Herausfordernde Aufgaben zu Kubikwurzel mit TR, S.24

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Das ist Mathematik 4

Lehrwerk Online Arbeitsblatt PLUS

A2 Kubikwurzel (mit TR)

© Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2020. | www.oebv.at | Das ist Mathematik SB + E-Book+ 4 | ISBN: 978-3-209-10802-9 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet.

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Ó

1

7u24yc

Herausfordernde Aufgaben zu Kubikwurzel mit TR, S.24

Bemerkung zum Arbeiten mit dem TR: Kubikwurzeln sind – wie auch Quadratwurzeln – meist irrationale Zahlen. Der TR erlaubt es aber, gute Näherungswerte zu ermitteln. Bei den meisten TR steht eine ^𝑥𝑥�𝑦𝑦 -Taste oder eine entsprechende Tastenkombination 2nd ^𝑥𝑥√ zur Verfügung. Es kann allerdings auch sein, dass dir direkt die Kubikwurzel als Taste zur Verfügung steht.

Wenn nicht, kannst du mit der INV- und der 𝑦𝑦^𝑥𝑥-Taste arbeiten. Die INV-Taste kehrt die Wirkung der danach gedrückten Operationstaste um (der Name INV kommt vom „to invert“

(eng.) beziehungsweise „invertere“ (lat.) … „umkehren“). Da das Ziehen der 3. Wurzel die Umkehrung des Kubierens ist, wird durch INV 𝑦𝑦^𝑥𝑥 3 aus der in der Anzeige stehenden Zahl die 3. Wurzel gezogen. Z.B. wird mit C 2 INV 𝑦𝑦^𝑥𝑥 3 = die √2³ = 1,259... gezogen.

Bei Rechnern vom Typ I musst du zuerst den Wurzelexponenten eingeben, dann die

Tastenkombination 2nd ^𝑥𝑥√ drücken und die Zahl eingeben. Bei anderen Rechnern (TR Typ II) musst du zuerst die Zahl eingeben, dann die Taste ^𝑥𝑥�𝑦𝑦 drücken und zuletzt den

Wurzelexponenten eingeben.

Beispiel: Berechne ³√15.625 am TR.

TR Typ I: C 3 2nd ^𝑥𝑥√ ( 15.625 ) = 2.5

TR Typ II mit ^𝑥𝑥�𝑦𝑦 -Taste: C 15.625 ^𝑥𝑥�𝑦𝑦 3 = 2.5 TR Typ II ohne ^𝑥𝑥�𝑦𝑦 -Taste: C 15.625 INV 𝑦𝑦^𝑥𝑥 3 = 2.5

1. Schranken von Kubikwurzeln

a. Wie lauten die ersten sieben Kubikzahlen?

b. Vergleiche mit den Verfahren bei Quadratwurzeln: Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegen die folgenden Kubikwurzeln? Schreibe mit Hilfe des Zeichens < !

1) √10³ 2) √28³ 3) √60³ 4) √250³

2. Berechne mit dem TR! Runde auf zwei Nachkommastellen.

a. ³√271 b. ³�0,125 c. ³√55 d. ³√17,09

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A2 Kubikwurzel (mit TR)

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3. Ein würfelförmiges Aquarium fasst 90 Liter Wasser. Berechne seine Seitenlänge und gib in cm an!

4. Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 15 cm. Berechne sein Volumen. Ein zweiter Würfel hat ein nur halb so großes Volumen. Berechne seine Seitenlänge.

5. Wie groß ist die Kantenlänge des Würfels, wenn dieser 3 kg wiegt?

a. Würfel aus Eichenholz (𝜚𝜚= 670 kg/m³) b. Würfel aus Glas (𝜚𝜚= 2500 kg/m³) c. Würfel aus Platin (𝜚𝜚= 21450 kg/m³)

6. Auch bei Kubikwurzeln ist Vereinfachen durch partielles Wurzelziehen möglich.

Vereinfache folgende Terme.

a. ³√27𝑎𝑎² b. ³�𝑥𝑥³𝑦𝑦 c. ³√5𝑧𝑧³ d. ³√16𝑏𝑏⁶

7. Verwende die Primfaktorzerlegung, um folgende Kubikwurzeln durch partielles Wurzelziehen zu vereinfachen.

e. ³√88 f. ³√945 g. ³√864

8. Beweise, dass ³√2 irrational ist. Hinweis: Verwende ein ähnliches Argument wie beim Beweis der Irrationalität von Quadratwurzeln.

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Das ist Mathematik 4

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A2 Kubikwurzel (mit TR)

Ó

3

7u24yc

9. Für Quadratwurzeln gelten die Rechenregeln:

√𝑎𝑎 ⋅ √𝑏𝑏=√𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏, ^√𝑎𝑎

√𝑏𝑏 =�^𝑎𝑎_𝑏𝑏,

√𝑎𝑎+√𝑏𝑏 ≠ √𝑎𝑎+𝑏𝑏, √𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 ≠ √𝑎𝑎 − 𝑏𝑏.

Formuliere ähnliche Rechenregeln für Kubikwurzeln. Zeige durch Einsetzen von selbst gewählten Zahlen, dass sie tatsächlich stimmen.

Lösung

en

^1.

a.

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343

2< 1)

√10 ₃

<3

3< 2)

√28 ₃

<4

3< 3)

√60 ₃

<4

6< 4)

√250 ₃

<7

2.

≈ a.

6,47 0,5 b.

≈ c.

3,80

≈ d.

2,58

3.

Die S eitenl änge beträgt

ungefähr 44,8 c m.

V= 4.

3375

3 cm , Sei tenläng e des z

wei ten Wür fels

a

≈ 11,9 cm

5.

Die K antenlänge betr

ägt… . . . cm cm cm 16,5 10,6 5,2 ≈ ≈ ≈ a a a a. b. c.

6.

3 a.

2 √𝑎𝑎 ₃

𝑥𝑥� b.

𝑦𝑦 ₃

𝑧𝑧√ c.

5 ₃

2𝑏𝑏 d.

√2 2 3

7.

⋅√ a. 2

11 ₃

⋅√ b. 3

35 ₃

⋅√ c. 6

4 ₃

8.

Wir führ en einen i

ndirek ten B ewei

s. A ngenomm

√2 ₃ en, w äre r ation al. D ann wär

e

√2 ₃ in B ruc hform

√2 3 𝑚𝑚 = (mi 𝑛𝑛

𝑚𝑚 t , 𝑛𝑛∈

und ℕ 𝑚𝑚 , tei 𝑛𝑛 ler frem d) dar stel lbar . D urch

Kubi eren fol gt, dass

3 2𝑛𝑛

=

3 𝑚𝑚 Je . de Prim

zahl , die 𝑛𝑛 tei lt, t eilt auc h die l

ink e

Sei 2𝑛𝑛 te und d 3

amit auc h die r

echte S eite

3 𝑚𝑚

= 𝑚𝑚⋅

𝑚𝑚⋅

. Wegen der 𝑚𝑚 roduk ein P zahl rim enn eine P en (w zahl rim von P chaft Eigens

t natür lic her Z

ahlen auch zahl Prim ese s di gt, das en) fol Faktor inen der ch e ie au ilt s teilt, dann te

𝑚𝑚

teilt, ei n Wid

erspr uch z ur Tei ler frem dhei t von 𝑚𝑚 und . 𝑛𝑛

√𝑎𝑎 ₃ 9.

⋅√

𝑏𝑏 ₃

√𝑎𝑎 =

⋅𝑏𝑏 ₃

√𝑎𝑎 ₃ ,

√𝑏𝑏 ₃

=

𝑎𝑎 �

𝑏𝑏

, 3

√𝑎𝑎 ₃

√𝑏𝑏 ₃ +

≠√

𝑎𝑎 +

𝑏𝑏 ₃

√𝑎𝑎 ,

−√ 3

𝑏𝑏 ₃

≠√

𝑎𝑎−

𝑏𝑏 ₃

.

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A2 Kubikwurzel (mit TR)

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a5gf4k

Herausfordernde Aufgaben zu Intervallen, S. 30

1. Ordne entsprechend zu!

1 |a| < 2 D A -2 ≤ a ≤ 2

2 (-∞; 2] E B -2 < a ≤ 2

3 a ∈ (-2; 2] B C -2 ≤ a < 2 4 {𝑎𝑎 ∈ ℝ | 2≥|𝑎𝑎|} A D -2 < a < 2

E a ≤ 2 F -2 ≤ a

2. Wie viele Zahlen sind in der gegebenen Menge enthalten?

a. {𝑎𝑎 ∈ ℕ | 5≥|𝑎𝑎|}

b. {𝑎𝑎 ∈ ℤ| 𝑎𝑎= 0}

c. {𝑎𝑎 ∈ ℝ | 𝑎𝑎 > 2}

d. {𝑎𝑎 ∈ ℕ | 𝑎𝑎< 1}

3. Schreibe in Mengenschreibweise! Die erste Aufgabe ist bereits gelöst a. 𝑎𝑎 ∈(−∞; −7)→ {𝒂𝒂 ∈ ℝ | 𝒙𝒙< −𝟕𝟕}

b. 𝑏𝑏 ∈(−1; 8]

c. 𝑐𝑐 ∈[100;∞]

d. |𝑑𝑑| < 5

4. Stelle auf einer Zahlengeraden das Intervall (0,001; 0,01) dar!

Lösung

en

^1.

1D, 2E

, 3B, 4A a. 6 2.

b. 1 c.

unendlic h v iel e d. leer

e Menge 𝑥𝑥≤ 1< − ℝ | {𝑏𝑏∈ b. −7} < 𝑥𝑥 ℝ | {𝑎𝑎∈ a. 3.

8}

{𝑐𝑐∈ c.

ℝ | 𝑥𝑥

> 100 d. }

ℝ | {𝑑𝑑∈

− 5<

𝑥𝑥

< + 5}

4.

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B1 Rechnen mit Termen

Ó

1

p5q68a

Herausfordernde Aufgaben zu Rechnen mit Termen, S. 40

1. Löse die Klammern auf und fasse zusammen!

a. (3𝑎𝑎+ 4𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)−(𝑎𝑎 −2𝑏𝑏) + (𝑏𝑏+ 3𝑐𝑐) = b. (9𝑢𝑢 −5𝑣𝑣+ 2𝑤𝑤)− �8𝑢𝑢 −(6𝑤𝑤+ 3𝑣𝑣 − 𝑢𝑢)�= c. −�𝑥𝑥 −(𝑦𝑦+ 2𝑧𝑧)� −(𝑥𝑥+ 3𝑧𝑧 −(𝑧𝑧 −4𝑦𝑦)) = d. �8𝑟𝑟 − 𝑠𝑠 −(𝑡𝑡+ 5𝑟𝑟)�+�𝑠𝑠+𝑡𝑡 −(3𝑟𝑟 −2𝑠𝑠)�=

2. Multipliziere aus und fasse zusammen!

a. (4𝑎𝑎+ 5𝑏𝑏)⋅(3𝑎𝑎 − 𝑏𝑏+ 6) = b. (𝑥𝑥+ 1)⋅(𝑥𝑥+ 2)⋅(𝑥𝑥²−3) = c. (𝑐𝑐 −4𝑑𝑑+ 1)⋅(𝑐𝑐²− 𝑐𝑐+ 2𝑑𝑑) =

3. Vereinfache durch Anwenden der binomischen Formeln!

a. (2𝑥𝑥+ 3𝑦𝑦)²= b. (4𝑠𝑠 − 𝑡𝑡)⋅(4𝑠𝑠+𝑡𝑡) = c. (7𝑎𝑎 −5𝑏𝑏)²= d. (4𝑐𝑐+𝑑𝑑)³= e. (𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧)² =

f. (𝑢𝑢+𝑣𝑣+𝑤𝑤)⋅(𝑢𝑢+𝑣𝑣 − 𝑤𝑤) =

Hinweis zu e. und f.: Hier ist zweimaliges Anwenden der binomischen Formel und eine Zerlegung in z.B. 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧= (𝑥𝑥+𝑦𝑦) +𝑧𝑧 nötig.

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B1 Rechnen mit Termen

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2

p5q68a

4.

a. Beweise die Formel durch Ausmultiplizieren!

1) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 a b + 2 a c + 2 b c 2) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2 a b – 2 a c – 2 b c

b. Verwende zur Berechnung deine Formeln aus a)!

1) (2 x + y + 3 z)² = 2) (5 x + 2 y – z)² = 5. Zerlege in Produkte:

a. 25𝑎𝑎²+ 20𝑎𝑎𝑏𝑏+ 4𝑏𝑏² = b. 81𝑐𝑐²−144𝑑𝑑²= c. 27𝑡𝑡³−1 = d. 𝑢𝑢³+ 64𝑣𝑣³= e. 81𝑚𝑚⁴−16𝑛𝑛⁴=

6. Leite die binomische Formel

(𝑎𝑎+𝑏𝑏)²=𝑎𝑎²+ 2𝑎𝑎𝑏𝑏+𝑏𝑏²

her, indem du den Flächeninhalt des Quadrats in der Abbildung rechts

1) direkt über Seitenlänge mal Seitenlänge 2) als Summe der Fläche der vier Teilflächen I, II, III und IV berechnest.

7. Für welche natürliche Zahlen 𝑎𝑎,𝑏𝑏 beträgt das Produkt (𝑎𝑎+𝑏𝑏)⋅(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 1) 16 2) 21 3) 40 4) 55?

Weshalb ergibt (𝑎𝑎+𝑏𝑏)⋅(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) für zwei natürliche Zahlen 𝑎𝑎,𝑏𝑏 niemals 10, 14 oder 30? Gib eine weitere Zahl an, die (𝑎𝑎+𝑏𝑏)⋅(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) nie annehmen kann.

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B1 Rechnen mit Termen

Ó

3

p5q68a

Lösung en

1.

a.2𝑎𝑎 +7 𝑏𝑏 𝑐𝑐 +2 2𝑣𝑣 b. −

+8 c. −2𝑥𝑥− 𝑤𝑤

d. 2𝑠𝑠 +3 ₄ 𝑥𝑥 3𝑦𝑦 b. 𝑏𝑏 +30 𝑎𝑎 +24 ₂ 𝑏𝑏 5 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 +11 ₂ 12𝑎𝑎 a. 2.

3 𝑥𝑥

2 −𝑥𝑥

− 9𝑥𝑥−

6

c. 𝑐𝑐

− 3 2 4𝑐𝑐 𝑑𝑑 +6 𝑐𝑐𝑑𝑑

−𝑐𝑐

−

2 8𝑑𝑑

𝑑𝑑 +2 ên! êich ôrz ^{ie V} ^{hte d} ^Beac â. 3.

b.

1)

2 4x

2 + y + 9z + 4 2

xy + 1 2xz +

6yz z – 10x y – + 20x ₂ + z ₂ + 4y ₂ 25x 2)

4y z

4.

4𝑥𝑥 a.

+12 2

𝑥𝑥𝑦𝑦 +9

2 𝑦𝑦 b. 16𝑠𝑠

−𝑡𝑡 2 2

49𝑎𝑎 c.

− 2

70𝑎𝑎𝑏𝑏 +25

2 𝑏𝑏 64𝑐𝑐 d.

+48 3 2 𝑐𝑐 𝑑𝑑 +12

2 𝑐𝑐𝑑𝑑 +

3 𝑑𝑑

𝑥𝑥 e.

+2 2

𝑥𝑥𝑦𝑦 +

2 𝑦𝑦 +2 𝑥𝑥𝑧𝑧 +2 𝑦𝑦𝑧𝑧 +

2 𝑧𝑧 𝑢𝑢 f.

+2 2

𝑢𝑢𝑣𝑣 +

2 𝑣𝑣

2 −𝑤𝑤

5.

(5 a.

𝑎𝑎 +2

2 𝑏𝑏) b. (9

𝑐𝑐−

12𝑑𝑑 )(9 𝑐𝑐 +12 ) 𝑑𝑑

(3 c.

𝑡𝑡−

1)(

2 9𝑡𝑡 +3 𝑡𝑡 +1

) +16 4𝑢𝑢𝑣𝑣 − ₂ 𝑢𝑢 )( 𝑣𝑣 +4 (𝑢𝑢 d.

2 𝑣𝑣 ) f. (9

2 𝑚𝑚 +4

2 𝑛𝑛 )(3 𝑚𝑚 +2 𝑛𝑛)(3 𝑚𝑚−

) läc 2𝑛𝑛 a beide F . D ₂ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 +2 ₂ 𝑎𝑎 t efer 2) li g über hnun erec , B ₂ 𝑏𝑏) + (𝑎𝑎 t efer 1) li ng über echnu Ber 6.

hen

glei ch s ind, gilt al (𝑎𝑎 so +

2 𝑏𝑏)

=

2 𝑎𝑎 +2 𝑎𝑎𝑏𝑏 +

2 𝑏𝑏 .

7.

1) 5 und 3 2) 5 und 2

3) 7 und 3

4) 8 und 3 𝑎𝑎 h) enn lic . W 𝑏𝑏 en mög 𝑎𝑎− h e Lösung es auc eiter n ist al w st, dan anchm ade i ind m unger 𝑏𝑏 es s + 𝑎𝑎 eis: inw (HWenn

+ ger 𝑏𝑏 ade i st, dann i st es

auc 𝑎𝑎− h

. 𝑏𝑏 enau al. G 2 genau ei ei M tor zwfak rim tens indes 30 den P aber m der al, o n 10, 14 und ll M halte s ent ding 2 genau nu tor Aller fak ich. rim ögl ht m ) den P 𝑏𝑏 nic 𝑎𝑎− alls 𝑏𝑏)( enf + t jed(𝑎𝑎 al is o hat Als einm

n e erad ung 𝑢𝑢 it m ⋅𝑢𝑢 2 m For en der Zahl len: e Zah lbar stel dar e nicht ter. Mal Wei

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B2 Add. und Sub. von Bruchtermen

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1

u32rk3

Herausfordernde Aufgaben zu Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen, S. 51

1. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache!

a. 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑎𝑎²−9,𝑎𝑎²+ 6𝑎𝑎+ 9) = b. 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑥𝑥²𝑦𝑦⁴,𝑦𝑦³𝑧𝑧,𝑧𝑧²𝑥𝑥⁵) = c. 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑏𝑏²−1,𝑏𝑏²− 𝑏𝑏,𝑏𝑏²+𝑏𝑏) = d. 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑧𝑧⁴−1,𝑧𝑧³− 𝑧𝑧,𝑧𝑧²+𝑧𝑧) =

2. Addiere die Bruchterme! Welche Bedingungen müssen gelten, damit der Nenner nicht null ist?

a. _𝑧𝑧²₂+_2𝑧𝑧³ +^𝑧𝑧+2_3𝑧𝑧₃ = b. _{15(𝑎𝑎+1)}² +_10𝑎𝑎¹₂= c. ^𝑥𝑥²^−6𝑥𝑥

3𝑥𝑥⁴ +_𝑥𝑥²₃= d. ^2𝑚𝑚+1_𝑚𝑚₂_𝑛𝑛 +_𝑛𝑛¹₂=

3. Subtrahiere die Bruchterme! Welche Bedingungen müssen gelten, damit der Nenner nicht null ist?

a. _{𝑧𝑧(𝑧𝑧+2)}^6𝑧𝑧+5 −_𝑧𝑧^3𝑧𝑧₂₋₄= b. _𝑏𝑏−1¹ −_𝑏𝑏+1¹ = c. _2𝑦𝑦+4^5𝑦𝑦 −_{(𝑦𝑦+2)𝑦𝑦}^𝑦𝑦−2₂= d. ^𝑑𝑑+1_𝑐𝑐₃_𝑑𝑑−_𝑐𝑐^𝑐𝑐−2₂_𝑑𝑑₅=

4. Vereinfache die Bruchterme! Führe eine Probe durch! Wähle dazu x = a = m = 2, y = c = n = 3 und b =1!

Welche Bedingungen müssen gelten, damit der Nenner nicht null ist?

a. ¹_𝑥𝑥+_𝑦𝑦¹−_{𝑥𝑥𝑦𝑦}¹ = b. ^{𝑎𝑎+𝑏𝑏}_𝑐𝑐 +^{𝑏𝑏+𝑐𝑐}_𝑎𝑎 +^{𝑐𝑐+𝑎𝑎}_𝑏𝑏 = c. ^1−𝑚𝑚_𝑛𝑛 −^1−𝑛𝑛_𝑚𝑚 =

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B2 Add. und Sub. von Bruchtermen

Ó

2

u32rk3

5.

Lösung en

1.

(𝑎𝑎 a.

) +3 (𝑎𝑎− 2

3) 𝑥𝑥 b.

𝑦𝑦 5

𝑧𝑧 4

c. 2

𝑏𝑏(𝑏𝑏

− 2

d. 1) 𝑧𝑧(𝑧𝑧

− 4

1)

2.

9𝑧𝑧 a.

+14 2 𝑧𝑧+

4 3 6𝑧𝑧

, 𝑧𝑧≠

0

4𝑎𝑎 b.

+3𝑎𝑎 2 +3

2 30𝑎𝑎 (𝑎𝑎+

, 1)

𝑎𝑎≠

0, 𝑎𝑎≠

− 1

1 c.

2 3𝑥𝑥

, 𝑥𝑥≠

d. 0

2𝑚𝑚 𝑛𝑛+

𝑛𝑛+

2 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 2 𝑛𝑛

, 𝑚𝑚, 𝑛𝑛≠

0

3.

3𝑧𝑧 a.

−7𝑧𝑧 2

−10 𝑧𝑧(𝑧𝑧

−4 2

, )

𝑧𝑧≠

0, 𝑧𝑧≠

b. ±2

2 2 𝑏𝑏

, −1

𝑏𝑏≠

±1

5𝑦𝑦 c.

−2𝑦𝑦 3 +4

2 2𝑦𝑦 (𝑦𝑦+

, 2)

𝑦𝑦≠

0, 𝑦𝑦≠

d. −2

5 𝑑𝑑 4 +𝑑𝑑 2 −𝑐𝑐 +2𝑐𝑐

3 𝑐𝑐 5 𝑑𝑑

, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑≠

0

4.

𝑥𝑥+ a.

𝑦𝑦−

1

, 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑥𝑥, 0 Pr 𝑦𝑦≠

obe:

2

= 3 2+

3−

1

= 2⋅3 4

6

𝑎𝑎 b.

𝑏𝑏+ 2 2 𝑎𝑎 𝑐𝑐+

2 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 +𝑏𝑏 𝑐𝑐+

2 𝑎𝑎𝑐𝑐 +𝑏𝑏𝑐𝑐 2

𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐

, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐≠

Pr 0 obe: 8=

2 2

⋅1+

2 2

⋅ 3+

2 2⋅1 2 +1

⋅3+

2 2⋅3 +1⋅

2 3

2⋅3

= ⋅1 48 6

𝑛𝑛 c.

−𝑚𝑚 2

−𝑛𝑛+ 2 𝑚𝑚

, 𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑚𝑚, 𝑛𝑛≠

Pr 0 obe:

2

= 3 2 3 2 −2

−3+

2

= 3⋅2 4 6

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B2 Doppelbrüche

Ó

1

a6i66w

Herausfordernde Aufgaben zu Doppelbrüche und Division zweier Brüche (Polynomdivision), S. 54

1. Vereinfache den Doppelbruch!

a. ⁵⁺

3 4

3−⁵₈

=

b.

7 10⋅¹⁵₄

1+³₄

=

c.

1 2+⁵₃

4 3−¹₆

=

2. Vereinfache den Doppelbruch! Welche Bedingungen müssen gelten, damit der Nenner nicht null ist?

a.

3 𝑧𝑧+1𝑧𝑧−1

9

=

b. ¹⁻

1 𝑥𝑥

1+¹_𝑥𝑥

=

c. ¹⁻

1 𝑝𝑝2

2+²_𝑝𝑝

=

d.

1 𝑎𝑎−_𝑏𝑏¹

1 𝑎𝑎+_𝑏𝑏¹

=

3. In folgender Rechnung ist ein Fehler passiert:

𝑥𝑥−2𝑥𝑥+2 2 𝑥𝑥2−4

=𝑥𝑥 −2 𝑥𝑥+ 2 :

2 𝑥𝑥²−4 =

𝑥𝑥 −2 𝑥𝑥+ 2 :

2

(𝑥𝑥 −2)(𝑥𝑥+ 2) = 1

𝑥𝑥+ 2⋅𝑥𝑥+ 2 2 =

1 2 Erkläre, was falsch gemacht wurde und stelle richtig!

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B2 Doppelbrüche

Ó

2

a6i66w

Division zweier Terme (Polynomdivision)

Man möchte zwei Terme, zB 12𝑥𝑥³−31𝑥𝑥²+ 20𝑥𝑥 und 3𝑥𝑥 −4 dividieren. Wie geht man vor?

Beim Dividieren durch Polynome gehen wir ähnlich vor wie beim Dividieren von Zahlen.

Wenn wir dividieren, führen wir einige Rechenschritte im Kopf aus und schreiben sie nicht auf (siehe Rechnung unten). Zum Beispiel rechnet man beim ersten S chritt:

1. 21 ist in 72 3-mal enthalten.

2. 3 · 21 = 63; 72 – 63 = 9 (Rest) 3. Nächste Stelle 8 herab usw.

Dieses Verfahren wenden wir auch beim Dividieren durch Polynome an.

4. Führe die Divisionen durch! Welche Bedingungen müssen die Variablen jeweils

erfüllen? Führe jeweils die Multiplikationsprobe durch!

5. Führe die Divisionen durch! Welche Bedingungen müssen die Variablen jeweils erfüllen?

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B2 Doppelbrüche

Ó

3

a6i66w

Lösung en

1.

46 a.

b. 19 3

c. 2 13 7

2.

27 a.

2 𝑧𝑧

, −1

𝑧𝑧≠

±1

𝑥𝑥− b.

1 𝑥𝑥+

, 1

𝑥𝑥≠

0, 𝑥𝑥≠

− 1

𝑝𝑝− c.

1

, 2𝑝𝑝

𝑝𝑝≠

0, 𝑝𝑝≠

1 −

𝑏𝑏− d.

𝑎𝑎 𝑏𝑏+

, 𝑎𝑎

𝑎𝑎 , 𝑏𝑏≠

0, 𝑏𝑏 + 0 𝑎𝑎≠

3.

Bei m D ivi dier en durch

einen B ruc h mus s m it dem Kehr

wer t des Bruc

hes kür 2) x – ch ( h nicht dur ruc h der B sic ässt erden und dann l ert w izi tipl mul

zen

. ng: tellu ² htigs ^𝑥𝑥− Ric

𝑥𝑥+

2 ² 𝑥𝑥2−

= 4

𝑥𝑥−

2 𝑥𝑥 : +2 2

2 𝑥𝑥 4= − 𝑥𝑥−

2 𝑥𝑥 : +2 2

2)( (𝑥𝑥−

𝑥𝑥 )= +2 𝑥𝑥−

2 𝑥𝑥

⋅ +2 2)( (𝑥𝑥−

𝑥𝑥 ) +2

= 2 2) (𝑥𝑥−

2

4.

a.

p + 2;

−2; Probe: ( 𝑝𝑝≠

p + 2) (2p + 4) = 2p

+ 8p + 8 2

b.

4p + 3;

𝑝𝑝≠

5 −

; Probe: ( 2

4p + 3) (2p + 5) = 8p

+ 26p + 2

15

c.

3p + 1; 𝑝𝑝≠

2

; Probe: ( 3

3p + 1) (3p + 2) = 9p

+ 9p + 2 2

d.

9p + 7;𝑝𝑝≠

9 −

; Probe: ( 7

9p + 7) (7p + 9) = 63p

+ 2

130p + 63

5.

a.

5u + 2v; 2u ≠ –

3v 7v ≠ 3v ≠ – ; u ≠ 7v 2u + 7v; 5u 6u + v; 8u – 5u + 9v b. c. d.

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C1 Bruchgleichungen

Ó

1

wa9n48

Herausfordernde Aufgaben zu Bruchgleichungen, S. 68

1. Löse folgende Bruchgleichungen. Welchen Wert darf die Variable nicht annehmen?

a. _6𝑠𝑠+7^3𝑠𝑠 =_2𝑠𝑠+5^𝑠𝑠−1 b. _𝑢𝑢+2^4𝑢𝑢 −_𝑢𝑢−5^3𝑢𝑢 = 1 c. _𝑥𝑥+2¹ +_𝑥𝑥−2² =_𝑥𝑥₂⁵₋₄ d. _2𝑎𝑎+3^𝑎𝑎 −_{2𝑎𝑎−3}^𝑎𝑎 =_4𝑎𝑎⁹₂₋₉

2. Gegeben ist die Bruchgleichung ¹_𝑥𝑥+_2𝑥𝑥¹ =_𝑥𝑥−1¹ . Kreuze die dazu passende Textaufgabe an und löse anschließend die Gleichung. Welche Werte darf die Variable nicht haben?

o Addiert man den Kehrwert einer Zahl zum Kehrwert des Zweifachen dieser Zahl, so erhält man den Vorgänger dieser Zahl.

o Addiert man den Kehrwert einer Zahl zum Kehrwert des Zweifachen dieser Zahl, so erhält man den Vorgänger des Kehrwerts dieser Zahl.

o Addiert man den Kehrwert einer Zahl zum Kehrwert des Zweifachen dieser Zahl, so erhält man den Kehrwert des Vorgängers dieser Zahl.

o Addiert man den Kehrwert einer Zahl zum Zweifachen des Kehrwerts dieser Zahl, so erhält man den Vorgänger dieser Zahl.

o Addiert man den Kehrwert einer Zahl zum Zweifachen des Kehrwerts dieser Zahl, so erhält man den Kehrwert des Vorgängers dieser Zahl.

3. Dividiert man den Kehrwert einer Zahl durch das Doppelte des Kehrwerts ihres Nachfolgers, so erhält man ₁₆⁹. Übersetze diesen Sachverhalt in eine

Bruchgleichung und löse diese. Welchen Wert darf die Variable dabei nicht annehmen?

(18)

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C1 Bruchgleichungen

Ó

2

wa9n48

4. Löse die Gleichungen! Die Lösung der Gleichung gibt jeweils die Nummer eines Buch-stabens im Alphabet an (zB bezeichnet die Lösung x = 1 den Buchstaben A, x = 10 den Buchstaben J). Hat eine Gleichung keine Lösung, bedeutet dies einen Zwischenraum z wischen zwei Wörtern. Die Buchstaben der Aufgaben 1)–

12) ergeben, hintereinander gelesen, eine sinnvolle Aussage.

5. 30 % einer Zahl sind um 3 kleiner als ein Drittel dieser Zahl. Berechne die Zahl!

Lösung en

1.

𝐿𝐿 a.

=

1 �−

� 2

, 𝑠𝑠≠

7 − , 6

𝑠𝑠≠

5 − b. 2

𝐿𝐿

=

10 �

� 23

, 𝑢𝑢≠

−2, 5 𝑢𝑢≠

𝐿𝐿 c.

={1 𝑥𝑥≠ }, ±2

𝐿𝐿 d.

={

𝑎𝑎≠ },

3 ±

2

2.

Addi ert m an den Kehr

wer t einer Zahl zum Kehr wer t des Zw eifac hen dies

er Zahl

, Zahl. eser s di 1) orgänger 𝑥𝑥≠ 0, t des V (𝑥𝑥≠ wer t 3. e Zahl is an den Kehr ucht hält m so er Die ges

3.

Gle ichung:

1𝑥𝑥 2 𝑥𝑥+

= 1 9

, 16

𝑥𝑥≠

0, 𝑥𝑥≠

−1

Lösung:

𝑥𝑥

=8 HTIG IC ALLE R 90 4. 5.

(19)

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D3 Allgemeine lineare Funktionen

Ó

1

zs7j6w

Herausfordernde Aufgaben zu Allgemeine lineare Funktionen, S. 95

1. a. Finde alle Funktionen, deren Graphen parallele Geraden sind!

𝑓𝑓₁:𝑦𝑦=𝑥𝑥 𝑓𝑓₂: 𝑦𝑦=−3𝑥𝑥+ 1 𝑓𝑓₃:𝑦𝑦=−2𝑥𝑥+ 4 𝑓𝑓₄:𝑦𝑦= 2𝑥𝑥 −4 𝑓𝑓5:𝑦𝑦=−3𝑥𝑥+ 6 𝑓𝑓6:𝑦𝑦= 2𝑥𝑥 𝑓𝑓7:𝑦𝑦= 5 𝑓𝑓8:𝑦𝑦= 2𝑥𝑥+ 5

b. Gib zu den parallelen Geraden, jene Funktion hat, die dieselbe Steigung hat, aber durch den Nullpunkt verläuft.

2. Von einer linearen Funktion y = kx + d kennt man einen Punkt P und die Steigung k bzw. den Abschnitt d. Wie lautet die Funktionsgleichung?

a. 𝑃𝑃= (3|5),𝑘𝑘=³₅ b. 𝑄𝑄= (1|−2),𝑑𝑑= −2 c. 𝑅𝑅 = (−2|1),𝑘𝑘 = −¹₂ d. 𝑆𝑆= (−3|0),𝑑𝑑= −3

3. Gib eine zur gegebenen Funktion 𝑓𝑓 parallele Funktion 𝑔𝑔 an, sodass der Punkt 𝑃𝑃 auf der Funktion g liegt.

a. 𝑓𝑓:𝑦𝑦= 2𝑥𝑥,𝑃𝑃 = (3|1) b. 𝑓𝑓:𝑦𝑦= 3𝑥𝑥 −4,𝑃𝑃= (0|−1) c. 𝑓𝑓:𝑦𝑦=−𝑥𝑥+ 6,𝑃𝑃 = (−4|2)

4. Zwei Anbieter für E-Scooter-Verleih haben unterschiedliche Preise. Bei Anbieter A ist der Basispreis für eine Fahrt 2,50 € und dann für jede angefangene Minute 10 Cent. Bei Anbieter B ist der Basispreis 1 € und dann für jede angefangene Minute 20 Cent. Löse die folgenden Aufgaben graphisch!

a. Selina will 10 Minuten fahren. Welcher Anbieter ist hier günstiger?

b. Alex will 30 Minuten fahren. Welcher Anbieter ist hier günstiger?

c. Ab wie viel Minuten Fahrzeit ist Anbieter A günstiger als Anbieter B?

(20)

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D3 Allgemeine lineare Funktionen

Ó

2

zs7j6w

5. Wird ein Stab erwärmt, so dehnt er sich aus. Seine Länge l (in Meter) bei der Temperatur t (in °C) ist gegeben durch 𝑙𝑙 = 𝑙𝑙₀ (1 + 𝛼𝛼 𝑡𝑡). Dabei sind 𝑙𝑙₀ und α Konstanten. α heißt linearer Ausdehnungskoefﬁzient und hängt vom Material des Stabes ab.

a. Welche Bedeutung hat 𝑙𝑙₀?

b. Wie groß ist die Steigung der Funktion 𝑙𝑙(𝑡𝑡)?

c. Um wie viel dehnt sich der Stab bei Erwärmung 1) um 1° C,

2) um 2° C, 3) um t° C aus?

d. Zwei Stäbe gleichen Materials haben bei einer Temperatur von 0° C verschiedene Längen. Welcher Stab dehnt sich bei Erwärmung um 1° C stärker aus? Begründe deine Antwort!

Lösung

en

^1.

𝑓𝑓 a.

und 2

𝑓𝑓 si 5

nd par allel 𝑓𝑓 , , 4

𝑓𝑓 und 6

𝑓𝑓 si 8

nd par allel .

b. di rek t pr oportional 𝑓𝑓 zu

und 2

𝑓𝑓 : 5

𝑦𝑦

−3𝑥𝑥; di = rek t pr oportional 𝑓𝑓 zu

, 4

𝑓𝑓 und 6

𝑓𝑓 : 8

𝑦𝑦 𝑥𝑥 =2

2.

a.

3 y = 𝑥𝑥 5 16 + b. 5

y = -2 c. 𝑦𝑦

=

1 − 𝑥𝑥 2

d. y

= -x -3

3.

𝑔𝑔: a.

𝑦𝑦

=2 𝑥𝑥−

5

𝑔𝑔: b.

𝑦𝑦

=3

1 2 − 𝑥𝑥− −x = c. g: y

4.

a. Anbi eter B (bl au in Graph)

Graph) in en (rot A inut eter 15 M b. Anbi c. Ab

a. 5.

l ent 0

spr icht de m d aus y = kx + d und bed eutet di e St ablänge bei 0

° C

. rspr U ⋅a ⁰ l ⋅ t on der k v 3) um , da aus ker stär ich ⋅ a ⁰ dehnt s l ⋅ 2 äbe 2) um den St bei e der ⋅ a ⁰ l · a ⁰ l länger k = 1) um Der b. c. d.

ungslänge . gl. 2) (v ist abhängig

(21)

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E2 Textaufgaben Gleichungs.

Ó

1

7tu5ez

Herausfordernde Aufgaben zu Textaufgaben lineare Gleichungssysteme, S. 125

1. Gib die Funktionsgleichung jener Geraden an, die durch die beiden Punkte geht!

a. 𝑃𝑃= (4|5),𝑄𝑄= (−2|2) b. 𝑃𝑃= (−1|3),𝑄𝑄= (2|0) c. 𝑃𝑃= (−3|4),𝑄𝑄= (1|5)

2. Julia fährt mit dem Fahrrad von Bregenz nach Dornbirn, um ihre Großmutter, die in Dornbirn wohnt, zu besuchen. Dornbirn ist 10 km von Bregenz entfernt. Julia fährt um 14:30 los und ist mit 18 km/h unterwegs. Zehn Minuten, nachdem Julia aufgebrochen ist, fährt ihr ihr Bruder Lukas mit dem Fahrrad hinterher. Er ist mit 27 km/h unterwegs. Sobald er sie eingeholt hat, fahren sie den Rest der Strecke gemeinsam mit 20 km/h.

a. Wann holt Lukas Julia ein?

b. Wann kommen die beiden bei der Großmutter an?

3. Die Zugstrecke zwischen Wien und Linz ist 190 km lang. Ein Zug verlässt Linz um 16:15 und fährt mit einer Geschwindigkeit von 150 km/h nach Wien. Ein anderer Zug verlässt Wien um 16:30 und fährt mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h nach Linz. Wann und wie weit von Wien entfernt begegnen die beiden Züge einander?

(22)

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E2 Textaufgaben Gleichungs.

Ó

2

7tu5ez

4. Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 4:5. Verkürzt man beide Seiten des Rechtecks um 2 cm, so wird der Flächeninhalt um 50 cm² kleiner. Wie groß sind die Seiten dieses Rechtecks?

5. Bei starken Blutverlusten wird häuﬁg eine 0,9 %-ige Kochsalzlösung in die Blutbahn eingeführt.

Mit wie viel Liter destilliertem Wasser muss man 549 ml einer 2 %-igen Kochsalz- lösung verdünnen, um die erforderliche Konzentration herzustellen?

6. Ein Zug mit 80 m Länge fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 72 km/h. Er passiert einen stehenden Güterzug in 10 s. Wie lang ist der Güterzug?

Lösung en

1.

a. 𝑔𝑔 : 𝑦𝑦

𝑥𝑥 = +3 2

b. 𝑔𝑔:

𝑦𝑦

=

−𝑥𝑥 c. 𝑔𝑔 +2

: 𝑦𝑦

𝑥𝑥 = + 4 19 4

2.

a. Luk as hol t Jul ia 30 min

nachdem sie aufgebr

ochen i st, a

lso um 15.00 ei

n. on Wien m v 83 k rund ind 58 und s utter an. . dünnen. etwa 16: Großm on 120 m ver lang. ser nder um 5 cm l Was eina ne Länge v 15:03 bei der it 671 m ind 12 und 1 men um zug hat ei uss m eiten s e kom Güter b. Si Die Züge begegnen entfernt. Die S Man m Der 3. 4. 5. 6.

(23)

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Lehrwerk Online Arbeitsblatt EINFACH F3 Boxplot (Kastenschaubild)

Ó

1

u2536v

Herausfordernde Aufgaben zu Boxplot, S. 152

1. Bestimme den Median sowie das erste und dritte Quartil und zeichne einen Boxplot für folgende Liste!

89, 91, 91, 92, 94, 95, 95, 95, 96, 99, 100, 101, 101, 103, 103, 104, 105

2. Gib eine Liste mit a. 𝑛𝑛 = 9 Werten, b. 𝑛𝑛 = 10 Werten, c. 𝑛𝑛 = 11 Werten, d. 𝑛𝑛 = 12 Werten,

an, deren 𝑞𝑞1 bei 20, 𝑞𝑞2 bei 25 und 𝑞𝑞3 bei 33 liegt!

3. Kreuze die richtigen Aussagen zum dargestellten Boxplot an.

Stelle die falschen Aussagen richtig!

□ A Der Quartilsabstand beträgt 2.

□ B Es liegen ca. gleich viele Werte zwischen 53 und 58 wie zwischen 61 und 62.

□ C Etwa 50% der Werte liegen zwischen 59 und 61.

□ D Die Spannweite beträgt 11.

(24)

Das ist Mathematik 4

Lehrwerk Online Arbeitsblatt EINFACH F3 Boxplot (Kastenschaubild)

Ó

2

u2536v

4. Das Ergebnis einer Befragung unter Studierenden der Universität Wien zu ihrer Körpergröße wurde in folgendem Boxplot zusammengefasst:

a. Lies daraus den Median, das erste und dritte Quartil sowie Minimum und Maximum der Körpergrößen der männlichen Studenten ab!

b. Lies daraus den Median, das erste und dritte Quartil sowie Minimum und Maximum der Körpergrößen der Studentinnen ab!

c. Kann man aus den obigen Boxplots auch den Median, das erste und dritte Quartil sowie Minimum und Maximum der Körpergrößen aller

Studierenden bestimmen? Wenn ja, gib den Wert an, wenn nicht, begründe warum!

5. Kreuze die richtigen Aussagen an und begründe deine Antworten.

□ A Das erste Quartil ist stets kleiner als das dritte Quartil.

□ B Die Spannweite minus die Längen der Antennen ergibt den Quartilsabstand.

□ C Etwa 25% der Werte sind größer als 𝑞𝑞1.

□ D Der Median ist das arithmetische Mittel von erstem und drittem Quartil.

□ E Der Median und das Minimum können gleich groß sein.

(25)

Das ist Mathematik 4

Lehrwerk Online Arbeitsblatt EINFACH F3 Boxplot (Kastenschaubild)

Ó

3

u2536v

Lösung en

𝑞𝑞 1.

=94 1

, 𝑞𝑞

=96 2

, 𝑞𝑞

=101 3

2.

a. z.B . 16, 19,

20

, 24, 25, 27, 33, 34, 36 9, 20 18, 1 b. z.B.

, 20, 24 , 26, 27,

33, 33, 33 25, 27, 30, 20, 21, 22, . 15, 17, z.B c.

33, 34, 35 , 31, 33, 33 , 23, 27 19, 21, 21 . 11, 18, d. z.B

, 35, 37 üssen fe s m ding , aller ich ungen mögl e Lös (ander

tt m arki erte Zahl

en an der e den Wer ahlenpaar ichene Z rstr ein und unte le s den Stel echen entspr

t des haben) Mittel ches etis ithm3. als ar eträgt tils tand b sabs den Quar uartil echen er Q entspr A D 3.

B Es liegen ca. gl

eich v iel e Werte z

wis chen 53 und 59 w

ie z wis chen 61 und 62.

C Etw a 25% der

Werte l iegen z wis

chen 59 und 6 1.

(oder : Etw

a 50% der Werte l

iege n zw isc hen 59 und 62.)

D ric htig

4.

min a.

=160 cm ,q

=176 1

cm ,q

=180 2

cm ,q

=185 3

cm ,m ax=

204 cm

184 cm ax= ,m cm =172 ³ ,q cm =168 ² ,q cm =163 ¹ ,q cm =151 b. min

ten Datens können anhand der ³ 𝑞𝑞 und ² an den gesam 𝑞𝑞 , ¹ hte m e 𝑞𝑞 uartil u bräuc ie Q . D erden, daz 204 cm mt w ax= tim ,m cm nicht bes =151 plots min c. Box

atz. st. ich i h mögl auc ³ 𝑞𝑞 = ¹ 𝑞𝑞 eil sch, w A Fal 5.

B R ichti g

C Fal sch, w eil es

„kl eine r“ s tatt größ

er hei ßen sol

lte ( 𝑞𝑞 bzw

statt 3

𝑞𝑞 ). 1

D Fal sch, w eil z

.B. A ufgabe 1 ei n Gegenbei

spi el w äre.

E R ichti g, wei

l z .B. der D atensatz

1,1,1,1,2 M ini

mum 1 und M

edian 1 hat.

(26)

(27)

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G4 Flächeninhalt des Kreissektors

Ó

1

vw55u2

Herausfordernde Aufgaben zu Flächeninhalt des Kreissektors und Kreissegment, S. 173

1. Berechne die fehlenden Größen des Kreissektors.

Kreissektor a. b. c. d. e.

r 6 cm 2 m 14 mm

b 3 m 4,2 m

α 75° 215°

A 200 mm² 31 cm² 6,3 m²

2. Der Scheibenwischer eines Autos dreht sich 115° um seinen Drehpunkt. Das Wischblatt des Scheibenwischers ist 60 cm lang, sein inneres Ende ist 15 cm vom Drehpunkt entfernt.

a. Wie groß (in Quadratmeter) ist die Fläche, die gewischt wird?

b. Wie lang (in Meter) ist der Rand der gewischten Fläche?

3. Kreuze die richtigen Aussagen an. Stelle die falschen Aussagen richtig.

□ Wird der Zentriwinkel bei gleichbleibendem Radius verdoppelt, so verdoppelt sich der Flächeninhalt.

□ Wird der Radius bei gleichbleibendem Zentriwinkel verdoppelt, so verdoppelt sich der Flächeninhalt.

□ Wird der Radius bei gleichbleibender Bogenlänge verdoppelt, so verdoppelt sich der Flächeninhalt.

□ Wird der Radius verdoppelt und die Bogenlänge halbiert, so bleibt der Flächeninhalt gleich.

□ Wird der Radius verdoppelt und der Zentriwinkel halbiert, so bleibt der Flächeninhalt gleich.

(28)

Das ist Mathematik 4

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G4 Flächeninhalt des Kreissektors

Ó

2

vw55u2

4. Eine bogenförmige Autobahnabfahrt soll errichtet werden. Der Kurvenbogen zwischen den Punkten A1 und A2 hat einen äußeren Radius r1 von 135,5 m, die Fahrbahn ist 12,5 m breit, der zugehörige Zentriwinkel α beträgt 135° (➔ Figur rechts).

a. Wie viel Meter Leitschienen sind in

dieser Kurve für den inneren und äußeren Fahrbahnrand (von A1 bis A2 und von B1 bis B2) insgesamt nötig?

b. Wie viel Quadratmeter Straßenbelag werden für die Kurve benötigt?

5. Einem Kreis mit Radius 𝑟𝑟 wird ein regelmäßiges Sechseck eingeschrieben.

a. Berechne (in Abhängigkeit von 𝑟𝑟) die Größe der Kreisfläche, die nicht von dem Sechseck überdeckt wird.

Hinweis: zerlege in sechs Kreissegmente mit Zentriwinkel je 60°.

b. Welchen Prozentanteil der Kreisfläche macht das Sechseck aus?

(29)

Das ist Mathematik 4

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G4 Flächeninhalt des Kreissektors

Ó

3

vw55u2

Lösung en

Kreissekt 1.

or a.

b.

c.

d.

e. 𝟑𝟑 𝐜𝐜 4,2 𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝟖𝟖 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜 , 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟖𝟖𝟕𝟕 𝐜𝐜𝐜𝐜 , 14 mm 𝟐𝟐𝟖𝟖 2 m 3 m 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝐜𝐜𝐜𝐜 6 cm 𝟕𝟕, r b

m𝟐𝟐𝟏𝟏 , 𝟖𝟖𝟎𝟎 215° ° 𝟗𝟗𝟑𝟑 , 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ° 𝟗𝟗𝟒𝟒 𝟖𝟖𝟖𝟖, 75° α

° ₂ m 6,3 ₂ 31 cm ₂ m 200 m _𝟐𝟐 𝟑𝟑𝐜𝐜 _𝟐𝟐 𝟖𝟖𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜 , 𝟐𝟐𝟑𝟑 A

2.

𝐴𝐴≈ a.

0,54

2 𝑚𝑚 b. 𝑈𝑈≈

𝑚𝑚 3,00 bei gl adius R htig Ric Wird der a. b. 3.

eichbl eibende m Zentr

iw ink el v erdopp elt, s

o , so bl geviertelt el ink iw Zentr t. heninhal pelt und der Fläc erdop ch der us v si Radi facht htig htig vervier Ric Ric Wird der c. d. e.

eibt der bier el hal ink iw r Zentr ppelt und de erdo us v Radi eich. lt gl Wird der ve: heninha ternati Fläc (Al

t, so gt. ag benötigt. enen benöti traßenbel tschi .) ) Lei 3 806,7…) S und 610 m (609,0… und 3 810 m2 ( sich der Flächeninhalt erden r erden r verdoppelt Es w Es w a. b. 4.

5.

𝑟𝑟 a.

𝜋𝜋− 2 2 3𝑟𝑟

√3

b. 2

≈ % 83

(30)

(31)

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H2 Pythagoras bei Dreiecken

Ó

1

jd36xy

Herausfordernde Aufgaben zu Satz des Pythagoras bei allgemeinen Dreiecken, S. 188

1. In einem gleichschenkligen Dreieck mit Basis 𝑐𝑐, Höhe ℎ𝑐𝑐 und Schenkeln 𝑎𝑎=𝑏𝑏 sind einige der Größen bekannt. Berechne die fehlende Größe. Berechne weiters auch Umfang und Fläche.

a. 𝑐𝑐= 10 𝑚𝑚,ℎ𝑐𝑐 = 12 𝑚𝑚 b. 𝑐𝑐= 72 𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑎𝑎= 85 𝑚𝑚𝑚𝑚 c. 𝑎𝑎= 60 𝑐𝑐𝑚𝑚,ℎ_𝑐𝑐 = 11 𝑐𝑐𝑚𝑚

2. Berechne die Gesamtlänge der orange eingezeichneten Balken in den dargestellten Dachkonstruktionen! (Maße in Meter)

3. Wie viel Prozent der Fläche des nebenstehend abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks ABC mit b = 52 cm und c = 65 cm sind blau?

Hinweis: ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ≠90°