Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 11¨ Grundlagen der Algebra & Computeralgebra 21.01.2009
Aufgabe 1: (Methoden zur Berechnung der Resultanten)
In der Vorlesung wurde die Resultante auf zwei Weisen berechnet. Setzen Sie beide Methoden in Mathematica-Prozeduren um:
1. Implementieren Sie die Berechnung als Determinante der Sylvestermatrix.
2. Implementieren Sie eine zweite Version mit den Rekursionsformeln aus Satz 7.38 der Vorle- sung. Arbeiten Sie dabei iterativ, nicht wie in der Vorlesung rekursiv.
3. F¨uhren Sie einen Laufzeitvergleich mit einigen geeigneten Beispielpolynomen durch.
(7 Punkte)
Aufgabe 2: (Minimalpolynome und Resultanten)
(a) Beweisen Sie: Sind α und β zwei algebraische Zahlen mit den Minimalpolynomen p(x) und q(x), so gilt folgende Tabelle:
Zahl Nullstellenpolynom α+β res(p(x−y), q(y), y) α−β res(p(x+y), q(y), y) α/β res(p(x·y), q(y), y)
√n
α res(p(y), xn−y , y) Finden Sie ¨ahnlich ein Nullstellenpolynom f¨urα·β.
Achtung:p(x /y) ist kein Polynom, daher ist res(p(x /y), q(y), y) nicht definiert! Man braucht also noch einen Trick.
(b) Bestimmen Sie nun unter Verwendung von (a) das Minimalpolynom von
√5
2−
√3
7
√4
3.
(9 Punkte)
Abgabetermin:bis sp¨atestens Mittwoch, 28.01.2009, 10.15 Uhr in der ¨Ubung.
