La trigonométrie dans ses rapports avec la géométrie

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(1)La trigonométrie dans ses rapports avec la géométrie. Autor(en):. Streit, Arnold. Objekttyp:. Article. Zeitschrift:. Actes de la Société jurassienne d'émulation. Band (Jahr): 19 (1913). PDF erstellt am:. 30.01.2022. Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-685113. Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind.. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz, www.library.ethz.ch http://www.e-periodica.ch.

(2) LA TRIGONOMÉTRIE DANS. SES. RAPPORTS. AVEC. LA GÉOMÉTRIE PAR. ARNOLD STREIT DOCTEUR ÈS SCIENCES. Professeur au Gymnase de l'École Cantonale de. Porrentruy.. I.. Introduction. nous donnerons d'abord une nouvelle démonstration des formules de Sin (a+/3) et Cos (o ±/3) basée sur un théorème de géométrie. Puis nous appliquerons ces formules, celles qui en découlent et d'autres formules de /r/gonoméfn'e à la géoméfr/e, ce qui nous permettra de retrouver les relations de théorèmes importants de géométrie, entre autres de celles des théorèmes de de i-e g;éiiêi-£vlisâé, de de et d'établir des théorèmes nouveaux.. Dans cette. étude,. Pythagore,. Ptolémée. Céva,. PytliagoMénélaiis,. Notations. Nous désignerons les sommets d'un triangle par A, B, C; les côtés opposés respectivement par a, b, c; les hauteurs correspondantes par h', h", h'" et les angles par a, /?, y. Les segments, déterminés par les hauteurs, qu'il faut suivre pour aller de A vers B, puis de B vers C et enfin de C vers A seront appelés c' c" (sur c), a' a" (sur a) et b' b" (sur b). 7.

(3) 98. —. —. II,. Formules de sin («±/3) et cos. (« h 70(Démonstration nouvelle basée sur un théoréme de néométrie.). (A).— Formule du sinus de la somme de deux arcs. La somme de deux angles d'un triangle quelconque et le troisième angle étant supplémentaires, leurs sinus sont égaux 1) sin y sin (a f- /3) :. -. Il est donc tout naturel de partir de cette relation pour chercher à établir une nouvelle démonstration de la formule du sinus de la somme de deux arcs. D'après la figure : h' sin y — b La relation 1) devient : 1. On a successivement. a+/tm. •. i. Sin. :. h c b c. h. =r-=. 'c. +c. h. b c. c. c. c. b. mais h'. h'". C. a. Par suite. OU. (I).. (B). «, /f et y. /L). 4". es. a. S(/Z /f. SZ/Z. («. —. Formule du cosinus de la somme de deux arcs.. I. SZ/Z. a.. COS /S. étant les angles d'un triangle, nous avons cos fri. - [. -. /i). — cos y.

(4) La figure. 1). 99. —. donne. a" k. cos y. d'où en remplaçant cos (a. +«. -. - Yb. a a". a" -g-. Nous établirons plus loin la relation suivante. h'". -. c' c". :. h a a". d'où a. a". h'" - —. c' c". Substituons ci-dessus... cos. {«+0. c' c" —. h'"-'. -g. OU. (lb. COS. fa. -|-. COS a.. COS /3. c' c". h'" h'". ÏI^T —. S/'/! a. SI/!. a. 0. S.

(5) —. (C).. 100. —. Formule du sinus de la différence de deux arcs.. —. Au lieu de déduire cette formule de la relation il) en y remplaçant par — /f, on peut aussi l'obtenir directement de la 1) figure par un procédé peu différent de celui déjà employé. Supposons que a soit un angle aigu du triangle et désignons par «' l'angle extérieur correspondant à a. 11 vaut la somme des angles intérieurs non adjacents :. «'. 0 -j- y. /'. —£ sin (a' —. d'où si n y. /3). h' k. sm y. Par suite •. sin («' — 0 si n «. —/ï. h. -j—V-' b c. h -,. b. c. h'" c'. c" 1—= b |. a. 11'". c". re'. SlTz. fft' — /fj. —. c. c - P— b. c. h'" c" b. a. ;. or sin. li. c t. |. c'. '. h'". --7b — a. x. puisque «' est obtus. ;. donc (111). (D).. S/'« re'. COS. /j —. COS re'. SZ'/Z /)'. Formule du cosinus de la différence de deux arcs.. Au lieu de tirer cette formule de la relation (II) en y remplaçant y) par — /S, on peut aussi l'établir en se basant sur la. figure. 1)..

(6) -. 101. —. Choisissons un angle aigu a du triangle et soit «' l'angle extérieur correspondant. Nous pouvons écrire successivement : «'. /j -)- y. y. a' —/S cos («' — /3|. cos y m. COS. "". —a". c' c". +a. h'" COS. COS. (IV). baba-. sin «'. cos â' —. b. c' — b. «'. c' c". -r. ab. «' est obtus.... a". h'" h'". h"' - — c' c" ~. («' — /?). a. ;. ;. sin ô. COS /3. ; — a '. c". — a. cos /3 -|. cos. -7-. s/h /t. s/'h. III.. Conséquences géométriques résultant de l'application des formules de trigonométrie au triangle quelconque. appliquant les formules précédentes et celles qui en découlent au triangle quelconque, on retrouve les relations de certains théorèmes importants de géométrie, et l'on arrive à établir des théorèmes nouveaux. En. (A). Application de la formule de sin (" |-/0 Deduction du theorem« do Pvthagoro généralisé. sin. («. +. /?). sin «. cos. -|- cos. /S. «.. sin. /?. En nous basant sur la figure 1), nous pouvons écrire. sin. *. a-M '. h" a' C. C. b" h' C. C. a' h". 4- b" h' 4 C -. :.

(7) 102. —. —. ou, en tenant compte de la relation b. •. s,„. a'. ,10, („ +. •. /?). b. h". +. a h'. :. b" h'. ~. aa' + bb „. h' ^. -5. Or —. sin y. sin. /3). («. Par suite. sill. (a -J-. /3). sin. (a. -f" /ï|. D'où résulte... Par permutation cyclique.... a a'. +b. b". c-. (l). et.... '. '. c -. a. ôa-. 6. a'-j-ô ô". 6'+. c c'. Les relations (1) s'expriment comme suit (fig. 2). +. c. c". a. a". :. Théorème I. Dans fou/ /r/ang-fe acu/a/jg7e, /e carré cons/ru// sur /'uu pue/conçue des cô/és es/ éga/ à /a somme des rec/au^/es cons/ru//s sur c//acuu des deux au/res cô/és e/ /a proyec/fou du premier sur /ui.. Tig-. 2.. Si un triangle renferme un angle obtus, le carré construit sur l'un des côtés adjacents est égal au rectangle construit sur.

(8) 103. —. —. le plus grand côté et la projection du premier sur lui diminué du rectangle construit sur le troisième côté et la projection du. premier sur lui.. Remarque. En prenant. sin. h'" — b. a. et. COS. c' b. —. a. la formule de sin (a |-/S) conduirait aussi à la première des relations (1); dans le cours des opérations il y aurait lieu toutefois de remplacer c c' par b b". —. Cas. particuliers. C — 60".. 1.. Alors h' est confondu avec b et h" avec. a.. Par suite a'. a,. et la première des relations c -. —. a'-j b*„. (1). b". devient. :. /déoréme de Py/do.gore. A. 2.. b. 90».. h" est confondu avec c, donc b". 0.. La formule a a'. c-. devient. b. b". :. c-. ou. -jG. a'. :. Dons un /r/angde rec/angYe, c/togoe cd/é de /'oopVe drod es/ moy. prop, en/re /'dypo/éouse en//ère e/ so prp/er//oo sor /'/jypo/éoose.. *.

(9) 104. — Les relations En effet. —. (Il peuvent être mises sous une autre forme.. :. a a'. c-. c -. 4—. b. b" —. a -. a (a — a"l -(- b (b — b'i b |— a a" — b b'. •. mais b'. b. a". a. par suite (2). a- -|. c-. -. — 2 a a".. Ö-. (C est aigu). On retrouve ainsi le théorème de. généralisé. Pythagore. :. Dans un /r/ang/e pue/conpue, /e carré d'un côté opposé à un ang/e a/gu es/ éga/ à /a somme des carrés des deux au/res cô/és mo/ns /e douô/e produ// d'un de ces cô/és par /a prp/ec//on de /'au/re sur /ut.. (B).. Application de la formule de cos. —. |d).. («. Déduction du Ihéoréme de Pvthagore.. Soient. «, d. et. /. les angles d'un triangle quelconque.. Nous avons alors (fig. cos. I- d). (re. 1). :. —. — cos }'. a — a' b. ^. a'. ~b. ~~. mais a' b. ~. a' c b c. ~. a' c c. b. _. a' c'. |~. c". c b. b. c. a' c'. a' c' '. b c. Remplaçons. OU. ' d) ' 4-. COS (re. cos. re.. COS. d —. cb. TT~" b c. a. b.

(10) -. 105. —. or COS (a. d'où. cos. /3). «.. cos /I — sin a. sin. sin «. sin. a). â'. H. sin a mais. c". -— be. —. /9. /?. b. h'". h". b. c. h'. h'". c. a. Prenons d'abord sin n. sin /Ï. -rb. c. par suite h' h'". a' c". a b. be. a c —. a' c". be. be. OU. h' h'". a c — a'. c". Par permutation cyclique on obtient deux nouvelles formules formant avec la première le groupe suivant : (3). Les relations du groupe (3) donnent lieu au théorème suivant. :. Théorème II. Le ree/ang/e co/rs/naY sar deux daa/ears d'an /r/ang/e çae/cengae est éga/ aa reefang/e consfrad sar /es deax cô/és carrespaadaa/s d/m/aae' da rec/aag/e cans/ra// sar /es proy'ec//aas de ces câ/és. /'an sar /'aa/re.. Revenons à la relation a) ci-dessus. sin. •. n.. sin. o /S. :. a. a' c" b c.

(11) 106. —. —. et combinons d'autres valeurs de sin produit sin «. sin /3 (fig. 1) :. /3. pour former le. b. a. :. h'". -. a. a' c". ab. b. b c. h"' mais Il en. et sin. h'" h'". sin a. sin p. d'où. «. a a. a. *. —. -. —;. '. C. c c„. car. cos. /3. a'. —. c. c". — a. résulte h'"^. c". -. A'". -. a- —. OU. (4). c". ö. -1. +. La formule de cos (« $ nous a donc permis de retrouver le théorème de Pythagore (triangle rectangle B C Fi.. En troisième lieu, nous pouvons aussi écrire h" h' „. sin «. sin p. c. d'où, si l'on compare avec l'égalité. h' h" -. _. c. :. a' c" b c. a b. c -. _ a_cb. a). :. a' c" c c (a c —a' c") _ b b. Nous avons trouvé (formules (2)] h' h'". a c. :. — a' c". Substituons h' h". b. d'où A". c. r». ä.

(12) 107. —. —. Nous retrouvons une propriété connue : Le rapport de deux Lauteurs est égat au rappo/t /averse des cotés correspondants. — Enfin, si l'on choisissait les valeurs encore disponibles de sin « et sin d pour obtenir le produit sin «. sin d, on arriverait aussi à la propriété précédente.. (C). — Application des formules de sln (« — d) et cos (« — /5). La formule de sin (« — d), appliquée au triangle quelconque, conduit aux relations (1) auxquelles a donné lieu celle de /S) et en appliquant la formule de cos (a — d) on retrouve sin (« les relations (3), (4) et (5) fournies par celle de cos (« -f- dl.. (D).. —. Application de la formule. Stil «. 2 sln. a. — COS. «. 2*. Appliquée au triangle quelconque, cette formule permet d'établir le théorème suivant :. Théorème III. Si d'un sommet ß d'un tri'ang/e puetconpue A ß C on aôa/sse ta 1 sur ta Lissecfr/ce de t'ang/e A et de son p/ed S ta X sur te côté A ß, cette dernière perpend/cu/a/re S T a ton/ours pour mesure /a moitié de ta /îauteur issue du sommet ß. En effet, d'après la figure 3, la relation. sin «. • n sin 2. " cos ". ^.

(13) 108. —. peut s'écrire. BE. S. T A. c. A. S. S. c. d'où. 5. (6). r. On aurait de même. ß £ _/!" 2. c. q. f. d. 2. lm4 h'". On arriverait au même résultat en prenant sin. ii faudrait alors remplacer le produit B. (E).. —. S.. A. S. «. BS. 2. c. par. c. S. '. T.. Application de la formule cos «. 2. COS". «. —. — 1.. Complétons la figure 3 pour obtenir la figure 4. En nous basant sur cette dernière, nous pouvons écrire la relation ci-dessus comme suit :. a. E. AB. /A '. sy'-. A B '.

(14) —. 109. —. d, A. T. A. Posons A E. b", A B. L'égalité devient. T. c, S. —. =- e, B. T. - f,. A S. g.. :. "". 2^-1 c. c. d'où. cjc -I- tO 2 c e. Remplaçons C. (ç. + b"> 2. d'où. ^. En outre. /. e=' +2 k". i. f. c. — b". „. car f. Par suite, T est le point milieu de B P et puisque S est situé sur le cercle décrit sur A B comme diamètre, on aboutit à la propriété suivante :.

(15) 110. —. —. Théorème IV. 5/ avec ua somme/ /I d'un /r/ang/e t/ae/conçue comme cen/re e/ sa d/s/ance au p/ed £ de /a dau/ear £ £ comme rayon on décr// an arc de cerc/e coupan/ /e co/é A £ en P e/ pu'on e/ève an po/n/ mfl/eu T da seamen/ fl P ane perpcv/d/'ca/aPe à A £ sur /apue/Ze on por/e /a mod/e de /a dau/ear cons/de'rée fl £, /'ex/rém//é od/enue S appar/Zen/ à /a d/ssec/r/ce de Fang/e /I e/ an cerc/e décr// sar /e cô/e /I £ comme d/amè/re. Remarque.. Dans le cas où l'angle A que traverse la bissectrice est obtus, la propriété reste la même, mais le point P tel que A P A E doit être pris sur le prolongement du côté AB.— *. Formons le produit e. Mais. d. e.. e. f. (fig. 4):. c - — b" -. f. -,—. et. tg. d'où. d. f.. tg. (90 —. e. f. d -. Remplaçons c-. d-. ^ h" -. „. Donc. ——. 4. d'où. (F).. — b" -. c -. —. ;. or. h". d=2. c - — b" 4. h" - -f- b". /déorème de Py/dagore.. Application des relations entre les éléments d'un triangle rectangle. (Déduction dos théorèmes dit triangle rectangle).. Soit A B C un triangle rectangle en A, p la projection de d sur l'hypoténuse a et p celle de c, d la hauteur..

(16) Ill. —. —. Ces relations sont les suivantes. :. C/zapue côte de t'a/zpte ztro/7 est epa/ à /'/zjzpote'uuse uzu/tzp/tee par te sz'uz/s zte t'aup/e oppose oz/ par te costnus (te t'aup/e 1). compr/s. 2| C/zapoe côte (te t'aup/e z/roz't est epa/ à par ta taupeu/e (te t'aup/e oppose au prezzzz'er.. D'après la première relation, on b. d'où c'est-à-dire. a. :. et. a. cos C. P. b 6. (8). /'autre nza/tzp/z'é. cos C. -. a.. p. :. C/zapae côte z/e f'ozzpfe ztroz't est uzojzeu/ze proporttouuet/e c/ztrc t'/zjzpotenuse et sa proy'ectton sur t'/zj'poteuzzse. (1). D'après la seconde relation h. et. tg C. p.. d'où. h -. mais. Par suite. (9). :. p.. tg. h. (tg C. tg B). q C. tz. tg B. q.. tg. - — p.. B. 1. ou. p. :. (II) La tzauteur est zuqyeuue proporttouuet/e eutre tes sep/zzeuts pu'e//e z/e'teruztue sur t'/zypoteuzzse.. (G).. —. Application du théorème du Sinus.. (Déduction des (héorômes de Céva ot do MénélaUs). 1.. Appliquons le théorème du sinus aux six triangles P A' B,. P B' C, P C' A. ;. P A' C, P B' A, P C' B (fig. 5). :.

(17) 112. —. —. A. 7. sin y sin B' '. b'. sin o sin A'. a'. '. m. sin « sin C'. c' Ar. d'ou a' k.. ^. b\. sin o". sin sin y sin A', sin B'. sin C'. c'.. <?.. m. 1.. '. et m. a". sin A' sin e. ~~. A:. '. b". sin B' sin <J. / '. sin C' sin y. c". d'où k.. 1.. m. a", b". c". Multiplions. 1). sin A', sin B'. sin C' sin A sin e. sin y. et 2) membre à membre a', b'. c' a", b". c". :. _.. d'où résulte />'.. (101. c'. o". 6". c". C'est la relation du. Théorème de Céva. TroAs /razzsve/'szz/es z'sszzes z/es /ro/s sozzzzzze/s z-o/zçzze. e/ se. cozzpzzzz/. ezz. zzzz. z/zezzze pzzz'zz/. z/'zzzz. /z7zzzzp7e z/zze/-. z/e'/emz/zzezz/ szzr /es cô/és. sz'x sepz;;ezz/s /e/s z/z/e /es proz/zzz'/s z/e /rzzz's sepzzz:zz/s czz/z/s sozz/ e^zzzzx.. zzozz. rzwzse-.

(18) 113. —. —. Koiiiarque. En appliquant le théorème du sinus aux six triangles A B A', B C B', C A C ; A C A', B A B', C B C', on aboutirait aussi à la relation du théorème de Céva. On obtiendrait :. sin a" sin /S" sin /?' sin y'. a', b'. c'. a", b". c". /. sin y" sin a'. m k k / m. d'où a', b'. c' — a", b". c". particulier.. Cas. En exprimant, dans un triangle quelconque, l'un quelconque des produits cos a. cos /t. cos y, sec a. sec /î. sec y, tg a. tg yi. tg y, cotg a cotg /9. cotg y de deux manières différentes et en égalant les deux expressions, on arrive à la relation du f/zcorcmc r/e Céva pour le cas particulier où les transversales issues des sommets se coupent à Porthocentre du triangle.. En effet (fig. COS « —. c' — 1b. 1). b" — c. :. •. '. COS. ö. c" —. a'. ^c. a. COS. •. '. b'. a". ab. y — — — -r-. Par suite COS. <J.. COS. /i.. COS. y. c. rb. a b c a. b c. a. - cab-7-. d'où a', b'. c'. a", b". c". Considérons un triangle A B C et une transversale coupant les côtés a, b, c respectivement aux points X, Y, Z et formant avec eux les angles <î, e et y (fig. 6). 2.. 8.

(19) —. 114. —. D'après le théorème du sinus appliqué aux triangles A Y Z, B Z X, C X Y, nous avons successivement :. A. A Y Â Z. Multiplions. ces. B Z sin v sin e ' B X. sin rf C X sin y ' C Y _. sin sin. e <t. trois relations membre à membre. :. A Y. B Z. C X. AZ.BX.CY" d'où (11). A. Z ß X. C Y. -A. y. C X. ß Z,. c'est-à-dire. :. Théorème de Ménélaiis. Toute tezzzzsvez-szzte sz'/zzée dzzzzs te p/zzzz d'zzzz tez'zzzzgte deterzzzz'zze szzr tes côtes sz'x segmente te/s z/zze tes pz'odzzz'/s de teoz's segmezz/s zzozz. cozzseczz/z/s sozz/ egzzzzx..

(20) 115. —. (H).. Application du théorème du Gosinus.. —. (Déduction des théorômes de Ptolémée). La figure 7 donne. :. b. A C. -. a-. A C. -. c - |- d -. |. -. — 2 a b cos B |. 2 c d cos B. d'où a -. 4- b. -. AC- — c -. — À C-. 2 a b. De cette relation on tire. /(a. A C. d-. 2 c d :. d. b c) (a c. |. V. a b. 4-c. d. +. b d). +. b dl. On trouverait de même B D. 2). =iV/(a. b. 4-. c d) (a_c a d I- b c. En multipliant d'abord, puis en divisant les formules. membre à membre, on obtient. :. AC. BD (12). c'est-à-dire. ;. / :. ac. |-. AC ad-t-bc BD a b-|-c d. bd. 1). et 2).

(21) 110. —. Théorèmes de Ptolémée. 11. zzzz/cs. Dzz/zs tém/ z/zzoz/r/Vz/tére z'/zsc/v/d/öfe, té proz/zzz/ des d/zz^/o-. es/ égm/ à /« somme des prodzzz'/s des côtés opposés.. Iii) Dans. /ozz/. çzmdn/até/e. e/z/re e//es z/zz/zs té mê/zze. /es dzdgwzzztés son/ tés so/zz/zzes des prodzzzYx. zYzszrzp/zYité,. rapport. z/zze. ztés côtés z/z/z cozzcozzrezz/ zzi'ec e/tés.. IV.. Application des formules du groupe (3).. ABC. un triangle quelconque. Construisons le — Soit triangle A' B' C' ayant pour sommets les pieds des hauteurs. Les relations (3) permettent d'établir le théorème ci-dessous et d'exprimer les côtés du triangle A' B' C' en fonction de ceux du 1.. triangle ABC. 1" Partons de la seconde des relations (3) h', h" — a. b — a", b'. :. dl. La figure A B A' B' est un quadrilatère inscriptible ; d'après le premier //zéorèzzze de P/oté/zzée, le produit de ses diagonales est égal à la somme des produits de ses côtés opposés :.

(22) 117. —. h". h',. Par suite. (A' B'). c. |A' B'l.. d'où. —. c. -f- a' b". a' b". I. -. a b —. a" b'. B'=^--*--b-"--a\b: c. A-. Mais a b. (a'. I. a") (b'. |. -. b"). b"-|-a' b". a' b' -|- a". |. Remplaçons, puis appliquons la permutation cyclique. a" b' :. d'où ;. (13)' I. A' B' a. B' C' b. C' A' c.. a' b'. b' c' c' a'. |. a" b". |- b" c". + c". a". Nous obtenons donc le théorème suivant (relations (13. '. :. Théorème V. Le rectangte co/rs7r;/(Y sur un côté d'un fr/angte puetconpue et fa rf/sfance des pfeds des /fauteurs aôafssées sac tes deux antres côtés est égn/va/enf à ta somme (tes recfaug/es constrntts sur tes segments non co/isécu/t/s défermfnés par ces /fauteurs sur tes côtés correspo/utauts.. Exprimons maintenant les côtés du triangle A' B' C' des pieds des hauteurs en fonction de ceux du triangle ABC (fig. 8). 2". C. Or. a-. b - -1- c - — 2 b. et d'où. c -. a -. a. a -. -|- b. -. — c-. 2a". -|- b. - — 2 a. et. b". b" a" b - -| c - — a -. 2b.

(23) 118. —. —. En outre a -. a. a'. car. — b - -I- c. *. =—— 2 a. a. — a". b- — c. b. et. 2 b. b'. et. b —. Portons ces valeurs dans l'expression de A' B' b-—caa - — b - -)- c - b - — c - +a -. „, A», B. '. 2b. 2~a. b" :. b-. -|-. c- —a. -. 2b~. 2~â. C. [a. A' B'. ' + (b ' - c -')] [a - - (b - - c -)] + [b - + (c. - a -)] [b - - (c - a -)]. 4 a b c. ou, en effectuant et en simplifiant. :. ^ 'a. ^. Par permutation.... B' C'. (14). a (b -. 1. C' A'. et. b^". c. "1. 2 a b -|- c -. —a. -). I. A' B'. b (c -. 2 b c a - — b -) 2 c a. +. Ce so«/ /es /or«zo/es exprooo«/ /es cô/es do /r/o«p7e des p/eds des ftoo/eors e« /o«c//o« des cô/es du /r/aop/e do««e.. 2. —. Partons de la première des formules du groupe h' h'" a c — a' c". D'autre part (fig.. (3). :. 1). Multiplions membre. à. membre h -. :. a a c. —- — a' C. Or. :. Deox so«z/«e/s d'o« /r/o«p7e poe/co«poe e/ /es p/eds des /zao/eors çoz e« por/e«/ so«/ soc o«e c/cco«/e'ce«ce oj'o«/ poor d/omè/re /o d/s/ooce de ces deox so«7/«e/s. ;.

(24) 119. —. —. A, B, D, E sont sur une circonférence de diamètre A B; B C; » » » » B, C, E, F » » » C, A, F, D. »CA.. Par suite, d'après le théorème des sécantes a. b b'. a". ;. b. b". c'. c. c. ;. c". :. a a'. Remplaçons a a' par c c" dans h' - : h' c - — a' 77;éarêate rfe PyZ/iag&re.. a' - -|- h'. c -. ou. Reprenons l'expression de h' - (fig.. h"' =a h' -. ou. a'. (*-'. + c")—. 1) :. a'a. C. a. a' (a — a'). a' c' v». mais. a a'. Donc ou aussi, puisque c c'. c. c". iA'-=a'a"-|-cc' ' /t'. b b".... -. a' a" -|-. 6. ö". Les relations (15) donnent lieu au théorème suivant. ^. :. Théorème VI. Le carré coas/ra/7 sar aae /taa/ear t/'aa /r/aap7e gae/coapae est éça/va/ea/ aa rec/aag7e coas/ra// sar /es sepvnea/s pa'e/Ze rfé/eraa'ae sar /e câ/é correspoarfaa/ p/as /e rec/aag7e ayaa/ paar d/ateas/aas /'aa rfes r/eax aa/res câ/és e/ /a pra/ee//aa c/a secaarf sar /a/. Cas. particulier.. b". A. 90»;. (15). devient. c' :. 0. :. h'. -. a' a". On retrouve ainsi une relation connue.—.

(25) -. 120. —. La seconde des égalités (15) peut s'écrire (fig.. + h"-. |. h'" - (a" - -I- b" - |- c" -) En partant de l'autre égalité -1. a' a". h' -. + 2 (à' a". De (16). [ -. h'" -. b' b" -|- c' c"). :. (a'- — b' - | c'-) + 2 (a' a" -| et (I)" résulte Ö' c' o' 6" o" c" -. h" -. (1)'. -. |. |- c c',. on trouve, après les mêmes transformations (1)" h' - H-. :. a' a" -|- b' b" b" b' b" c' c" -|- c" c' c" -|- a' a" -|- a" -. Ii' Par permutation h" et h"' d'où résulte (I)' h' -. 1). -. b'b". |. c'c"). :. |. |. c'est-à-dire. |. :. Théorème VII. Les sommes des Corres coos/ro/'/s sor /ro/s segmen/s ooo conséco/r/s tfe'/erm/nés sor /es cd/és d'oo /r/oog/e r/oe/coogoe por /es /mo/eors correspoor/on/es soo/ égo/es.. La relation (16) a été établie sans l'intermédiaire du théorème de Pythagore.. Cnnstiquoncc udomûfrlque. De (16). :. (b'. -. — b". (a". -'). -. — a' -) -|- (c" - — c'. -). OU. (b'—b"). (b'. ou (Fig. 9). —b"). (a". |. a'). (a" — a'). |. (c". :. b. C L. a. C K. -I-. c. B. OU. CS -. CR - -I-. B. T. M. |. c'). (c"—-c').

(26) —. 121. —. Par suite les segments C S, C R et B T sont les côtés d'un triangle rectangle; d'où le théorème suivant:. Théorème VIII. 5/ avec /es p/eds (/es /(au/ears d'un /r/ang/e comme cen/res e/ /es pe///s segmen/s çu'e//es dé/erm/nen/ sur /es cô/és correspondan/s comme rayons on décr// des c/rcon/érences e/ qu'aux po/n/s où e//es coupen/ /es prends segmen/s on é/ève des 1 aux cô/és y'uspu'à /eurs po/n/s d'/n/ersec//on avec /es c/rcon/érences décr//es sur ces cô/és comme d/amè/res, /es d/s/ances de ces po/n/s aux ex/rém//és des prends segmen/s son/ /es cô/és d'un. /r/ang/e rec/ang/e.. T. Tig 5-. Remarqua. De (I)' ou (II" on peut déduire le théorème de Pythagore en supposant A — 90.

(27) Pig. il..

(28) —. 123. —. V.. Application des formules du groupe (1) Abaissons de deux sommets A et B d'un triangle ABC les hauteurs h' et h" sur les côtés opposés B C et A C et prolongeons-les jusqu'à leurs points d'intersection T et K avec les circonférences décrites sur ces côtés comme diamètres. Puis dessinons des circonférences avec les extrémités A et B du troisième côté comme centres et leurs distances à ces points K et T comme rayons (fig. 10). 1.. Soit Af un point d'intersection de celles-ci. Partons de la première des relations (1) " c a a' |- b b" :. ou. B. c-. T. -. -f ÂTÎ< -. -|- ATM. B M -. Par suite, M es/ s//ué sur ta c/rcou/éreuce décr/Ye sur A. #. comme d/amè/re. En outre, soit X le point d'intersection de cette circonférence et de la troisième hauteur h'" situé du même côté de A B que M. Nous avons : 1). Mais De. 1). 2). et 2) résulte. A XA MA M. b b". c c' A" K. -. b. b". A X. On en conclut que Af es/ cou/ourfu ovec. X. Nous sommes donc conduits au théorème suivant. :. Théorème IX. S/ /'ou décr/7 des c/reou/éreuces ayan/ pour eeu/res /es ex/réouïes d'un cô/é d'un /rtang/e acu/ang/e e/ pour rayons /eurs d/stances aux po/n/s d'/n/ersec/tan des Aau/eurs pu/ en par/en/ avec /es c/'rcon/érenres décr/'/es sur /es cô/e's opposés comnîe.

(29) 124. —. —. rfK/wèfres, ces cz'zrozz/erezzces se cozzpezz/ z/e /zz /ZYJz's/ème /zzzzz/ezzr. e/ z/e. /zz. pzzzzz/s. zzzza'. z/'/zz/mw/zozz. cz'rco/z/érezzce z/ecrz'/e szzr /e czz/é. zzppo.se co/7zme z/z'zzmèfre. Du théorème ci-dessus découle le suivant. :. Théorème X. Sz zzi'ec z/ezzA* ezi/e.s z/'zzzz. /zYzzzzg/e. z/zzzzzze/ces. cozzzzzzz". z/ecrzY. zzzz. z/es czrcozz/erezzces, e//es szzzz/ cozzpees pzzr /es /zzzzz/ezzzs corzespzzzzz/zzzz/es. en pzza/re pzzz'zz/s sz'/zze's szzr zzzze czYcozz/ez'ezzce zzyzzzz/ pozzr cezz/re /e pzz/zz/ z/'/zz/ezsec/zzzzz z/es z/czza czz/es czzzzszz/eres ///p.. ///.. Première démonsiraiizin (basée sur le théorème précédent). D'après le théorème qui précède, les circonférences (A K) et (B T| de centres A et B se coupent aux points d'intersection M, P de la circonférence de diamètre A B et de la hauteur correspondante h'". De même, les circonférences (A K) et (C T) de centres A et C se coupent aux points d'intersection K, Q de la circonférence de diamètre A C et de la hauteur correspondante h". Les quatre points M, P, K, Q sont donc bien sur une même circonférence de centre A (rayon A K).. Deuxième demonstration.. Soient respectivement M, P et K, Q les points où les circonférences décrites sur les côtés A B et A C comme diamètres sont coupées par les hauteurs correspondantes h'" et h".. 11. M est le symétrique de P par rapport A P := A M. A B, donc. à. et Q le symétrique de K par rapport à A C, donc. AQ=AK. 2). mais A K-. b. b". A M. et. -. c c'. d'où 3). A K. A M,. car. b. b". c c'.. :. :.

(30) 125. —. De. 1), 2). —. et 3| résulte. ap. ak. am. aq.. Les quatre points M, P, K, Q sont donc sur une même circonférence de centre A. Remarque. Les trois circonférences de centres A, B, C et de rayons A K, B P, C T auxquelles donne lieu le théorème X ont pour cen/re racffca/ l'orthocentre du triangle. En effet, du théorème IX résulte que les cordes communes à ces trois circonférences sont les hauteurs du triangle ABC.. *. *. *. Considérons un cercle de rayon r; choisissons un point extérieur quelconque P que nous joignons aux extrémités d'un diamètre quelconque A B, puis envisageons le triangle A B P ainsi obtenu (fig. 12). 2.. Soit. B P. A. a, P. b,. AB. Appliquons le théorème II au côté A B " :. c - a a' -| - b b" c. d'où ou. °. a(17). P. — -. a (a. b. -. — a"). — 2t. -. c.. :. |- b (b — b') 4r-. A - -|- P B - — 2 t -. 4. r-. Nous pouvons faire abstraction du triangle P A B et énoncer ce résultat sous forme de théorème :. Théorème XI. La somme des carrés coastraffs sur /es dzs/ances d'an poz'n/ e.v/ér/eor variable aa.v ex/rémz'/és d'ua d/amè/re quelconque d'un cerc/e /z'xe dz'mzVzzzée da carré /user// daas /e cerc/e ayau/ pour rayo/z /a /anên/e du po/n/ cozzsz'déré es/ u/ze z/zzarz/z/é cons/zzzz/e e/ épn/c au carré cozzs/ruz'/ sur /e dz'amé/re du cerc/e z/onné..

(31) Fig 12. La formule (17) est vérifiée directement dans les cas particuliers où le point P est sur la circonférence ou sur la tangente à l'une des extrémités du diamètre A B.. VI.. Conséquences résultant de la formule (17). La formule (17) permet d'établir une nouvelle démonstration du fhéorômo do la médiane. 1.. Soit A B C un triangle quelconque et soit à déterminer la longueur de la médiane M c du côté A B. Décrivons une circonférence sur A B comme diamètre et appliquons le théorème IX (formule 17) au point C (fig. 13) :.

(32) 127. —. rig CAou (fig. 13).... c. c-. -h. a-. +. d'où. b-. b. I. a-. (18). 43.. C B - — 21 a-. -. —. -. 4 r-. — 2 t-. 2. Mj. -f. b- —. -~ ^. C'es/ /a /ornzzz/e expr/nzan/ une nzéd/ane /ouc/z'o/z des /roz's co'/és.. d'un /rz'ang/e. en. *. Supposons que le point P soit //xe et la position du diamètre A B var/a/z/e (fig. 14) : 2.. Théorème XII. Pour /e même cerc/e, /a somme des carrés cons/ru//s swr /es dz's/ances d'an po/n/ ex/ér/eur //xe aux ex/rém//és d'an dz'amé/re r/ue/conc/ae es/ cons/an/e e/ éga/e au carré cous/ru// sur /e d/amê/re azzgmen/é du carré znscr/7 dans /e cerc/e aj'a/z/ pour ra;'on /a /angen/e /zzeuée du po/n/ au cerc/e donné : P A". +. P B. -. =-. (2 r) -. *. -|- (t \ 2). -. — const..

(33) —. Tig. 17.. 128. —. Fisrdâ..

(34) —. 129. —. Admettons que le point P soit var/aô/e mais assujetti à rester sur une circonférence concentrique au cercle donné et que la position du diamètre A B soit quelconque (fig. 15) : 3.. Théorème XIII. La somme des carrés coasfraLs sar /es d/s/ances d'à/; po/n/ pue/conçue d'an cerc/e aux ex/rém//és d'un d/amè/re çue/conpue d'au cerc/e /n/ér/eur concen/r/pue es/ cous/a/de e/ épa/e à /a somme des carrés z7zscr//s da a s /es deux cerc/es. En effet, nous avons (formule. PT - +. P~B. 17) :. =-2t-. 4r-. Ici, la longueur de la tangente t est la même pour chaque. position de P. t. :. -. R -. —. (r. V. r-. Remplaçons P Ä. -)- P B. -. P À - -|- P B. -. -. 2). -. — (R V'2)-. const,. P' A' - -J- P' B' const, pour tous les points P, P',.- sur la circonférence R et tous les diamètres A B, A' B',... du cercle r. ou. *. Supposons que P A soit constant, c'est-à-dire que le point P se déplace sur une circonférence ayant son centre à l'une des extrémités A du diamètre A B (fig. 16). La relation (17) devient: 4.. P B - —. d'où. (t. V 2. (2 r) -. — P A. -. const.. :. Théorème XIV. S/ un po/n/ P se dép/ace sur une c/rcon/érence ayan/ pour cen/re ane ex/rémz/é d'un d/amè/re d'un cerc/e donné, /a d///erence en/re /e carré cons/ru// sur sa d/s/ance à /'au/re ex/rém//é du 9.

(35) —. 130. —. d/aa7é/re e/ /e carre /'ascr/Y dans /e cerc/e ayant poor rayon /a /anpen/e da pö/n/ P es/ coa.sYaa/e e/ épa/e à /a c/;//e'reace des carres coas/ra;7s sar /e d/a/nè/re da cerc/e donné c/ /e rayon da cerc/e décr/7 par P. *. point mobile sur une circonférence R, r un cercle concentrique et^- un cercle tangent intérieurement à r 5. Soit P un. (fig. 17):. Théorème XV. £7aa/ donnés dea.v cerc/es /anên/s /n/ér/earen/en/, /e pe/// passaa/ par /e cea/re da praad, s/ aa po/a/ P se dép/ace sar aa cerc/e concen/r/pae aa grand /" /.e carré /ascr// daas /e cerc/e ayant paar rayon /a tangente da po/a/ P aa pe/// cerc/e d/aa'aaé da carré coas/ra// sar sa d/s/aace aa po/a/ de coa/ac/ des den* cerc/es es/ aae çaaa/f/é coas/aa/e e/ éga/e à /a d/f/érence des carrés coas/ra//s sar /es rayons des cerc/es concen/r/paes. 2" Le carré coas/ra// sar /a d/s/aace da po/a/ à /'ex/réa;//é da d/anzè/re da po/a/ de /aapeace aagnten/é da carré /ascr// daas /e cerc/e doa/ /c ra_voa es/ /a tangente da po/a/ aa pe/// cerc/e es/ aae paont/Yé coas/aa/e e/ éga/e à /a son/me des carrés coas/ra//s sar /e rayon da grand cerc/e doaaé e/ sa/ /e côté da tr/ang/e éça/ïa/éra/ /ascr// daas /e cerc/e gae décr/Y /e po/a/. En effet 1". :. Le cercle décrit par P ayant pour centre une extrémité C. d'un diamètre du cercle. r. on a, d'après le theoreme precedent:. -s-,. P B- — 2 t. (2 Jj-) - — R -. OU. (I). 2. t. -. — P B. -. R -. — r. -. const..

(36) —. —. 131. La première partie est ainsi démontrée.. point P se déplaçant sur un cercle concentrique au cercle r, on a pour ce point par rapport au cercle r la relation (th. XIII) : P~Â - -|- P B 2 r - -I- 2 R 2° Le. Additionnons avec P~A. (II) ce. +. (1). :. 2. t-. r-. +3. R -. const.. qui démontre la seconde partie. En outre, si l'on additionne (I) et (II). P~Â- — P~B. '. -|-. (2 t) -. :. (2 R) -. const.,. donc indépendant des rayons des cercles donnés. Cas. particulier du théorômc XV. Si R. et. 19). r, les relations (I) et (II) ci-dessus deviennent (fig. 18. :. (I)'. PB -. (II)'. P~A-. et s'expriment comme suit. 2. t-. + 2t*. ou. P B. t V'2. 4r-. :. Théorème XVI. Pour deux cercies tangents intérieurement de rayons dans te rapport / : 2, c/iapue corde du grand menée par te point de contact est égaie au côté du carré inscrit dans te cercfe ayant pour rayon fa tangente menée au petit cercie par fextrémité de ta corde.. Théorème XVII. Etant donnés deux cercies tangents intérieurement de rayons dans te rapport / ; 2, te carré construit sur ta distance d'un.

(37) -. 132. —. P.

(38) 133. —. —. po/n/ P d« grand à /'ex/rém//é da d/az;zé/re da po/n/ z/e con/ac/ azzgvnen/é z/zz carre /ascr/Y dans /e cerc/e don/ /e rayon es/ /a /anpen/e n/ene'e da po/n/ an cere/e z'n/ér/ear es/ «ne p«an///é cons/an/e e/ épa/e a« carre cons/r«// sar /e d/amé/re d« grand ccrc/e.. * 6. Soit A B C un triangle quelconque. Décrivons une circonférence sur chaque côté comme diamètre et menons-lui une tangente du sommet opposé; appelons a, b, c, les côtés du triangle, r', r", r'" les rayons des circonférences et t', t", t'" les longueurs des tangentes en question (fig. 20).. En appliquant le théorème IX, nous avons successivement ab -. c-. -. |- b - — 2. |-. +. t'" -. t' — a - — 2 t" c -. 2. |. b-'. |. c-. (f. \. 2~). -. 4 r'. -. 4. -. r" -. :. V'2)--)-(t"'. (t". |. r"'-. -. Additionnons membre à membre a ". 4. :. V. 2). ou:. ". Théorème XVIII. La somme des carrés cons/ra//s sar /es /ro/s cô/és d'un /r/ang/e pae/conpae es/ épa/va/en/e à /a som/ne des carrés z'nscrz'/s dans /es /ro/s cerc/es ayan/ pozzr cen/res /es somme/s da /r/azzg/e e/ pozzr rayons respec/z/s /es /azzgen/es menées de ces somme/s azz.r c/rcozz/érences décrz/es sar /es cô/és opposés comme d/amé/res. *. Soit A B un diamètre quelconque d'un cercle donné, P un point extérieur fixe ou mobile sur un cercle concentrique (fig. 21). 7.. Nous avons (formule. :. -. P~Â -. +. FM3 - — 2 t. P A -. -|-. P B - — 2 P A. P B cos y. d'autre part d'où. 17). P A. P B. cos y —. t. -. 4 r-. 4. r.

(39) —. -. 134. ou, en désignant par S la surface du triangle P A B. ~. S. cotg y. c'est-à-dire. :. :. Propriété. £/au/ donné «n. cerc/e, s/ /'on y'o/n/ un po/«/ ex/ér/eur P //xe (ou moôde sur un cerc/e concen/r/pue) 'aux ex/rém//és d'un d/amé/re var/aô/e du cerc/e donné, /e produ/f de /a sur/ace du /n'ang/e a/ns/ /ormé par /a co/angen/e de /'ang/e en P es/ cons-. /an/. Cette propriété permet de résoudre le problème suivant. :. Problôme. On donne un cercle de rayon r et un point extérieur P. Construire un diamètre de ce cercle tel que si l'on joint ses extrémités au point P, l'angle en P soit de 45" (fig. 22).. 45"; cotg x. X. La relation précédente devient 1). 1. :. t-. 2 S. Soit d la hauteur du triangle déterminé par le diamètre X Y cherché et le point P (fig. 23) : 2 S. 2). De. 1). et 2). :. t. -. 2. r. h. (2 r) h. t est donc moyen proportionnel entre 2 r et h ; / et r étant connus, on peut construire h. Connaissant /;, on décrira avec P comme centre une circonférence de rayon /; et on lui mènera du centre O du cercle r des tangentes qui coupent la circonférence r aux extrémités X Y, X' Y' des diamètres demandés. Il y a deux solutions..

(40) 135. —. —. Remarques. 1). Si. 30". y •. t-. 2 S. \ 3. :. r. (2. V'. 3 h. On peut construire la longueur (2 r \ 3 alors comme ci-dessus.. 2). Si. 60". y. t-. JL. 2 S. V. 2. 3. puis. h.. On termine. :. ^-L h \ 3. r. On construit facilement ——, puis h et par suite X Y et X' Y'. V 3. 3). Si y est quelconque. t. -. :. 2 S. cotg y. (2 r.. cotg. y), h.. On construit la longueur (2 r. cotg y) ; on peut alors construire h, puis X Y et X' Y' comme dans le problème ci-dessus.. Porrentruy, Novembre. 1913..

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