Le the´ore`me d’Arnold-Liouville et ses conse´quences

Elem. Math. 58 (2003) 6 – 20

0013-6018/03/010006-15 Elemente der Mathematik

Le the´ore`me d’Arnold-Liouville et ses conse´quences

A. Lesfari

A. Lesfari has studied mathematics at the University of Louvain (U.C.L.) where he also obtained his doctoral degree. His mathematical interests are in integrable systems and geometry. He has published papers on various topics in interaction between integrable systems, algebraic geometry and complex analysis. The author is now professor at the Department of Mathematics of the University of Chouaib Doukkali in Morocco.

Les varie´te´s de niveau communes des inte´grales premie`res de´finies par les groupes a` un parame`tre de diffe´omorphismes d’un syste`me dynamique, sont invariantes du flot. La solution d’un proble`me non-line´aire se rame`ne actuellement, a` l’e´tude de son flot et de ces varie´te´s invariantes. Le the´ore`me d’Arnold-Liouville joue un roˆle crucial dans l’e´tude de ces proble`mes. Il permet, entre autres, d’e´tudier la situation topologique suivante: si les varie´te´s invariantes sont compactes et connexes, alors elles sont diffe´omorphes aux tores re´els sur lequels le flot de phase de´termine un mouvement quasi-pe´riodique. Les e´quations du proble`me sont inte´grables par quadratures et le the´ore`me en question montre un comportement tre`s re´gulier des solutions.

.

Die Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems sind ein Beispiel fu¨r ein Ha- miltonsches System. Besitzt ein derartiges System von Differentialgleichungen 2nFrei- heitsgrade, so sind im allgemeinen 2nKonstanten der Bewegung erforderlich, damit es integriert werden kann. Unter bestimmten Bedingungen genu¨gen aber hierfu¨r bereits nKonstanten der Bewegung, na¨mlich dann, wenn diese unabha¨ngig und in Involution sind. Ist dann Neinen-dimensionale Niveaumenge dieser Konstanten der Bewegung, so existieren darauf n linear unabha¨ngige Tangentialfelder, die miteinander kommu- tieren. Zusammenha¨ngende kompakte Mannigfaltigkeiten mit dieser Eigenschaft sind, und dies ist eine rein differentialgeometrische Konsequenz, diffeomorph zu einem re- ellen Torus. Das Hamiltonfeld auf N ist dann, in geeigneten Koordinaten, linear, die Lo¨sungen der urspru¨nglichen Bewegungsgleichungen also quasiperiodisch. Dies alles ist der Inhalt des klassischen Satzes von Arnold-Liouville. In dem nachfolgenden Bei- trag wird ein direkter Zugang zu diesem Satz vorgestellt. Der Zusammenhang mit der Theorie integrabler Hamiltonscher Systeme wird beschrieben und anhand des Euler- schen Kreisels erla¨utert.

Le but de cet article est de donner une de´monstration aussi directe que possible du the´o- re`me d’Arnold-Liouville, d’e´tudier explicitement ses liens avec la the´orie des syste`mes Hamiltoniens inte´grables et enfin l’appliquer a` des situations concre`tes.

1 Ge´ome´trie et topologie des varie´te´s invariantes du flot

Nous allons tout d’abord rappeler quelques notions concernant les champs de vecteurs et e´quations diffe´rentielles. SoientM une varie´te´ diffe´rentiable de dimensionm,TM son fibre´ tangent et

X:M→TM,

un champ de vecteurs diffe´rentiable (de classe Ꮿ^∞) a` support compact (ce qui sera en particulier le cas si la varie´te´ M est compacte). Etant donne´ un point x ∈ M, on noteg<sup>t</sup><sub>X</sub>(x)la position dexapre`s un de´placement d’une dure´et(t∈R). On a ainsi une application

g_X^t :M→M, t∈R,

qui est un diffe´omorphisme, en vertu de la the´orie des e´quations diffe´rentielles (voir appendice). Plus pre´cise´ment, au champ de vecteursX sont lie´s:

i)un groupe a` un parame`tre de diffe´omorphismeg^t_X, avec g_X^t+s=g^t_X◦g^s_X, ∀t,s∈R.

Ce groupe est e´galement appele´flotet il admet le champX pour champ de vitesses d

dtg_X^t(x) =X g^t_X(x)

, (1.1)

avec la condition initiale

g⁰_X(x) =x. (1.2)

Evidemment

d dtg_X^t (x)

t=0

=X(x).

Donc par ces formulesg^t_X(x)est la courbe sur la varie´te´ qui passe par xet telle que la tangente en chaque point est le vecteurX(g^t_X(x)). Toute solution de l’e´quation diffe´ren- tielle

x˙(t) =X(x(t)), x∈M, (1.3) avec la condition initialex(pour t=0), est inde´finiment prolongeable. La valeur de la solutiong^t_X(x)a` l’instanttest diffe´rentiable par rapport a`tet a` la condition initialex.

ii) l’ope´rateur diffe´rentiel L_X d’ordre 1. Il s’agit de la diffe´rentiation des fonctions suivant la direction du champ de vecteursX. On a

LX:Ꮿ^∞(M)→Ꮿ^∞(M), F →LXF,

ou`

LXF(x) = d dtF

g^t_X(x)

t=0

, x∈M.

Ici Ꮿ^∞(M) de´signe l’ensemble des fonctions F : M → Rde classe Ꮿ^∞. L’ope´rateur LX est line´aire

L_X(α1F1+α₂F2) =α₁L_XF1+α₂L_XF2, (α1, α₂∈R), et satisfait a` la formule de Leibniz

LX(F1F2) =F1LXF2+F2LXF1.

Comme L_XF(x) ne de´pend que des valeurs de F au voisinage de x, on peut donc appliquer l’ope´rateur L_X a` des fonctions de´finies seulement au voisinage d’un point, sans avoir besoin de les prolonger a` toute la varie´te´M.

Rappelons que deux champs de vecteurs X1 et X2 sur une varie´te´M commutentsi et seulement si les flots correspondants commutent

g_X^t1₁◦g^t_X²₂(x) =g_X^t2₂◦g^t_X¹₁(x), ∀x∈M, ou ce qui revient au meˆme, si et seulement si

[L_X1,L_X2]≡L_X1L_X2−L_X2L_X1 =0.

Soit(x1, . . . ,xm)un syste`me de coordonne´es locales sur la varie´te´M. Dans ce syste`me, le vecteurX(x)s’e´crit

X= m

i=1

f_i ∂

∂xi

,

ou` les fonctions f1, . . . ,fm : M → R, sont les composantes de X par rapport a`

(x1, . . . ,xm).

Avec un le´ger abus de notation, on peut e´crire l’e´quation (1.3) sous la forme d’un syste`me d’e´quations diffe´rentielles 









x˙1=f1(x1, . . . ,x_m), ...

x˙_m=f_m(x1, . . . ,x_m),

avec les conditions initiales x1, . . . ,xm pour t =0. Le champ de vecteursX estdiffe´- rentiable(de classeᏯ^∞), lorsque toutes les fonctions fi sont de classeᏯ^∞.

La preuve de´taille´e du the´ore`me suivant s’inspire de quelques proble`mes pose´s par Arnold dans [3]. Nous avons cru bon d’ajouter un appendice (Section 4) afin de faciliter la compre´hension de certaines notions utilise´es dans la de´monstration.

The´ore`me. On suppose que la varie´te´ diffe´rentiableMde dimensionmest compacte, connexe, muni de m champs de vecteurs diffe´rentiables (de classe Ꮿ^∞) X1, . . . ,Xm

commutant deux a` deux et line´airement inde´pendants en chaque point deM. De´finissons l’application

g:R^m→M, (t1, . . . ,tm)→g(t1, . . . ,tm), ou`

g(t1, . . . ,t_m) =g_X^t1₁◦ · · · ◦g^t_X^m

m(x) =g_X^tm

m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x), x∈M.

Alors

a) L’applicationgest un diffe´omorphisme local.

b) L’applicationgest surjective.

c) Le groupe stationnaire

Λ ={(t1, . . . ,t_m)∈R^m:g(t1, . . . ,t_m) =x}, est un sous-groupe discret deR^m inde´pendant du pointx∈M.

d) La varie´te´M est diffe´omorphe a` un tore re´el de dimensionm.

De´monstration. a) Soit

gr≡g|U:U→M, (t1, . . . ,tm)→gr(t1, . . . ,tm) =g_X^tm_m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x),

la restriction de gsur un voisinage U de (0, . . . ,0) dans R^m avec x = g_r(0, . . . ,0).

Montrons que l’applicationg_r est de classeᏯ^∞. En effet, on a

∂

∂t1

g^t_X¹₁ =X1(x) = (˙x1, . . . ,x˙m),

avec 









x˙1=f1(x1, . . . ,x_m), ...

x˙_m=f_m(x1, . . . ,x_m),

ou` f1, . . . ,f_m sont des fonctions de la varie´te´M dansR. De meˆme, on a

∂²

∂t²₁g^t_X¹₁ = (¨x1, . . . ,x¨m)

= m

k=1

∂f1

∂x_kx˙k, . . . , m k=1

∂fm

∂x_kx˙k

,

∂³

∂t³₁g^t_X¹₁ = (^...x1, . . . ,^...x_m)

= m

k=1

m l=1

∂²f1

∂xk∂xl

x˙_kx˙_l+ ∂f1

∂xk

x¨_k, . . . , m k=1

m l=1

∂²f_m

∂xk∂xl

x˙_kx˙_l+∂f_m

∂xk

x¨_k

,

etc. Toutes ces expressions ont un sens car par hypothe`se toutes les fonctions f1, . . . ,fm

sont de classe Ꮿ^∞. Un raisonnement similaire, montre que g_X^t2₂, . . . ,g^t_X^m_m sont aussi de classe Ꮿ^∞. Comme la compose´e de fonctions de classe Ꮿ^∞ est de classe Ꮿ^∞, on en de´duit que gr(t1, . . . ,tm) est de classe Ꮿ^∞. Montrons maintenant que la matrice Jacobienne degr en(0, . . . ,0)est inversible. En effet, posons

g_r(t1, . . . ,t_m)≡(G1(t1, . . . ,t_m), . . . ,G_m(t1, . . . ,t_m)). On a

de´t





∂G1

∂t1 · · · ^∂G∂t1^m

... . .. ...

∂G1

∂tm · · · ^∂_∂t^G_m^m



=de´t





∂gr

∂t1

...

∂gr

∂tm



=

de´t





∂

∂t1g^t_X^m_m◦ · · · ◦g^t_X¹₁(x) ...

∂

∂tmg^t_X^m

m◦ · · · ◦g^t_X¹₁(x)



=0,

car les champs de vecteursX1, . . . ,Xm sont line´airement inde´pendants en chaque point deM.D’apre`s le the´ore`me d’inversion locale, il existe un voisinage suffisamment petit V⊂Ude(0, . . . ,0)et un voisinageW dextels quegr induise une bijection deVsur W dont la re´ciproque

g⁻¹_r :W →V,

soit de classe Ꮿ^∞. Autrement dit, g_r est un diffe´omorphisme deV sur g_r(V). Notons que ce re´sultat est local car meˆme si la matrice Jacobienne ci-dessus est inversible pout tout(t1, . . . ,t_m), alors l’inverse “globale” deg_r n’existe pas ne´cessairement.

b) Soity∈Met de´terminons(t1, . . . ,t_m)∈R^m tel que:

g(t1, . . . ,tm) =g^t_X^m_m◦ · · · ◦g^t_X¹₁(x) =y.

Nous avons montre´ dans la partiea)quegest un diffe´omorphisme local. Donc pour tout pointx1contenu dans un voisinage dex, il existe(t1, . . . ,t_m)∈R^mtel que:

g_X^tm_m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x) =x1.

Comme la varie´te´ M est connexe, on peut relier le point x au pointypar une courbe Ꮿ. SoitB1 une boule ouverte dans M contenant le pointx1. Cette boule existe puisque M est compacte. Soit x2 ∈ Ꮿ tel que x2 soit contenu dans la boule B1. On raisonne comme pre´ce´demment, l’application g e´tant un diffe´omorphisme local, alors il existe (t₁, . . . ,t_m)∈R^mtel que:

g_X^tm

m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x1) =x2. Donc

x2=g^t_X^m_m^+tm◦ · · · ◦g^t_X¹₁^+t1(x).

De meˆme, soitB2 une boule ouverte dansMcontenant le point x2.Soitx3 ∈Ꮿtel que x3 soit contenu dans la bouleB2. Comme l’applicationgest un diffe´omorphisme local, alors il existe(t₁, . . . ,t_m)∈R^m tel que:

g_X^tm

m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x2) =x3. Donc

x3=g_X^tm_m^+tm+tm◦ · · · ◦g^t_X¹₁^+t1+t1(x).

En continuant ainsi, on montre (apre`s un nombre k fini d’e´tapes) l’existence d’un point (t⁽₁^k−1), . . . ,t⁽m^k−1))∈R^m, tel que:

g_X^t(k−1)m

m ◦ · · · ◦g^t

(k−1) 1

X1 (x_k−1) =x_k,

ou`x_k∈Ꮿ,x_k contenu dans une boule ouverte B_k−1 deM, avecB_k−1 x_k−1. Donc x_k =g_X^{t(k−1)m +t(km−2)+···+tm+tm}

m ◦ · · · ◦g^t

(k−1)

1 +t^(k−₁ ²⁾+···+t₁+t1

X1 (x), k fini.

Cette construction montre qu’on peut, en un nombre k fini d’e´tapes, recouvrir la courbe Ꮿreliant le pointx au pointypar des voisinages dex; le pointyjouant le roˆle de xk. Notons que l’application gne peut eˆtre injective. En effet, si gest injective, on aurait d’apre`s la partie a) une bijection entre un compactM et un non compactR^m, ce qui est absurde.

c) Conside´rons Λ =

(t1, . . . ,t_m)∈R^m:g(t1, . . . ,t_m) =g^t_X^m_m◦ · · · ◦g^t_X¹₁(x) =x

Evidemment,Λ=∅car(0, . . . ,0)∈Λ. Soit(t1, . . . ,tm)∈Λ,(t₁, . . . ,t_m)∈Λ. On a g(t1, . . . ,tm) =g(t₁, . . . ,t_m) =x.

Puisque les champs de vecteursX1, . . . ,Xm sont commutatifs, alors g(t1+t₁, . . . ,t_m+t_m) =g_X^tm+tm

m ◦ · · · ◦g_X^t1₁^+t1(x)

=g_X^tm_m◦ · · · ◦g_X^t1₁◦g_X^tm_m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x)

=g_X^tm_m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x)

=x, g(−t1, . . . ,−t_m) =g_X^−tm

m ◦ · · · ◦g_X^−t₁¹(x)

=g_X^−tm

m ◦ · · · ◦g_X^−t₁¹◦g_X^tm

m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x)

=g_X^−tm

m ◦ · · · ◦g_X^−t₁¹◦g_X^t1₁◦ · · · ◦g_X^tm

m(x)

=g_X^−tm

m ◦ · · · ◦g_X^−t₂²◦g_X^t2₂◦ · · · ◦g_X^tm

m(x) ...

=g_X^−tm

m ◦g^t_X^m

m(x)

=x.

D’ou` (t1+t₁, . . . ,tm+t_m) ∈ Λ et (−t1, . . . ,−tm) ∈ Λ. Donc Λ est stable pour l’addition, l’inverse de(t1, . . . ,tm)est(−t1, . . . ,−tm)et par conse´quentΛest un sous- groupe deR^m. Montrons que Λest inde´pendant dex. Soit

Λ =

(t₁, . . . ,t_m)∈R^m:g(t₁, . . . ,t_m) =g^t_X^m_m◦ · · · ◦g^t_X¹₁(y) =y . Par la surjectivite´, on peut trouver(s1, . . . ,s_m)∈R^m tel que:

g^s_X^m

m◦ · · · ◦g^s_X¹₁(x) =y, Soit(t₁, . . . ,t_m)∈Λ. On a

g_X^tm_m◦ · · · ◦g^t_X¹₁(y) =y,

g^t_X^m_m◦ · · · ◦g^t_X¹₁◦g_X^sm_m◦ · · · ◦g_X^s1₁(x) =g_X^sm_m◦ · · · ◦g_X^s1₁(x), g^−s_X ^m+tm+sm

m ◦ · · · ◦g_X^−s₁^1+t1+s1(x) =x, g_X^tm_m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x) =x.

Par conse´quent, (t₁, . . . ,t_m) ∈Λ et doncΛ ne de´pend pas de x. Pour montrer que Λ est discret, on conside`re un voisinage V suffisamment petit du point (0, . . . ,0) et un voisinageW du pointx. D’apre`s a), l’applicationgest un diffe´omorphisme local, donc g:V→W, est bijective et par conse´quent aucun point deW\ {(0, . . . ,0)}n’est envoye´

surx; les points du sous-groupeΛ n’ont aucun point d’accumulation dansR^m. d) PuisqueΛest le noyau deg, il existe une surjection canonique

g:R^m/Λ→M, [(t1, . . . ,tm)]→g[(t1, . . . ,tm)] =g_X^tm_m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x). En effet, soient(t1, . . . ,tm)et(s1, . . . ,sm)tels que:

g[(t1, . . . ,tm)] =g[(s1, . . . ,sm)]. On a

g^t_X^m_m◦ · · · ◦g^t_X¹₁(x) =g^s_X^m_m◦ · · · ◦g^s_X¹₁(x), d’ou`

g_X^−s₁¹◦ · · · ◦g_X^−sm

m ◦g_X^tm

m◦ · · · ◦g_X^t1₁(x) =g_X^−s₁¹◦ · · · ◦g^−s_X ^m

m ◦g^s_X^m

m◦ · · · ◦g^s_X¹₁(x)

=g_X^−s₁¹◦ · · · ◦g^−s_Xm−1^m−1◦g_X^sm−1_m−1◦ · · · ◦g_X^s1₁(x) ...

=g_X^−s₁¹◦g_X^s1₁(x)

=x. CommeX1, . . . ,Xm sont commutatifs, alors

g^t_X^m_m^−sm◦ · · · ◦g_X^t1₁^−s1(x) =x, et d’apre`s ce qui pre´ce´de, on a

[(t1−s1, . . . ,t_m−s_m)] =0, [(t1, . . . ,tm)−(s1, . . . ,sm)] =0,

[(t1, . . . ,t_m)] = [(s1, . . . ,s_m)].

Par conse´quentgest un diffe´omorphime. Ceci ache`ve la de´monstration du the´ore`me.

Remarque. Le groupe stationnaireΛpeut s’e´crire sous la forme Λ =Ze1+· · ·+Zek, 1≤k ≤m,

ou`e1, . . . ,em sont des vecteurs line´airement inde´pendants. En ge´ne´ral, on montre (voir [3]) que tout sous-groupe discret deR^m peut s’e´crire sous cette forme.

2 Syste`mes Hamiltoniens comple`tement inte´grables

Supposons maintenant que le syste`me (1.3) s’e´crit sous la forme d’un champ de vecteurs Hamiltonien

x˙(t) =X_H(x(t)) =J∂H

∂x, x∈M, (2.1)

ou`H:M→Rest une fonction de classeᏯ^∞ appele´eHamiltonienetJ=J(x)est une matrice re´elle antisyme´trique ve´rifiantl’identite´ de Jacobi:

{{H,F},G}+{{F,G},H}+{{G,H},F}=0, ou`

{H,F}= ∂H

∂x,J∂F

∂x

=

i,j

Ji j

∂H

∂xi

∂F

∂xj

,

sont lescrochets de Poisson. En fait on montre que si

l

J_il∂J_{j k}

∂xl

+J_jl∂J_{k i}

∂xl

+J_{k l}∂J_{i j}

∂xl

=0, alorsJ satisfait a` l’identite´ de Jacobi.

Lemme. Le rang de la matriceJ est pair.

De´monstration. Soitλla valeur propre deJ associe´e au vecteur propreZ. On a JZ=λZ, Z=0,

et

Z^∗JZ=λZ^∗Z, Z^∗≡Z^t, d’ou`

λ=Z^∗JZ Z^∗Z. CommeJ=J etJ^t =−J, alors

Z^∗JZ=Z^tJZ=Z^tJZ= Z^tJZt

=Z^∗J^tZ=−Z^∗JZ,

ce qui implique que Z^∗JZ est soit nulle, soit imaginaire pur. Comme Z^∗Z est re´el, il s’ensuit que toutes les valeurs propres deJ sont soit nulles, soit imaginaire pures. Or

JZ=λZ,

donc si λ est une valeur propre, alors λ l’est e´galement. Par conse´quent, les valeurs propres (non nulles) deJ viennent par paires, d’ou` le lemme.

Rappelons qu’une fonction non constante F : M → R est dite inte´grale premie`re du syste`me (2.1) si F(x(t))est constante sur les trajectoires x(t). Dans le cas ou` F est diffe´rentiable, alors cette condition signifie que ˙F =0. Deux fonctionsF etGsont dites eninvolutionquand leur crochet{F,G}est nul.

Passons maintenant a` la de´monstration du the´ore`me d’Arnold-Liouville dont l’e´nonce´

exact est:

The´ore`me. Conside´rons le syste`me Hamiltonien (2.1) associe´ a` la fonction H sur la varie´te´ M de dimension m = 2n. On suppose que ce syste`me admet n inte´grales premie`resH1=H,H2, . . . ,Hnen involution c’est-a`-dire

{H_i,H_j}=0, 1≤i,j≤n, et fonctionnellement inde´pendantes c’est-a`-dire

dH1∧. . .∧dHn=0,

en tous les points d’un ouvert dense deM. Si les varie´te´s invariantes

M_c≡ n i=1

{x∈M:H_i(x) =c_i, c_i∈R},

sont compactes et connexes, alors elles sont diffe´omorphes au tore re´elRⁿ/re´seau.

De´monstration. Par hypothe`se la varie´te´M<sub>c</sub> est compacte et connexe. Donc d’apre`s le the´ore`me pre´ce´dent, il suffit de montrer qu’elle est diffe´rentiable, de dimension n et qu’elle est munie de n champs de vecteurs commutatifs. La diffe´rentiabilite´ de cette varie´te´ de´coule de l’inde´pendance des vecteursJ<sup>∂H</sup><sub>∂x</sub><sup>1</sup>, . . . ,J<sup>∂H</sup><sub>∂x</sub><sup>n</sup>.Comme m=2n, alors les inte´grales premie`resH_i(x1, . . . ,x_2n), 1≤i≤2n,sont des fonctions des variables x1, . . . ,xn,xn+1, . . . ,x2n.De`s lors,

dim{x∈M:H_i=c_i}=2n−1,

dim({x∈M:Hi =ci} ∩ {x∈M:Hj =cj}) =2n−2, i =j,

et donc dimM_c=n. SoientX_ietX_j, 1≤i,j ≤n, des champs de vecteurs diffe´rentiables (de classeᏯ^∞) surM, donc sur la varie´te´M_c aussi. De´finissons l’ope´rateur diffe´rentiel LX par

LX:Ꮿ^∞(Mc)→Ꮿ^∞(Mc),

avecF →LXF telle que:

LXF(x) = d dtF

g^t_X(x)

t=0

, x∈Mc. On a

LXiF ={F,Hi}, L_{X j}L_XiF ={{F,H_i},H_j},

et L_XiL_XjF−L_{X j}L_XiF ={{F,H_j},H_i} − {{F,H_i},H_j}

=− {{Hj,F},Hi} − {{F,Hi},Hj}

={{H_i,H_j},F},

en vertu de l’identite´ de Jacobi. OrH_i et H_j sont en involution, donc {H_i,H_j}=0 et par conse´quent

L_Xi,L_Xj

=0,ce qui de´montre le the´ore`me.

Une des conse´quences du the´ore`me d’Arnold-Liouville, est l’importante notion de com- ple`te inte´grabilite´ du syste`me (2.1). Nous allons distinguer deux cas:

a) 1^er cas: de´tJ=0. D’apre`s le lemme pre´ce´dent,m=2n.

De´finition. On dit que le syste`me (2.1) est comple`tement inte´grable s’il posse`de n inte´grales premie`resH1=H,H2, . . . ,Hnfonctionnellement inde´pendantes en involution telles que pour presque tous lesci∈R, les varie´te´s invariantes

n i=1

x∈R²ⁿ:H_i(x) =c_i

, (2.2)

sont compactes et connexes.

Remarque. D’apre`s le the´ore`me d’Arnold-Liouville, les varie´te´s (2.2) sont diffe´o- morphes aux tores re´els

Tⁿ=Rⁿ/reseau´

={(ϕ₁, . . . , ϕ_n) mod 2π}. En outre les flots g^t_X

i(x) de´finis par les champs de vecteursX_Hi,1≤i ≤n, sont des mouvements rectilignes. Ces flots de´terminent surTⁿ un mouvement quasi-pe´riodique, c’est-a`-dire en coordonne´es angulairesϕ≡(ϕ1, . . . , ϕ_n), on a

˙

ϕ=ω, ω=constante.

Les e´quations du proble`me sont inte´grables par quadratures.

b) 2<sup>`eme</sup> cas: de´tJ =0. Dans ce cas, on re´duit le proble`me a`m=2n+k et on cherche k inte´grales premie`resH_n+1, . . . ,H_n+k (fonctions de Casimir) telles que:

J∂Hn+i

∂x =0, 1≤i≤k.

Puis ce qui a e´te´ dit dansa) s’applique ici pour la varie´te´

k i=1

{x:H_n+i(x) =c_n+i}

∩R^m,

de dimensionm−k=2n. Si les meˆmes conditions sont remplies, alors les varie´te´s

n+k i=1

{x∈R^m:H_i(x) =c_i}, sont diffe´omorphes au tore re´el de dimensionn.

3 Application: le corps solide d’Euler

Les e´quations du mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un point fixe s’e´crivent, dans le cas d’Euler, sous la forme

M˙ =M∧Ω, (3.1)

ou` ∧ est le produit vectoriel dans R³,M = (m1,m2,m3) est le moment angulaire du solide, Ω = (m1/I1,m2/I2,m3/I3)est la vitesse angulaire, I1,I2 et I3 sont les moments d’inertie. Ici le point fixe est le centre de gravite´ du solide.

Conside´rons l’alge`bre de Lieso(3)des matrices antisyme´triques d’ordre trois et l’appli- cation

R³→so(3), a= (a1,a2,a3)→A=



 0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0



,

laquelle de´finit un isomorphisme entre les alge`bres de Lie R³,∧

et(so(3),[,])ou`

a∧b→[A,B] =AB−BA.

En utilisant cet isomorphisme, on peut ree´crire le syste`me (3.1) sous la forme

M˙ = [M,Ω], (3.2)

ou`

M= (Mi j)_1≤i,j≤3 ≡ miei ≡



 0 −m3 m2

m3 0 −m1

−m2 m1 0



∈so(3),

Ω = (Ω_{i j})_1≤i,j≤3≡ ω_ie_i≡



 0 −ω₃ ω₂

ω₃ 0 −ω₁

−ω₂ ω₁ 0



∈so(3).

En tenant compte du fait queM=IΩ,alors l’e´quation (3.2) devient M˙ = [M,ΛM],

ou`

ΛM= (Λ_{i j}M_{i j})_1≤i,j≤3 ≡

λ_im_ie_i ≡



 0 −λ₃m3 λ₂m2

λ₃m3 0 −λ₁m1

−λ₂m2 λ₁m1 0



, λ_i≡I⁻¹_i ,

ou sous forme explicite 





m˙1= (λ3−λ₂)m2m3, m˙2= (λ1−λ₃)m1m3, m˙3= (λ2−λ₁)m1m2,

(3.3)

ou encore sous forme d’un champ de vecteurs Hamiltonien x˙=J∂H

∂x, x= (m1,m2,m3)^t, avec

H=1 2

λ₁m²₁+λ₂m²₂+λ₃m²₃ , le Hamiltonien et

J=



 0 −m3 m2

m3 0 −m1

−m2 m1 0



∈so(3).

On a de´t J = 0, donc m = 2n+ k et m− k = rgJ. Ici m = 3, rgJ = 2 car J est antisyme´trique, donc n = k = 1. Pour l’e´tude de la comple`te inte´grabilite´ de ce syste`me, il nous faut donc trouver deux inte´grales premie`res. La premie`re est connue puisque c’estH1=H. Pour de´terminer la deuxie`me inte´grale premie`reH2, on proce`de comme suit: On sait queH2 est une fonction de Casimir et doit donc satisfaire a`

J∂H2

∂x =0,

c’est-a`-dire 

 0 −m3 m2

m3 0 −m1

−m2 m1 0









∂H2

∂m1

∂H2

∂m2

∂H2

∂m3



=



0 0 0



.

D’ou`

∂H2

∂m1

=m1, ∂H2

∂m2

=m2, ∂H2

∂m3

=m3, et par conse´quent

H2= 1 2

m²₁+m²₂+m²₃ . Nous avons re´duit le proble`me a`

x∈R³:H2(x) =c2

∩R³=

x∈R³:H2(x) =c2

.

Autrement dit, la varie´te´ re´duite est une sphe`re de dimension 2. Les conditions du the´ore`me d’Arnold-Liouville e´tant satisfaites, le syste`me pre´ce´dent est comple`tement inte´grable et le vecteurJ^∂H_∂x donne un flot sur une varie´te´

2 i=1

x∈R³:Hi(x) =ci

, ci∈R,

diffe´omorphe a` un tore re´el de dimension 1 c’est-a`-dire un cercle. Passons maintenant a`

la re´solution explicite. D’apre`s la 1<sup>ere`</sup> e´quation du syste`me (3.3), on a dm1

m2m3

= (λ3−λ₂)dt. (3.4)

Or

λ₁m²₁+λ₂m²₂+λ₃m²₃ =c1, m²₁+m²₂+m²₃ =c2, d’ou`

m2=±

c2λ₃−c1+ (λ1−λ₃)m²₁

λ₃−λ₂ , m3=±

c1−c2λ₂+ (λ2−λ₁)m²₁

λ₃−λ₂ .

En substituant ces expressions dans (3.4), on obtient une inte´grale elliptique _m1(t)

m1(0)

dm

(m²+a) (m²+b) =ct.

C’est l’inte´grale d’une diffe´rentielle holomorphe sur une courbe elliptique Ᏹ:w²=

z²+a z²+b , avec

a=c2λ₃−c1

λ₁−λ₃ , b=c1−c2λ₂

λ₂−λ₁ , c=

(λ₁−λ₃) (λ₂−λ₁).

Autrement dit, l’inte´gration s’effectue au moyen de fonctions elliptiques c’est-a`-dire des fonctions me´romorphes doublement pe´riodiques.

On trouvera de nombreux autres exemples de syste`mes Hamiltoniens comple`tement in- te´grables dans [10].

4 Appendice

Dans cet appendice, nous allons montrer brie`vement comment construire le flot g^t_X sur toute la varie´te´M. Pour plus de de´tail voir par exemple [2].

i) Construction de g^t_X pour t assez petit. Pour chaque point x ∈ M, on peut trouver un voisinage U(x) ⊂ M et un nombre re´el positif ε ≡ ε(x) tels que pour tout t ∈ ]−ε, ε[,l’e´quation (1.1) avec la condition initiale (1.2) admet une solution uniqueg^t_X(x) diffe´rentiable de´finie dansU(x)et ve´rifiant

g^t_X^+s(x) =g_X^t ◦g^s_X(x),

avect,s,t+s∈]−ε, ε[.L’applicationg_X^t est localement un diffe´omorphisme. Rappelons que le champ de vecteurs X est suppose´ diffe´rentiable (de classe Ꮿ^∞) et a` support compact K. Du recouvrement de K forme´ par des ouverts U(x), on peut extraire un sous-recouvrement fini (U_i), puisqueK est compact. De´signons par ε_i les nombres ε correspondants auxU_i et posons

ε₀=inf(ε_i), g_X^t (x) =x, x∈/K.

De`s lors, l’e´quation en question admet une solution uniqueg^t_XsurM×]−ε₀, ε₀[ve´rifiant la relation du groupe g_X^t+s = g_X^t ◦g^s_X, l’inverse de g_X^t e´tant g_X^−t et donc g^t_X est un diffe´omorphisme pourtsuffisamment petit.

ii) Construction de g^t_X pour tout t ∈ R. D’apre`s i), il suffit de construire g<sup>t</sup><sub>X</sub> pour t∈]−∞,−ε<sub>0</sub>[∪]ε0,∞[.Nous allons voir que les applicationsg<sub>X</sub><sup>t</sup> se de´finissent d’apre`s la loi de multiplication du groupe. Notons quet peut s’e´crire sous la forme

t=kε₀ 2 +r, avec k∈Zetr∈

0,^ε₂⁰

.Posons, pourt∈R^∗+, g_X^t =g

ε0 2

X ◦ · · · ◦g

ε0 2

!" X# k-fois

◦g_X^r,

et pourt∈R^∗₋,

g_X^t =g⁻

ε0 2

X ◦ · · · ◦g⁻

ε0 2

!" X # k-fois

◦g^r_X.

Les diffe´omorphismesg^±

ε0 2

X etg^r_X ont e´te´ de´finis dans i), et on en de´duit que pour tout re´elt,g^t_X est un diffe´omorphisme de´fini globalement surM.

Je remercie un referee anonyme pour ses suggestions et ses commentaires e´clairants.

Re´fe´rences

[1] Adler, M., van Moerbeke, P.: Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves.Adv.

Math.38 (1980), 267–317.

[2] Arnold, V.I.:Ordinary differential equations. Springer-Textbook, 3rd ed. 1992.

[3] Arnold, V.I.:Mathematical methods in classical mechanics. Springer-Verlag, 2nd ed. 1989.

[4] Dubrovin, B.A., Krichever, I.M., Novikov, S.P.:Modern geometry. Methods and applications. Parts I, II, Springer-Verlag, 1984, 1985.

[5] Kozlov, V.V.:Symmetries, topology and resonances in Hamiltonian mechanics. A series of modern surveys in mathematics, Springer-Verlag, 1996.

[6] Lesfari, A.: Une approche syste´matique a` la re´solution du corps solide de Kowalewski.C.R. Acad. Sc.

Paris, t. 302, se´rie I (1986), 347–350.

[7] Lesfari, A.: Abelian surfaces and Kowalewski’s top.Ann. Scient. E´c. Norm. Sup., Paris, 4^ese´rie, t.21 (1988), 193–223.

[8] Lesfari, A.: An affine surface that can be completed by a smooth curve. Result. Math.35 (1999), 107–118.

[9] Lesfari A.: Geodesic flow onSO(4), Kac-Moody Lie algebra and singularities in the complex t-plane.

Publ. Mat., Barc.43, N^◦1 (1999), 261–279.

[10] Lesfari, A.: Completely integrable systems: Jacobi’s heritage.J. Geom. Phys.31 (1999), 265–286.

[11] Lesfari, A.: Une me´thode de compactification de varie´te´s lie´es aux syste`mes dynamiques. Les cahiers de la recherche, Rectorat-Universite´ Hassan II-Aı¨n Chock, Casablanca, Maroc, Vol. I, N^◦1 (1999), 147–157.

[12] Lesfari, A.: The problem of the motion of a solid in an ideal fluid. Integration of the Clebsch’s case.

NoDEA, Nonlinear differ. equ. appl.8, N^◦1 (2001), 1–13.

[13] Lesfari, A.: The generalized He´non-Heiles system, Abelian surfaces and algebraic complete integrability.

Rep. Math. Phys.47, N^◦1 (2001), 9–20.

[14] Lesfari, A.: A new class of integrable systems.Arch. Math.77 (2001), 347–353.

[15] Mumford, D.:Tata lectures on theta II. Progress in Math., Birkha¨user, Boston 1982.

A. Lesfari

Universite´ Chouaib Doukkali Faculte´ des Sciences

De´partement de Mathe´matiques B.P. 20, El-Jadida, Morocco e-mail:lesfari@ucd.ac.ma