Prof. Dr. A. Poetzsch-Heffter Peter Zeller, M. Sc.
TU Kaiserslautern
Fachbereich Informatik AG Softwaretechnik
Übungsblatt 10: Logik (SS 2017)
Abgabe: Freitag, 23. Juni, 15:30 Abgabekästen neben Raum 34-401.7 (bei AG Softwaretechnik) Bitte geben Sie zu dritt ab.
Die Zwischenklausur findet am Montag, 19.06.2017 um 19:00 Uhr in Raum 46-220 statt.
Bereiten Sie sich auf die Zwischenklausur vor. Dazu kann es auch helfen, mit Aufgaben aus alten Klausuren zu üben. Diese finden Sie unterhttps://kai.cs.uni-kl.de/(nur aus dem Uni-Netz erreichbar).
Aufgabe 1 Semantik der Prädikatenlogik
SeienA,B ∈FO(S) beliebige Formeln über eine SignaturS. Verwenden Sie die Semantik der Prädikaten- logik um zu zeigen: ∃x.A∨ ∃x.B|=∃x.A∨B
Damit haben Sie einen Teil von Äquivalenz 9 aus Lemma 4.14 gezeigt.
Aufgabe 2 Substitution
a) SeiA≡ ∀x.
∃y.p
x, f(x,y)
→
∀x. p(x,y)
∧
∀x. p(y,x) Sei θ = n
y/f(x,y)o
eine Substitution. Berechnen Sie Aθ (die Anwendung der Substitution θ auf die FormelA) nach der Definition aus der Vorlesung. Geben Sie alle Zwischenschritte mit an.
b) Zeigen Sie durch Angabe eines Beispiels: ∀x.A
→ An x/to
wäre nicht für alle Formeln Aallgemein- gültig, wenn beim Anwenden der Substitution gebundene Variablen nicht umbenannt würden (das heißt, wenn wir für QuantorenQdas Anwenden einer Substitution als (Qx.A)θ:= Qx.(Aθ) definiert hätten).
Aufgabe 3 Normalformen
a) Bringen Sie die folgenden Formeln zuerst in bereinigte Pränexnormalform (BPF) und dann in Skolem- form. Geben Sie Ihre Zwischenschritte mit an.
A1≡ ∀x.∀y.x<y→
∃z.x<z∧z<y A2≡ ∀x1.∃x2.∀x3.∃x4. p(x1,x2,x3,x4) A3≡
∀x. p(x)
∨
∀x.∃y.q(x,y) A4≡ ∀y.
∀x. p(x,y)
→
∀x. p(y,x)∧
∃y.q(y)
b) Sei A01 Ihre Skolemform zur Formel A1. Geben Sie eine Struktur M und Belegung ψ an, so dass BMψ A1
,BMψ A01
.
c) SeiA01Ihre Skolemform zur FormelA1. Geben Sie eine StrukturM=(D,I) an, welche sowohl Modell fürA1als auch fürA01ist. Dabei sollD=R(die reellen Zahlen) sein undI(<)(x,y)= x<ygelten.
