METRISCHE RAUME

I .

METRISCHE RAUME

Def

^{. : • Eine}

^Funktion

^{d: 17×17 → [ on )}

heipt

^Metrik

auf

^du

Menge ¹⁴

^,

falls fir

^{alle x.y}

^{,zeM gilt}

^:

Li) dlx _{, .r}) :O ⇐x ×=y Definithit

( i) ^dlx _{, y}

)

⁼

dly

^{, ×}

⁾ Symmetric

( iii ) dl _x. z

)

^{e d(} x. y

)

⁺

ally

^,z

⁾ Dreiecksuugl

^.

• Das Paar (M.

d) heipt

^Metrischer

^Raum

^.

Bsp

^.:

@

Enklidsohw

Raum

17^: R

"

, dlx .y ) ^:-.

( §

,

.k

^,

;)

^.y ^'

)

^k

2 Menge ^von

'

Bitstrings

^{' M : 10,7}

^}

^{" unit}

'

Hammingabstand

' dl x. y) ^{i= ietn,.- in}}

/{

^{/ ×; t y;}

^}

^/

3 Vektorraum du

stetign

^{Fuuktiouen M. CC [a. b]}

⁾

^{unit dl f.}

g)

^:.

Hfgll

. ,

wobei

HfH•i=

sup

1/-1×11

^{die '}

Snpremumsuorm

^'

^ist

^.

×e[ a,b] 4

'

Teilraum

^': 1st (_{M ,d}) ein metischv Raum

, daun anih ( ^U_,d)

fer

^{bet. UEM} .

Def

^{.: Sei ( Mid}

⁾

^{ein metrischw}

^Raum

^.

• Far

xetl

, E^> 0

definiven

^{wir die E-}

Umgebuny ⁽

^{anch E-}

Kugel ) Bqlx

⁾

:=fyeM|

^{dlx ,}y) ^{< {}

}

• U ^E M

heipt Umgebungvon

^{XEM , wenn ein e> 0 exiskvt ,}

so dass

Be

^{(×) E U .}

• UEM

heipt often

, weuu

tfxeu Fe ^> 0 :

Be

^{Cx ) EU .}

• UEM

hipt abgeschlosseu

^{, weun MU}

Offen

^{ist .}

Ben

^{. : .}

In allgemeinen gibtes Jeilmeugen

^{, die wider}

often

^noch

abgeschlossen

^{sind . 2. B. [a.b) E R .}

• [a ,b) ^keine

Umgebnny

^{von a .}

2

• Es

gilt

^{stets: (:) M und 0 sind}

offer

^.

(ii) Dwchschnitt Zweier

Offner Hengen

^ist

often

^.

(iii)

Vereiniguug

^{bet. vieler + - - h- .}

Eiwe Menge

^von

Teilmenyn

^{von M , die lit - lii:)}

^{vfelleu Lift}

'

Topologie

^{' ( am Ende des Semesters new dazu}

)

^.

°

Der Dwchschnitt

^a viekr

offeuvtuugen

^{ist nicht}

notweudigwwise

wiedw

often

^{. ZB . A}

^t

^E.

E)

^:

^{to }}

NEW

Def

^{.: Sei IM,d ) ein}

^{metrischv Raum}

^{und UEM .}

° JU ^÷

t

^{×EM / V.} {^> O :

Bek

^)nUt

^On

^{B{ (×) n}

(

^MU

) to }

hiipt ^Rand

^{von U .}

°

htlr )

^:=

^txeu

^{I Uist}

Umgebuuguon

^×

} heft

does lunve von U ^auchmal

(

^{anch U°}

^{gescwieben )}

Lemma

: Sei ( nd ) ein metrischer Raum and UEM . Dann

gilt

^:

C i) uldu ist

often

^.

(ii) ^{Uu ZU} ist

abgeschlosseh

^.

Beweis

^: (^:

) }edes

^xeuldu

mup

^eine

offue Umgebuny

^{VEU besitzeu . Andreu}

falls

wire ×

Raudpunkt

^{von U . Were} ye Vndu _, daun ^euthielte V als

Umgebung

^des

Randpunkts

y ^{anch Punkte von M\U} ,

was VEU

widersprache

^.

Also ist xe V e UIJU ^.

lii) Sei U^':: Mln does

komplemeut

^{run U in M.}

Wegeu

^{(i) ist}

^Ucldlu

^')

often

, also

( Ucla

(^U')

)

^{' Uudluc}

in

^{) = Uudu}

abgeschlossen

^.

p

(^{AIB )' :} A' UB j( u^')^{: ju} II

Def

^{.: Sei ( nd ) ein metrischer Raum and UEM .}

xe M

heipt tlaufungspunkt

^{von U , wenu}

^jede Umgebung

^{von ×}

mindesteus linen von × vuschiedenen Punkt aus U enthalt . wir scweiben

acc

(

^h)

iit

^{xeti / × ist}

ttaufungspunkt

^{von U}

}

3

emma : Sei (M. d) ein metrischcr

Raum

and Aem

abgeschlossen

^.

Dann gilt

^{au ( A) e A.}

1 eweis ^: Da ^A'

often

^ist ,

gibt

^es

for ^jedes

^{× -4 A eine}

Umgebung

^{V , so}

class Vn A ⁼ 0 . Dawit ist ×

¢

^{aula ) . I}

Wir

konnen

den

Absohlnss

einer

Meng

^nun

anf vvschiedeue Arlen chwaktuisiveu

^:

Satz

: Sci (M

,

d)

_{ein metrischw Raum und UEM}

, dann ist

K

^{: '}

f

^{xe M / F}

(

xu ^c.

a)

new

: xn ^{→ ×}

}

^<

^{f Menge}

^von

freuzwerteiy

Beriwpunkten

= Uu2U ^<

[

Unit

^Rand

< )

Kbinste ^abgeschl

^.

^huge

^,

= n

{

^{A en I A}

abgeschlossen

^{^ A ?U}

}

|

^{die uenthalt} .

= U u acc (U

)

<

{

^Unit

Hanfungspunkten

Bewu

's

:C

:) Da UDU

abgeschlossen

^ist

( siehe Lemma )

^{and U enthalt} _,

gilt

^richer

U u2U 2 A

{

^A

^£171 _Aabg

^{. ^}

A2U}

^.

(i:) ^{1st , dauu}

gilt XEUUJU

^{Knew :}

By

^{(x) n U 't}

¢

^{. D.h . es}

gibt

eine

Folge

^{xu E B.a (x) n U in U , die}

gegen

^×

konvvgivt

^{, also}

{ ^{xe 17} / 7

(

xn ^c. U

)neµ

^{: xn → ×}

}

^{? UUJU .}

(iii

) Berinhrpunkt

1st × ein von U

,

dam ist eutwedb XEU

,

oder xeacc (U

)

. D.h.

Uuacclu ^{) '-}

f

^{xe M / F}

(

xu EU

)

new

: xn ^{→ ×}

}

(iv

)

Da ^V:- A

{

^{A e M / A}

abgeschlossen

^{n At U}

} abyschlossen

^{ist und}

damit ace (v) e V

gilt

^{unit UEV :}

V ^: Vu acc (^v) ^? U ^uacc L^U)

.

II