Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften

Abhandlungen

der Bayerischen Akademie der Wissenschaften

Mathematisch - naturwissenschaftliche Abteilung XXXI. Band, 4. Abhandlung

Über dreifache Flächensysteme und Ermittelung von Flächen, deren Minimalkurven durch Quadraturen bestimmt sind

von

Aurel Voss

Vorgelegt am 5. Februar 1927

München 1927

Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften in Kommission des Verlags R. Oldenbourg Manchen

Teil I.

Über dreifache Flächensysteme.

§ i.

Der einfache Fall «1 = 1.

In einem allgemeinen dreifachen Flächensystem gehen durch jeden Punkt P eines gewissen räumlichen Gebietes, dessen rechtwinklige Koordinaten x, y, z Funktionen von drei unabhängigen Variabein u, v, w sind, drei Kurven, je nachdem u, v, w je a l l e i n als variabel betrachtet werden. Dies sind die K u r v e n u, v, w, welche zugleich die T a n g e n t e n - e b e n e n vw, uw, uv der durch P gehenden Flächen durch die von P ausgehenden Tangenten jener Kurven bestimmen. Die Flächen selbst mögen durch (uv), (uw), (vw) bezeichnet

werden, so daß z. B. der Fläche (uv) die Kurve w entspricht.

Dabei ist das Q u a d r a t des L ä n g e n e l e m e n t e s

ds" = tj du1 + el dv' + e\ dw' + 2 f , du dv -(- 2/", du dw + 2 ft dv dw mit

2 Xu , Cj Xv , f3 £.Xtc, fi — Xu X9, / j - £ Xu Xtc. /1 = £xd Xlr

und die

U u_ _{i *} t ^ £ y £ ^ ^^

sind die Cosinus der W i n k e l zwischen den Kurven u, v; u, tv; v, w.

In dem besonderen Falle, wo alle e, (t = 1, 2, 3) gleich E i n s sind, sind die f diese cosinus selbst. In diesem e i n f a c h e n F a l l e entsteht eine r h o m b i s c h e T e i l u n g des Gebietes von überall g l e i c h e r Kantenlänge. Auf ihn kann das Längenelement

ds3 = U* du* -t- V2 dw* + Ws dw2 +2 / , du dv+2f2 du dw+2ft dv dw

mit U, V, W als abhängig je a l l e i n von u, v, w durch Transformation zurückgefühlt werden. Im allgemeinen sind die e, f als Funktionen von h, v, tv anzusehen; dem Falle

£t = e2 = £s entspricht die allgemeine rhombische Teilung.

Die vorhin gebrauchten ^ Z e i c h e n sollen, wo kein Mißverständnis möglich ist, überall fortgelassen werden, beziehen sich daher immer auf die g l e i c h z e i t i g e S u m m a t i o n nach x, y, e in Bezug auf den d o p p e l t vorkommenden Index u, v, w, so daß einfach

f j = xl, f3 = x» x, usw. für x„ x, + yu y, -(- ¡¡u z% usw.

gesetzt wird.

l*

4

Aus den Gleichungen1)

X» ^iin = 0, Xh — 0, Xu Xf,m 0,

^in = 0 , x99 — 0 , — 0 ,

•Ttf «T|f fi — 0 , X t r X y i — 0 » ¿Ttf X f f ,e — 0 «

folgt

1) £„, = (yu z, — y , x „ „ = — y,,*,,), xin = — y*z.), y«. === , .Vurr := Xn XK Zu), y*ir " Ä J (z9 X,r Xr

<<* v Aj {x»y9 <J\ y u)» ^d ir ~ (x,r yM yw Xu), p^ ; = (xtyIP x,f y»).

Die x, y, * werden immer als Funktionen der u, t>, w vorausgesetzt, die mit ihren Ableitungen nach diesen Variabein, soweit sie gebraucht werden, s t e t i g sind. Alle diese Ableitungen sind dann von der Reihenfolge der Differentiationen unabhängig; dazu genügt, unter den angegebenen Voraussetzungen, daß die bekannten Integrabilitätsbedingungen, die schon in der Theorie der einzelnen Fläche auftreten

3

dv (XHU) = 3

du (x«.), 3

dV (.Xwtr) 3 3 w 3

3 w (x«u) = 3

du w) y 3

3 w O-r) = 3 dv 3

du (^irir) 3 dw

3 3

dv

die auch für y und z gelten, zu denen jetzt aber noch die dritten Ableitungen b) Xu«i0 Xtt tc v * * * X/r u t

hinzukommen. Die Gleichungen a), b) sind nach den Voraussetzungen reine I d e n t i t ä t e n , aber die Frage, um die es s i c h hier h a n d e l t , ist, welche Bedingungen dadurch ftlr die e, f entstehen, die als beliebige, aber ebenfalls mit allen ihren Ableitungen in den u, v, w stetige Funktionen g e g e b e n a n z u s e h e n sind.

In diesem Paragraphen werden nur die Folgerungen aus den Identitäten b) betrachtet, die zu besonders übersichtlichen Resultaten führen und mir seit Uber dreißig Jahren bekannt sind.

Man erhält nach l )s)

I) xH,„ = (y„ z. — y, z„) + [x„ k, ft + r„ A, fs — x„ /, (/, + A»)] = An

Xuw, = ¿2,. (y,cZu — yuz„) + [x„ Xsft + x„ k1fs — xt /; + ¿s)] = At, x,,r» = !••,„ (y.z„ — y„z.) + ¿i |>, i-tf, + x,r fs — xufi (xs + A,)] = At, und ebenso durch geeignete Vertauschungen

Hier sind überall die zuvor angegebenen Kürzungen benutzt.

s) An Stelle der Ableitungen usw. wird im folgenden jeweils zur Abkürzung „ usw. d X c v

geschrieben werden. Analoges gilt für die « und /'.

5 II) = X3,« (*« X, — x , z.) -t- Xs [y„ A. fl -I- y, Xi ft — y„ ft (A, + A»)] = -B,,

yum, = X, (e„ xM — Zu X„) + L [y„ À, fl - f y„ A, /, — y, ft - f A,)] = Bs, y.,f» = ¿1.. {e. x„ — z^a x.) + A, [y,A, f^t + yr Xs fs — y„ /", + A,)] = J?s, IH) = ¿3.» (ir« yB — y„) + A, 0 „ /", + zv Xt f. — (1, - f As)] = C,,

¿W- = ¿2, t, (*«, y„ — xu y,r) + Xs [eu A, /, - f z,r Xlfì — z„ f2 (A, -f- As)] = Cs,

•?UBlr = A 1, » (Xc y,r yc) + [zc ¿ s f i Z<" ^S f i fl "T ^ s ) ] = C f

Die Determinante

•T* yu ei f, U 3) A = ye zv

,

%ic yu: ¿te fjie\

ist immer A £ 0 vorauszusetzen, so weit überhaupt ein r ä u m l i c h e s Qebiet vorhanden sein soll, da sonst zwischen den x, y, z eine Relation F(xyz) = 0 bestehen würde.

Es ist jetzt zu untersuchen, welche Gleichungen aus den hinreichenden und not- wendigen Bedingungen

A! — i l j , £( Bs i Cl Cs; A s Aa . . ., A9 A, . . .,

sämtlich gleich Null, folgen. Aus den Differenzen der beiden ersten Gleichungen I, II, III folgt

-0 ¿3,IC (.'/« Z^v — yv zu) — XS,«, (y„ z,i— z„ ;/,,) |- Xs [xu X, fl x„ Xt f , — xa fs (Xt Js)]

— Xs [xu X3 ft + xw A, f^s — xv fs {Xl + As)] = 0, Xv — xu zv) — X->, o (z,c Xu — Xw zu) + Xa [yu XifiJr y„ Xlfi — yw fs (ll -j- A.)]

— lv« Kfi + y>» Kh — y*U (^i + = o, Xa, w (.'•« y, — y») — X2.v (r,o !)u — •/•» yw) + xs [zn X, fl 4 - zc -Ij fs — zm fa (A, -f- A,)]

— K 0 » i» fy + Z,.: U — Zv fs (Xt + As)] = 0 und diese Gleichungen nebst den ihnen analog gebildeten drtlcken die Gleichheit a l l e r dritten Ableitungen aus. Multipliziert man jetzt die Gleichungen 4) mit den x„, yu, zu;

•rv, yt, zc; x,c, y,c, zw und summiert jedesmal, so ergibt sich im ersten Falle Null, im zweiten aber

5) - x >_ „ A + { fs- fx ft) Vi + h K + k K) = 0 und im dritten

6) — l ^ A + (/s - f \ Q (¿.¿s + I , * , + l ^ ) = 0 .

Durch Bildung der As — As, B2 — Bs, Cs — C, folgt in derselben Weise 7) + (fr - fif,) xt + A. A, + Xt 1,) = 0,

(f, - f , Q (Aj Xt + Xt Xt + Xt Xt) = 0,

von denen die letztere schon bei 5) steht. Und endlich folgt aus den As — An Bs — Bt

C8 — wie man leicht Übersieht, keine neue Gleichung mehr. Aus dem Bestehen der Gleichungen

6

(A, - A.) + / / . (Bl - B,) + (C\ - G's) = 0, xt (Al - A,) + //,. (B, - -B„) + r , (<7, - C\) = 0, .r„. - A.) + ;/„ (B, - B.) + 2,r {Ci — C\) = 0.

und ihrer analogen ftlr die übrigen Differenzen vermöge der Bedingungen 5), 6), 7) folgt nun nach 3), d a ß die U n a b h ä n g i g k e i t a l l e r d r i t t e n A b l e i t u n g e n n a c h u, v. w von d e r R e i h e n f o l g e d e r s e l b e n d u r c h die d r e i G l e i c h u n g e n

IV) l»,rd = D ( ft - ft fs ) . A = D { f , - f \ Q , /,,„ A = D ( ft - f i f i ) .

D = /., ks + h A, 4- ls/ , v e r m ö g e A ^ 0 a u s g e d r ü c k t ist.

Die Bedingungen IV sind allerdings nicht ausreichend, da die a) noch nicht berück- sichtigt sind. Die dazu nötigen weiteren Bedingungen werden sich erst in der allgemeinen Theorie der dreifachen Systeme ergeben.

Die bisher eingeführten kt, lassen sich durch die /t, f2, fs darstellen. Denn aus der Gleichung Zxuxv = fs folgt

Xu jr Xi """f~ 2 Xu Xr lr f:i, ir oder nach 3)

?.s 2 (//„• zu — zK f/u) Xt -f Xi Zxu 0/, z„. — y,,- sv) = fs,,, oder

A(kl + k2) = fa,„.

und ebenso

+

d ( is + J.) = / " , , „ , also

V) 2 = / - , , „ + / V - A . , , 2 i» J = f I, „ f\,r f >, „ ,

Die Gleichungen IV) enthalten nur scheinbar die Irrationalität A, die man z. B. für die erste derselben auch schreiben kann

fto U ) = 3w l ^ j = J» ä i J ) - V J ->' worin nach V) nur noch A3 vorkommt.

Die Gleichungen IV) zeichnen sich durch Einfachheit und Symmetrie aus, und lassen sich auch geometrisch deuten. Durch jeden Punkt P gehen die drei Tangentenebenen Evw, Euw, Eu„; die Normale von Evw hat die Richtungscosinus X , , Yt, Zt, wobei

Xtxv -)- r,//,. + ZJev = 0, X,x,c 4 - yw + Zxz,r = 0;

und ebenso ist die Normale von Euu> durch Yä, Z.,

7

X^Xu : - l/„ ; Z^Zu — 0, XaXu- -p Y, y,r —- r = 0

bestimmt. Der Cosinus ihres Neigungswinkels St ist daher durch cos e, = i ft u - f>) • v i ~ n v \ ~ n

und analog in den anderen Fällen gegeben. Darausfolgt: D a , wo zwei d e r T a n g e n t e n - e b e n e n d e r F l ä c h e n a u f e i n a n d e r s e n k r e c h t s t e h e n , i s t d e r e n t s p r e c h e n d e D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t d e s X, z. B. hier —- = 0, g e h ö r t a l s o zu e i n e m Ma, Mi-31

9 w

W e r t e von Wären alle f l = f i = f i = 0, so ist nur abhängig von u und v, und für ein dreifaches Orthogonalsystem hat man also

ds* = du* + dv* + du?.

Aus (/", f:, ffi = ft fs fc folgt aber, wenn z. B. fx — 0, unter der eben angegebenen Voraussetzung auch f3 = 0, ft = 0, so daß ds3 diese Form haben muß. Ist aber keines der / gleich Null, so müßte ftftfs = 1 sein. Dies ist, da alle f \ ^ 1 sind, nur möglich, wenn sie gleichzeitig gleich eins sind; dies ist aber in einem d r e i f a c h e n System unmöglich.

Ein besonderer Fall ist noch der, wo an einer Stelle gleichzeitig alle 0, Null sind, weil D = 0 ist. Dies entspricht der Bedingung

ft,K ~t~f*,v + /?,« — 2 ( f i , „ f >t „ — fi, o fi,W 1 f i, U /"s,to) = 0.

Diese Differentialgleichung könnte sogar an jeder Stelle eines Gebietes erfüllt sein, z. B. wenn K, f2tV, fi,w gleichzeitig Null sind, aber auch in anderen Fällen, z. B. wenn fs.w = 0, /i „ = f i „ ist, doch kann man hieraus weitere Schlüsse ohne Betrachtung der Integrabilitätsbedingungen a), nicht ziehen.

§

Allgemeine Theorie der dreifachen Systeme.

Es soll hier zuerst ein allgemeiner Satz hergeleitet werden, der sich von den zahl- reichen weitläufigen Beziehungen, die von anderen, z. B- C o d a z z i aufgestellt sind, durch Einfachheit, wie ich glaube, auszeichnet. E r b e z i e h t sich a u f die R i c h t u n g s c o s i n u s d e r B i n o r m a l e n d e r S c h n i t t k u r v e n u, v, w; z. B. u g e g e n die N o r m a l e n d e r zu u g e h ö r i g e n T a n g e n t e n e b e n e n d e r F l ä c h e n , hier also der Flächen (uw), (uv) mit der Schnittkurve u.

Der Krümmungsradius der Kurve u, deren Bogenlänge für einen Augenblick durch o bezeichnet sei, ist

1 "I / Yd c o s a \2 (dcosß\* /d c ö s ^ y

Ql — * V da ) + V da ) + V da ) '

wobei cos a = , cos ß = cos r = - j * . Führt man an Stelle von a die Variable u da da da ein, so ist

da und man hat du