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Phonologie/Morphologie–SS2007 jtrommer@uni-leipzig.de JochenTrommer SchwingungenundWellen

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(1)

Schwingungen und Wellen

Jochen Trommer

jtrommer@uni-leipzig.de

Universität Leipzig Institut für Linguistik

Phonologie/Morphologie – SS 2007

(2)

Schwingungen beim Federpendel

(3)

Schwingungen beim Federpendel

(4)

Wichtige Grössen

A Amplitude der Schwingung

die maximale Auslenkung der Schwingung

D Auslenkung zum Zeitpunktt T Periode der Schwingung

die Zeit einer vollständigen Schwingung f Frequenz der Schwingung

Anzahl der Schwingungen pro Sekunde

(5)

Masseinheiten

A Amplitude der Schwingung Meter m D Auslenkung zum Zeitpunktt Meter m T Periode der Schwingung Sekunden s f Frequenz der Schwingung 1

Sekunden

=

Hertz Hz

(6)

Wichtige Grössen: A und D

A

t D Auslenk.

Zeit

A= Amplitude

D= Auslenkung zum Zeitpunkt t

(7)

Wichtige Grössen: T

T Auslenk.

Zeit

T= Periode der Schwingung

(8)

Wichtige Grössen: T und f

T = die Zeit einer vollständigen Schwingung (in Sekunden) f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde

f = 1 T

Beispiel:

T = 5s (1 Schwingung dauert 5 Sekunden) f = 1

5s ( 15 Schwingungen pro Sekunde) (= 0,2 Hertz/Hz)

(9)

Berechnung von D (Auslenkung zur Zeit t)

D = A · sin(2 · π ·

Tt

)

D = A × sin(2 · π · f · t )

Auslenkung = Amplitude × sin(2 · π · Frequenz · Zeit)

(10)

Berechnung von D

Auslenkung = Amplitude × sin(2 · π · Frequenz · Zeit)

2 · π = Umfang eines Einheitskreises (Kreis mit Radius 1)

sin() = Sinusfunktion

Verhältnis Gegenkathete/Hypothenuse

im rechtwinkligen Dreieck

(11)

Zusammenhang von Schwingung und Kreis (I)

Man betrachtet den Abstand D eines Körpers K

von einer horizontalen Linie durch den Kreismittelpunkt:

D

wobei sich K mit gleichmässiger Geschwindigkeit auf dem Kreis bewegt

(12)

Zusammenhang von Schwingung und Kreis (II)

D wird immer grösser bis D = Kreisradius r:

D geht von r auf 0:

D geht von 0 auf –r:

D geht wieder auf 0:

(13)

Zusammenhang von Schwingung und Kreis (III)

(14)

Sinus & Kosinus

Hypothenuse

Ankathete

Gegenkathete α

sinα= Gegenkathete

Hypothenuse cosα= Ankathete Hypothenuse

(15)

Hypothenuse = 1

1

Ankathete

Gegenkathete α

sinα= Gegenkathete

Hypothenuse = Gegenkathete

cosα= Ankathete

Hypothenuse = Ankathete

(16)

Hypothenuse = 1

1

cosα

sinα α

sinα= Gegenkathete

Hypothenuse = Gegenkathete

cosα= Ankathete

Hypothenuse = Ankathete

(17)

Sinus & Kosinus im Einheitskreis

1

cosα

sinα α

(18)

Sinus(α) = D(t)

1 sinα

α

(19)

Winkel & Bogenmass

α

Bogenmass vonα

Jedem Winkel entspricht genau ein Bogenmass (und umgekehrt)

(20)

Winkel & Bogenmass: Beispiele

360

180 π

Kreisumfang = 2·π·r = 2·π (im Einheitskreis)

(21)

Winkel & Bogenmass: Beispiele

90

π/2

180 π

(22)

Berechnung von D zum Zeitpunkt t (Einheitskreis)

1 sinα α

D = sin(α)

2 π ≈ T

α ≈ 2π ·

Tt

(23)

Berechnung von D: Beispiel T = 12 s

t = 3 s

D = sin(2π ·

Tt

) = sin(2π ·

123

) = sin(2π ·

14

)

= sin(

π2

)

= 1

(24)

Berechnung von D

im Einheitskreis (r = A = 1):

D = 1 ×sin(2 · π ·

Tt

)

generell:

D = A ×sin(2 · π ·

Tt

)

(25)

Berechnung von D: Abschliessendes Beispiel

T = 12 s t = 3 s

A = 0.5 m

D = 0.5 · sin(2π ·

Tt

)

= 0.5 · sin(

π2

)

= 0.5

(26)

Wellen & Schwingungen

Wellen sind Schwingungen, die sich ausbreiten

(27)

Wellen

(28)

Wellen

(29)

[a] in [masa] als “Quasi-Welle”

Referenzen

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