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Tipp: Für die Vereinigungsstabilität für Mi ∈ T setze man Ai = Mci und benutze (2) und (3), umT i∈I Ai ⊆h T i∈I Ai ! ⊆T i∈I Aizu zeigen

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J. Wengenroth SS 2013

M. Riefer 23.04.2013

Topologie Übungsblatt 2

Abgabe: Dienstag, 30. April 2013, Übungskasten 5 Aufgabe 5

Seien Xeine Menge, P(X) ihre Potenzmenge und h : P(X) → P(X) mit folgenden Eigenschaften:

(1) h(∅)=∅, (2) A⊆h(A), (3) h(A)=h(h(A)),

(4) h(A∪B)=h(A)∪h(B).

Dann ist T = {M⊆ X : Mc = h(Mc)}eine Topologie mitM =h(M) für alle M⊆X.

Tipp: Für die Vereinigungsstabilität für Mi ∈ T setze man Ai = Mci und benutze (2) und (3), umT

iI

Ai ⊆h T

iI

Ai

!

⊆T

iI

Aizu zeigen.

Aufgabe 6

SeienXeine Menge undB ⊆P(X) ein System mit (1) SB =X(d.h. jedesx∈Xist Element einesB∈B) (2) A∈B,B∈B ⇒A∩B∈B

Dann istτ(B)= {M⊆ X: ∀x ∈ M∃B ∈B mitx ∈B ⊆M}eine Topologie

mitB ⊆τ(B). Außerdem gilt für jede ToplogieT aufXmitB ⊆ T auch

τ(B)⊆T.

Aufgabe 7

SeienB ={[a,b[:a,b∈R}undS =τ(B) wie in Aufgabe 6.

(a) Für die vom Betragsabstand erzeugte TopologieT giltT ⊆S. (b) Für allea,b ∈Rist [a,b[S-abgeschlossen.

(c) FürM⊆Rundx∈ Rgiltx∈MS genau dann, wenn esxn ∈M∩[x,∞[ gibt, so dass lim

n→∞xn=x.

(2)

(d) Eine Funktion f : (R,S) → (R,T ) ist genau dann in x ∈ R stetig, wenn f inxrechtsseitig stetig ist (d.h. lim

xyxf(y)= f(x)).

Aufgabe 8

Für einen metrischen Raum (X,d) und∅,A⊆Xsei dist(x,A)=inf{d(x,a) :a∈A}. (a) Zeigen Sie, dassx7→ dist(x,A) aufXstetig ist.

(b) Zeigen Sie, dass durch

H(A,B)=sup{dist(x,B) : x∈A} ∪ {dist(y,A) : y∈B} eine Halbmetrik aufP(X)\ {∅}definiert ist.

(c) Berechnen SieH(A,A) für alleA∈P(X)\ {∅}.

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