11

00 00

01 01

10 10

11

00

t 1 2 3 4

10 01

z 0

u(t)=

0 1

verkürztes Trellisdiagramm

Jede Verlängerung des Trellisdiagramms um ein Informationsbit

verdoppelt die Anzahl Kodefolgen

a _i ∈ A

^. ^Das ^T^rellis ^bildet

A

(8)

Beispiel

a ^∗ = (1101) → a = ?

a *

00

10

01

11 00 11

01 10

11

00

t 1 2 3 4

10 01

z

a

5 6

0

1 1 0 1 0 0

11 10 10 00 01 11

Eingangsfolge wird durh

k

^Terminierungsbit abgeshlossen

−→

^Rüksetzen ^des Shieberegisters

−→

^Begrenzung ^der Eingangsfolge auf

l(= 4) , |A| = 2 ^l (= 16) .

(9)

Begrenzung der Eingangsfolge

In praktishenAnwendungen werden fast ausshlieÿlih Eingangs-

folgen mit begrenzter Länge verwendet;

l ≥ 5 · K = 5(k + 1)

^.

•

^Terminierung

Eingangsfolge

a ^∗

^der ^Länge

l

^wird ^um

k

^Nullen ^verlängert

−→

^setzt ^Gedähtnis ^des ^Kodierers ^wieder ^auf initialisierten Nullzustand

−→

Koderatenverlust

R _T = 1 · l

m · (l + k) = R · l

l + k ; R _T ≈ R ,

^wenn

l ≫ k

•

^T^runation

Beendet Eingangsfolge nah

l Bit

^, ^unabhängig ^da^von ⁱⁿ ^wel-

hem Zustand sih der Kodierer bendet

−→

^die ^letzten

Bit

^der ^Kodefolge ^weisen ^wesentlih ^shlehte-

ren Shutz vor Fehlern auf

−→

^kein Koderatenverlust

•

^T^ail-Biting

Kodierer startet im Zustand, in dem er nah Eingabe der

l

^-

Folge später gestoppt wird

−→

^erfordert ^Kenntnis ^über Eingangsfolge vor der Kodierung

−→

gleihmäÿiger Shutz aller Informationsbits

−→

^kein Koderatenverlust

−→

quasi-zyklisher Blokkode

(10)

Faltungskodierer

•

^katastrophale Faltungskodierer, z. B.

G = (5 8 , 6 8 )

u(t)

v (t)

v (t) ₂

1 −→

Katastrophale Fehlerfortpanzung

−→

^Shleife ^im Zustandsgraph, die bei Eingabe einer Folge mit einem Gewiht gröÿer Null die Nullfolge als

Ausgangsfolge besitzt (gilt niht für Nullzustand!);

ggT

(∀i. g _i (x)) 6= x ^s (s ≥ 0) ; ∀i. w(g _i )

geradzahlig

−→

Verhindern: mindestens ein

g _i (x)

irreduzibel (primitiv)!

•

systematishe Faltungskodierer, z. B.

G = (4 ₈ , 7 ₈ )

u(t)

v (t)

v (t) ₂

1 −→

^sind ^niht ^katastrophal

•

nihtsystematishe Faltungskodierer, siehe Beispiel

G = (5 ₈ , 7 ₈ )

−→

leistungsfähiger als systematishe Faltungskodierer

−→ w(a ^∗ ) = 1

^führt ^auf selbstterminierende Ausgangsfolge

a

^,

welhe

G

widerspiegelt und idR

w(a) = d _f

^b^eshreibt

(11)

•

^rekursiv systematishe Faltungskodierer, z. B.

G = (1, ⁵ ₇ ⁸

8 )

v (t) ₂ v (t) ₁

u(t)

−→

Einusslänge unendlih

−→

Trellisstruktur und

d _f

^stimmen ^mit nihtsystematishen Kodierer, entsprehend Beispiel mit

G = (7 ₈ , 5 ₈ )

^, ^überein

−→ w(a ^∗ ) ≥ 2

^k^ann ^auf selbstterminierende Ausgangsfolge führen;

w(a ^∗ ) = 1

^erzeugt ^Kodefolge ^mit ^unendlihem ^Gewiht

−→

^groÿe ^Bedeutung ^für ^T^urbo ^Co^des

(12)

7.3 Punktierung

•

^Ableitung ^vom ^Mutterkode (RCPC-Kodes) (1976):

Periodishes Streihen (Punktieren) von Ausgabebits in der

vom Mutterkode erzeugten Kanalkodefolge

•

^Erhöhung ^der ^Koderate:

R _p = p

v R

^und

R ≤ R _p ≤ 1

p

^Periodizität,

v

^Anzahl ^niht punktierter Bits je Periode,

−→

Punktierungsmatrix

P _m× ^p

m

mit

v = w(P )

−→

^bêreits ¹⁹⁸⁸ ^für âdaptive Ânpassung ân Übertragungsbe- dingungen vorgeshlagen

•

^Vershlehterung der Distanzeigenshaften

Gute punktierte Kodes sind solhe, die bei gleiher Koderate

R _p

^und ^gleiher Einusslänge

K

^die ^gröÿte ^freie ^Distanz

d _f

besitzen.

•

Punktierung kann zu einem katastrophalen Kodierer führen

•

Punktierung reduziert niht die Dekodierungskomplexität des Mutterkodes

Beispiel

a ^∗ = (110100) −→ a = (11 10 10 00 01 11) −→ R = ¹ ₂ (R T = ¹ ₃ ) P = 1 0 1

1 1 0

!

−→ a _p = ( ? ) −→ R _p = ?

(13)

Einige OFD-Faltungskodes:

1/2 2 5 7 5

3 15 17 6

4 23 35 7

5 53 75 8

6 133 171 10

7 247 371 10

8 561 753 12

1/3 2 5 7 7 8

3 13 15 17 10

4 25 33 37 12

5 47 53 75 13

6 133 145 175 15

7 225 331 367 16

8 557 663 711 18

1/4 2 5 7 7 7 10

3 13 15 15 17 13

4 25 27 33 37 16

5 53 67 71 75 18

6 135 135 147 163 20 7 235 275 313 357 22 8 463 535 733 745 24

d f ≤ w(G)

w(a ^∗ ) = 1 →

w(a) = w(

Grundzyklus

) = w(G)

w(a ^∗ ) = 2 →

(k +2)

^Übergänge:

G = (15 ⁸ , 17 ⁸ ), a ^∗ = (110..) (k +3)

^Übergänge:

G = (53 ⁸ , 75 ⁸ ), a ^∗ = (101..)

w(a) = w(G) − 1

Verhalten bei

G = (247, 371) → (k + 2), G = (5, 7, 7, 7), G = (235, 275, 313, 357)

^?

d f =

^onst^beiveränderter Anordnung von

g i

^,

links-rehts Spiegelung von Spalten,

1.Spalte

=

^1-Spalte

Einige punktierte Kodes:

Muttercode punktierter Code Punktierungsmatrix Rate

2 5 7 2/3 3

5 7 3/4 3

5 7 4/5 2

5 7 5/6 2

3 15 17 2/3 4

15 17 3/4 4

15 17 4/5 3

15 17 5/6 3

6 133 171 2/3 6

133 171 3/4 5

133 171 4/5 4

133 171 5/6 3

M. Bossert [11℄, S.319, 321

s.a.N.Sone,M.Mohri,M.Morii,H.

Sasano. Optimal free distane on-

volutional odes for rates 1/2, 1/3

and 1/4. Eletroni Letters 22nd

July 1999,Vol.35, No. 15;

u.a. OFDfür

k = 19, ..., 22; R = ¹ 2

(14)

7.4 Dekodierung

7.4.1 Vorbemerkungen hard/soft-deision Dekodierung

hard−decision Dekodierung

Dekodierung

soft−input soft−output soft−input

soft−decision Dekodierung

b q,[p]

a p

a _M b _M b

L(u ) KD b*

j

b

U KD b*

KD b*

KK _Modulator ^BPSK− h

a* KD b*

Ü−Weg a

b P

h

h,p Demod.

Demod./

Detektor

Demod.

Demod./

Quantis.

b ^[p]

[P]

(15)

7.4.2 Sequentielle Dekodierung

−→

^FANO-Algorithmus

Grundlage: Baumdiagramm

Algorithmus:

1.

D := 0

Distanzshwelle

2. Suhe Pfad mit

d _(H) (x, b h ) = D

3. Shritt 2 erfolgreih: Pfad entspriht

b a := x ; d _(H) ( b a, b _h ) = D

niht erfolgreih:

D := D + 1 −→

^2.

Bewegungen im Baum: vorwärts, rükwärts, seitwärts

−→

^Betrahtung (Speiherung) immer nur einer Kanalkodefolge (eines Pfades) !

Anwendung:

•

^Umsetzung ^des ^MD Dekodierungsprinzips

•

^Unabhängig ^vom ^Gedähtnis

k

^(Pioneer:

k = 31

⁾

•

Quellenkodefolgen von

l ≤ 100

•

Dekodierungszeit abhängig vom Störverhalten des Kanals

(16)

a*

v(t)=

u(t)= ⁰

1

00

11

00

00 11 00

00 11

01 10

00

10 10 01

11 00

01 10

00

10 10 01

01

11

0 1 2 3 4 5 6

1 0

00

11

00 10 01

11

01 11 11 10 10

0 1

1 0

a

10 10 11 10 01 11

b*

00 00 00

11 01 11

01 11 00

11 10

10 00 00

11 00 01 11

10 11

01 10 11

00 01 11

b t =

00 00 00 00

11 01 11

01 11 00

10 10 11

11 00 00

10 11 00

11 01 10

h

(17)

a*

v(t)=

u(t)= ⁰

1

00

11

00

00 11 00

00 11

01 10

00

10

10 11 00

01 10

00

10 10 01

01

11

0 1 2 3 4 5 6

1 0

00

11

00 10 01

11

01 11 11 10 10

0 1

1 0

a

10 11 10 01 11

b*

00 00 00

11 01 11

01 11 00

11 10

10 00 00

11 00 01 11

10 11

01 10 11

00 01 11

b t =

00 00 00 00

11 01 11

01 11 00

10 10 11

11 00 00

10 11 00

11 01 10

4 2

4 3 5 4 4

3 3 4

4

4 3 3

10 1 1 0 1 0 0

01

4 2 3

3

1 2 4 3

1 1

2

0

4 2 2 3

4 h

(18)

a*

v(t)=

u(t)= ⁰

1

00

11

00

00 11 00

00 11

01 10

00

10 10 01

11 00

01 10

00

10 10 01

01

11

0 1 2 3 4 5 6

1 0

00

11

00 10 01

11

01 11 11 10 10

0 1

1 0

a

00 11 11 10 01 11

b*

00 00 00

11 01 11

01 11 00

11 10

10 00 00

11 00 01 11

10 11

01 10 11

00 01 11

b t =

00 00 00 00

11 01 11

01 11 00

10 10 11

11 00 00

10 11 00

11 01 10

0 1 0 1 0 0

2 2

h

2 3

2 1

3

0

(19)

7.4.3 MD/ML Dekodierung

−→

VITERBI-Algorithmus

Grundlage: Trellisdiagramm

•

Spezialfall: hard-deision Dekodierung Algorithmus:

1.

t = 0 ; D ₀ ⁰ = 0

^mit

D _t ^σ ; σ ∈ {0, 1, ..., 2 ^k − 1} ₂

2.

D _t+1 ^σ = min

∀σ ^′ σ {D _t ^σ ^′ + d ^σ _(H)t ^′ ^σ } ; d ^σ _(H)t ^′ ^σ = P m i=1

v _σ ^′ _σ,i ⊕ y _h,i (t)

Nah

t > k

^Shritten ^Trellis ^voll ^aufgebaut

−→

^jeweils ^zwei

Übergänge treen in jedem Zustand zusammen

−→

^W^egfall

von

2 ^k

^Pfaden; ^bei ^gleiher ^Metrik ^zufällige ^W^ahl ^des ^über-

lebenden Pfades (Survivors)

D _t ⁰¹ D _t ⁰⁰

d _t ^01,10

D _t ⁰¹ d _t ^00,10

t+ 1 00

10

01

11 = min{ + d _t ^00,10 , + d _t ^01,10 }

00 t

11

10

11

00 10 01

01 D _t+1 ¹⁰ D _t ⁰⁰

3.

t = t+1

^;

t < l −→

^2.

t < (l + k) −→

^Beahtung ^der ^Terminierung

−→

^2.

t = l + k −→

^4.

4.

D _l+k ⁰ =

^min. ^Abstand Empfangsfolge zu geshätzter Kodefolge Fehler in

b _h

^sind ^damit korrigiert; Zurükverfolgung des Sur- vivors

−→

^Auslesen ^der ^geshätzten Quellenkodefolge

b ^∗

^.

(20)

Beispiel

Faltungskodierer aus 7.2;

a = (11 10 10 00 01 11)

^.

Es wurden

b _h,1

⁼

(10 10 11 10 01 11)

^und

b _h,2

⁼

(00 11 11 10 01 11)

empfangen. Zu ermitteln sind die Quellenkodefolgen

b ^∗ ₁

^und

b ^∗ ₂

^.

00 10 01 11

t ₁ ₂ ₃ ₄

z ⁰ ⁵ ⁶

b b *

01 11 10

11 11

00 0 0

1 0

0

2 2 4 4 3 4

0

3

3 2 4

5 2

1 4 2

4 1 4

1 2

4 3

2 2 2

2 h,2

Anmerkungen:

Speiherung von

2 ^k

^Pfaden ^(Aufwand ^ver^dopp^elt ^sih ^mit

k +1

^, ^bedeutet ^aber ^jeweils Kodierungsgewinn von

≈ 0.4

^dB)

Dekodierungskomplexität unabhängig vom Fehlerverhalten

Das Verfahren sortiert taktweise Kanalkodefolgen aus. Bei

Terminierung verbleibt am Ende nur eine Kanalkodefolge.

−→

^Eziente ^Umsetzung ^der ^MD/ML Dekodierung

(21)

Dekodierungsergebnisse

bei (periodishen) Fehlermustern

G = (47 ₈ , 53 ₈ , 75 ₈ ) , d _f = 13 → f _k = 6

Beispiel:

l = 75 → n = (l + k)m = (75 + 5)3 = 240 Bit

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 Fehler pro Periode

F a ls c h k o rr e k tu re n

4K -> 24 Bits 5K -> 30 Bits 6K -> 36 Bits

Periode:

f _k = 6

→f k

^gilt ^innerhalb ^weniger Einusslängen, hier innerhalb

6 K

^!

bei Punktierung und damit Koderatenerhöhung

G = (47 ₈ , 53 ₈ , 75 ₈ ) , d _f = 13 → f _k = 6 ; P _3×4

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

w(P)

F a ls c h k o rr e k tu re n

max (mit Rauschen) min (mit Rauschen) max (ohne Rauschen) min (ohne Rauschen

→

^In störungsfreien Zeiten kann die Koderate durh Punk-

(22)

LV Kanalkodierung 102

bei Bündelfehlern und zufällig gleihverteilten Fehlern

G = (247 8 , 371 8 ) , d _f = 10 → f _k = 4

Beispiel:

l = 45 → n = ( l + k ) m = (45 + 7)2 = 104 Bit

!

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$

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B.,E-4/-7+1401/245677-5,87

9-:.4,0-4/-7;-5,67 64+-<-7=.+.-78+>

=.,<-7=.+.-78+>

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77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 17 17 77 77 77 71 77 71 17 77 77 77 77 77 77 77

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77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77

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77 77 17 77 17 77 71 71 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77

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→

Bündelfehler hohen Gewihts zerfallen in (Bündel)Fehler kleinen Gewihts!

!! ! ! !

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P

→

^Fehlermuster hohen Gewihts reduzieren kaum das Feh- lergewiht in der dekodierten Folge!

→

^Mit Terminierung immer Vorteile!

(23)

bei Erhöhung von

K

^und ^damit

d _f

^(Gewinn ^zu ^unkod. ^Ü)

g _h ≤ 10

^lg

( ¹ ₂ · R · d _f )

^,

g _s ≤ 10

^lg

(R · d _f )

DVB:

G = (171 ₈ , 133 ₈ ), d _f = 10, g _s ≤ 10

^lg

( ¹ ₂ · 10) ≈ 7

^dB

bei Anwendung von Kodeverkettung (SLVA-Umsetzung)

G = (7 ₈ , 4 ₈ , 5 ₈ ) , d _f = 6 ; a ^∗ = (101)

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

Anz ahl der Fehlerstellen

K o r r e k te R e k o n s tr u k ti o n

SLVA VA

SLVA 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 94,38% 76,20% 46,94% 21,09% 6,92% 1,75% 0,42% 0,13% 0,02%

VA 100,00% 100,00% 100,00% 95,10% 80,00% 54,76% 26,96% 8,31% 1,20% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(24)

MD:

D _t+1 ^σ = min

∀σ ^′ σ {D _t ^σ ^′ +d ^σ _(H)t ^′ ^σ }

^mit

d ^σ _(H)t ^′ ^σ = P m i=1

v _σ ^′ _σ,i ⊕ y _h,i (t)

ML:

Λ ^σ _t+1 = max

∀σ ^′ σ {Λ ^σ _t ^′ + λ ^σ _t ^′ ^σ }

^mit

λ ^σ _t ^′ ^σ = P m i=1

v _σ ^′ _σ,i ⊕ y _h,i (t)

•

soft-deision Dekodierung: soft-input

Kodierungsgewinn in der Gröÿenordnung von bis zu

3

^dB ^!

−→ D _n ⁰ ∈ R

−→ Λ ⁰ _n ∈ R

^(Rükkehr ^zu ^reellen ^Zahlen)

Punktierung

Gegeben:

P

An betreenden Stellen

j

ⁱⁿ

b _h,p

îst êin ^soft ^(don't âre)-

Wert (z. B. 0,5 bei hard-Werten) zu setzen.

D.h. diese Stellen gehen, unabhängig vom Kodebit, niht in

die Berehnung der Teilmetrik

d ^σ _(H)t ^′ ^σ

^bzw.

λ ^σ _t ^′ ^σ

^ein.⁴

Beispiel

Die Kanalkodefolge

a = (11 10 10 00 01 11)

^wurde ^punktiert

übertragen. Die depunktierte Empfangsfolge ist mit

b _h,p = (10

^_

0 00

^_

0 01

^_

1)

^gegeben.

Rekonstruieren Sie

b _h,p

ûnter ^Vêrwendung ^des ^Fâltungsko-

dierers aus 7.2!

4

Beisoft-Wertenwie

y q,j

^bzw.

y j

^werden^diedepunktiertenStellen

j

^auf⁰ ^gesetzt^und^beeinussen

(25)

3 3

1

2

2 1 4 3 2 4

4 3 0

0 1 3

2 0 0

0 0 0 01

10 00

b

0 0 0 1 0 0

b *

2 b ^* 1 1 0 1 0 0

00

10

01

11 t ₁ ₂ ₃ ₄

z ⁰ ⁵ ⁶

1

3 4 5

5 4

3 b * 0 0 0 0 0 0

3 3 4

2

3 3 4

a 11 10 01 11

2 10 00

2 3

4 1

1 2 1

2 .5 1

00

10

01

11 t ₁ ₂ ₃ ₄

z ⁰ ⁵ ⁶

b 10 00

1

2 3 3 2

2 2 4

3 2

2 3

3 3

.5 0 .5 0 01

00 11 00 11

01 10

10 01 )

= (

1 h,p

h,p

(26)

Quantisierung der Signalfolge

Gegeben:

Q

−→ b _q = (..., (y _q,1 (t), y _q,2 (t), ..., y q,m (t)), ...) , y _q,i (t) ∈ Q

In der Regel 2-Bit (

= 2 ² − 1

Entsheidershwellen) bzw. 3- Bit (

= 7

Entsheidershwellen)-Quantisierung ; eine höhe- re Auösung bringt kaum noh Gewinn und erhöht lediglih

den Aufwand (ohne soft-output!).

Beispiel (DVB, [10℄ Reimers):

q

-Bit-Quantisierung

2-Bit-Quantisierung:

Q = {00, 01, 10, 11} = {0, 1, 2, 3} 2 ≡ {0, ¹ ₃ , ² ₃ , 1}

Q = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7} 2

ML Dekodierung:

Λ ^σ _t+1 = max

∀σ ^′ σ {Λ ^σ _t ^′ + λ ^σ _t ^′ ^σ }

^mit

λ ^σ _t,i ^′ ^σ =

( y _q,i (t) v _σ ^′ _σ,i = 1 (2 ^q − 1) − y _q,i ( t ) v _σ ^′ _σ,i = 0

und

λ ^σ _t ^′ ^σ = P m i=1

λ ^σ _t,i ^′ ^σ

Beispiel

Rekonstruieren Sie

b _q,p = (101100110110011110)

^mit

P = 1 0

1 1

!

; Faltungskodierer aus 7.2. Die Empfangsfolge

(27)

Auh möglih:

∗ v(t) ∈ {0, 1} ^m −→ x(t) ∈ {+1, −1} ^m −→ y _q (t) ∈ Q ^m

Q = {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3}

λ ^σ _t ^′ ^σ = P m i=1

x _σ ^′ _σ,i · y _q,i (t) Λ ⁰⁰ ₀ =

^anfwert

> 0

∗ v(t) ∈ {0, 1} ^m −→ x(t) ∈ {+1, −1} ^m −→ y(t) ∈ R ^m λ ^σ _t ^′ ^σ =

P m i=1

x _σ ^′ _σ,i · y _i (t)

−→

Maximierung des Skalarproduktes aus

Minimierung der quadratishen EUKLIDishen Distanz:

allgemein:

d ² _(E) = P m i=1

(x i − y _i ) ²

= P m i=1

x ² _i − 2 P m i=1

x _i y _i + P m i=1

y _i ² = m + c − 2 P m i=1

x _i y _i

anstelle Skalarprodukt:

d ^σ _(E)t ^′ ^σ = P m i=1

x _σ ^′ _σ,i − y _i (t) 2

(28)

Das Prinzip des VITERBI-Algorithmus wird weder von der

MD oder ML Dekodierung noh von der hard-deision oder

soft-deision Dekodierung beeinusst.

Es ändert sih lediglih die Zweigmetrikberehnung:

MD:

D _t+1 ^σ = min

∀σ ^′ σ {D _t ^σ ^′ + d ^σ _(H),(E)t ^′ ^σ } ;

hard

d ^σ _(H)t ^′ ^σ = P m i=1

(v _σ ^′ _σ,i ⊕ y _h,i (t))

soft

d ^σ _(E)t ^′ ^σ = P m i=1

( x _σ ^′ _σ,i − y _[q,]i (t)) ²

ML:

Λ ^σ _t+1 = max

∀σ ^′ σ {Λ ^σ _t ^′ + λ ^σ _t ^′ ^σ } ;

hard

λ ^σ _t ^′ ^σ = P m i=1

v _σ ^′ _σ,i ⊕ y _h,i (t) = m − d ^σ _(H)t ^′ ^σ

soft

λ ^σ _t ^′ ^σ = P m i=1

x _σ ^′ _σ,i · y _[q,]i (t)

VITERBI verarbeitet soft-input fast ohne Mehraufwand und mit

entsprehenden Kodierungsgewinnen.

(29)

•

soft-deision Dekodierung: soft-output

−→

^SOV^A

Kodierungsgewinn in der Gröÿenordnung von 1-4 dB !

v(t) ∈ {0, 1} ^m −→ x(t) ∈ {+1, −1} ^m −→ y(t) ∈ R ^m

Anliegen:

Shätzung der wahrsheinlihsten Kanalkodefolge

und

Berehnung der Zuverlässigkeit der geshätzten In-

formationsbits über wahrsheinlihste Kanalkodefolge

SOVA [19℄ erstmals 1989 von HAGENAUER-HOEHERvor-

gestellt, in Originalarbeit für MD Dekodierung

im Laufe der Zeit viele Modizierungen bzgl. Erhöhung der

Leistungsfähigkeit, aber auh hinsihtlih Reduzierung des

Dekodierungsaufwandes

Bidirektionaler SOVA [24℄, 2001

∗

ursprünglih für zellulare mobile Empfänger, nahträglih für die Dekodierung von Turbokodes entwikelt

∗

^Vorteile

·

^Leistung ^nur ^etwas ^shlehter ^als ^MAP⁵ ^(0,5-0,55^dB)

·

^geringe Dekodierungskomplexität (weniger als doppelte Komplexität von VITERBI)

5

Symbolweise Maximuma posterioriDekodierung

−→

Entsheidung fürjedes Symbol(Bit) separat

(30)

Zuverlässigkeit der geshätzten Informationsbits

u(t) b

^:

L( u(t)) = ln b P ( u b ( t ) = 0| b )

P ( u(t) = 1|b) b ; t = 0, 1, ..., (l − 1)

D _n ⁰ = d( b a, b)

^Metrik ^für wahrsheinlihste Kanalkodefolge

P ( b a|b) ∼ e ^−D ⁰ ⁿ

^Wahrsheinlihkeit für

b a

D _t+1, _b _u(t)

^minimale ^Metrik ^über ^alle ^Pfade ^mit

b u(t) b

u(t) = 0

^:

L( b u(t) = 0) = ln e ^−D ⁰ ⁿ

e ^−D ^t+1, ^b ^u(t) = D _t+1, _u(t) _b − D ⁰ _n ∼ µ ¹ _t − µ ⁰ _t b

u(t) = 1

^:

L( b u(t) = 1) = ln e ^−D ^t+1, ^b ^u(t)

e ^−D ⁰ ⁿ = D ⁰ _n − D _t+1, _u(t) _b ∼ µ ¹ _t − µ ⁰ _t

Algorithmus BiSOVA:

1. Vorwärtsshritt: VITERBI-Algorithmus

Berehnung der wahrsheinlihsten Kanalkodefolge

2. Rükwärtsshritt: VITERBI-Algorithmus von rehts

Zweigmetriken bereits in 1. berehnet, Speiherung nur der

Metriken der überlebenden Pfade je Zustand und Zeit

3. Berehnung der Zuverlässigkeiten

L( u(t)) b t = 0(1)l − 1

µ ^b ^u(t) _t = D _n ⁰ ^,

^V

= D ^σ _t ^′ ^,

^V

+ d ^σ _(E)t ^′ ^σ + D _t+1 ^σ,

^R

µ ^b ^u(t) _t = min

∀σ ^′ σ _u(t) _b

n D _t ^σ ^′ ^,

^V

+ d ^σ _(E)t ^′ ^σ + D _t+1 ^σ,

^R

o

L ( u b ( t )) = µ ¹ _t − µ ⁰ _t

(31)

EXKURS: Log-Likelihood-Algebra [11,20,..℄

Rehnen mit logarithmishen Wahrsheinlihkeiten

•

Zuverlässigkeit einer Bitentsheidung

L(u _j ) = ln P (u j = 0)

P (u j = 1) → L(x _j ) = ln P (x j = +1) P (x j = −1) L(x)

îst ^soft-Wêrt êiner ^binären Zufallsvariablen.

si gn

L(x)

^bestimmt ^die ^harte Entsheidung,

|L(x)|

^gibt ^die

Zuverlässigkeit dieser Entsheidung an.

•

Zuverlässigkeit eines Empfangswertes

L(y j |x j ) = ln p(y _j |x _j = +1)

p(y _j |x _j = −1) ∼ y _j =

^sign

y _j · |y j |

Jegröÿer

|y _j |

^umso zuverlässiger dieharte Entsheidungsign

y _j .

Gelingt es

|y _j |

ⁱⁿ ^den Dekodierungsalgorithmus einzubringen, spriht man von soft-deision Dekodierung.

6

•

^Regel ^von ^BA^YES

L( x b _j ) = L(x j |y j ) = ln P (x _j = +1|y _j ) P (x _j = −1|y _j )

= ln p(y j |x j = +1)

p(y _j |x _j = −1) + ln P (x j = +1)

P (x _j = −1) = L _c y _j + L ( x _j ) L _c

Kanalzuverlässigkeit; SBK:

L _c = ln ^1−p _p ^s

s ,

^A^WGN:

L _c = _σ ² 2

L(y|x) = L _c y = L(x|y) − L(x)

Zuverlässigkeit des Empfangswertes ist die Dierenz zwishen

a posteriori und a priori soft-Wert von

x

^(nah ^vor ^der ^Ü).

6

y h,j = ¹ ⁻

^sign

₂ ^y ^j

(32)

•

Zuverlässigkeit der Summe 7

zweier statistish unabhängi-

ger Werte

x ₁

^und

x ₂

^: ^(paarweise Auswertung)

L(x ₁ ⊕ x ₂ ) = ln 1 + e ^L(x ¹ ⁾ e ^L(x ² ⁾ e ^L(x ¹ ⁾ + e ^L(x ² ⁾

=

^sign

L(x ₁ ) ·

^sign

L(x ₂ ) · min{|L(x ₁ )|, |L(x ₂ )|}

+ ln(1 + e ^−|L(x ¹ ^)+L(x ² ^)| ) − ln(1 + e ^−|L(x ¹ ^)−L(x ² ^)| )

Approximationen für

ln(1 + e ^−|z| ) :

→ 0 ; L(x ₁ ⊕x ₂ ) ≈

^sign

L(x ₁ )·

^sign

L(x ₂ )·min{|L(x ₁ )|, |L(x ₂ )|}

→

^Lookup-T^abelle:

→

^Lineare ^Abbildung:

0.000 ≤ |z| < 0.196 0.65 0.196 ≤ |z| < 0.433 0.55 0.433 ≤ |z| < 0.710 0.45 0.710 ≤ |z| < 1.050 0.35 1.050 ≤ |z| < 1.508 0.25 1.508 ≤ |z| < 2.252 0.15 2.252 ≤ |z| < 4.500 0.05 4.500 ≤ |z| < +∞ 0.00

0.0 ≤ |z| < 0.5 −|z| · 2 ⁻ ¹ + 0.7000 0.5 ≤ |z| < 1.6 −|z| · 2 ⁻ ² + 0.5750 1.6 ≤ |z| < 2.2 −|z| · 2 ⁻ ³ + 0.3750 2.2 ≤ |z| < 3.2 −|z| · 2 ⁻ ⁴ + 0.2375 3.2 ≤ |z| < 4.4 −|z| · 2 ⁻ ⁵ + 0.1375 4.4 ≤ |z| < +∞ 0

Bezogen auf die Signalwerte

y _j

^:

−→ L(y 1 ⊕ y ₂ ⊕ ...) ≈ Q

j

sign

y _j · min

j |y j |

7

L(x 1 ⊕ x 2 ) = ln P (x 1 ⊕ x 2 = 0) P (x 1 ⊕ x 2 = 1)

= ln P (x 1 = 0)P (x 2 = 0) + P(x 1 = 1)P(x 2 = 1) P (x 1 = 0)P (x 2 = 1) + P(x 1 = 1)P(x 2 = 0)

= ln e ^L(x ¹ ⁾ P(x 1 = 1) e ^L(x ² ⁾ P (x 2 = 1) + P (x 1 = 1)P (x 2 = 1) e ^L(x ¹ ⁾ P (x 1 = 1) P(x 2 = 1) + P (x 1 = 1) e ^L(x ² ⁾ P (x 2 = 1)

= ln e ^L(x ¹ ⁾ e ^L(x ² ⁾ + 1 e ^L(x ¹ ⁾ + e ^L(x ² ⁾

NR:

L(x) = ln ^P(x=0) _P(x=1) → P (x = 0) = e ^L(x) P(x = 1)

(33)

Beispiel

Es sei folgender rekursiv systematisher Faltungskodierer gege-

ben:

v (t) ₁ v (t) ₂

00 1 01 0

11 10 u(t)

1 0

-1+1 -1-1

+1+1

+1-1

Für die Empfangsfolge

b = ((−1, 1), (1, −0.2), (−1, 1), (1, 1))

^ist

die wahrsheinlihste Kanalkodefolge mit den Zuverlässigkeiten

für die geshätzten Informationsbits zu berehnen.

1. Vorwärtsshritt

4 0

4 4

4.64

0 4 9.44

4

4.64

4.64 1 0

b= −1 1 1 −0.2 −1 1 1 1

1.44 5.44 0.64

5.44 9.44 8.64

4 8 4 0

12.64 9.44

13.44

2. Rükwärtsshritt

4 0

4 4

4 1 0.64

0 0

4.64

4 8 0

0 4 0

8 4

12 5.44

0.64 9.44 4.64 ^4.64 8.64 1.44

5.44

3. Zuverlässigkeitswerte

t b u(t) µ ⁰ _t µ ¹ _t L( u(t)) b

0 1

0 + 4 + 4.64 = 8.64

^4.64 ^-4

1 0 4.64

min{4 + 4.64 + 0, 4 + 5.44 + 4} = 8.64 4

2 1

min{5.44 + 4 + 0, 4.64 + 8 + 4} = 9.44

^4.64 ^-4.8

(34)

b = ((0.3, −1), (−0.5, 1), (−1, −0.1), (−0.2, −0.2), (0.2, −0.8), (−1, −0.5))

^.

Berehnen Sie für die am wahrsheinlihsten gesendete Kanalkodefolge auh die

Zuverlässigkeitder geshätzten Bits.

10

01 11 00

b

10

01 11 00

−1+1

6.71

6.96

10.31

5

0

9.63

4

0

11.95 t ⁰ ¹ ² ³

+0.3 −1

+1−1 +1+1

−1−1

+1−1

−1−1 +1+1

−1+1

b

14.56 11.63

4.43 10.03 6.03

9.63 8.83

−0.2 −0.2

8.83 +0.2 −0.8

−0.5 +1

6

8.31

6.96

1 13.51 1.69

1.94 −1 −0.1 −1 −0.5

6.75 7.94

8.75 7.55 13.15

13.55 3.15

9.95 L(u ) i

5.21 0.81

0.81

5.21 5.21 0.81

5.21 4.81 1.21

4.81 1.21

0.81 0.25 4.25

2.88 3.88 6.25

1.28 1.28 1.48 0.25

2.88 2.08 2.08

2.08 2.08 4.68

0.68 *

−7.20

Zum Vergleih:

b h = (01 10 11 11 01 11)

^,

b ^∗ = (...) ?

(35)

10

01

11 00 ^9.67

5.27 5.02 3.02

b

8.22 7.42

7.01

10

01 11 00

3.81 7.01 4.93

7.73

t ⁰ ¹ ² ³

+0.3 −1

+1−1 +1+1

−1−1

+1−1

−1−1 +1+1

−1+1

b

−1+1

11.63 4.43

10.03 6.03

9.63 8.83

4

14.56

6 8.31 10.31

6.71 13.51

5 −0.2 −0.2

−1 −0.1 +0.2 −0.8 −1 −0.5

−0.5 +1

0

1.69

7.94

1.94

8.75 7.55 13.15

13.55 3.15

9.95 6.75 11.95

0

6.96 0.93 2.21 10.13

0.25 6.25 8.74

6.74 1.69 1.69

4.49 4.49 4.49

1 1

6.96 1 0

1.28 1.28 1.48 0.25

2.88 2.08 2.08

2.08 2.08 4.68

0.68 6.25 3.88

−7.20

2.88 4.25

0.25

0.81 1.21 4.81

1.21 4.81 2.25

4.25

6.25

0.25

2.25 6.25 5.21

0.81 5.21

5.21 0.81 0.81 5.21

L(u ) i

*

−4.00 6.80 −7.60

Zum Vergleih:

g 10 g 11 g g 1k g 20 g 21 g g 2k G m (k+1) g m0 g m1 g m2... g mk u(t k) v m (t) u(t 1) = j=0

•

•

−→

•

−→

−→

•

•

k

...

...

... ... ... ...

...

a ∗ = (..., u(t), u(t + 1), u(t + 2), ...) −→

a = (..., (v 1 (t), v 2 (t), ..., v m (t)), (v 1 (t+1), v 2 (t+1), ..., v m (t+1)), ...)

u(t)

t

v(t) = (v 1 (t), v 2 (t), ..., v m (t))

→

R = 1 m .

K = k + 1

(k + 1)m

→

.

•

n > 1

k =

k i

i = 1, 2, ..., n

•

R = n m

•

k

n

−→

−→

n = 1

−→

−→ (K = k + 1, R)

(7, 1 2 )

G m×(k+1) =



 

 



g 10 g 11 g 12 . . . g 1k g 20 g 21 g 22 . . . g 2k

g m0 g m1 g m2 . . . g mk



 

 



−→

v(t) = (v 1 (t), v 2 (t), ..., v m (t))

t

G m×(k+1) ·



 

 



u(t) u(t − 1)

u(t − k)



 

 

 =



 

 



v 1 (t) v 2 (t)

v m (t)



 

 



v i (t) = P k j=0

g ij ·u(t − j)

2 (i = 1, 2, ..., m)

−→

a ^∗ = (..., u(t), u(t + 1), u(t + 2), ...) −→

a = (..., (v ₁ (t), v ₂ (t), ..., v m (t)), (v ₁ (t+1), v ₂ (t+1), ..., v m (t+1)), ...)

v(t) = (v ₁ (t), v ₂ (t), ..., v _m (t))

k _i

(7, ¹ ₂ )

G _m×(k+1) =

g ₁₀ g ₁₁ g ₁₂ . . . g _1k g ₂₀ g ₂₁ g ₂₂ . . . g _2k

g _m0 g _m1 g _m2 . . . g _mk

v(t) = (v ₁ (t), v ₂ (t), ..., v _m (t))

G _m×(k+1) ·

v ₁ (t) v ₂ (t)

v _m (t)

v _i (t) = P k j=0

g _ij ·u(t − j)

G _2×3 = 1 0 1 1 1 1

= (5 ₈ , 7 ₈ )

v (t) ₂

d _f

a _i

G = (53 ⁸ , 75 ⁸ )

d _f = min

i w(a i ) → f _k = ⌊ ^d ^f ₂ ⁻¹ ⌋

d _f _(max)

d _f = 5

u(t)= ⁰

• a ^∗ = (1101) → a = ?

−→ 2 ^k