U dS = ZZ

6.2.2 Fl¨ achenintegrale

Fl¨ achenintegral

ZZ

S

U dS = ZZ

D

U(~r(u, v)) | ~n(u, v) | dudv , ~n = ∂

~r × ∂

~r

f¨ur eine Fl¨ache S : D 3 (u, v) 7→ ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

und ein Skalarfeld U (x, y, z) unabh¨angig von der Parametrisierung

Flussintegral

ZZ

S

F ~ · d~ S = ZZ

S

F ~ · ~n

dS = ZZ

D

F ~ (~r(u, v)) · ~n(u, v) dudv

f¨ur eine Parametrisierung D 3 (u, v) 7→ ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

der Fl¨ache S und mit

d~ S = ~n

dS , dS = | ~n(u, v) | dudv

dem vektoriellen Fl¨achenelement in Richtung der Normalen ~n = ∂

~r × ∂

~r

bei gleicher Orientierung des Normalenvektors unabh¨angig von der Parametrisierung; ¨ Anderung des Vor- zeichens bei Umkehrung der Normalenrichtung

Fluss durch einen Funktionsgraph ZZ

S

F ~ · d~ S = ZZ

D

− F

∂

f − F

∂

f + F

dxdy

f¨ur eine skalare Funktion z = f(x, y) mit Definitionsbereich D und Graph S (Normale mit positiver z-Komponente)

Fluss durch einen Zylindermantel

Randkurve % = %(ϕ) Z

0 zmax

Z

zmin

F

% − F

∂

% dz dϕ, F ~ (%, ϕ, z) = F

~e

+ F

~e

+ F

~e

(Flussrichtung nach außen)

% = a (Kreiszylinder)

a Z

0 z

Z

zmin

F

dz dϕ

126

Fluss durch eine Sph¨ are Radius r = a

Z

0

Z

0

F

a

sin ϑ dϕ dϑ, F ~ (r, ϑ, ϕ) = F

~e

+ F

~e

+ F

~e

radiales Feld F ~ = f (r) ~e

Fluss 4πa

f (a)

127