SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU

SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU

K. Wieghardt

Betrachtungen zum

Zähigkeitswiderstand von Schiffen

59 | 1958

Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft 52. Band 1958

Springer- Verlag, Berlin/GöttingenJHeidelberg Printed in Germany

K. Wieghardt

Betrachtungen zum Zähigkeitswiderstand von Schiffen

Nicht im Handel

Nachdruck ohne Genehmigung der Schiffbautechnischen Gesellschaft, Hamburg, nicht gestattet

Ps!

-

^{const PS!+ const}

"(4/1gemeinerZilinder löngsongestriJint)

Ebene Plotte _ebene^Allgemeine

StrOfnuy

(za. Tragflügel

Ebene

- -

-~

Strömung

-

/Juerkr.

-

⁰ !.E..+ öv_{~öx öy}

-0

:::s

(lf 8U+v8U]-_1ll.+~

:~

~8z iJy ax 8!1

8u 77T:'

~Trg-P.8!1-q ^{U U}

~.~ Kreiszylinder Orehkörper

~l'Ii

t----~-. -

.~

:1S

-B--'~

1

~symmetrische^Rotat/ons-

_Strömung - ^{ro-const. -}

8 8

~erkr.

+ 0

8z(ru)+

8r(ru)

=

⁰

q[u iJu+u8U]__.1.e.+.L~rr:_{iJx ör 8z r iJr :er} Trr=PiJu_iJr qli'/i' AllgemeinerZylinder oder Ba/ken

(z.R.porolleles Hilfelschiff)

- F

DreI/omens/anale +---+

.

Allgemeiner Korper

(zR.Schiff Oder

Strömung

-

^ro(~) sCllrägongest/'Ömter

guerkr.+ 0

i!...(ru) + .!.. (ru)- 0 Orehkdrper) (JX iJr

~iJu iJu

] 1 iJ 1 iJ (I u-+u- ---r'Crr+--lir#

iJx 8r r iJr rN

iJu 'i7 I!.8u 1lTi1 r;rr-P--Qu .r ~= -- (lU

iJr Irr iJ.

Betrachtungen zum Zähigkeitswiderstand von Schiffen

Von Prof. Dr. K. Wiegbardt, Hamburg Einleitung

Das allgemeine Problem des "zähen" Widerstands bestände eigentlich darin, für ein beliebiges Schiff den Anteil des Widerstands, der allein durch die Zähigkeit des Wassers verursacht wird, vorauszuberech- nen. Eine strenge Behandlung dieses Problems des dreidimensionalen Körpers in Parallelströmung ist aber so lange unmöglich, als eine genaue Theorie der turbulenten Strömungen fehlt. Aus dem gleichen Grund ist selbst das viel bescheidenere Problem der Extrapolation von Widerstandsmessungen an Modellen auf die Reynolds-Zahl der Großausführung noch nicht so gut gelöst, daß nicht doch ab und zu Fehlabschätzungen mög- lich sind, trotz des großen Zahlen- materials und der Erfahrung der Schiffbauversuchsanstalten. Man muß deshalb immer wieder versu- chen, die halbempirischen Extra- polation!>methoden durch mög- lichst viele theoretisch oder ex- perimentell gut fundierte Einzel- erkenntnisse zu stützen und zu verfeinern. Dabei ist es wohl zweckmäßig, von möglichst ein- fachen Körpern allmählich zum allgemeinen Schiffskörper aufzu- steigen.

Der zähe Widerstand eines Kör- pers ergibt sich aus den tangen- tialen Reibungskräften und den Druckkräften senkrecht zur Ober- fläche; am Hinterschiffwird ja die Verteilung des statischen Drucks

gegenüber der Potentialtheorie idealer Flüssigkeiten so geändert, daß sich eine nichtverschwindende Resultierende - der Druckwider- stand - ergibt. Die einfachsten Körper sind nun diejenigen, bei denen im ganzen Strömungsfeld der Druck konstant ist und keine Druckkräfte auftreten, also längs- angeströmte Zylinder beliebigen Querschnitts, wie z. B. Prismen.

In Bild 1 sind die Strömungen um beliebige Körper eingeteilt nach folgenden Merkmalen: 1. ob der statische Druck pst überall kon- Bild l. Einteilungvon Körperumströmungen. stant ist oder nicht, 2. ob die Strömung zwei- oder dreidimen- sional ist, je nachdem ob zwei oder drei Raumkoordinaten zur Beschreibung der Strömung nötig sind, und 3. ob die Grenzschichtströmung quer zur Hauptströmungsrichtung gekrümmt ist oder nicht.

Die allgemeinen Zylinder seien kurz als "Balken" und nur der Kreiszylinder selbst als "Zylinder"

bezeichnet; das parallele Mittelschiff

-

an der Wasserlinie gespiegelt

-

ist offenbar ein Beispiel eines

Balkens in unbegrenzter Parallelströmung. In Zylinderkoordinaten ist der Achsabstand der Balken- oberfläche ro unabhängig von der Koordinate x in Strömungsrichtung und nur eine Funktion des Meridianwinkels t/J, also ro (t/J). Beim Zylinder ist speziell ro = const., und die unendlich breite ebene Platte ist wiederum hiervon ein Spezialfall mit ro -+- 00. Die in Bild 1 angegebenen Kontinuitäts- und Grenzschichtgleichungen lassen erkennen, wie die Grundgleichungen immer komplizierter werden, je allgemeiner der Querschnitt des Balkens ist.

Im folgenden wird zunächst über theoretische Ansätze zur Platten- und Zylinderströmung berichtet, dann über Grenzschichtmessungen an einem Zylinder und an zwei Balken mit quadratischem Quer- schnitt, von denen der eine abgerundete Kanten hat. Den Schluß bilden Bemerkungen über den Druck- widerstand von Ausläufen an einem langen Zylinder.

1. Ähnlichkeitsgesetze für Platten- und Zylindentrömung

Seit L. Prandtl 1904 die Grenzschichtgleichungen aufgestellt hat, ist die Berechnung laminarer Grenzschichten im wesentlichen nur noch eine Aufgabe für angewandte Mathematiker, da hier der Zusammenhang zwischen der Schubspannung und der Geschwindigkeitsverteilung bekannt ist. Trotz- dem ist die Grenzschicht am Zylinder

-

mit Berücksichtigung ihrer Querkrümmung

-

erst vOr wenigen Jahren berechnet [21, 7] und das Problem der Grenzschicht längs eines Balkens (ohne Kanten) erst vor kurzem in Angriff genommen worden [5].

Für die uns interessierenden turbulenten Reibungsschichten weiß man dagegen zunächst nur, daß ein direkter Zusammenhang zwischen der Schubspannung und dem örtlichen Feld der mittleren Geschwin- digkeiten im allgemeinen nicht besteht. Man benutzt deshalb hier gar nicht die eigentliche Grenzschicht- gleichung, sondern nur ein spezielles Integral darüber, nämlich den Impulssatz, der die örtliche Wand- schubspannung To mit der dortigen Geschwindigkeitsverteilung verknüpft, so daß aus gemessenen Geschwindigkeitsprofilen der Widerstand berechnet werden kann. Durch dimensionsanalytisch be- gründete Ähnlichkeitsannahmen versucht man dann solche Meßergebnisse zu verallgemeinern, vor allem für höhere Reynolds-Zahlen, als sie im Versuch erreichbar sind; dabei müssen freilich nicht nur Zahlenkonstanten, sondern auch ganze Funktionsverläufe dem Experiment entnommen werden.

A. Plattenströmung Bezeichnungen:

x = Entfernung von der Plattenvorderkante y = Wandabstand

6 (x) = Grenzschichtdicke; für y ;;,;"6: u = U Verdrängungsdicke:

~

61=

i

^{(1- u/U) d y}

o

Impulsverlustdicke:

~ u

62 =

\

(1 - u/U) ^{-- d y}

o U

Energieverlustdicke : d

r!.= \[1- (UfU)2]

o

~dy U

d

~

L1= ---dyU-u = 01/W

o

u.

d/.:J

~

U-u 1'1= -dy/iJ=1

o u.

d/.:J

~(

U-U

)

2 H-l

1'2= --- dy/iJ =--

u. wH

o d/.:J

_

~

(

^{U -u}

)

^3d

^/

^{1 H}

⁺

^{Ha2- 3}

Y. -

---

y,

u. = w2H

o

u, v = mittlere Geschwindigkeit in x- und y-Richtung U = Anströmgeschwindigkeit

u. = Schubspannungsgeschwindigkeit Formparameter:

H = 61/62= 1/(1-1'2 w) und

H32 = 63/62= (2 - 3 1'2w

+

^{Y. (2)/(I_} _1'2w).

w = u./U = VTo/(/U2 = Vc//2

T = laminare und turbulente Schubspannung TO

= Wandschubspannung

cl = TO/~ U2 = örtlicher Reibungswert 2

x

Cf =

;-

~

c/ d x = 2 6J x o

(/ = Flüssigkeitsdichte v = kinematische Zähigkeit Re = Ux/v = Reynolds-Zahl Energiedissipation :

~

E

=

^{(_T ~_}

⁾

TO 0 Y

( ^~ u. )

^{d y}

o

(

^T-~ ist die Energie je Raum- und Zeiteinheit, die oy

in Wärme umgewandelt, also dissipiiert Wird.)

Mit diesen Bezeichnungen lauten Kontinuitäts- und Grenzschichtgleichungen für die Platten- strömung :

~+~=o

fJx 0 y

ou OU fJ T

u--+v--

=

^n_n

ox fJy oy e

6

"

Daraus folgen durch Integration

\ GI. (2) d y, bzw. \

GI. (2) u dy der Impulssatz

o 0

d(ja/dx = To/eua = wa, mit w = u*/U

(1) (2)

d(ja/dx = 2 E wa

(3) (4) und der Energiesatz

mit

"

E =

o

\ ~~ ⁾

To fJ y

( ^~

u*

)

^{dY, (4a)}

Im Rahmen der Grenzschichtstheorie gelten alle diese Gleichungen streng für laminare oder tur- bulente Strömung.

Für das Geschwindigkeitsprofil in turbulenten Plattenreibungsschichten sind nun folgende Ähnlich- keitsbeziehungen innerhalb der Versuchsgenauigkeit gefunden worden:

(X)Wandgesetz: u/u* = f (u* y/v) für sehr kleine Wandabstände (5)

ß) Außengesetz: (U - u)/u* = g (y/LJ) für mittlere und große Wandabstände (6) y) Es gibt einen Bereich kleiner Wandabstände, in dem Wand- und Außengesetz gleichzeitig gelten.

Setzt man voraus, daß diese Beziehungen auch mathematisch streng erfüllt sind, so kann man, wie C. B. Millikan [17] gezeigt hat, das logarithmische Geschwindigkeitsprofil daraus folgern:

u/u* = f = A In u* y/v + B (7)

und (U

_-

u)!u* = g = l/w - f = - A In y/LJ+ C', (8)

beides zunächst nur für y- Werte im gemeinsamen Gültigkeitsbereich (In = natürlicher Logarithmus, log = Zehnerlogarithmus). Eliminiert man dort aus beiden Gleichungen y, so wird allgemein:

l/w = A Inu* tJ/v + B + C' = A In U (ja/v + A In H + B + C' . (9) Wegen des Zusammenhangs von w mit der Impulsdicke (ja nach (3) kann man dies als Differential- gleichung für (ja(x) auffassen, aus der durch Integration der Gesamtwiderstand der Platte

Ct(Re) = 2 (ja/x (10)

gefunden werden kann.

D. Coles (1954) [4] integriert Gleichung (9) unter der Annahme - ähnlich wie früher F. Schultz- Grunow [20] -, daß nur das Außengebiet zu den Integralen (jl und (jabeiträgt, also Yl und YI = const.

L. Landweber (1952) [12] berücksichtigt jedoch dabei auch das Wandgesetz, so daß die Hilfs- größen Yl und Ya Funktionen von w werden, und erhält in Parameterdarstellung Ct(w) und Re(w).

P. S. Granville [8] schließlich eliminiert daraus w und erhält eine recht komplizierte Formel für ct(Re), die verschiedene ältere Widerstandsformeln als Spezialfälle für gewisse Vernachlässigungen enthält, wie die von Schoenherr [19], Lap-Troost [14] und Hughes [10]. Außer der Funktion g für das Außengesetz sind dabei natürlich jeweils noch andere Zahlenwerte Versuchen zu entnehmen.

Dr. K. Hasselmann vom Institut für Schiffbau hat nun untersucht, ob man weitere theoretische Aussagen gewinnen kann, wenn man neben der Impulsgleichung auch den Energiesatz berücksichtigt.

Für die dimensionslose Energiedissipation E ergibt sich zunächst durch Elimination von (ja aus (3) und (4):

E- Haa

+

^{(j2 dHa2 dw}

-2 w-

~3 d;;; d; .

Aus den bisherigen Annahmen

(X),ß) und jJ) folgte Gleichung (9), aus der dw/dx berechnet und in (11) eingesetzt werden kann:

(11)

E-- .!la2

{

1-

d In Ha2/d w - }

2 w l/A w2

+

^{d In H/d w}

.

⁽¹²⁾

Bis hierher hat der Energiesatz nur eine neue Unbekannte E in die Rechnung eingeführt, die nun durch eine weitere Annahme mit den bisherigen Grenzschichtgrößen verknüpft werden muß. Als solche liegt nahe die Annahme:

<5)die Schubspannungsprofile seien längs der Platte ähnlich, d.h. T/To

^{= t} (y/.d)

.

Denn es ist zu vermuten, daß man damit nach der Definitionsgleichung (4a) eine gute Näherung für E berechnen kann. P. S. Kle ban off [11] hat nämlich durch Hitzdrahtmessungen an einer Platte fest- gestellt, daß 85 % der gesamten laminaren und turbulenten Energiedissipation in äußerster Wandnähe für u*y/v < rd. 30 erfolgt, wo noch durchaus T = To gesetzt werden kann. Nur die restlichen 15%

Dissipation können also überhaupt noch vom Außengesetz und der Annahme <5)abhängen. Wenn die Grenze für T = To bei g = go = [(U - u)/u*]o im gemeinsamen Gültigkeitsbereich von Wand- und Außengesetz liegt, so wird

U/u* U/u*-go U/u*

E

=

^('"'-- d~

= \ ^{1. d~ + \}

^{~- d ~}

⁼ ₍₁₃

)

.1 To u* ^.. u*

j

_To

o 0 U/U*--1/o u*

= 1jW -go-const. = l/w --a, mit a = const.

In Bild 2 ist nun E(w) aufgetragen, wie es sich einerseits aus GI. (12) ergibt, wobei numerisch das Außengesetz nach D. Coles [4] benutzt wurde. Andererseits sieht man, daß~diese Funktion E(w) sich tatsächlich gut durch l/w - a annähern läßt,

wenn man a = 3,1 setzt; dieser Wert ergibt 50 sich auch nach GI. (13) aus gemessenen Schub- spannungen und Geschwindigkeitsprofilen.

Allerdings hat bereits A. A. Townsend [23]

gezeigt, daß die Schubspannungsprofile erst für sehr große Re-Zahlen (> 109) ähnlich werden *0 können, wenn ein Außengesetz für die Ge- schwindigkeiten gilt und einen gemeinsamen

Gültigkeitsbereich mit dem Wandgesetz hat;

d.h. die Annahme <5)kann nicht streng gelten,

falls oe),ß) und y) zutreffen. JO

Trotzdem wäre es denkbar, daß derTurbulenz- mechanismus so verläuft, daß die Annahme:

e) E = l/w

-

a

ausreichend genau erfüllt ist, auch ohne daß die

Annahme

<5)streng richtig ist. Solche, allerdings 20 etwas gekünstelt erscheinende Hypothesen müssen übrigens auch bei den neueren Rechen- verfahren für turbulente Reibungsschichten mit Druckanstieg oder -abfall gemacht werden (vg1. etwa [25]); freilich ist dort diese Haupt- 10 schwierigkeit durch das Vorhandensein weiterer Glieder zur Berücksichtigung des Druckgefälles etwas verschleiert.

Wenn wir jetzt probeweise die Annahme e)

streng voraussetzen, ist das bisherige Gleichungs-

₀ system mit oe), ß) und y) überbestimmt. Wir (j02 wollen daher y), die Annahme eines gemein- samen Gültigkeitsbereiches von Wand- und Außengesetz, fallenlassen; L. Land we ber [12]

hat darauf hingewiesen, daß diese Annahme zumindest bei kleineren Re-Zahlen fraglich ist. Aus Impuls- und Energiesatz folgt dann

dln{)2/dw = __dH.2/d~_

= dH32/dw 2 wE- H32 2 -2aw-H32 Durch Integration erhält man jetzt statt GI. (9) die Widerstandsformel

In U <52/v

=

const.

+

^{Cl In w}

+

C2ln (C. - w) - In H(w)

w-u*/u-

0,0*

Bild 2. Plattenströmung: EnergiediBBipation abhängig von der örtlichen WandBchub.pannung.

{j05

(14)

(15)

mit

°1

^=-~--,_2a-Y2 ^und

Extrapoliert man zur Berechnung der Impuls- und Energiedicke das Außengesetz bis an die Wand, so erhält man mit g(y/A) nach Coles [4] für die Hilfsgrößen Y2 = 7,16 und Ys = 60,9. (Erst zur genaueren Bestimmung dieser Größen würde das Wandgesetz zusätzlich benötigt werden.) Nimmt man ferner wieder a = 3,1 an und setzt die Integrationskonstante = - 2,06 zur Anpassung an gemessene örtliche Widerstandsbeiwerte, so wird

log u ~2/V=

^- 2,06 - 7,46 log w

+

2,77 log (0,0582 - w)

+

log (1 - 7,16 w)

.

⁽¹⁶⁾

Der daraus gewonnene cl-Verlauf in Abhängigkeit von U ~2/V liegt nach Bild 3 zwischen dem von L. Land we ber [13] für Potenz- oder logarithmische Profile; entsprechend fiele die Gesamtwiderstands- kurve c/(Re) aus.

Unbefriedigend ist es jedoch, daß die obigen drei Parameter 01,2,3 und damit auch die Lösung der GI. (15) so stark von der kleinen Differenz Y2

- 2a =

7,16 - 6,2 = 0,96 abhängen. Es kommt also doch gerade auf eine genaue Kenntnis der Größe a an, der im wesentlichen der kleine Dissipationsanteil außerhalb der wandnächsten Schicht entspricht.

Man kann das auch damit erklären, daß Impuls- und Energiesatz Aussagen über zwei sehr ähnliche Größen enthalten, nämlich über das Anwachsen der Impuls- und der Energieverlustdicke d~2/dx und d~3/dx. Da das Geschwindigkeitsprofil nur wenig von der Re-Zahl abhängt, bleiben die beiden Grenz- schichtdicken ~2 und ~3 fast proportional, und ihr Verhältnis H 32ändert sich nur sehr langsam längs der Platte. Die Differenz von Energie- und Impulssatz gibt zwar eine exakte Aussage über die kleine Größe dH 32/dx; zu ihrer Nutzbarmachung braucht man aber dementsprechend auch sehr genaue empirische Kenntnisse über die zunächst unbekannte Energie- G dissipation E, also auch über die Konstante a.

Deshalb können erst weitere genauere Hitzdraht- messungen der Schubspannungen oder der Dissipation hier weiterhelfen.

Um nachzuprüfen, ob die Schubspannungsprofile ähnlich sein können, wenn Wand- und Außengesetz keinen gemeinsamen Gültigkeitsbereich haben, kann man in den aus (1) und (2) folgenden Ausdruck für 1:/1:0:

J

oJ

.

5

togU4zfv-

Bild 3. Plattenströmung: Wandschubspannung abhängig von der Re-Zahl der Reibungsschicht.

1/ 1/

T/To=l+ 1 _d_Ju2dy_~__d_\udy

u.2 d X

)

u.2 d X )

o 0

das Außengesetz für die Geschwindigkeit einsetzen:

1//.1 1//.1 1//.1

1:

-

^1:()

= ..1d In .1

{JL lJ

_

^{~. ( g d Y_}

_{+ \}

^{rg2 d lL}

^_

^g

\

^{gd lL}

}

+

1:0 dX w .1 w

J

^.1

)

^.1

)

^.1

000

(17)

(18)

+4~~w_ {;~:2d

~

-

(g+ 1/W)Tgd~.}.

o 0

Wenn man nun mit Impuls- und Energiesatz d In A/dx und d In w/dx als Funktionen von w darstellt, erhält man 1:/1:0als Funktion von y/A und von w, die auch hier erst bei sehr hohen Re-Zahlen unab- hängig von w wird. D. h. aber, daß auch allgemein die Annahme ähnlicher Schubspannungsprofile mit dem Außengesetz für die Geschwindigkeit unvereinbar ist.

Die Strömung längs einer rauhen Platte hat vor kurzem P. S. Granville [9] ähnlich analysiert wie die glatte Platte. Die Annahmen

Wandgesetz uju. = f(u.yjv, u.kjv) mit k = Rauhigkeitshöhe, Außengesetz (U - u)ju. = g(yjiJ) und

gemeinsamer Gültigkeitsbereich führen zu der zu GI. (9) analogen Formel:

1jw = A In u.iJjv

+

^{Bl (ku.fv)} _{+ C (19)}

= A In iJjk + Bj (ku.fv) + C (20)

Dabei ist im hydraulisch glatten Bereich Bl = B = const., im ausgebildet rauhen Bereich dagegen Bj

= const. Aus dem Energiesatz folgt für den ausgebildet rauhen Bereich eine ähnliche Verträglich-

keitsbedingung wie GI. (12); doch bringt der Energiesatz auch hier noch keine zusätzlichen Erkennt- nisse, da die Schubspannungsprofile nicht ähnlich sind und für den Verlauf E(w, u.kjv) im Über- gangsgebiet überhaupt keine Messungen vorliegen.

B. Längsangeströmte Zylinder I

Mit ro = Zylinderradius, r = Abstand von der Drehachse, und y = r - ro = Wandabstand lauten hierfür die Grundgleichungen

^:

o 0

-(ur)+-(vr)=O

o

x or.

ou rau 1 0

u-+v- = ---~(r7:j(!).

o x 0 r r or

Impuls- und Energiesatz, sowie die Bezeichnungen für die Formparameter, bleiben unverändert gegen- über denen der Plattenströmung, wenn die Grenzschichtdicken jetzt so definiert werden:

" "

~l=\ (

^l--~

)

^{-'"-dy ,1=( U-u} -'"-dY=~ljOJ

J

^{U ~}

J

^{~ ~}

o 0

"

~2 = (

( ^{1 -}

^.!:'_

)

^{.!!... -'"- d y}

J

^{U U ro}

o

"

~3= H 1- (

^~

ⁿ

^{~ :0 d y}

o

Als Wand gesetz wäre hier allgemein anzusetzen:

uju.

=

f (u.y/v, u.rojv), (23)

doch kann man wohl in der hierfür in Betracht kommenden Wand schicht yjro""' 0 setzen und daher wie an der Platte annehmen:

uju. = f (u. yjv)

.

⁽²⁴⁾

Im Außengebiet dagegen muß die Drehsymmetrie und damit die Querkrümmung der Strömung auch schon innerhalb der Grenzschicht berücksichtigt werden:

(U - u)ju. = g (yjiJ, rojiJ)

.

⁽²⁵⁾

Für rojiJ -+ 00

geht diese Funktion in das Außengesetz der Platte

g(yjiJ)

über.

Die Annahme eines gemeinsamen Gültigkeitsbereiches führt im allgemeinen Fall nach GI. (23) und (25)

nur dazu, daß die drei zwei-parametrigen Funktionen f, g und der örtliche Reibungsparameter

w (u.iJjv, rojiJ)

auf drei ein-parametrige Funktionen zurückgeführt werden können. Vernachlässigt

man jedoch die Querkrümmung in der wandnächsten Schicht wie in GI. (24), so wird im gemeinsamen Gültigkeitsbereich

(21) (22)

uju. = f (u.yjv) = 1jw (u.iJjv, rojiJ) - g (yjiJ, rojiJ).

Differenziert man dies nach y und multipliziert dann mit y, so wird wie an der Platte

u.

^{y df}

_

^{y 0 g}

V du.yjv

---:1

_oy/iJ'

(26)

(27)

D. h. die linksstehende Funktion von (u* y/v) muß gleich der rechtsstehenden Funktion von (y /iJ) sein;

das ist -für u*iJ/v ::j::const. - nur dann möglich, wenn diese Funktionen gleich und konstant = A sind.

Es wird also wieder

und

f (u*y/v) = A In u*y/v

+

^B,

g(y/iJ, ro/iJ) = A In y/iJ

+

^{0 (ro/iJ)}

l/w = A In 'u*il/v + B + 0 (ro/iJ) .

(28) (29) (30)

Wenn gemessene Geschwindigkeitsprofile am Zylinder ein Außengesetz wie Gl. (25) bestätigen, und

A, Bund 0 daraus bestimmt sind, kann man aus (30) die örtliche Wandschubspannung und nach Integration den Gesamtwiderstand berechnen.

Die mit der Anwendung des Energiesatzes verbundenen Schwierigkeiten sind die gleichen wie bei der Plattenströmung mit der zusätzlichen Komplikation, daß - wie bei der rauhen Platte - ein weiterer Parameter, nämlich ro/iJ, auftritt. Ferner würde auch hier der Ansatz ähnlicher Schubspannungs- profile -c/-co= t(y/iJ, ro/iJ) dem Außengesetz für die Geschwindigkeit widersprechen.

Wenn auch am rauhen Zylinder entsprechende Ähnlichkeitsgesetze gelten:

Wandgesetz

u/u* =

f (u*y/v, u*k/v), mit k = Rauhigkeitshöhe

Außengesetz (U

-

^{u)/u* = g}(y/iJ, ro/iJ) ,

und diese einen gemeinsamen Gültigkeitsbereich haben, so wird

l/w = A In u*iJ/v + B (u*k/v)

+

^{0 (ro/iJ)}

.

(31)

(32) Sind für die rauhe Platte B(u*k/v) und für den glatten Zylinder O(ro/iJ) sowie ~d~2 = H(w, ro/iJ) (falls zur Bestimmung von ~l und ~2nur das Außengesetz herangezogen wird) aus Messungen bekannt, so kann das Widerstandsgesetz für rauhe Zylinder daraus berechnet werden.

C. Allgemeine Bemerkungen zu den obigen Ansätzen

Angesichts der geschilderten Schwierigkeiten, die turbulente Reibungsschicht längs Platten oder Zylinder mit Ähnlichkeitsgesetzen wenigstens so weit theoretisch zu erfassen, daß gemessene Wider- standsbeiwerte auf beliebige Re-Zahlen zuverlässig extrapoliert werden können, liegt die Frage nahe, warum dies für die Rohrströmung Prand tl bereits vor mehr als zwanzig Jahren gelungen ist. Einer- seits liegt das daran, daß die Rohrströmung eindimensional und die Schubspannungsverteilung überall gleich ist (linear abfallend von der Wand zur Rohrmitte). Andererseits ist für den Unterschied zwischen Rohr- und Plattenströmung besonders die freie Grenze der Plattenreibungsschicht mit dem Übergang in die ungestörte Potentialströmung wesentlich. Dieser Übergang fehlt bei der Rohrströmung, da die Strömung natürlich auch in Rohrmitte turbulent ist. Macht man bei der Platte die äußere Potential- strömung künstlich turbulent, so werden Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilung in der Plattenreibungsschicht denen im Rohr bereits viel ähnlicher [24]. Vor allem aber fanden S. Corrsin [6]

und A. A. Townsend [22], daß die Strömung am festgehaltenen Ort in der äußeren Hälfte der Platten- reibungsschicht (etwa für 0,4

>

y!6

>

1,2) gar nicht dauernd gleichmäßig turbulent ist, sondern nur zeitlich intermittierend. Ein Hitzdraht in der Reibungsschicht zeigt nämlich im Oszillographen zeitlich ganz scharf abgegrenzte Perioden mit turbulenter Strömung, also mit hochfrequenten Schwankungen der Geschwindigkeit, unterbrochen von Zeiten, während derer die Strömung völlig glatt und drehungs- frei verläuft. Nur dadurch, daß in größeren Wandabständen die turbulenten Perioden zeitlich immer seltener werden, nehmen die über die ganze Zeit gemittelten Schwankungen und Schubspannungen am Außenrand der Reibungsschicht ab.

Kinematisch wird dieser Sachverhalt so gedeutet: In der wandnahen Hälfte der Reibungsschicht hat man ein Gemisch von kleinen Wirbeln, denen hochfrequente Schwankungen entsprechen, während in der äußeren Hälfte dieser Strömungsart noch große Wirbel überlagert sind, deren Abmessungen von der Größenordnung der Grenzschichtdicke sind. Da im Rohr diese großen Wirbel fehlen, ist die Rohr- strömung auch physikalisch viel einfacher als die Plattenströmung. Und je mehr Einzelheiten über die komplizierte Feinstruktur der Plattenreibungsschicht gemessen werden, um so mehr werden die Theo- retiker eingeschüchtert, einfache Annahmen über Bruttogrößen, wie die mittlere Geschwindigkeit oder Schubspannung, aufzustellen. Andererseits brauchte man noch mehr Messungen, speziell über die Schubspannungen und die Energiedissipation, um theoretisch etwa mit Hilfe der Energiegleichung weiterzukommen.

n. Reibungsschichtmessungen an zylindrischen Körpern

In diesem Abschnitt wird kurz über Ergebnisse aus einer Diplomarbeit von Herrn W. Kleuters berichtet. Im Windkanal des Instituts für Schiffbau wurden die Reibungsschichten ausgemessen an drei längsangeströmten, glatten Balken von 3,5 m Länge und 150 mm Durchmesser; und zwar an einem Kreiszylinder, einem quadratischen Prisma und einem quadratischen Prisma, dessen Kanten abgerundet waren, um etwa das Doppelmodell eines parallelen Mittelschiffs darzustellen (s. Bild 4).

Den Kopf des Zylinders bildete eine Halbkugel, bei den Prismen entsprechende Körper. Die angeführ- ten Messungen betreffen nur das Gebiet zwischen x = 0,86 und 3 m hinter dem Kopf des Modells, wo die Druckstörung vom Kopf bereits völlig abgeklungen ist und andererseits noch keine Störung vom Modell- und Kanalende zu befürchten ist. Die Modelle wurden sorgfältig in Achsrichtung des Kanals aufgehängt und so justiert, daß sich in den vier Symmetrierichtungen gleiche Reibungsschichten ein- stellten. Nachdem dies sichergestellt war, wurde nur noch in einer Ebene durch die Zylinderachse bzw.

in mehreren Ebenen senkrecht zu einer Prismenseite gemessen.

A. Zylinder

Im Versuchsbereich variierten die wichtigsten Größen zwischen folgenden Werten: Rücklage (von der Übergangsstelle Kopf-Zylinder aus gemessen) x = 0,8 bis 3 m, ro = 75 mm, U = 15 oder 30 m/s, Re = U x/v = 1 bis 6 '1()8, örtlicher Reibungswert cl' = 2,8 bis 3,8' 10-3, w = u*/U = Vc(!2 = 0,037 bis 0,044, Reibungsschichtdicke 6 =

rd. 20 bis 60 mm, 6/ro = 0,25 bis 0,8,

JL______________________

_{o 123m}

LI

= 61/w= 60 bis 200 mm, ro/LI= 1,2 '

'x-

' ,

bis 0,4. 6 +

In diesem Bereich war die im Außengesetz (25) allgemein formu- lierte Abhängigkeit von ro/LI inner- halb der unvermeidlichen Streuung der Meßpunkte nicht feststellbar.

Trotzdem wurde ein Ähnlichkeits- ansatz versucht, der dadurch nahe- gelegt wird, daß zur Berechnung der Grenzschichtdicken 61, 62 und 63

immer über r/ro dy zu integrieren ist. Führt man deshalb in der Zylindergrenzschicht einen reduzierten Wandabstand z so ein, daß

- r ~+y

a z = ~- d y = d y ,

also

z = y (1

+

^{y/2 ra)}

,

ro ro

-rr---

..wu,

Bild 4_ Versuchsanordnung: Balken im Meßkä.fig.

(33)

so kann man diese Strömung mit der längs einer Platte (Wandabstand y) unmittelbar vergleichen.

Aus den mit einem Staurechen gemessenen Geschwindigkeitsprofilen müssen zunächst die örtlichen Schubspannungsgeschwindigkeiten ermittelt werden. Eine erste Näherung gibt die graphische Differen- tiation der Impulsdicke :

cl' = 2 d62/dx = 2 (u*h2/U2

.

(34)

Trägt man nun U/(U*)1 über (U*)IZ/V auf, so erhält man für das Wandgesetz im Mittel

U/(U*)1

= A/ log (U*)1z/v + BI'

(35)

Sieht man diese Form des Wandgesetzes

-

aber noch nicht die Konstanten A/ und BI - als endgültig an, so kann man eine zweite Näherung für (U*)2 suchen, indem man u/U über log U z/v aufträgt und mit denjenigen Geraden vergleicht, die sich hierfür bei verschiedenen festen Werten für u*/U nach Gl. (35) ergeben:

ujU = Al'

~ (log Uz/v + log u*/U + B1/A/) (36)

Die so gefundenen zweiten Näherungen für

u* und cl' sind in Bild 9 mit aufgetragen; mit diesen ergab sich das in Bild 5 dargestellte Wandgesetz mit den Konstanten

A' = 5,4 und B = 5,2 (37)

Diese Konstanten weichen also kaum von denen für die Plattengrenzschicht ab:

Nach Ludwieg-Tillmann [15] A' = 5 B = 6,5

nach Coles [4] A' = 5,75 B = 5,10

nach Land we ber [12] A' = 6 B = 4

Für das Außengesetz (Bild 6) wurde gefunden

(U

-

^u)ju*

= - 5,4 log

zjLl

-

^0,7

.

⁽³⁸⁾

Im gemeinsamen Gültigkeitsbereich gilt wie an der Platte GI. (9), also hier

Ijw = Uj~t* = V2/c( = 5,4 log U (jl/V

+

^5,2

^- 0,7 = 5,4 log H U (j2jV+ 4,5 .

⁽³⁹⁾

3D

Wandgesetz

15

U... 15mjsek U ...30m/sek

G 862mm.-1t

.

^{862 mm}

.

¹¹¹⁶²

.

^1Z6Z

·

.

^1262'

^{. 1'16Z}

.. 18iZ .. 11iG2.

· Z2lZ·

T 22/J()·

· 303f . 2838 .

" 26*0 .

25

120

:::IIJ

1U 2.0 2,5 ~o ~o

log.E:CJL!J'.E.!..2ro v

-

Bild 5. Zylinderströmung: Wandgesetz mit reduziertem Wandab.tand.

:::1

1

*

1:::1 :::. 8

2

o

Außen gesetz

.

6

10

U.. 15m/sek U-30mjsek . 862mm-.r

· 862 mm

· 1062. . 1262

.

^12Gl

. ^{. fII6Z} .

.. 186Z. .. 1G$2 .

· ZtU . · 22f)Q . . 3038.

" 2fU(J .

. 28J8

o

-ti -{li -~z -tO -48

lo

^g

(

^2T'o+Y_UD ^.JL_A

₎ _

Bild 6. Zylinderströmung: Außengesetz mit reduziertem Wandabstand.

Bild 7 zeigt, daß diese GI. (39)

-

die ausgezogene Kurve cf'{U (j2/V)- gut mit den Punkten überein- stimmt, bei denen cl, Hund 132direkt aus den jeweiligen gemessenen Profilen berechnet wurden; doch weicht die Kurve deutlich von der für die Platte (nach Coles oder Landweber) gültigen ab. Auch ist - nach Bild 8 - der Formparameter H der Zylindergrenzschicht stets kleiner als an der Platte bei gleicher örtlicher Re-Zahl U (j2/V,

*.5

'I.

'...

!

^3,5

..,

~',}- 3,0

2.5

2.0 3,0

Integriert man GI. (39) für die Wandschubspannung über die Zylinderlänge angefangen vom Meß- punkt mit der kleinsten Re-Zahl U x/v = 8

.

106:

Re CI

=

_{~e- {}

~

cl d Re

+

^const.

} 8.106

(40)

so erhält man die in Bild 9 gezeichnete Kurve für cl(Re), wenn die Integrationskonstante = 7,04

.

¹⁰³

3,5

logUÖz/v-

Bild 7. Wandschubspannung abhängig von der Re-Zahl der Reibungsschicht; Platten- und Zylinderströmung.

3,25 3,75 _*.0

gesetzt wird. Diese Kurve paßt fast im ganzen Meßbereich gut zu den direkt bestimmten Gesamt- widerständen nach dem Impulssatz: CI = 2 da/x (Punkte in Bild 9).

Da das obige Formelsystem fast alle Meßpunkte unabhängig von der Anblasgeschwindigkeit und vom Verhältnis Grenzschichtdicke zu Zylinderradius (d/ro bzw. ro/LJ) gut wiedergibt, sieht es so aus,

3,6 3,9

log U.Öz/v-

Bild 8. Formparameter abhängig von Re-Zahl der ReibungB8chicht; Platten- und Zylinderströmung.

1,35

!

'<>"I'<:>'"

:x::n 1,30

1,25

3,0 3,3 _'1.2

als ob der Ansatz für Wand- und Außengesetz mit dem reduzierten Wandabstand z bereits alle tur- bulenten Reibungsschichten an glatten Zylindern beschreiben könnte. Das trifft aber sicher nicht zu, da es ja dann aus Stetigkeitsgründen auch für die Platte (ro -+ 00, Z = y) numerisch genauso gelten müßte, was jedoch nach den Bildern 7 und 8 nicht der Fall ist. Die Ähnlichkeitsannahme für das Außengesetz (U - u)/u. = g(z/LJ) ist auch in derTat nicht zwingend, denn die Auftragung (U

-

u)/u*

über dem wahrenWandabstand y/LJ in Bild 10 weist auch keine stärkere Streuung auf als die in Bild 6.

Die obigen Formeln können demnach nur als nützliche Beschreibung der Reibungsschicht innerhalb

13 Jahrb. STG. Bd. 52

des Meßbereiches angesehen werden. Das Außengesetz nach Bild 10 entspricht übrigens fast dem an der Platte; Abweichungen zeigen sich erst in u. oder c!' (Bild 7) sowie im Formparameter (Bild 8).

Der allgemeine Effekt der Querkrümmung der Strömung könnte erst durch weitere Messungen an Zylindern von verschiedenem Durchmesser (evtl. an zugeschärften Hohlzylindern) studiert werden.

5,5

*,5

- --

^{JTTC (c,-werte) 1957}

Zylinder (c,)

Schoenherr Hughes Zylinder(c;'wer~}

--

^Zylinder (c;-Werte,landwetJer)

--- --.-.-.

3,0

cf

.

2,5

1,0

o Z 3&

* 5 6

Hez'w' -

Bild 9. Örtlicher und gesamter Widerstand ~zogen auf die Oberfläche; Platten- und Zylinderströmung.

Solche Messungen könnten auch vielleicht die Diskrepanz erklären, die zwischen diesen Messungen'und denen von L. Land weber bestehen. L. Landweber berichtete auf dem 8. internationalen Kongreß der Schiffbauversuchsanstalten 1957 über Messungen an einem zylindrischen Stab mit 1 Zoll

=

^{2,54 cm}

Durchmesser in einem Windkanal. Er findet in den örtlichen und gesamten Widerstandsbeiwerten

o

t

⁶

"' I ^.

:1:,::18

2

Außen gesetz

10

U..,5m/sek U".30m!sek 882mm-% 882mm

.. 1052 1262

<>1282 . 1*82.

.. 1862 .. 1662.

" 2U2 Z2/J(} .

. 3038 26*0 .

2838

o

Bild 10. Zylinderströmung: Außengesetz mit wirklichem Wandabstand.

keine Erhöhung gegenüber den Werten vonSchoenherr für die Platte (vgl. Bild 9) und zieht daher den Schluß, daß der Effekt der Querkrümmung der Strömung auf den Widerstand vernachlässigbar sei. Im Gegensatz dazu sind unsere cf-Werte rd. 8% größer als für die Platte nach Schoenherr (Form- faktor nach Hughes r = 1,16), obwohl unsere olro-Werte kleiner sind als bei Landweber und somit der Effekt der Querkrümmung auf den Widerstand bei uns noch kleiner zu erwarten gewesen wäre.

z.Vli{ld~r

SchprfkOnfiaes p~isma

-

0 Q'!!Ierundefis Prisma +

Zvfindel'

.

scharfkantiaes PriS{17(J

. x

.

a~ndeteS Prisma

~. .

I I

I I

o

" zylinder oU... 15m/sek

"

U... 30 m/sek o . scharfkontiges Prisma o U- 15 m/sel< . U.. 30m/sei<

+ x abgerundetes Prisma + y=-- 15 m/sek x U.. 3D m/sek I

1

I

B. Quadratisches und abgerundetes Prisma

Beim quadratischen und beim abgerundeten Prisma mußte bei jeder Rückenlage in mehreren Ebenen senkrecht zur Körperoberfläche gemessen werden, um die Impulsverlustfläche und damit den Gesamt- widerstand des Körpers bis zur jeweiligen Rücklage durch Integration zu ermitteln. Das Ergebnis ist

3,0

o. zylinder

+ xotJgerundeles Prisma o . SCharfkantiges Prisma

' Sd10enherr

-

^Hughes

o U.. 15m/sei< . U.. 30 m/sek +U... 15m/sek . U.. 30 m/sek DU.. 15m/sek . U.. 3IJm/sek

t

*,0

'"\O!. 3.

.:t-

.

Z 3. . 5

Ne:r:.10-1-

Bild ll. Balkenströmung: Reibungswiderstand bezogen auf die Oberfläcbe abhängig von der Re-Z..hl.

G

in Bild 11 aufgetragen: Cfüber Re. Bei diesen nicht-drehsymmetrischen Körpern ist schon im Versuchs- bereich der Einfluß des Verhältnisses Grenzschichtdicke zu Querschnittsabmessungen sichtbar, da die cf-Werte bei gleichen Re-Zahlen der Rücklage U x/v für die beiden Anblasgeschwindigkeiten (U d/v = 1,5

3.

o

* ^{5 G 7 8 9 10 11} _x^{12 13 15 1G 17 18 19 Zf)}

(l-

Bild 12. Balkenströmung: Reibungswiderstand bezogen auf das Volumen abhängig von der Länge.

oder 2,9

.

105) deutlich verschieden ausfallen. Ferner ist der auf die Oberfläche bezogene Widerstand

z. B. bei Re = 4 . 106für das abgerundete Prisma etwa 7 % kleiner als für den Kreiszylinder und für das scharfkantige Prisma sogar um 10% kleiner.

13"

196

Bei solchen Vergleichen ist zu beachten, daß CrWerte eines längsangeströmten Prismas oder all- gemeinen Zylinders mit beliebigem Querschnitt, die unter die cI(Re)-Kurve für die Platte fallen, nicht grundsätzlich falsch gemessen sein müssen. Denkt man sich z. B. eine ebene dünne Platte endlicher Breite so zusammengefaltet, daß der Querschnitt senkrecht zur Strömungsrichtung ein spitzes V bildet, so muß man erwarten, daß der Widerstand jetzt bei gleicher benetzter Oberfläche und Re-Zahl wesent- lich kleiner ist als der der ursprünglichen Platte; denn in dem spitzen Keilraum wird sich dort, wo der Abstand der Innenwände kleiner als etwa zwei Grenzschichtdicken ist, ein Totwasser mit verringerten Wandschubspannungen ausbilden.

Praktisch interessiert nun nicht der auf die Oberfläche, sondern der auf das umschlossene Volumen bezogene Widerstand eines Mittelschiffes:

CVo!

=

CI' Oberfläche/(Volumen)2j3

. (41)

Daher ist in Bild 12 für die Versuchskörper CVo!über dem Längenverhältnis Länge zu "Durchmesser"

x/d bei den zwei Anblasgeschwindigkeiten V = 15 bzw. 30 m/s aufgetragen. Wieder ist der Zylinder der ungünstigste Körper bei beiden Anblasgeschwindigkeiten; das abgerundete Prisma hat jedoch

-

im Gegensatz zu CI

-

jeweils etwas niedrigere Beiwerte CVo!als das scharfkantige Prisma gleicher Länge. Bei kurzen Balken, etwa für 5 < x/d< 10, verschwinden die Unterschiede in den CVo!-Werten für die drei Querschnittsformen innerhalb der Meßungenauigkeit; bei 10

< x/d< 20 sind jedoch

systematische kleine Unterschiede zu sehen. Das Abrunden der Kimm eines parallelen Mittelschiffs erweist sich somit auch unter diesem speziellen Gesichtspunkt als nützlich.

III. Druckwiderstand drehsynunetrischer Ausläufe

Über den zähen Druckwiderstand läßt sich theoretisch noch kaum etwas aussagen. Er entsteht auch an schlanken Körpern ohne merkliche Ablösung vor allem in Hecknähe, wo die stark anwachsende Grenzschicht die Stromlinien immer weiter vom Körper weg drängt, als der Potentialströmung in idealer Flüssigkeit entspräche. Selbst die Bezeichnung "Grenzschicht" trifft dabei nicht mehr zu;

denn Reibungseinflüsse sind dort bereits in einem großen Gebiet wirksam, dessen Abmessungen nicht mehr klein gegen die Querabmessungen des Körpers sind, und in dem sogar die Potentialströmung nicht mehr durch eine Parallelströmung angenähert werden könnte. Dieses Übergangsgebiet zwischen

Grenzschicht und Nachlauf ist auch experimentell noch wenig untersucht.

Es ist deshalb wieder zweckmäßig, zunächst an möglichst einfachen Körpern den Druckwiderstand zu untersuchen, etwa an drehsymmetrischen Ausläufen hinter einem langen zylindrischen Mittelteil;

denn dann beeinflußt der Kopf oder das Vorderteil des Körpers nicht mehr die Druckverteilung am hinteren Teil. Druckmessungen an solchen Körpern von E. G. M. Petersohn [18] in einem Windkanal sind in Bild 13 aufgetragen. (cp = Druckwiderstand bezogen auf Staudruck und Hauptspantfläche.) Das "stumpfe Heck" ist ein Rotationsellipsoid mit dem Achsenverhältnis LR/ro = 4: 1, wobei LR = Länge des Auslaufs oder Run, ro = Radius des Zylinders davor. Das "spitze Heck" 4: 1, bzw. 8: 1, ist ein Drehkörper, der sich parabelförmig nach der Spitze hin verjüngt. Als spitzes Heck 8 : 1 ist auch ein von H. Amtsberg [3] im Schlepptank vermessener spind eiförmiger Körper mit aufgetragen, der so schlank ist, daß sich der Druckwiderstand wohl auch unbeeinflußt vom Vorderteil nur in Heck- nähe ausbildet. Schließlich sind noch eigene Windkanalmessungen [26] an Zylinderausläufen ein- geklammert aufgezeichnet; die Drucke sind hier nicht direkt durch Druckanbohrungen bestimmt worden, sondern nur durch Extrapolation des gemessenen Druckfeldes um den Körper herum. Diese cp-Werte sind daher weniger genau; doch dürfte speziell der große Wert für das Ellipsoid-Ende 2: 1 (mit starker Ablösung) ausreichend genau bestimmt sein (2 ro V/v"", 0,6' 106).

Obwohl diese wenigen Meßpunkte sicher nicht dazu berechtigen, soll doch versucht werden, die Ergebnisse auf andere LR/ro-Verhältnisse zu verallgemeinern. Ein Leitbild für die Interpolations- kurven der beiden Heckformen wurde folgendem gewagten Vergleich entnommen. Man denkt sich ein gewöhnliches, vollständiges Rotationsellipsoid in Potentialströmung und dieses in der größten Quer- schnittsfläche in zwei Hälften geteilt; dann bewirken die Drucke auf die vordere Hälfte einen Vortrieb und auf die hintere Hälfte einen gleichgroßen Widerstand, so daß insgesamt keine Kraft in Strömungs-

richtung übrigbleibt. Dieser potentialtheoretische Druckwiderstand der hinteren Hälfte Cp

+ (nach [16]

berechnet) ist eine komplizierte Funktion des Achsenverhältnisses LR/ro, die sich jedoch durch

cp+"'"-~(LR/rO)-3J2 (42)

8

gut annähern läßt; für die Kugel mit LR/ro = 1 gilt übrigens auch exakt cp+ = 1/8. Ein halbes Ro- tationsellipsoid als Abschluß eines langen längsangeströmten Zylinders hat zwar in Potentialströmung

.10-&U([/v 10-&Re(fiesamtkörper)

",.

^{Petersohn [18] Luft 1.07} 8,5; 1D,7; 12.8

y Amtsbe'Y [2] Wasser q3J5 2,G8

,

(A),(e)Wieghordt [ZGJ Luft q6

-

I \

,

_\.

\

\ \\

\ \

\.) \

\

\

'\

_~\ ^\

\~itzes Heck

\\ '\

\ v;tumpfes Heck

, , ,

_{( )}

"

, _"

,

_...

"

...9!6(~/T'or3)& ...

...q1il(Lp/"orJ/a

--

...

-.... -- ---

( )

-

ebenso wie jeder andere Auslauf dort

-

^überhaupt keinen Druckwiderstand. Trotzdem wollen wir versuchsweise annehmen, der gemessene, zähe Druckwiderstand solcher Ausläufe in wirklicher Flüssig- keit sei auch proportional zu (LR/rof3f2. Interpolationskurven mit dieser Potenz passen nun nach Bild 13 ganz gut zu den Meßpunkten, was allerdings wegen ihrer geringen Anzahl und großen Streuung nicht sehr verwunderlich ist. Es sei also angenommen:

für das spitze Heck Cp = 0,14 (LR/rof3f2 (43)

und für das stumpfe Heck Cp = 0,06 (LR/ro)-3{2 (44)

Für den auf die Oberfläche bezogenen tangentialen Reibungswiderstand war früher [26] für folgende drei Ausläufe: Ellipsoid 2: 1 und 4: 1, sowie für ein spitzes Heck 6: 1 praktisch der gleiche Wert 0,0033 gefunden worden (bei 2 ro V/v"'" 0,6' 106). Bestimmt man damit die Wandreibung für beliebige

aß?

403

!

^q02

"'~

o

* Lp/'O-

Bild 13. Gem""""ne Druckwiderstände von verschiedenen Zylinderausläufen.

z Ii 8

LR/ro-Verhältnisse und addiert den jeweiligen Druckwiderstand nach (43) bzw. (44), so erhält man die in Bild 14 aufgetragenen Gesamtwiderstände von Ausläufen an einem langen Zylinder abhängig vom Längenverhältnis (cw = W/q@ mit W = Gesamtwiderstand, q = Staudruck der Anströmung und

@

= Spantfläche des Zylinders). Danach hat ein stumpfes Heck von etwa 3 Radien Länge den absolut

kleinsten Widerstand. Bezieht man den Widerstand auf das Volumen des Auslaufs - CVol= W/q(Vol)2f3 in Bild 15 -, so erweist sich das stumpfe Heck trotz stärkerer Ablösung sogar bei den verschiedensten Längen günstiger als das "stromlinienförmige" spitze Heck. Natürlich sind die Kurven in den Bildern 14 und 15 nur vorläufige Schätzungen, solange nicht weitere genaue Messungen vorliegen; vielleicht hängen sie auch noch etwas von der Re-Zahl ab. Jedoch dürfte jetzt schon sicher sein, daß

-

^im

Längenbereich von LRlr

⁰ etwa 3 bis 5 - gewisse stumpfe Heckformen kleineren Widerstand haben als spitze Heckformen.,

Die Bestimmung des Druckwiderstands aus dem Druckverlauf längs des Körpers erfordert, besonders an schlanken Formen, äußerst genaue Messungen [1, 2, 3]; denn er ergibt sich als kleine Differenz von großen Saug- und Druckkräften an den OberHächenteilen, wo der statische Druck negativ oder positiv ist. Dies ist natürlich durchaus bekannt, doch ist vielleicht eine Veranschaulichung der Einzelheiten dieses Sachverhalts nützlich. In Bild 16 sind für einen elliptischen Auslauf 4: 1 hinter einem langen

Zylinder die gemessenen Wandschubspannungen

^To

und statischen Drucke p aufgetragen. (Dabei

ist

^To

als negative Größe eingezeichnet, da

^To

ebenso wie ein negativer Druck Widerstand verursacht,

während positives p am Hinterkörper Vortrieb erzeugt.) Die wirkliche Druckverteilung unterscheidet

sich im Verlauf zwar deutlich von der potentialtheoretischen, doch ist ihre Größenordnung dieselbe, während die tangentialen Wandschubspannungen, verglichen mit den Drucken, so klein sind, daß sie fast vernachlässigbar erscheinen. Um nun die resultierenden Kräfte in Strömungsrichtung zu erhalten, müssen '1'0und p mit dem jeweiligen Oberflächenelement und dem zugehörigen Richtungs-cosinus multipliziert werden, wodurch sich die mittlere Auftragung in Bild 16 ergibt; jetzt sind die Beiträge der tangentialen und der zur Oberfläche senk-

rechten Spannungen schon von der gleichen Größenordnung. Integriert man diese Beiträge

t

~I~

I 402 J!

ln/ra

* -

Bild 14. Gesamtwiderstand von Zylinderauslänfen bezogen auf die Hauptspantfläche.

o 2 ⁶

\

\\

\\

\

0.02

' ~- ---

^spitzesHeck

o 2

* 6

Ln/ra

-

Bild 15. Gesamtwiderstand von Zylinderauslänfen bezogen auf das Volumen.

qzo ^{0.2 6 0.8}

8

.. 'kontur

-Q02

8 0,2 q8

Bild 16. Integration der Reibungs- und Druckkräfte längs eines elliptischen Zylinderauslaufs (Achsenverhältnis 1: 4).

längs des Körpers wie in der untersten Auftragung, so wächst die Wirkung der Wandschubspannungen monoton bis zur Ablösestelle und gibt CR

= 0,022. Das Integral für den Druckwiderstand wächst

zunächst infolge der Saugkräfte bis zu einem Betrag von 0,052 an und wird erst in Hecknähe, in diesem Fall etwa hinter der Ablösestelle, durch den dort positiven Druck wieder fast zum Verschwinden gebracht, nämlich auf den Endwert Cp = 0,007, so daß der Gesamtwiderstand Cw = 0,022

+

0,007 = 0,029 wird. Insgesamt tragen also in diesem Beispiel die kleinen tangentialen Reibungskräfte 76 % zum Widerstand bei, und die großen Druckkräfte nur 24 %; bei schlankeren Ausläufen wird der Beitrag

des Druckwiderstands sogar noch wesentlich kleiner. Trotz aller Unterschiede in Hecknähe gegen- über der Potentialströmung versucht demnach auch die wirkliche Strömung sich noch möglichst eng an die potentialtheoretische Spielregel zu halten, das Druckintegral zum Verschwinden zu bringen, worüber der Fachmann staunt und der Praktiker sich freut.

Sehrifttum [1] Amtsberg, H.: STG.Jahrbuch 38 (1937),177.

[2J Amtsberg, H.: Schiffstechnik 3 (1955/56), 240.

[3] Amtsberg, H.: Schiffstechnik 5 (1958), 13l.

[4] Coles, D.: Z. angew. Math. Phys. 5 (1954), 18l.

[5] Cooke, J. C.: Quart. J. Mech. Appl. Math. 10 (1957),312.

[6] Corrsin, S.: NACA Wartime Report W 94 (1943).

[7] G la uert, M. B., und Ligh thill, M. J.: Proc. Roy. Soc. A 230 (1955), 188.

[8] Granville, P. S.: SNAME 64 (1956),209.

[9] Granville, P. S.: D. Taylor Model Basin Report 1024 (1958).

[10] Hughes, G.: TINA 96 (1954), 314.

[11] Klebanoff, P. S.: NACA Techn. Note 3178 (1954).

[12] Landweber, L.: STG.Jahrbuch 46 (1952),137.

[13] Landweber, L., und Siao, T. T.: J. Ship Research 1 (1958),:!l.

[14] Lap, A. J. W.: TINA 98 (1956),137.

[15] Ludwieg, H., und Tillmann, W.: Ing. Arch. 17 (1949), 288.

[16] Maruhn, K.: Jahrbuch deutsch. Luftfahrtforsch. 1934, 136.

[17] Millikan, C. B.: Proc. 5 intern. Kongr. angew. Mech. 1938.

[18] Petersohn, E. G. M.: Flygtekn. Försökanst. Stockholm, Rep. 75 (1957).

[19] Schoenherr, K. E.: SNAME 40 (1932),279.

[20] Schultz.Grunow, F.: Luftfahrtforsch. 17 (1940),239.

[21] Seban, R. A., und Bond, R.: J. Aero. Sci. 18 (1951), 671.

[22] Townsend, A. A.: Proc. Roy. Soc. A 190 (1947), 551.

[23] Townsend, A. A.: 7. intern. Konf. Schiffbauversuchsanst. (1954).

[24] Wieghardt, K.: ZAMM 24 (1944), 294.

[25] Wieghardt, K.: Schiffstechnik 2 (1955), 133.

[26] Wieghardt, K.: Schiffstechnik 3 (1955/56), 102.

Erörterung Pb. Eisenberg, Washington (Übersetzung)

Da Herr Professor Weinblum mir gestattet hat, Englisch zu sprechen, möchte ich gerne Herrn Professor Wieghardt zu seinem Referat beglückwünschen. Ich glaube, daß eines der im Schiffbau allzu häufig behan.

delten Themen die Frage des Reibungswiderstandes der ebenen Platte ist; die Aufmerksamkeit, die Herr Professor Wieghardt auf die Wirkungen der Querkrümmung verwandt hat, ist besonders wichtig, und dies ist gerade eine der Fragen - wenigstens meiner Meinung nach

-

die heute behandelt werden sollten.

Weiterhin beweisen seine Untersuchungen eine besonders tiefe Einsicht in dieses Problem, insofern als er seine Bemühungen nicht nur auf den Kreiszylinder beschränkte. Nun, eine Menge Leute haben sich nur mit dem Kreiszylinder beschäftigt und haben die Vorstellung, daß dieses Problem etwas mit dem Schiff zu tun habe. Es hat aber überhaupt nichts mit dem Schiff zu tun, wenn es auch im Prinzip ein interessanter Fall ist.

Aber die Untersuchungen von Professor Wieghardt mit dem rechteckigen Querschnitt und dem Querschnitt mit den abgerundeten Kanten sind von besonderem Interesse und auf unser Problem anwendbar.

Ich habe nur noch eine Frage, die ich gerne an Professor Wieghardt richten würde zwecks technischer Unterrichtung: Was ist der Einfluß der Form des Kopfes bei Ihren Versuchskörpern, Ihren Modellen, auf die Entwicklung der Grenzschicht? Immerhin wird der Druckgradient in der Nähe des Kopfes in hohem Maße das Anwachsen der Grenzschicht, die Umschlagspunkte und die Werte der Schubspannung, den Form- parameter usw. beeinflussen.

Noch einmal möchte ich Professor Wieghardt dazu beglückwünschen, daß er seine Aufmerksamkeit einem zentralen Problem in diesem Gebiet zugewandt hat.

Prof. Dr.-Ing. H. Amtsberg, Berlin

Herr Vorsitzender, meine Damen und Herren! - Gestatten Sie mir ein paar kurze Bemerkungen zu den sehr interessanten Ausführungen des Kollegen Wieghardt.

Herr Wieghardt hat sich u.a. auch über den Einfluß der Querkrümmung geäußert und bei seinen Unter- suchungen einen Effekt festgestellt, der keineswegs zu übersehen ist. Ich denke, er hatte eine Erhöhung der Reibungswiderstandsbeiwerte um 8% gegenüber den Werten nach Schoenherr angegeben, womit er sich im Gegensatz zu Ergebnissen befindet, über die Landweber 1957 in Madrid berichtet hat. Ich möchte mir nun erlauben, auf zwei ältere Arbeiten hinzuweisen, bei denen ebenfalls ein nicht zu unterschätzender Effekt der Querkrümmung festgestellt worden ist, und würde es begrüßen, wenn diese beiden Veröffentlichungen in die Schrifttumsübersicht aufgenommen werden könnten.

Die eine Arbeit stammt von Kempf und ist in der Zeitschrift "Werft, Reederei, Hafen", 1924, H. 20, ver.

öffentlicht worden. Herr Kempf hat seinerzeit Rohre verschiedenen Durchmessers geschleppt und dabei festgestellt, daß sich der Widerstand mit Abnahme des Krümmungsradius vergrößert.

Die zweite Arbeit stammt von Telfer und ist meines Wissens in den Transactions of the North East Coast Institution of Engineers & Shipbuilders im Jahre 1928/29 veröffentlicht worden. Herr Telfer hat sogar eine Formel angegeben, nach der die Vergrößerung des Reibungswiderstandes infolge der Querkrümmung berechnet werden kann. Die Formel lautet - wie ich glaube -

(

^{v. r}

)

^-1/3

LJCt

= 0,07.

'-;-

mit v= Geschwindigkeit, r = Rohrradius und v = kinematische Zähigkeit.

Nach dieser Beziehung ergeben sich, ebenso wie es Herr Wieghardt festgestellt hat, bemerkenswerte Effekte durch Querkrümmungen. Wenn ich mich weiter recht entsinne, hat sßinerzeit Prandtl in einem Diskussionsbeitrag zu dem Telferschen Vortrag die physikalische Erklärung für diesen Effekt gegeben. Prand tl hat ausgeführt, daß sich im Falle einer nach außen konvexen Querkrümmung der Oberfläche die Grenzschicht nach mehreren Richtungen hin ausweiten und aus Kontinuitätsgründen dünner werden muß als bei ebenen Oberflächen. Demzufolge ist mit größeren Schubspannungen und damit mit größerem Reibungswiderstand zu rechnen.

Ich möchte mir noch eine zweite Bemer~ung zu den Ausführungen von Herrn Wieghardt erlauben. Zu meiner großen Freude habe ich eine gute Übereinstimmung zwischen den Reibungswiderstandsbeiwerten, die Herr Wieghardt gefunden hat, und denjenigen, die ich bei meinen Untersuchungen mit Rotationskörpern ermittelt habe, festgestellt. Herr Wieghardt gibt einen Reibungswiderstandsbeiwert von 0,0033 an, und zwar praktisch unabhängig von der Form der von ihm untersuchten Ausläufe. Ich selbst habe bei meinen Untersuchungen an zwei verschieden völligen ~otationskörpern, ebenfalls unabhängig von der Körperform, einen Wert von 0,00334 gefunden. Diese gute Übereinstimmung ist sehr erstaunlich, wenn man bedenkt, daß die Reibungswiderstandsbeiwerte auf ganz verschiedenem Wege gefunden worden sind. Bei meinen Unter- suchungen ist der gesamte "zähe" Widerstand gemessen und davon der aus Druckmessungen ermittelte Druckwiderstand abgezogen worden; der Rest stellt den tangentialen Reibungswiderstand dar.

Im übrigen liegt der Reibungswiderstandsbeiwert von 0,00334 6% über den Werten, die Hughes für den zweidimensionalen Fall angegeben hat. Dieser Prozentsatz entspricht etwa dem rechnerisch zu ermittelnden Formeinfluß auf den reinen Reibungswiderstand.

Zum ScWuß seines Vortrages hat Herr Wieghardt auf die Schwierigkeiten hingewiesen, die bei der Ermitt- lung des Druckwiderstandes zu überwinden sind. Es sind nicht nur die Versuchsdurchführung und die Mes- sungen schwierig, sondern auch die Versuchsauswertung. Aus Bild 16 war zu ersehen, daß bei der Integration der Drücke über die Körperoberfläche am Körperende nur noch ein kleiner Betrag von cp= 0,007 übrigbleibt.

In dem Fall des elliptischen Auslaufs von 4: 1 hat Herr Wieghardt immerhin noch einen Anteil des Druck- widerstandes am Gesamtwiderstand von 24% erhalten. Bei meinen Versuchen mit Rotationskörpern mit einem Verhältnis LID

=

8 waren es nur noch 8-10%, und es ist leicht einzusehen, daß die exakte Bestim- mung des Druckwiderstandes um so schwieriger wird, je geringer dieser Prozentsatz ist.

Meine Herren, obwohl der "zähe" Druckwiderstand bei schlanken und mittelvölligen Verdrängungsvertei- lungen verhältnismäßig klein ausfällt, ist eine weitere Klärung des Problems des "zä~~n" Widerstandes, insbesondere auch dessen Beeinflussung durch die Rauhigkeit und schließlich auch dessen Anderung bei arbei- tendem Propeller von außerordentlicher Bedeutung für die Prognosen, die auf Grund von Widerstands- und Propulsionsversuchen mit Modellen auf die Großausführung zu stellen sind. Ich glaube, wir müssen Herrn Wieghardt sehr dankbar für seinen wertvollen Beitrag sein, den er heute durch seinen Vortrag zu diesem schwierigen Problem geleistet hat.

Dr.-Ing. F. Gutsche, Berlin

Meine Herren, ich möchte mich zu dem Problem, das Herr Professor Wieghardt für dreidimensionale Strömungen behandelt hat, auf eine Anregung beschränken und bitten, wenn möglich, diese Untersuchungen auch für zweidimensionale Körper mit in Angriff zu nehmen. Mit diesen hatte ich mich seinerzeit beschäftigt und versucht, die Aufspaltung in Zähigkeitswiderstand und Reibungswiderstand für Schraubenblattprofile vorzunehmen.

Wir sind im Schiffsmodellversuchswesen bei Anhängen und ebenso sehr in der Propellerrechnung daran interessiert, auch für derartige Profile Werte für den zähigkeitsbedingten Normal- oder Druckwiderstand zu erhalten, und vielleicht wäre es möglich, daß man außer den dreidimensionalen Untersuchungen an einem Balken auch einige Messungen an zweidimensionalen Profilkörpern macht, bei denen u. U. die ganze Versuchs- durchführung noch etwas einfacher und die Ergebnisse vielleicht auch etwas deutlicher werden, weil die hier auftretenden Effekte wesentlich größer sind.

Zivilingenieur H. BrockmöUer, Hamburg (schriftlich eingereicht).

Strömungsvorgänge an ruhenden Schwimmkörpern in Beziehung zu bringen zu solchen, die an bewegten auf- treten, ist zwar üblich, muß aber zu TrugscWüssen führen.

Ein ruhendes Schiff z.B. wird lediglich von einer vorhandenen Wasserströmung umflossen. Neben den auf- tretenden Reibungswirbeln an der Schiffshaut können sich am Heck noch formbedingte Wirbel im Wasser aus- bilden. Die beim Umströmen des Schiffskörpers auftretende Ausweichbewegung des Wassers in Verbindung mit der sich anscWießenden Rückschichtung desselben, erfordert selbst keinen Energieaufwand. Lediglich die Reibung des Wassers an der benetzten Schiffshaut ist mit Energieverlusten verbunden, wenn man von zusätz- lichen geringen Wirbelverlusten absieht.

Diese Energieverluste sind hierbei vom strömenden Medium, und zwar aus der statistischen Druckreserve des strömenden Wassers aufzubringen.

Ist diese Reserve aufgezehrt, muß sich die Strömung ablösen. Die dann auftretenden Wirbel schnüren den Durchßußquerschnitt ein und schaffen durch Rückstau auf Kosten der Geschwindigkeits-Druckhöhe die er- forderliche Druckreserve.

Dieses kurz skizzierte Bild des Strömungsvorganges nun einfach als die Umkehrung jener Strömungsvorgänge zu beurteilen, die ein fahrendes Schiff begleiten, wäre abwegig und kann nie zu den jeweils gesuchten Erkennt- nissen führen.

Ein in ursprünglich stromfreiem Wasser fahrendes Schiff löst durch die während seiner Fahrt auftretende dynamische Wasserverdrängung drei unterschiedliche Strömungserscheinungen aus, die das Schiff dann ständig begleiten.

Als Verdrängungsstrom zu bezeichnen wäre die Strömung, die vom Verdrängungsstau beeinflußte, am Schiff entlang einem am Heck des Schiffes nur in rudimentärer Ausbildung erkennbar bleibenden Aushubgraben im Wasser zufließende.