Datenbanksysteme Relationale Algebra Burkhardt Renz

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Datenbanksysteme

Relationale Algebra

Burkhardt Renz

Fachbereich MNI

Technische Hochschule Mittelhessen

Sommersemester 2021

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Inhalt

Relationen und relationale Algebra

Motivation: Relationen in der Mathematik Relationen

Relationen und Relationsvariablen Operatoren der relationalen Algebra

Übersicht

Operatoren im Detail

Gesetze der relationalen Algebra

Datenbanken und Integritätsbedingungen

Integritätsbedingungen für eine Relationsvariable Integritätsbedingungen für mehrere Relationsvariablen Definition Datenbank

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Relationen in der Mathematik

SeienM₁,M₂, . . . ,M_n Mengen.

Einen-äre Relation R ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts M1ˆM2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆMn dieser Mengen:

R“ tpm1,m2, . . . ,mnq{m1 PM1,m2 PM2, . . . ,mnPMnu

DerGradder Relation ist n.

Istn“2 sagt manbinäre Relation, istn “3 ternäre Relation.

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Beispiel 1

Wir betrachten die TeilmengeE ĂZˆZ ˆZmit

E“ tp0,0,0q,p0,0,1q,p0,1,0q,p1,0,0q,p1,1,0q,p0,1,1q,p1,0,1q,p1,1,1qu

Man kannE als die Menge der Ecken des Einheitswürfels inZ³ sehen:

(0,0,1)

(0,0,0) (0,1,0)

(0,1,1) (1,1,1)

(1,1,0)

(1,0,0) (1,0,1)

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Beispiel 2

Gegeben seien:

Aeine Menge von Fluggesellschaften, N eine Menge von Flugnummern, F eine Menge von Flughäfen und T eine Menge von Abflugzeiten.

Wir betrachten die 5-stellige Relation

FlugplanĂAˆNˆF ˆF ˆT

Elemente dieser Relation könnten sein:

(’Lufthansa’, ’LH314’, ’FRA’, ’PDX’, ’11:30’) (’Delta’, ’DX423’, ’SFI’, ’LAX’, ’12:00’)

(’Singapore Airlines’, ’SG297’, ’SIN’, ’CHC’, ’20:50’) Die <Fluggesellschaft> fliegt unter <Flugnummer> von

<Flughafen> zu <Flughafen> um <Abflugzeit>.

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Konzept einer Algebra/ algebraischen Struktur

Mengevon Elementen

Operationen, d.h. Verknüpfungen der Elemente Axiome und Gesetze, d.h. Gesetze der Operationen

Operatoren, die auf ein einzelnes Element der Menge angewendet werden, heißenunäre Operatoren.

Operatoren, die auf Paare von Elementen der Menge angewendet werden, heißenbinäre Operatoren.

Eine Algebra istabgeschlossen unter einer Operation, wenn das Ergebnis der Operation wieder ein Element der Algebra ist.

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Beispiel 1

pZ,´,`q die Menge der ganzen Zahlen mit Negation, unäre Operation:aPZÞÑ ´aPZ

Addition, binäre Operation: pa,bq PZ²ÞÑa`b PZ Axiom (im Beispiel die Kommutativität):

@a,b PZ:a`b “b`a

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Beispiel 2

pB,^,_, q Boole’sche Algebra mit MengeB“ ttrue,falseu

Negation, unärer Operator:

Konjunktion (and), binärer Operator: ^ Disjunktion (or), binärer Operator: _ Beispiel für Gesetze in dieser Algebra:

pp^qq ” p pq _ p qq pp_qq ” p pq ^ p qq

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Beispiel 3

pR, σ, π,ˆ,’,X,Y, . . .q MengeR der Relationen

Restriktion/Selektion σ Projektion π

. . .

In der relationalen Algebra gelten eine Vielzahl von Gesetzen, von denen wir später einige betrachten werden.

ñRelationale Algebra

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Datentyp

EinDatentypist eine Menge von Werten. (In der Literatur wird auch der BegriffDomänefür Datentyp verwendet.)

Beispiel

Integerst. . . ,´2,´1,0,1,2,3, . . .u Wahrheitswerte {true, false}

Menge deutscher KFZ-Kennzeichen . . .

Ein Datentyp hat üblicherweise selbst Operatoren Beispiel

`,´,ˆ,{ arithmetische Operatoren für Integer ă,ď,“,ě,ąVergleichsoperatoren

^,_, Operatoren für Wahrheitswerte

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Attribute

EinAttributist ein benannter Datentyp, d.h.

Ein Attribut besteht aus einem Namen und

einem zugeordneten Datentyp (einer Domäne) Beispiel

ArtNr: numeric(6) Bez: varchar(40) . . .

Wir gehen in dem Abschnitt über die relationale Algebra immer davon aus, dass Name und Datentyp zusammengehören, d.h. es kann nicht sein, dass zwei Attribute denselben Namen, aber verschiedenen Datentyp haben.

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Tupel

EinTupel ist eine Zuordnung von Werten zu einer Menge von Attributen.

Dabei muss der zugeordnete Wert stets vom Datentyp des jeweiligen Attributs sein.

Beispiel

[ArtNr = 100101, Bez = ’Les Châteaux’, Weingut = ’Louis Max’]

In der Mathematik sind die Tupel von Relationen in der RegelgeordneteTupel, d.h.

die Zugehörigkeit zu einer Wertemenge ergibt sich aus der Position im Tupel.

In der relationalen Algebra sind die Tupel Zuordnungen von Werten zubenannten Attributen.

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Relationsschema

EinRelationsschema ist eine Menge von Attributen.

Das Relationsschema definiert die Struktur der Tupel in einer Relation.

Beispiel (Relationsschema für Artikel)

(ArtNr: numeric(6), Bez: varchar(40), Weingut: varchar(30) , . . . ) Man schreibt auch gerne kurz:

Artikel( ArtNr, Bez, Weingut, . . . )

Bemerkung:

Die Reihenfolge der Attribute spielt keine Rolle, d.h.

A1(ArtNr, Bez, Weingut) und A2(Weingut, ArtNr, Bez) habendasselbeRelationsschema.

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Relation

EineRelation R besteht aus einem Relationsschema R_S und einer MengeR_T von Tupeln, die dem Relationsschema entsprechen.

Beispiel (Relation für Artikel)

ArtNr: numeric(6) Bez: varchar(40) Weingut: varchar(30) . . .

100001 Les Châteaux Louis Max . . .

100002 Chablis Louis Max . . .

. . . . . . . . . . . .

DerGradeiner RelationR ist die Anzahl der Attribute im RelationsschemaR_S

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Zusammenfassung soweit

Wert ein in Raum und Zeit unveränderliches Merkmal z.B. die Zahl 12 oder der String ’Hans’ . . . Datentyp eine Menge von Werten z.B. varchar(40)

Attribut ein benannter Datentyp, z.B Name: varchar(40) Tupel ein durch Attribute „indiziertes“ Tupel von Werten,

z.B.

[Name = ’Schneider’, Vorname = ’Hans’, GebDat = ’2001-01-05’]

Relationsschema eine Menge von Attributen

Tupelmenge eine Menge von Tupeln zu einem gegebenen Relationsschema

Relation ein Relationsschema (auch Relationskopf genannt) zusammen mit einer Tupelmenge zu diesem Schema

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Zusammenfassung soweit (Illustration)

ArtNr: numeric(6) Bez: varchar(40) Weingut: varchar(30) 'Les Châteaux'

'Chablis'

'Château Caraguilhes' 'Prosecco Val Monte' 'Le Cop de Cazes' 100001

100002 100003 604851

145119 'Domaine Cazes'

'Louis Max' 'Louis Max' 'Louis Max' 'Cave Bellunda'

Wert

Datentyp Attribut

Tupel

Relationsschema

Tupelmenge

Relation

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Relationen und Relationsvariablen

Eine RelationR ist ein Wert. Man kannR in einer Datenbank speichern, dies entspricht der Zuweisung des WertsR zu einer Variablen.

EineRelationsvariable (kurz: RelVar) ist eine Variable, die als Wert eine Relation aufnehmen kann.

Eine RelationsvariableV hat ein Relationsschema V_S. In der RelationsvariablenV können nur RelationenR gespeichert werden, die dasselbe Relationsschema haben, d.h. es muss gelten:R_S =V_S. Für dieZuweisung einer Relation R an eine Relationsvariable V schreiben wir:

V –R

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Datenbank (Erste Definition)

EineDatenbank ist eine Menge von Relationsvariablen.

DasDatenbankschema besteht aus den Relationsschemata der Relationsvariablen.

DerDatenbankzustandbesteht aus den Relationen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt den Relationsvariablen zugewiesen sind, d.h.

in der Datenbank gespeichert sind.

Im SQL-„Jargon“, aber auch in Lehrbüchern zu Datenbanksystemen werden RelationenundRelVars als Tabellen bzw. Relationen bezeichnet.

Man muss also aus dem Kontext entnehmen, ob Relationen (Werte) oder Relationsvariablen (Variablen) gemeint sind.

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Eigenschaften von Relationen I

Die Tupelmenge einer Relation ist eine Menge, hat also keine Duplikate und keine definierte Reihenfolge

(In SQL kann eine Tabelle Duplikate haben)

Die Attribute im Relationsschema einer Relation sind eine Menge, d.h. es gibt keine Duplikate und keine definierte Reihenfolge

(In SQL wird die Reihenfolge der Attribute in create table als definierte Reihenfolge der Attribute genommen)

(20)

Eigenschaften von Relationen II

Das Relationsschema ist Bestandteil der Relation, nicht nur die Tupelmenge

(In manchen Lehrbüchern wird nur die Tupelmenge genommen)

Man kann das Relationsschema einer Relation oder RelVar als Prädikat auffassen. Die RelVar enthält also eine Menge von wahren Aussagen zu diesem Prädikat.

(Das Prädikat ergibt sich nicht einfach aus dem

Relationsschema, sondern enthält zusätzliche Informationen)

(21)

Inhalt

Relationen und Relationsvariablen

Operatoren der relationalen Algebra Übersicht

Gesetze der relationalen Algebra Datenbanken und Integritätsbedingungen

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Übersicht

1 σ (sigma) Selektion, Restriktion

2 π (pi) Projektion

3 ρ (rho) Rename, Umbenennung

4 π (pi) erweiterte Projektion

5 YVereinigung

6 XDurchschnitt

7 ´Differenz

8 ˆKartesisches Produkt, Kreuzprodukt

9 ’Natural Join/Natürlicher Verbund

10 ’θ Theta-Join/Equi-Join

11 γ (gamma) Gruppierung

12 τ (tau) Sortierung

(23)

σ (sigma) Selektion/Restriktion

Beispiel:

σ_pWeingut“1LouisMax¹qpArtikelq

Definition:

σ_CpRq, mit

R ist eine Relation (oder ein Ausdruck, der eine Relation ergibt) C ist eine Bedingung, in der vorkommen können: Attributnamen vonR_S, Werte, Operatoren der Datentypen der Attribute, Vergleichsoperatoren, logische Operatoren wieand, or, not

(24)

σ (sigma) Selektion/Restriktion

Ergebnis:

σ_CpRq hat

dasselbe SchemaR_S wie R und als Tupelmengett PR_T{t erfüllt Cu

in SQL:

σ_CpRqfl select * from R where C

(25)

π (pi) Projektion

Beispiel:

πpBez,WeingutqpArtikelq

Definition:

π_LpRq, mit

R ist eine Relation (oder ein Ausdruck, der eine Relation ergibt) List eine mit Kommata getrennte Liste von (paarweise

verschiedenen) Attributen von R

(26)

π (pi) Projektion

Ergebnis:

π_LpRq hat

als Schema die Menge der Attribute inL und

als Tupelmenge alle Tupel inR bezüglich dieser Attribute

in SQL:

π_LpRqfl select distinct L from R

(27)

ρ (rho) Rename/Umbenennung

Beispiel:

ρ_pNr_,TextqpπpArtNr,BezqpArtikelqq

Definition:

ρ_pb₁_,b₂_,...,b_n_qpRq, mit

R ist eine Relation (oder ein Ausdruck, der eine Relation ergibt) mit dem RelationsschemaRpa₁,a₂, . . .a_nq und somit dem Gradn.

Diebi sind paarweise verschiedene Namen für Attribute.

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ρ (rho) Rename/Umbenennung

Ergebnis:

ρ_pb₁_,b₂_,...b_n_qpRq hat

als Relationsschema die Menge der Attributetb₁,b₂, . . .b_nuund als Tupelmenge dieselben Tupel wieR jedoch bezüglich dieser Attribute

in SQL:

ρ_pb₁_,b₂_,...b_n_qpRqfl

select a1 as b1, a2 as b2, ..., an as bn from R

(29)

π (pi) Erweiterte Projektion

Beispiel:

π_pBez||1␣von␣¹||WeingutÑWeinqpArtikelq

Definition:

π_LpRq, mit

R ist eine Relation (oder ein Ausdruck, der eine Relation ergibt) List eine Liste bestehend aus Elementen folgender Art:

Attribute von R, Ausdrücke wieaÑb mit Attributnamen ain R_S und Bezeichnungenb, Ausdrücken wie E Ñz mit einem Ausdruck für eine BerechnungE sowie einer Bezeichnungz für das Ergebnis Die Namen rechts von den Pfeilen müssen paarweise verschieden sein

(30)

π (pi) Erweiterte Projektion

Ergebnis:

π_LpRq hat

als Relationsschema die Menge der Attributetz₁,z₂, . . .z_mu, wenn L“E1 Ñz1,E2Ñz2, . . . ,EmÑzm ist, und

als Tupelmenge die Tupel, die sich durch Berechnung der AusdrückeE₁,E₂, . . . ,E_m aus den Tupeln von R ergeben.

in SQL:

π_LpRqfl

select distinct E1 as z1, E2 as z2, ..., Em as zm from R

(31)

Y Vereinigung

Beispiel:

π_pNameqpKundeq YπpFirmaÑNameqpLieferantq

Definition:

RYS, mit

R,S sind Relationen (oder Ausdrücke, die Relationen ergeben) R und S haben dasselbe Relationsschema, d.h.R_S “S_S

(32)

Y Vereinigung

Ergebnis:

RYS hat

als Relationsschema das RelationsschemaRS vonR und als Tupelmenge die Vereinigung der Tupel vonR und S, d.h.

pRYSq_T “R_T YS_T.

in SQL:

RYS fl select * from R union select * from S

(33)

X Durchschnitt

Beispiel:

π_pOrtqpKundeq Xπ_pOrtqpLieferantq

Definition:

RXS, mit

(34)

X Durchschnitt

Ergebnis:

RXS hat

als Relationsschema das RelationsschemaRS vonR und als Tupelmenge den Durchschnitt der Tupel vonR und S, d.h.

pRXSq_T “R_T XS_T.

in SQL:

RXS fl select * from R intersect select * from S

(35)

´ Differenz

Beispiel:

π_pOrtqpKundeq ´π_pOrtqpLieferantq

Definition:

R´S, mit

(36)

´ Differenz

Ergebnis:

R´S hat

als Relationsschema das RelationsschemaR_S vonR und als Tupelmenge die Differenz der Tupel vonR und S, d.h.

pR´SqT “RT ´ST.

in SQL:

R´S fl select * from R except select * from S

(37)

ˆ Kartesisches Produkt/Kreuzprodukt

Beispiel:

Kundeˆπ_pAuftrNrqpAuftragq

Definition:

RˆS, mit

R,S sind Relationen (oder Ausdrücke, die Relationen ergeben) R und S habenkeine gemeinsamen Attribute, d.h. R_SXS_S “∅

(38)

ˆ Kartesisches Produkt/Kreuzprodukt

Ergebnis:

RˆS hat

als Relationsschema die Attribute beider Relationen, d.h.

pRˆSqS “RSYSS und

als Tupelmenge die Kombination aller Tupel vonR_T mit jedem von S_T:pRˆSq_T “ trr˝ss{r PR_T,s PS_Tu.

in SQL:

RˆS fl

select * from R cross join S(SQL92) select * from R, S(SQL89)

(39)

’ Natürlicher Verbund/Natural Join

Beispiel:

Kunde’Auftrag

Definition:

R’S, mit

R,S sind Relationen (oder Ausdrücke, die Relationen ergeben)

(40)

’ Natürlicher Verbund/Natural Join

Ergebnis:

R’S hat

als Relationsschema die Vereinigung der Attribute beider Relationen, d.h.pR ’Sq_S “R_SYS_S und

als Tupelmenge die Kombination aller Tupel vonR_T mit denen von S_T die an den gemeinsamen Attributen G “R_SXS_S

übereinstimmen:

pR’Sq_T “ trr˝ss{r PR_T,s PS_T und π_Gprq “π_Gpsqu.

in SQL:

R’S fl

select * from R natural join S

select * from R join S using (g1, g2, ...)

(41)

’

θ

Theta-Join bzw. Equi-Join

Beispiel:

Kunde’pKndNr‰AKndNrqπpKndNr´ąAKndNr,AuftrNrqpAuftragq Kunde’pKndNr“AKndNrqπpKndNr´ąAKndNr,AuftrNrqpAuftragq

Definition:

R’θS, mit

R,S sind Relationen (oder Ausdrücke, die Relationen ergeben) und RSXSS “∅

(42)

’

θ

Theta-Join bzw. Equi-Join

Ergebnis:

R’C S “σ_CpRˆSq

IstC eine Bedingung der Form a“b, dann spricht man vom Equi-Join.

IstC eine andere Bedingung etwaa‰b oderaăb, allgemeinaθb für einen Operatorθ, dann spricht man vom Theta-Join.

in SQL:

R’C S fl

select * from R join S on C

select * from R cross join S where C

(43)

γ (gamma) Gruppierung und Aggregation

Beispiel:

γpAuftrNr,sumpAnzqÑGesamtmengeqpAuftrPosq

Definition:

γ_LpRq, mit

R ist eine Relation (oder ein Ausdruck, der eine Relation ergibt) List eine Liste von Elementen, die sein können:

(1) ein Attribut der RelationR, das für die Gruppierung verwendet werden soll (GruppierungsattributeLG)

(2) eine Aggregatfunktion zusammen mit einem Attributnamen für das Ergebnis der Aggregation (AggregatfunktionenL_A)

(44)

γ (gamma) Gruppierung und Aggregation

Ergebnis:

γ_LpRq hat

als Relationsschema die Attribute inLund die Tupelmenge, die so gebildet wird:

1. Die RelationR wird in Gruppen von Tupeln eingeteilt, die bezüglich der GruppierungsattributeLG übereinstimmen

2. Für jede Gruppe wird nun genaueinTupel gebildet, indem die AgregatfunktionenL_A auf die Gruppe angewendet werden.

in SQL:

γ_LpRqfl

select L from R group byL_G

(45)

τ (tau) Sortierung

Beispiel:

τ_pArtNrqpArtikelq

Definition:

τ_LpRq, mit

R ist eine Relation (oder ein Ausdruck, der eine Relation ergibt) List eine Liste von Attributen vonR

(46)

τ (tau) Sortierung

Ergebnis:

τ_LpRqhat

als Relationsschema das vonR, d.h.RS und

als Tupelmenge die Tupel vonR lexikographisch sortiert nach den Attributen inL.

Das Ergebnis ist eine Liste, d.h. die Reihenfolge spielt eine Rolle – somit keine Relation mehr im engeren Sinne.

in SQL:

τ_LpRqfl select * from R order by L

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Gesetze der relationalen Algebra

In der relationalen Algebra gelten eine Vielzahl vonGesetzen. Diese kann man verwenden um Ausdrücke äquivalent umzuformen. Die regelbasierte Optimierungin Datenbankmanagementsystemen basiert auf diesen Gesetzen.

Beispiele:

σ_C₁pσ_C₂pRqq “σ_C₂pσ_C₁pRqq σ_C₁pσ_C₂pRqq “σ_C₁_and_C₂pRq Wenn sichC nur auf S bezieht, gilt:

σCpR’Sq “R’σCpSq

(48)

Inhalt

Relationen und Relationsvariablen

Operatoren der relationalen Algebra Übersicht

Gesetze der relationalen Algebra

Datenbanken und Integritätsbedingungen

(49)

Schlüssel

EinSuperschlüssel ist eine Menge von Attributen einer RelVar V für die gilt:

Wenn zwei Tupel an diesen Attributen übereinstimmen, dann sind sie identisch.

Jede Relationsvariable hat einen Superschlüssel, nämlich die Menge ihrer Attribute. (In SQL ist das nicht notwendigerweise so)

EinSchlüsselist ein minimaler Superschlüssel, d.h. man kann kein Attribut weglassen ohne die Schlüsseleigenschaft zu verletzen.

Beispiel

In der RelVarArtikel ist tArtNr,Bezuein Superschlüssel, und tArtNru ein Schlüssel.

(50)

Primärschlüssel

Eine Relationsvariable kann mehrere Schlüssel haben (Schlüsselkandidaten)

Für eine Relationsvariable wählt maneinen dieser Schlüsselkandidaten aus – denPrimärschlüssel in SQL:

create table Artikel (

ArtNr numeric(6) primary key, ....

);

create table AuftrPos (

AuftrNr numeric(8) references Auftrag(AuftrNr), Anzahl integer not null,

ArtNr numeric(6) not null references Artikel(ArtNr), primary key (AuftrNr, ArtNr)

);

(51)

Wichtige Integritätsbedingungen

Entitätsintegrität = Die Werte des Primärschlüssels dürfen niemalsnull sein (in SQL automatisch erfüllt)

Eindeutigkeit von Werten, Schlüssel = Die Werte bestimmter Attribute müssen eindeutig sein (in SQL: UNIQUE-Constraint) Verbot von null(in SQL: NOT-NULL-Constraint)

Bedingungen für Werte z.B. über Wertebereiche o.ä. (in SQL:

Check-Constraint)

(52)

Fremdschlüssel

EinFremdschlüssel in der RelVarS ist eine Menge von Attributen im RelationsschemaSS, die eine SchemaRS referenziert, wenn gilt:

1 Die zum Fremdschlüssel korrespondierenden Attribute in R_S haben denselben Datentyp inSS

2 Ein Tupel kann in S nur vorkommen, wenn es die zum Fremdschlüssel korrespondierenden Werte in einem Tupel von R gibt. (Ausnahme in SQL: man kannnull im

Fremdschlüssel erlauben)

(53)

Referenzielle Integrität

Referenzielle Integritätbesteht darin, dass das

Datenbankmanagementsystem Fremdschlüssel überwacht und sicherstellt, dass bei jeder Veränderung von Daten die

Fremdschlüsselbeziehung erhalten bleibt.

In SQL kann man festlegen, was beim Löschen oder Ändern eines Schlüssels passieren soll:

NO ACTION/RESTRICT = Aktion, die referenzielle Integrität verletzen würde, wird nach/vor Änderung überprüft und ggfs.

nicht erlaubt

CASCADE = Änderung an einem Schlüssel wird an den referenzierenden Fremdschlüssel weitergereicht

SET NULL = Nicht mehr gültige Fremdschlüssel werden auf NULL gesetzt

SET DEFAULT = Nicht mehr gültige Fremdschlüssel werden auf ihren Default-Wert gesetzt

(54)

Datenbank (Vollständige Definition)

EineDatenbank ist eine Menge von Relationsvariablen zusammen mit einer Menge von Integritätsbedingungen.

DasDatenbankschema besteht aus den Relationsschemata der Relationsvariablen.

DerDatenbankzustandbesteht aus den Relationen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt den Relationsvariablen zugewiesen sind, d.h.

in der Datenbank gespeichert sind.

DasDatenbankmanagementsystemgarantiert, dass in jedem Datenbankzustand die Integritätsbedingungen eingehalten werden, d.h. dass die Datenbank in einem konsistenten Zustand ist.