TARTU ÜLIKOOL
MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND RAKENDUSMATEMAATIKA INSTITUUT TEOREETILISE MEHAANIKA ÕPPETOOL
Tiina Tõkke
Elastse silindrilise kooriku optimiseerimine
Magistritöö
Juhendaja Jaan Lellep, prof., füüs.-mat. dokt.
Tartu 2005
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
2
Sisukord
Sissejuhatus ...3
§ 1. Silindrilise kooriku põhiseosed...4
§ 2. Elastne tükiti konstantse paksu sega silindriline koorik ...6
§ 3. Praoga elastne silindriline koorik ...18
§ 4. Praoga kooriku optimiseerimine ...27
Kasutatud kirjandus ...41
Summary ...42
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
3
Sissejuhatus
Silindrilised koorikud on konstruktsioonielemendid, mis leiavad laialdast rakendamist praktikas. Silindriliste kooriku tena võime kujutleda vee- ja gaasitrassi torusid, samuti su rvemahutite külgpinda. Silindrilised koorikud on ka rakettide kered. Seoses laia rakendusega on muutunud aktuaalseks silindriliste koorikute käitumise uurimine defektide (pragude) tekkimisel ning pragudega koorikute optimiseerimine.
Käesolevas töös käsitletakse ringsilindrilise telgsümmeetriliselt koormatud kooriku painet elastse materjali korral.
Esimeses paragrahvis tuuakse ringsilindrilise kooriku tasakaaluvõrrandid, arvestades koormuse telgsümmeetrilisust. Selliseks koormuseks võib olla näiteks välisrõhk.
Samuti tuuakse kooriku deformatsioon i komponendid.
Teises paragrahvis vaadeldakse elastset ideaalselt kahekihilisest materjalist silindrilist koorikut, mille kand ev kiht on tükiti konstantse paksusega. Tuletatakse selle kooriku painde võrrand ning leitakse vabale toetusele vastavad integreerimiskonstandid, arvestades tükiti konstantsest paksusest tulenevaid tingimusi.
Paragrahvis kolm uuritakse praoga elastset tükiti konstantse paksusega id eaalselt kahekihilist silindrilist koorikut. Pragu asub kandvas kihis paksuse muutumise kohas.
Ka praoga juhul leitakse vabale toetusele vastav painde võrrand .
Praoga koorikuga tegeletakse edasi ka neljandas paragrahvis. Seal ann ame ette integraalse läbipainde ja leiame optimaalse kihi paksuse muutumise koha, kasutades paragrahvis kolm saadud konstantide avaldisi. Optimaalse projekti all mõistetakse miinimumkaaluga astmelist koorikut.
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
4
§ 1. Silindrilise kooriku põhiseosed
Vaatleme elastsest materjalist ringsilindrilist, telgsümmeetriliselt koormatud koorikut.
Punkti asukoha määramiseks silindrilises koorikus kasutame koordinaate x ja φ, ku sjuures x-telg suundugu paralleelselt kooriku moodustajaga (joon. 1.a). Eraldame ringsilindrilisest koorikust elemendi kahe moodustajasihilise ja kahe moodustajaga risti võetud p õiklõikega, nii nagu n äid atud joonisel 1.b.
Võib n äidata (vt. [3], [4], [6], [12] ja [13]), et telgsümmeetrilise koormuse korral on kooriku tasakaaluvõrrandid järgmisel kujul:
dNx dx 0, dQx 1
N p
dx R , (1)
dMx dx Q.
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
5
Selle süsteemi teise ja kolmanda võrrandi võime ühendada järgmiseks võrrandiks:
2 x 2
d M 1
N p
dx R .
Siin w on kooriku seina keskpinna siire radiaalsuunas, Mx - paindemoment, N - tangentsiaalsuunaline membraanjõud, p – jaotatud koormuse intenstiivsus ning R – kooriku raadius. Saime tasakaaluvõrrandid kujul
,
.
x
2 x 2
dN 0 dx d M 1
N p
dx R
(2)
Deformatsiooni kiiruse komponentide leidmiseks kasutame virtuaalkiiruste printsiipi, mille leiame pea igast mehaanikaõpikust, s.h ka raamatutest [3], [4], [6] ja [10],
D Aext,
ku s D on sisejõudud e töö ja Aext välisjõudude töö.
Läh tudes tasakaaluvõrranditest jõu ame ringsilindrilise telgsümmeetriliselt koormatud kooriku deformatsiooni komponen tideni järgmisel kujul:
, ,
.
x
2
x 2
ε du dx ε w
R κ d w
dx
(3)
Erinevatel viisidel on samade tulemusteni jõutud ka raamatutes [3], [6] ja [13].
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
6
§ 2. Elastne tükiti konstantse paksusega silindriline koorik
Vaatleme ideaalselt kahekihilist silindrilist koorikut pikkusega 2l, mille kandva kihi paksus t on tükiti konstantne. Paksus muutub kohal xb. Valime koordinaatide alguspunkti kooriku keskele. Siis
0 1
,
, .
kui 0 x b, kui b x t t
t l
Ettekujutuse lihtsustamiseks vaatame joonist 1, millel on kujutatud kirjeldatud kooriku sein.
Joon. 2. Tükiti konstantse paksusega silindrilise kooriku sein
Läh eme ü le dimensioonita suurustele. Võttes x, b ja W
l l w H
, saame
suuruse
* j
t
t , kus t* on võrd luskooriku paksus, seeg a
0 1
, 1.
, 0 ,
j
Läh tume silindrilise kooriku tasakaaluvõrrandist (2) ja deformatsiooni komponentidest (3). Hooke´i seaduse kohaselt (vt. [13] ja [14])
2 2
2 ,
x , N EtW
R M Dd W
dx
ku s
t0 t0
b l x
0
t1
t1
t1 t1
H
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
7
2
2 .
2(1 )
D EH t
v
Siin R on kooriku raadius, H - kooriku paksus, p – koorikule rakendatav koormus, l – pool kooriku pikkusest, E – Youngi moodul, ν – Poissoni moodul, D – jäikustegur.
Asetame nüüd toodud seosed tasakaaluvõrrandisse
4
4 2 2
d W W
D Et p
dx R
.
Korrutades viimase võrrandi mõlemaid pooli –1-ga ning kasu tades seoseid ja
W w H x l, saame tulemuseks võrrandi
3 4
2 4 4 2 2
2(1 )
EH t d w EHt w p v l d R
,
millest peale suurusega
4 2
3
*
2 (1 )
0
j
l v
EH t
võrrandi mõlemate poolte läbikorrutamist ja
taandamist jääb järele
4 2 4 2
2 2 3
*
(1 ) 2 (1 ) 1
IV 4
j
l v l v
w w p
R H EH t
.
Täh istades viimases
4 2
4
2 2
4 2
3
*
(1 )
:
2 (1 )
: ,
l v ,
a R H
l v
q p
EH t
saame elastse silindrilise kooriku painde võrrandi 4 4
IV
j
w a w q
. (4)
Võrrandi (4) üldlahend avaldub 1) p iirkonnas
0, kujul0 a ( 1cos 2sin ) a ( 3cos 4sin )
ww e C aC a e C a C a , 2) p iirkonnas
,1 kujul1 a ( 1cos 2sin ) a ( 3cos 4sin )
w w e B aB a e B aB a ,
ku s w0 ja w1 on võrrandi (4) erilahendid vastavates piirkondades ning C1,.., C4 ja B1, .., B4 on kooriku ääretingimustest sõltuvad integreerimiskonstandid.
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
8
Vaatleme mõlemast otsast vabalt toetatud koorikut. Kooriku paksuse muutu mise kohal peavad kehtima järgmised pidevuse tingimused :
w( )
0, (5)
w( )
0, (6)
M( )
0, (7)
M( )
0. (8)Nurksulgudes tähistatakse siin vastava suuruse hüpet kohal , s.t.
lim ( ) lim ( )y y y
,
ning M on moment, mille võib esitada seosena
2 2
2 2
2(1EH t) d W
M v dx
. Võttes
2
2 2
0
2EH 1 , kus W
m w w
L v H
, saame ting imuse (7) pann a kirja
w( )
0ehk
0 w ( ) 1 w( )
. (9)
Tingimus (8) on samaväärne seosega
0 w ( ) 1 w ( )
. (10)
Vaba toetuse korral kehtivad rajatingimused (0) 0
w , (11)
(1) 0
w , (12)
(1) 0
w , (13)
(0) 0 m .
Viiman e tingimus on samaväärne nõudeg a (0) 0
w . (14)
Edaspidi läheb meil vaja läbipainde esimest, teist ja kolmandat tuletist. Leiame need
0 1 2 3 4
1 2 2 1 4 3 3 4
2
2 1 4 3
3
2 1 1 2
( cos sin ) ( cos sin ),
( ) cos ( )sin ( )cos ( )sin ) ,
2 ( cos sin ) ( cos sin ) ,
2 ( ) cos ( )
a a
a a
a a
a
w w e C a C a e C a C a
w a e C C a C C a e C C a C C a
w a e C a C a e C a C a
w a e C C a C C
sina
ea
(C3C4) cosa(C4C3) sina) .
(15)
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
9
Raja- ja pidevuse tingimused (5), (6), (9) - (14) annavad meile peale sarnaste liikmete koondamist ja suuruse a0 või selle kordsetega vastava võrrandi mõlemate poolte läbijagamist ning mõningate elementaarsete teisenduste tegemist järg mise võrrandisüsteemi:
0 1 2 3 4 1 1 2
3 4
( cos sin ) ( cos sin ) ( cos sin )
( cos sin ),
a a a
a
w e C a C a e C a C a w e B a B a
e B a B a
(16)
1 2 2 1 4 3 3 4
1 2 2 1 4 3 3 4
( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin )
( ) cos ( )sin ( ) cos ( ) sin ) ,
a a
a a
e C C a C C a e C C a C C a
e B B a B B a e B B a B B a
(17)
0 2 1 4 3
1 2 1 4 3
( cos sin ) ( cos sin )
( cos sin ) ( cos sin ) ,
a a
a a
e C a C a e C a C a
e B a a e B a B a
(18)
0 2 1 1 2 3 4 4 3
1 2 1 1 2 3 4 4 3
( ) cos ( )sin ( ) cos ( ) sin )
( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ) ,
a a
a a
e C C a C C a e C C a C C a
e B B a B B a e B B a B B a
(19)
1 2 3 4 0,
C C C C (20)
1 a( 1cos 2sin ) a( 3cos 4sin ) 0,
w e B aB a e B aB a (21)
2 1 4 3
( cos sin ) ( cos sin ) 0,
a a
e B a a e B aB a (22)
1 2 3 4 0,
C C C C
(23)
Teg emist on kaheksast võrrandist koosneva lineaarse võrrandisüsteemiga, mis sisaldab 8 tundmatut konstanti B1,...,B C4, 1,...,C4. Lahendame süsteemi ja määrame konstandid.
Süsteemi lahend amist alustame võrranditest (20) ja (23). Liites nende võrrandite vastavad pooled omavahel n ing koondades sarnased liid etavad, saame tulemuseks seose
2 4
C C . (24)
Asetades saadud seose (24) võrrandisse (20), jääb peale koondamist kehtima võrdus
1 3
C C . (25)
Vaatleme eraldi ka võrrandeid (21) ja (22). Korrutame neist esimest suurusega cosa ja teist suurusega sina, seejärel liidame võrrandite vastavad pooled omavahel.
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
10
2 2
1 1 2 3 4
2 2
2 1 4 3
cos ( cos sin cos ) ( cos sin cos )
( sin cos sin ) ( sin cos sin ) 0
a a
a a
w a e B a B a a e B a B a a
e B a a B a e B a a B a
Koondades saadud võrrandis sarnased liidetavad ja kasutades trigonomeetriliste funktsioonide elementaarseid teisendamisvalemeid, saame viimasest võrrandist
1cos a( 1cos 2 2sin 2 ) a 3 0 w ae B aB a e B ,
millest peale suu rusega ea 0 võrrandi poolte läbikorrutamist saame avaldada B3
2
3 1 acos a( 1cos 2 2sin 2 )
B w e a e B aB a . (26)
Nüüd korrutame võrrandit (21) sina -gaja võrrandit (22) cosa -ganing lahutame esimesest võrrandist teise. Analoogselt eelmisega, kasutades trigonomeetrilisi teisendusi ja koondamist, saame avaldada suuruse B4
2
4 1 asin a( 1sin 2 2cos 2 )
B w e ae B aB a . (27)
Kasutad es seoseid (24) ja (25) ning seejärel koondades sarnased liidetavad, saame võrrandid (16) – (19) lihtsamal kujul
0 1 2 1 1 2
3 4
( ) cos ( ) sin ( cos sin )
( cos sin ),
a a a a a
a
w C e e a C e e a w e B a B a
e B a B a
(28)
1 2
1 2 3
4
( ) cos ( )sin ( ) cos ( ) sin
cos sin cos sin cos sin
cos sin ,
a a a a a a a a
a a
C e e a e e a C e e a e e a
e B a a B a a e B a a
B a a
(29)
0 1 2 1 2 1
4 3
( )sin ( ) cos ( cos sin )
( cos sin ) ,
a a a a a
a
C e e a C e e a e B a a
e B a B a
(30)
0 1 2
1 1 2 3
4
( )cos ( )sin ( )cos ( )sin
sin cos cos sin cos sin
cos sin .
a a a a a a a a
a a
C e e a e e a C e e a e e ab
e B a a B a a e B a a
B a a
(31)
Edasi teisendame võrrandeid (28) – (31), asendades sinna B3 ja B4 avaldised (26) ja (27). Peale mahukat teisendamist saame n imetatud võrrandid järgmisel kuju l:
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
11
(1 )
0 1 2 1
( 2 ) ( 2 )
1 2
( ) cos ( )sin 1 cos (1 )
cos cos (2 ) sin sin (2 )
a a a a a
a a a a
w C e e a C e e a w e a
B e a e a B e a e a
1 2
( 2 ) 1
(2 ) 2
(1 ) 1
( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin
(cos sin ) cos (2 ) sin (2 )
(cos sin ) cos (2 ) sin (2 )
cos (1 ) sin (1 )
a a a a a a a a
a a
a a
a
C e e a e e a C e e a e e a
B e a a e a a
B e a a e a a
w e a a
(1 )
0 1 2 1 1
( 2 ) (2 )
1 2
( ) sin ( ) cos sin (1 )
sin sin (2 ) cos cos (2 )
a a a a a
a a a a
C e e a C e e a w e a
B e a e a B e a e a
0 1 2
( 2 )
1 1
( 2 ) 2
(1 ) 1
( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin
(cos sin ) cos (2 ) sin (2 )
(cos sin ) cos (2 ) sin (2 )
cos (1 ) sin (
a a a a a a a a
a a
a a
a
C e e a e e a C e e a e e ab
B e a a e a a
B e a a e a a
w e a a
1)
Ülevaatlikkuse ja lühiduse mõttes tähistame
: (1 ),
: (2 ),
f a g a
(32)
siis saame viimasena toodud võrrandid panna kirja
0 1 2 1
1 2
( ) cos ( ) sin 1 cos
cos cos sin sin
a a a a f
a g a g
w C e e a C e e a w e f
B e a e g B e a e g
(33)
1 2
1
2 1
( ) cos ( )sin ( )cos ( )sin
(cos sin ) cos sin
(cos sin ) cos sin cos sin
a a a a a a a a
a g
a g f
C e e a e e a C e e a e e a
B e a a e g g
B e a a e g g w e f f
(34)
0 1 2 1 1
2 1
( ) sin ( ) cos sin sin
cos cos sin
a a a a a g
a g f
C e e a C e e a B e a e g
B e a e g w e f
(35)
0 1 2
1 1 2
1
( )cos ( )sin ( )cos ( )sin
(cos sin ) cos sin (cos sin ) cos sin
cos sin
a a a a a a a a
a g a g
f
C e e a e e a C e e a e e ab
B e a a e g g B e a a e g g
w e f f
(36)
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
12
Võrrandid (33) – (36) annavad meile nelja tundmatuga C C B B1, 2, 1, 2 lin eaarvõrrandisüsteemi. Lahendamist alustame võrrandist (33). Jag ame võrrandi (33) mõlemaid pooli konstandi C1kordajaga (ea ea)cosa 0 ning avaldame C1
1 1 2 2
0 1
cos cos sin sin sin ( )
( ) cos ( ) cos ( ) cos
1 cos
( ) cos .
a g a g a a
a a a a a a
f
a a
e a e g e a e g a e e
C B B C
e e a e e a e e a
w w e f
e e a
Täh istades
1
2
3
0 1
4
cos cos
: ,
( ) cos
sin sin
: ,
( ) cos
( ) sin
: ,
( ) cos
1 cos
: ( ) cos
a g
a a
a g
a a
a a
a a
f
a a
e a e g
m e e a
e a e g
m e e a
e e a
m e e a
w w e f
m e e a
(37)
saame C1 avaldise
1 1 1 2 2 3 2 4
C m B m B m C m . (38)
Järgmisena asetame seose (38) võrrandisse (35) ja koondame sarnased liid etavad
1 1 0 1
2 2 0 1
2 3 0 0 4 0 1 1
( )sin sin sin
( )sin cos cos
( )sin ( ) cos ( )sin sin 0
a a a g
a a a g
a a a a a a f
B m e e a e a e g
B m e e a e a e g
C m e e a e e a m e e a w e f
Viimasest võrrandist avald ame C2
1 0 1
2 1
3 0 0
2 0 1
2
3 0 0
4 0 1 1
3 0
( ) sin sin sin
( ) sin ( ) cos
sin ( ) cos cos
( ) sin ( ) cos
sin ( ) sin
a a a g
a a a a
a a a g
a a a a
a a f
m e e a e a e g
C B
m e e a e e a
m a e e e a e g
B m e e a e e a
m a e e w e f
m
(ea ea) sina 0(ea ea) cosa Täh istades
Evaluation notes were added to the output document. To get rid of these notes, please order your copy of ePrint IV now.
13
1 0 1
5
3 0 0
2 0 1
6
3 0 0
( )sin sin sin
: ,
( ) sin ( ) cos
( )sin cos cos
: ,
( )sin ( ) cos
a a a g
a a a a
a a a g
a a a a
m e e a e a e g
m m e e a e e a
m e e a e a e g
m m e e a e e a
(39)
4 0 1 1
7
3 0 0
( ) sin sin
: ,
( ) sin ( ) cos
a a f
a a a a
m e e a w e f
m m e e a e e a
saame C2 avaldise
2 5 1 6 2 7
C m B m B m (40)
ja (38) p õhjal
1 1 3 5 1 2 3 6 2 3 7 4
C m m m B m m m B m m m (41)
Asetades seosed (40) ja (41) võrrandisse (34), saame koondamise tulemusena
1 1 3 5 5 1 3 5 5
2 2 3 6 6 2 3 6 6
4 3 7 7
( ) cos ( ) sin
(cos sin ) cos sin
( ) cos ( ) sin
(cos sin ) cos sin
(
a a a a
a g
a a a a
a g
a a
B m m m m e e a m m m m e e a
e a a e g g
B m m m m e e a m m m m e e a
e a a e g g
m m m m e e
4 3 7 7
1
) cos ( ) sin
cos sin 0,
a a
f
a m m m m e e a
w e f f
Täh istades
2 3 6 6 2 3 6 6
8
1 3 5 5 1 3 5 5
4 3 7 7
9
( )cos ( )sin (cos sin ) cos sin
:
( )cos ( )sin (cos sin ) cos sin
: (
,
a a a a a g
a a a a a g
a a
m m m m e e a m m m m e e a e a a e g g
m
m m m m e e a m m m m e e a e a a e g g
m m m m e e m
4 3 7 7 1
1 3 5 5 1 3 5 5
)cos ( )sin cos sin
( )cos ( )sin (cos sin ) cos sin ,
a a f
a a a a a g
a m m m m e e a we f f
m m m m e e a m m m m e e a e a a e g g
(42)
saame viimasest võrrandist avaldada B1
1 8 2 9
B m B m . (43)
Nüüd (40) ja (41) p õhjal
2 5 8 6 2 5 9 7
1 8 3 5 8 1 3 6 2 2 9 3 5 3 7 9 1 4
C m m m B m m m
C m m m m m m m m B m m m m m m m m
(44)
Järgmisena asetame seosed (43) ja (44) võrrandisse (36)
