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Academic year: 2022

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Formale Modellierung

Vorlesung 6 vom 26.05.14: Beschreibungslogiken

Serge Autexier & Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2014

1 [32]

Fahrplan

I Teil I: Formale Logik

IEinführung

IAussagenlogik: Syntax und Semantik, Natürliches Schließen

IKonsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik

IPrädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik

IKonsistenz & Vollständigkeit von FOL

IBeschreibungslogiken

IFOL mit induktiven Datentypen

IFOL mit Induktion und Rekursion

IDie Unvollständigkeitssätze von Gödel I Teil II: Spezifikation und Verifikation

2 [32]

Beschreibungslogiken

I Entscheidbare Fragmente von FOL I Zusammenhang zu Notation I Beschreibungslogik, ALC Logik I ND Kalkül

I Korrektheit & Vollständigkeit I Logik ALCQI

I Anwendung I ND Kalkül

3 [32]

Entscheidbare Fragmente

I Aussagenlogik

FormΣ:=⊥|>|A|¬FormΣ

|FormΣ∧ FormΣ|FormΣ∨ FormΣ

|FormΣ−→ FormΣ|FormΣ←→ FormΣ

I Beschreibungslogik

INur ein- und zweistellige Prädikate,

INur 2 Variablen für Quantoren linear verwendet, nur Konstanten für Termen

I−→und←→nie unterhalb von anderen Konnektiven I Prädikatenlogik

TermΣ:=f(TermΣ, . . . ,TermΣ)

FormΣ:=⊥|>|P(TermΣ, . . . ,TermΣ)|¬FormΣ

|FormΣ∧ FormΣ|FormΣ∨ FormΣ

|FormΣ−→ FormΣ|FormΣ←→ FormΣ

|∀x.FormΣ|∃x.FormΣ 4 [32]

Beschreibungslogik

INur ein- und zweistellige Prädikate,

Parent(Steve) hasChild(Steve,John) INur 2 Variablen für Quantoren

linear verwendet, nur Konstanten für Termen

∀x.Parent(x)←→Human(x)∧

∃y.hasChild(x,y)∧Human(y)

I−→und←→nie unterhalb von anderen Konnektiven

I Nur ein- und zweistellige Prädikate, Parent

|{z } Konzepte

(Steve),hasChild

| {z } Rollen

(Steve,John)

I Nur 2 Variablen für Quantoren linear verwendet, nur Konstanten für Termen

Parent≡Humanu

∃hasChild.Human

I >,⊥,∧,∨,−→und←→werden zu

>,⊥,u,t,vund≡

5 [32]

ALC-Formalisierungen

I Menge aller ALC-Formeln istφc

I Wird verwendet um Weltwissen zu beschreiben I Grundlage von OWL, RDF (Semantic Web) I Werkzeugunterstützung Protégé zum Beispiel

I Formalisierung besteht ausTerminologie(TBOX) undAnnahmen (Assertions, ABOX):

ITBOX:

IInklusionenCvD

IDefinitionenCα,CName

IEs darf maximal eine Definition für einen Namen geben

IABOX:

Parent(Steve),hasChild(Steve,John)

6 [32]

Beispiel TBOX

ManvHuman WomanvHuman

Parent≡Humanu∃hasChild.Human Father≡ParentuMan

Mother≡ParentuWoman

7 [32]

Familie von Beschreibungslogiken

I ALC: nur atomare Rollen

I ALCN: Zahleneinschränkungen für Rollen, unqualifiziert

nR,nR

I ALCQ: Zahleneinschränkungen für Rollen, qualifiziert

nR.C,nR.C

I ALCI: Inverse Rollen

∀R.C,∃R.C, . . .

8 [32]

(2)

Semantik

InterpretationI= (∆I,_I) IIdomäne(Universum), nicht-leer.

I _IAbbildung von

I Individuenauf Elemente von∆I,

I Konzeptenauf Teilmengen von∆I,

I Rollenauf Teilmengen von∆I×∆I

9 [32]

Abbildung

10 [32]

Modell

SeiI= (∆I,_I)eine Interpretation.

I I |=C(a)gdw.aICI

I I |=R(a,b)gdw.(aI,bI)∈RI

11 [32]

ND Kalkül für ALC

Alexandre Rademaker.A Proof Theory for Description Logics, PhD Thesis, PUC-Rio, Bresil, March 2010

12 [32]

Axiomatisierung von ALC

∀R.(αuβ)≡ ∀R.αu ∀R.β (1)

∀R.> ≡ > (2)

∃R.(αtβ)≡ ∃R.αt ∃R.β (3)

∃R.⊥ ≡ ⊥ (4)

I Einige Fakten

I Falls`αgilt, dann auch` ∀R (Necessitation)

I IfCvDthen∃R.Cv ∃R.D

I IfCvDthen∀R.Cv ∀R.D

13 [32]

Labelled Formel

L:=∀R,L|∃R,L|

φlc:=Lφc

Aus labelled Formel kann immer die normale Formel wieder berechnet werden

σ(α) =α σ(∀R,Lα) =∀R.σ(Lα) σ(∃R,Lα) =∃R.σ(Lα)

I Notation

L∀α,L∃α,

Wenn alle Labels der Form∀Rbzw.∃Rsind

14 [32]

Kalkül des natürlichen Schließen für ALC

15 [32]

Kalkül des natürlichen Schließen für ALC

16 [32]

(3)

Kalkül des natürlichen Schließen für ALC

17 [32]

Korrektheit & Vollständigkeit

I NDALCist korrekt

I NDALCist vollständig

I Gegeben AnnahmenTund zu beweisende ALC Formelαund ein voll-expandierter ND-AbleitungsbaumP:

IFallsPkein Beweis ist, dann kann daraus ein Gegenbeispiel fürT`α extrahiert werden.

IEntscheidbarkeit

18 [32]

Die Logik ALCQI

19 [32]

Familie von Beschreibungslogiken

I ALC: nur atomare Rollen

I ALCN: Zahleneinschränkungen für Rollen, unqualifiziert

nR,nR

I ALCQ: Zahleneinschränkungen für Rollen, qualifiziert

nR.C,nR.C

I ALCI: Inverse Rollen

∀R.C,∃R.C, . . .

20 [32]

Die Logik ALCQI

I Konzepte und Rollen

α:=⊥|A|¬α|α1uα21tα2|∀P.α|∃P.α| ≤nP.αnP.α P:=R|R

I TBox wie gehabt, ABox auch I Labeled Formeln

L:=∀P,L|∃P,L| ≤nP,L| ≥nP,L|

φcl:=Lφc

21 [32]

Kalkül des natürlichen Schließen für ALCQI

22 [32]

Kalkül des natürlichen Schließen für ALCQI

23 [32]

Kalkül des natürlichen Schließen für ALCQI

24 [32]

(4)

Kalkül des natürlichen Schließen für ALCQI

25 [32]

Korrektheit und Vollständigkeit

I NDALCQIist korrekt

I NDALCQIist vollständig

I Gegeben AnnahmenTund zu beweisende ALCQI Formelαund ein voll-expandierter ND-AbeltiungsbaumP:

IFallsPkein Beweis ist, dann kann daraus ein Gegenbeispiel fürT`α extrahiert werden.

IEntscheidbarkeit

26 [32]

Anwendung: UML

27 [32]

Anwendung: UML Diagramm als TBOX

28 [32]

Anwendung: Beweis von Eigenschaften des UML Diagramms

I ND-Beweis, dass jederMobileCallmaximal einenMobileOriginhat.

29 [32]

Anwendung: Konsistenz des UML Diagramms

I Neues AxiomCellPhonevFixedPhone

I Inkonsistenz

30 [32]

Eigenschaften von Beschreibungslogiken

http://www.cs.man.ac.uk/~ezolin/dl/

http://dl.kr.org

31 [32]

Zusammenfassung und Nächste Woche

I Fragmente von Prädikatenlogik, die noch entscheidbar sind I Beispiel: Familie der Beschreibungslogiken

I Grundlegene Beschreibungslogik ALC I Fortgeschrittene Beschreibungslogik ALCQI

IModellierung von UML-Diagrammen I Prädikatenlogik mit Induktion

32 [32]

Referenzen

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