Lesung 9

(1)

Lesung ⁹

Steffen ^Reith

14.6.17

(2)

Zeige

^, ^dass

für

^alle ^AENP

gilt

^A ^Ein ^SAT

_{

^fest ^, ^Poyuom

Sei M eine nicht det . 1- Band TM _, die A in Zeit nk

akzeptiert

^,

wobei M ⁼ ( _Q

, Z

, 8 _, qo ,

F)

^. ^Sei

wzws

^nk^Ein

lwtn

^Zeilen^-

^jede ^Tablemat wu

^und^Zeile^von

^2h44 ^beschreibt

^M ^mit

^Spalten ^Eingabe

^eine^, ^wobei

Konfiguration

^w ^ist^. ^.^. ^eine^, ^Tabelle^von ^M ^: ^mit

Ist M ^im Zustand _q mit

Band

ⁱⁿ halt uv und steht der

Kopf auf

^{dem ersten} ^Zeichen ^von ^v ^, ^dann ^wird ^dies

durch _#

ngv

^# ^notiert ^. û ûnd ^v ^werden ^links ûnd

rechts mit

Leersgmbokn aufgefüllt

^, ^sodass ^immer

(3)

In vl ⁼ 2nk.it

gilt

^.

- Die erste Zeile

einspricht

^der ^Start

Konfiguration

IF

BB ^. ^- ^.^. ¹ go ^Xrxz ^. ^. ^. ^Xn ^DB ^. ^- ^B #

÷

k hat ₁

qo ^{ist der} Start zustand

.

- Jede .

' it 1 von T _geht ^aus der Zeile i durch ^einen

Schritt

von M hervor

- Ein Tableau

heißt akzeptierende

, wenn es eine Zeile enthält

,

die

_einer awz .

Konfiguration entspricht

^.

(4)

Also ^: wt A

gdw

^es

gibt

^ein

akzeptierende

^Tableau ^von

M

bei Eingabe

^w

Nun soll eine Formel H

konstruiert

_werden

, so dass ^WEA

gdw

HESAT

(

^⇒ ^Variablen ^mit _Hilfe ^d. ^Tableaus ^koalieren

)

Genauer

^: ^Für ¹ ^Ei ^knk ^, ¹ ^k

jk

^2Mt ⁴ ^und ^SEQU ^-2 ^utz ^#

^J gibt

^es ^eine ^Variable

xi.j.si

xijis

⁼ ¹

^gdw

ⁱⁿ ^Zeile ⁱ ^und

^Spalte j

^steht ^s

Kurz Schreibweise : Zelle [ i.

j ^]

⁼ ^s

Die

^zu

konstruieren

de

Formel

H ist

erfüllbar

^durch ^eine

(5)

Belegung

^I

gdw

^das

Tableau

zu M bei

Eingabe

^w ^mit ^einer Zeile

akzeptiert

^, ^die ^I

entspricht

^.

H hat die Form H ⁼ Hon Hs ⁿ

Han Ht

Teil

formel

^Ho ^: ^" ^Genau ^eine ^Variable

xi.j.es

^ist

auf

¹

gesetzt

"

Zelliij

^]

t.IE?;n;n...s.YaIziiiitstnlsI.a!Iiiiis*nxiiiitD

ist

eindeutig

Teil

formel

^Hs ^: ^"

^Die

^erste ^Zeile ^kodiert ^die ^Start

Konfiguration

^"

(6)

HS

⁼ ^× _1,1 _, _#

11g ^uuf.fi

^ji ^B ¹ ^Xe^, ^nht ^2,9 ^. ¹

hkt3fjfnk.int ^N ^Xnjiwj üben

^. ^lnk² ^.²⁾

^

~ _Xhj

, D ^M

Xy

^2h44 _, ^#

nkt3.tn

Ejtrdnht

³

Teil formel

^Ha ^: ^"

Irgendeine

^Zeile ênthält êine âwz ^.

^Zustand

^"

Ha

⁼

V Xiyis

1 kisuk

1 tj ^E 2h44

SEF

Teil

formel Ht

^: ^„ ^Zwei

aufeinanderfolgende

^Zeiten

entsprechen

einem

Rechen schritt

von M ^"

(7)

6

Dazu werden _" Fenster ^" _der

Größe

^2×3 ^im ^Tableau

betrachtet

^. ^Ein

^Fenster heißt legal

^, ^wenn ^es ^der

^über ^führungs

^.

fht

⁸ ^nicht

widerspricht

^.

i, Ist

5cg

^,

^a)

^z

⁽ _p

^,

^b.

^N

⁾

^, ^so ^ist

{

_P⁹ ^ab

_legal für

^ce ^Zu

²

^# ^b

ii _, Ist

QQ.at zlp

^,

^b.

^R

⁾

^, ^so ^ist

_{ 9.

^pa

^legal

für

^CE ^{Eu h}^#

^b

iii. ^Ist

^S

⁽

_g.

^a)

⁷

lp

^,

^b.

^L

⁾

^, ^so ^ist

gab cp ^legal

für

^CE ^Zu ²^# ^b

(8)

Zusätzlich

gibt

^es ^noch ^zu ⁱ^, ^- ⁱⁱⁱ ^,

^gehörige

^„

^Randfälle

^"

i ,

da

{

^ap

^Gab { ^agccdd

^sind

legal für

^alle ^CEE ^,

de

-2 uh ^#

I

iii das ! Gap ! da !;

^sind

^legal ^für

^alle

CEE

/ /

DE

Zu 2#S

iii , ^da

;! ^gab ^da ^eeddep

^sind

^legal ^für

^alle

^e.de ^[

1 1

EE Zu 2^# ^b

(9)

g

^{Kopf !!} ⁸

Außerdem

^ist

aabg ; ^legal ^für

^a. ^b. ^c ^{EZ uh} ^#^S

Ht

⁼

~

^das

^Fenster

_, ^dessen linke obere ^Zelle ^die

1k ⁱ Enk ^. 1

1 ^e-

jsnznn

⁺² Koordinaten [ i. j ] ^hat ^ist

legal

=

~ V ⁽ ^Xi.j.cn

¹ ^Xi ^, ^jte.az ¹

^Xijtz

^, ^as ^{^} ^Xiu ^, ^j.ae^,

1 ^Ei Enkel _an

, ^... , AG ^E Zu Qv 2# b

1 Ej ^E Lnkt ²

an a. a,

^ Xite _, jtnasn

Xitnjtz

^,

^a.)

94 as ^a. ist

legal

⇒

Tableau

T

besteht

^nur ^aus

legalen

^Fenstern

gdw

^alle Konfigurationen

in

T entsprechen

^einem

möglichen

^ahz ^.

^Rechen

weg 1

Pfad

^von ^M^.

(10)

9 Damit

^: WEA

gdw

^HESAT

Die

Transformation

^kann ⁱⁿ

polyuoaieller

^Zeit ^berechnet ^werden

(

z.B. IHI

Epllwl ⁾

^,

p Polynom )

Also

Akin

^SAT ^und ^somit ^SAT ^NP^.

vollständig

^. ^#

Lesung 9

Lesung 9

Steffen Reith

14.6.17

Zeige

für

gilt

{

akzeptiert

F)

wzws

lwtn

jede Tablemat wu

2h44 beschreibt

Spalten Eingabe

Konfiguration

Band

Kopf auf

ngv

Leersgmbokn aufgefüllt

gilt

einspricht

Konfiguration

IF

÷

Schritt

heißt akzeptierende

die

Konfiguration entspricht

gdw

gibt

akzeptierende

bei Eingabe

konstruiert

gdw

(

)

Genauer

jk

J gibt

xi.j.si

xijis

gdw

Spalte j

j ]

Die

konstruieren

Formel

erfüllbar

Belegung

gdw

Tableau

Eingabe

akzeptiert

entspricht

Han Ht

formel

xi.j.es

auf

gesetzt

Zelliij

t.IE?;n;n...s.YaIziiiitstnlsI.a!Iiiiis*nxiiiitD

eindeutig

formel

Die

Konfiguration

HS

11g uuf.fi

hkt3fjfnk.int N Xnjiwj üben

~ Xhj

Xy

Ejtrdnht

Teil formel

Irgendeine

Zustand

Ha

V Xiyis

formel Ht

aufeinanderfolgende

entsprechen

Lesung ⁹

Steffen ^Reith

_{

^jede ^Tablemat wu

^2h44 ^beschreibt

^Spalten ^Eingabe

^J gibt

^gdw

^Spalte j

j ^]

^Die

11g ^uuf.fi

hkt3fjfnk.int ^N ^Xnjiwj üben

~ _Xhj

^Zustand

^Fenster heißt legal

^über ^führungs

^a)

⁽ _p

^b.

⁾

_legal für

²

^b.

⁾

_{ 9.

^legal

^b

iii. ^Ist

⁽

^a)

^b.

⁾

gab cp ^legal

^gehörige

^Randfälle

^Gab { ^agccdd

^legal ^für

;! ^gab ^da ^eeddep

^legal ^für

^e.de ^[

aabg ; ^legal ^für

^Fenster

~ V ⁽ ^Xi.j.cn

^Xijtz

^a.)

^Rechen