SS 2012 10. April 2012 Blatt 1

Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨ at

D¨ usseldorf

Prof. Dr. W. Singhof

SS 2012 10. April 2012 Blatt 1

Ubungen zu Differentialtopologie ¨

1. (8 Punkte) F¨ ur n ∈ N , n ≥ 2 sei M

:=

(

(x

, . . . , x

) ∈ R

|

n

X

i=1

x

= x

)

. (a) Skizzieren Sie M

f¨ ur n = 2 und n = 3.

(b) Zeigen Sie, dass M

keine topologische Mannigfaltigkeit ist.

2. (16 Punkte) F¨ uhren Sie das Beispiel (3) von § 1 der Vorlesung aus, das heißt: Es sei S

:=

(

(x

, . . . , x

) ∈ R

|

n

X

i=0

x

= 1 )

,

und sei N := (0, . . . , 0, 1) der Nordpol und S : = (0, . . . , 0, -1) der S¨ udpol von S

. Mit ϕ

: S

r {N } → R

und ϕ

: S

r {S} → R

bezeichnen wir die stereographischen Projektionen.

(a) Beschreiben Sie die Abbildungen ϕ

und ϕ

durch Formeln.

(b) Zeigen Sie, dass ϕ

und ϕ

Hom¨ oomorphismen sind.

(c) Zeigen Sie, dass die beiden Karten

c

= (S

r {N } , ϕ

), c

= (S

r {S} , ϕ

) miteinander vertr¨ aglich sind und einen Atlas A von S

bilden.

3. (16 Punkte) F¨ ur i = 0, 1, . . . , n und ε = ±1 sei

U

:= {(x

, . . . , x

) ∈ S

| εx

> 0} . (a) S

ist die Vereinigung der U

.

(b) Definiere ϕ

: U

→ R

durch

ϕ

(x

, . . . , x

) := (x

, . . . , b x

, . . . , x

), das heißt, die i-te Koordinate wird weggelassen.

Zeigen Sie, dass c

:= (U

, ϕ

) eine Karte von S

ist.

(c) Zeigen Sie, dass je zwei dieser Karten miteinander vertr¨ aglich sind. Die c

bilden also einen Atlas A

von S

.

(d) Sei A der Atlas aus Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die maximalen Atlanten A b und c A

gleich sind.

Abgabe: Dienstag, den 17. April 2012, 10:30 Uhr

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