An der Stelle 1 hat f einen Pol

12M1 Polstellen und Asymptoten 2006/07

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Sei f eine gebrochenrationale Funktion mit ( ) ( )

( ) f x p x

= q x .

Hier gehören nur solche x-Werte zur Definitionsmenge D_f, für die q x( )≠0 ist. Hat ( )

q x den Grad m, so kann es maximal m x-Werte geben, für welche f nicht definiert ist.

Ist x₁ eine Nullstelle des Nenner [q x( ₁)=0], aber für den Zähler gilt p x( )₁ ≠0:

| f x( ) |→ +∞ für x→x₁.

Man nennt dann x₁ eine Polstelle und sagt: Die Funktion f hat an der Stelle x₁ einen Pol.

Beispiel 1: (Pol mit und ohne Vorzeichenwechsel):

(a) ( ) ¹

f x 1

= x

− . An der Stelle 1 hat f einen Pol.

Für x→1, x>1 gilt f x( )→+∞. für x→1, x<1 gilt f x( )→−∞.

Hier: f hat Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei 1.

(b) 1 ₂

( ) :

( 2) g x = x

+

g hat an der Stelle −2 einen Pol ohne Vorzeichenwechsel.

(c) ₂ 1_{3 2} 1

( ) (1 )

x x

h x x x x x

+ +

= =

− −

h hat zwei Polstellen x₁=0 und x₂ =1. x1 Pol ohne Vorzeichenwechsel, x₂ Pol mit Vorzeichenwechsel.

[Überlegung immer wie im Beispiel 1(a), d.h. „links“

und „rechts“ neben der Polstelle Funktionswerte berechnen und dadurch einen Vorzeichenwechsel erkennen.]

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Beispiel 2: (keine Polstelle):

2

( ) 1 , \{1; 1}

1 ^f

f x x D

x

= − = −

− ¡ .

Aber durch kürzen lässt die gebrochenrationale Funktion umschreiben:

2

1 1 1

( ) 1 ( 1)( 1) 1

x x

f x x x x x

− −

= = =

− + − + mit dem

Ausgangsdefintionsbereich D_f.

1

lim ( ) 1 2

x f x

⇒ → = d.h. an der Stelle x₁ =1hat f keinen Pol. Jedoch der gehört der Punkt _1|¹

P 2

 

  nicht zum Graph (da 1∉D_f ist).

An der Stelle x₂ = −1 hat f einen Pol mit Vorzeichenwechsel.

Lemma (ohne Beweis):

Ist x₁ Nullstelle des Nenners und auch des Zählers, lässt sich stets der Linearfaktor x−x₁ im Nenner und Zähler ausklammern (Polynomdivision) und kürzen.

Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion für x→±∞

Anders als bei ganzrationalen Funktionen kann sich das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion dabei zunehmend der x-Achse (oder einer anderen Geraden) nähern. Eine solche Gerade heißt Asymptote.

Existiert eine lineare Funktion (=Gerade) l, so dass lim[ ( ) ( )] 0

x f x l x

→∞ − = oder lim[ ( ) ( )] 0

x f x l x

→−∞ − =

gilt, so nennt man das Schaubild von l eine Asymptote des Schaubildes von f . Daraus folgt: wenn x₁ eine Polstelle ist, dann ist die Gerade x=x₁ eine senkrechte Asymptote.

Satz: Das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion f mit

0 1

0 1

( ) ... , 0, 0

...

n n

n m

m m

a a x a x

f x a b

b b x b x

+ + +

= ≠ ≠

+ + + hat im Falle:

n<m die x-Achse als Asymptote,

n=m die Gerade mit der Gleichung ⁿ

m

y a

=b als waagrechte

Asymptote,

1

n= +m eine schiefe Asymptote, die man durch Polynomdivision erhält.