7. Übungsblatt
Algorithmische Graphentheorie
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Schwarz-Weiss
Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier eine Kurve, die wieder an ihren Anfangspunkt zu- rückgeht (siehe Bild). Diese Kurve darf endlich (aber nicht unendlich) viele Schnitt- punkte mit sich selbst aufweisen, es können auch mehr als zwei Kurvenstücke einen Schnittpunkt kreuzen.
Zeigen Sie, dass die entstehenden Gebiete so mit den Farben Schwarz und Weiß gefärbt werden können, dass keine zwei benachbarten Gebiete dieselbe Farbe haben (zwei Gebiete sind genau dann benachbart, wenn ihre Schnittmenge einen Punkt, der kein Kreuzungspunkt ist, enthält).
Aufgabe 2: Boyer-Myrvold
Überprüfen Sie den folgenden Graph mit dem Boyer-Myrvold-Algorithmus auf Pla- narität. Geben Sie entweder die planare Einbettung oder den Kuratowski-Minor an, den der Algorithmus ausgibt.
Abbildung 1: Ein DFS-Baum mit DFI-Werten als Knotennamen.
Aufgabe 3: Außerplanaritätstest
Ein Graph heißt außerplanar, falls er eine planare Einbettung hat, dessen äußere Fläche jeden Knoten enthält.
Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der einen Graph G auf Außerplanarität überprüft. Tipp: Alles aus der Vorlesung darf benutzt werden.
Aufgabe 4: Verschränkte Spannbäume
Gegeben sei eine planare Einbettung G, ein Spannbaum T von G und damit auch die MengeN :=E(G)−E(T) von Nichtbaumkanten.
(i) Beweisen Sie, dass die zu N dualen Kanten N∗ einen SpannbaumT0 im Dual- graphG∗ bilden (d.h., T0 spannt die Flächen von Gauf).
(ii) Sei jede Fläche vonGmit einem Gewicht versehen. Der eindeutige Kreis inG, den eine Nichtbaumkante vw mit T schließt, heißt fundamentaler Kreis Cvw. Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der für alle Kantenvw ∈ N jeweils die Summe der Gewichte der vonCvw eingeschlossen Flächen berechnet.
(iii) Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der für alle Kanten vw ∈ N die Anzahl der vonCvw strikt eingeschlossenen Knoten berechnet.
