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Quanteninformationstheorie: Über Verschränkung und andere Ressourcen

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Academic year: 2022

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Quanteninformationstheorie:

Über Verschränkung und andere Ressourcen

Dagmar Bruß

Institut für Theoretische Physik III Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

Schloss Lautrach, 13.07.2019

(2)

Ressourcen?

Definition im Duden:

Ressource: Natürlich vorhandener Bestand von etwas, was für einen bestimmten Zweck,

besonders zur Ernährung der Menschen und zur

wirtschaftlichen Produktion, benötigt wird.

(3)

Hier: Quanten-Ressourcen

(4)

Hier: Quanten-Ressourcen

• Verschränkung

• Reinheit

• Kohärenz

• Asymmetrie

• Bell-Nichtlokalität

• Kontextualität

• Steering

• Non-Gaussianity

• Allgemeine Quantenkorrelationen

• …

E. Chitambar und G. Gour, Quantum Resource Theories, Rev. Mod. Phys. 91, 025001 (2019)

(5)

Was ist Verschränkung?

Qubits:

Superposition:

Verschränkung (Quantenkorrelation): Superposition zusammengesetzter Systeme

Mathematisch:

(

1 0

)

2

1 +

ψ =

(

10 01

)

2

1 +

ψ = Mathematisch:

1 2 1 2

1 1

(6)

Exkurs: Dirac-Notation

1 2 1 2

1 1

Abstrakte Notation:

Zustand beschreibt die Wellenfunktion vollständig.

Ket-Vektor ist ein Spaltenvektor (im Hilbertraum).

Beispiel:

(7)

Was ist Verschränkung?

Es hängt von den Koeffizienten 𝛼𝛼,𝛽𝛽,𝛾𝛾,𝛿𝛿 ab, ob separabel oder verschränkt ist. - Man kann ein Maβ für Verschränkung einführen.

1 2 1 2

1 1

Zwei Qubits: Produktbasis

Zwei Qubits: Verschränkte Basis = Bell-Basis (maximal verschränkt) Zwei Qubits: allgemeiner Zustand

Definition von Verschränkung:

Falls sich ein (reiner) Zustand als Tensorprodukt zweier Zustände derTeilsysteme schreiben lässt, ist er separabel, andernfalls verschränkt.

Beispiel separabel: Beispiel verschränkt:

(8)

Exkurs: Dirac-Notation

1 2 1 2

1 1

Abstrakte Notation:

Zustand beschreibt die Wellenfunktion vollständig.

Ket-Vektor ist ein Spaltenvektor (im Hilbertraum).

Beispiel:

Bra-Vektor ist ein Zeilenvektor, mit . Beispiel:

Rechnen mit bras und kets:

Skalarprodukt:

Projektor:

sowie

(9)

Teleportationsprotokoll:

- A macht Bell-Messung an ihren zwei Qubits

- A schickt C das Ergebnis der Bell-Messung (2 Bits klassische Information) - C rotiert sein Qubit, je nach Resultat von A

Ergebnis:

Original-Quantenzustand bei C, Bell-Zustand ist „verbraucht“!

Verschränkung als Ressource: Quantenteleportation

(

00 11

)

AB

2 1

AB= +

Φ+

Theorie: C. Bennett et al, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993) Experiment: D. Bouwmeester et al, Nature 390, 575 (1997) D. Boschi et al, Phys. Rev. Lett. 80, 1121 (1998)

Bell-Zustand als Ressource:

Original, zu teleportieren:

(10)

Verschränkung als Ressource

DB, Quanteninformation (Fischer Verlag, Frankfurt a.M., 2003)

(11)

Quanten-Ressourcen

• Verschränkung

• Reinheit

• Kohärenz

• Asymmetrie

• Bell-Nichtlokalität

• Kontextualität

• Steering

• Non-Gaussianity

• Allgemeine Quantenkorrelationen

• …

E. Chitambar und G. Gour, Quantum Resource Theories, Rev. Mod. Phys. 91, 025001 (2019)

(12)

Was ist Reinheit?

1 2 1 2

1 1

Gemischter Zustand:

Statistisches Gemisch, Beispiel Glühlampe: verschiedene Polarisationen treten mit gewissen Wahrscheinlichkeiten auf. Mathematisch beschrieben durch Dichtematrix ρ:

Reiner Zustand:

Falls genau eine Möglichkeit x aus dem statistischen Gemisch mit Wahrscheinlichkeit auftritt, ist der Zustand rein, Beispiel Polarisationsfilter.

Mathematisch beschrieben durch Vektor :

(13)

Was ist Kohärenz? (Basisabhängiges Konzept!)

1 2 1 2

1 1

Inkohärenter Zustand:

Physikalisch: klassische Mischung.

Mathematisch beschrieben durch diagonale Dichtematrix:

Beispiel:

Kohärenter Zustand:

Physikalisch: Quanteneigenschaften (Superposition).

Mathematisch beschrieben durch Nichtdiagonalelemente in Dichtematrix, Beispiel:

Interferometrie:

Doppelspalt;

Analogie zu Mach-Zehnder-Interferometer

(14)

Quanten-Ressourcen

• Verschränkung

• Reinheit

• Kohärenz

• Asymmetrie

• Bell-Nichtlokalität

• Kontextualität

• Steering

• Non-Gaussianity

• Allgemeine Quantenkorrelationen

• …

E. Chitambar und G. Gour, Quantum Resource Theories, Rev. Mod. Phys. 91, 025001 (2019)

(15)

Konvexe Ressourcen-Theorie:

Allgemeine Struktur

• Definiere freie Zustände (einfach zu erzeugen, aber nutzlos): bilden konvexe Menge

• Definiere freie Operationen (einfach zu imple- mentieren): aber können freie Zustände nur auf freie Zustände abbilden

• Diese allgemeine und einfache Struktur erlaubt es,

quantitative Ma β e für die Ressource zu definieren,

sowie Transformationseigenschaften zu analysieren

(16)

Konvexe Ressourcen-Theorie

(17)

Eigenschaften von Quanten-Ressourcen

• Quantitative Beschreibung der Ressource (Ressourcen-Maß)

• Analyse der freien Operationen

• Transformationseigenschaften unter freien Operationen

• Destillierung der Ressource

• Kosten der Ressource

A. Streltsov, H. Kampermann und DB, Schrödingers Katzenfutter, Physik Journal 18, 35 (Juli 2019)

(18)

Quantitative Beschreibung von Ressourcen

1 2 1 2

1 1

Maß für Reinheit:

Beispiel 1:

Beispiel 2: .

Maß für Kohärenz:

Beispiel 1:

Beispiel 2:

(19)

Beziehungen zwischen Quanten-Ressourcen

• Reinheit beschränkt Kohärenz

• Reinheit beschränkt Verschränkung

• Kohärenz beschränkt Verschränkung

A. Streltsov, H. Kampermann, S. Wölk, M. Gessner, DB, Maximal Coherence and the Resource Theory of Purity, New J. Phys. 20, 053058 (2018)

(20)

Quantentechnologien

• Quantenkryptographie (sichere Verschlüsselung, polarisierte Photonen)

• Quantenmetrologie, -Sensoren (quantenbasierte Messtechnik)

• Quantensimulation (Verwendung von

Quantensystemen, um schwierige äquivalente physikalische Probleme zu lösen)

• Quantencomputer (exponentiell schnellere Berechnung gewisser Probleme)

Europäisches Flaggschiff

(Okt. 2018)

(21)

Zusammenfassung

• Quantenmechanische Eigenschaften können in

sogenannten Ressourcentheorien auf einheitliche Weise quantitativ beschrieben werden.

• Die Ressource „Reinheit“ begrenzt die Ressourcen

„Kohärenz“ und „Verschränkung“.

• Offene Fragen: Beziehungen zwischen anderen

Ressourcen? Anwendungen für Quantentechnologien?

A. Streltsov, H. Kampermann und DB, Schrödingers Katzenfutter, Physik Journal 18, 35 (Juli 2019)

(22)

Quanteninformationstheorie, HHU Düsseldorf

Inst. für Theoretische Physik III

Referenzen

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