go.cfta.b3.CI )

⑤

Im Folyendlu

^{Sind " Karren"}

go.cfta.b3.CI )

^stets

^stick

^weise

stetig ^differ enzierbwgemeiut

^.

Det

^{. Eine}

go.ch/ossenekurvegrheifbtnuk-homotop

^{in UE Cl, wenn sie sich}

_Steny

in U

auf

^einen

Punktzusammen ziehenlapt

^{. D. h. es}

gibt

^Fec

⁽

^{Ion]xtaib], u}

⁾

^unit

F (^o,t) ⁼ ptt^{) und Fln,t) = Zo VtC-tails] sowie Fls}, a)⁼Fls

,b) Ksc-I0,73 .

• Zwei

kurrengn.gr

^{, :[ 0173 → UE E} mit identichen

Rand punk

^ten

heifers

jy.lt

^{) , ten}

homo top

^{in U}, wenn die

Verknirpfung ⁸

^{:[923→ U .}

^8k

⁾

Ly

.cz^-t) , t^>n

null^-homo

top

^ist.

(

^D.h. y^. Last sich bei

festers

^Rand

^punk

^{ten in U}

stekg

^{in ya}

irberfinhren )

• Eine

zusammenhoingeude Menge

^U

^heipt einfachzusammenhangeud

^{, wenn}

je

^de

geschlossene ^kurre

^{in U null-homo}

^top

^ist.

° Zwei

geschlosseue

^kurven go^,y^{, hi}

Ben frei

^homo

top

^{in U} , wenn sie sich in U

stetrg

^ineinandv

^deform

^{iwen Lassen. D.h. es existent FEC ([on]xEa,b], u}

⁾

so dass tt : Flo,t)⁼

jolt

^{) n FCr,t) =} g.^{(t) and} the[0,7]^: Fcs,o)⁼ F(^s_,7).

• Eine

zusammenhoingende

^,

^offline

^{, nicht here}

Menge ^{heipt Gebiet}

^.

11111111111

11111111111 _Ill

rn

" ^"

""

"

" "_"

""

"

"

"

,

"

"

_"

÷"

^"""

_"

" _,

"

"

782

¢

^T

,

11 _g.

_{d y}. sind

1/11

11

1/11/11

1/11/11

8

^{, null-homo}

top homotop

^.

④

Det ^1st y

^{eine ans}

g

^{; E C}

"

( ta

;,b

;]

,

E

) zusammengesetze ^Karve

^{, dann}

^definieren

wir i

f ^fee

^{, dz ÷}

^? Jab

ⁱ

^ftp..lt

⁾

^{) jilt}

^{)dt =:}

¥

^,

^f-

^{G) dt .}

Lemmai ⁽

^standard

abscliatzung ⁾

Far

jede

kurve g ^{: to,n] -s U E E und}

je

^de

^integrins

^{bare Funklion}

fill

^{-s Cl}

gilt

^:

If ^f-

^Hdz

^/

^E

sz.gg/fLzt//ljrltI/dt-aLoingidvkwregBeweis:-/ffLHdz/

^±

^{! Ifl}

^r't

^'ll

^.

^{lilt 't}

^{d't e}

^gyp

^...,

^{I flrlt 'll}

^.

^{to ljlttldt}

_II^'

satzvoncanchy-f-oursat-iseiuc.CI often

^und

f

^:U-s

^{k holo} morph

^.

(

ⁱ

) Sind

_g,, y,

homotope ^Karren

^{in U}_,

^dann

^ist

f. ^{f- Hdz}

⁼

!

^,

^{f- Hdz}

:::÷:÷:÷:÷÷::::÷::÷::÷

:: ^{F (}

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^{! ! fly df}

^eine

holomorphic ^Stamm funk

^lion ,

d.h.

F'

Lz) ⁼

f-

^Let

^the

^{U .}

37

Bem

^{.: .}

Dies

ist ^auch als ,,

Cauchy Integra

^{Gatz" bekaunt.}

•

Der

weseuthiche Uuterschied zum KoroUw _ans dem

Salz

^{von Stokes ist}_, class hier nur

Differeuzierbwkeit

^{und nicht C"}

gefordvt

^wird.

(

^Satz

far

^{C" ist von}

Cauchy

, ohne

Stetigkeit

^von

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^{' von}

^G

^oursat.

)

•

flz

^):=

Jgflzsdz

^cut

^Lang

^{einer bet. Karve}

^y

^{:[on] → U}

^wit

glo

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^y

^{th--Z .}

Wegeh

^{Ci ) ist dies}

wohldefiuiert

^{, wenn U ein}

_fach

zusammenhoingend

^ist.

Beweis

^{von Liii):}

Wesen

"

dy

⁼

! =/

^{Jlt) dt} .

It [

^{Ln-t)z t t Leth)}

)

^{at =}

§

^{hat =L}

2-th

und Flzth

)

^: Flt)t

) f

^{4) dy}

gilt

^:

Z F (zth)^{- F Cz)}

I

h

-

flu /

^:

^{I I} ! ^"f4ldf

^-

^{f HE}

"

dg /

=

IT

,

I ! ^{I flout )}

^-

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^at

/

^

±

I

, sup-

I flu

^)-

flat

^.

) ^ljltlldt

we

Built

⁾ -o

h^-so

Large

^{dolure =Ihl}

fir

= sup

I flu

^)-

^f-

⁴⁾

^I

^{→ O}

grade Unbinding

-

"

WE

Built

⁾

D

Z (^.

Bsp

^.: .

Haupt zweig

^des

Logarithms

^{: Ln: E-→ E , Lutz):}

=/ _} d)

^ist

holomorph auf

^E-

7

unit Lu

'Lz) ^-.

Iz

^.

Dawit

gilt

^{Lutz) =}

,

!z

,

d

}

^.-

¥

,

ft

^t

! ^Hy

^{.- lur t}

^{It ireiid def}

^{= Lur t}

^if

,

,

,

y I

^{,-- .}

;

Dawit

gilt

^{wie erwartet e" '" =}

clear ^till

^{= re.-e ,} z .

Eben

falls

Inverse der

Exp

^.

function

sind

^{die , ,}

Nebeutweige

^"

S

des

Komp

^teen

Log

^{.i 2- ↳ ZitiKt Lutz) , ke I.}