Balancierte Bäume

(1)

G. Zachmann Informatik 2 - SS 06 Bäume 50

C G C C G C

Tiefe: N-2

Balancierte Bäume

 Aufwand, ein Element zu finden, entspricht der Tiefe des gefundenen Knotens

 im worst case = Tiefe des Baumes

 liegt zwischen log N+1 und N

C G C C G C

 Definition für "balanciert":

 es gibt verschiedene Definitionen

 Allgemein: kein Blatt ist “wesentlich weiter“ von der Wurzel entfernt als irgendein anderes

 Hier: Für alle Knoten unterscheidet sich Anzahl der Knoten in linkem und rechtem Teilbaum höchstens um 1

 Folge: ein binärer Baum der Tiefe log N+1

 schlecht balancierte Bäume

 erhält man, wenn die Elemente in sortierter Reihenfolge angeliefert werden

 Aufwand, einen optimal balancierten Baum nach Einfüge- und

Löschoperationen zu erzwingen, ist sehr groß

(2)

C G C C G

AVL-Bäume

C

 AVL-Baum

 1962 von Adelson, Velskij und Landis eingeführt

 schwächere Form eines balancierten Baumes

 Definition Balance-Faktor:

 bal(x) = (Höhe des rechten Unterbaumes von x) - (Höhe des linken Unterbaumes von x)

 Definition AVL-Baum:

binärer Baum, wobei für jeden Knoten x gilt:

bal(x) ∈ {-1,0,1}

0 0

-1

0 1 0

-1

0 1 -1 1

C G C C G C

h = 1 N(1) = 1

h = 2 N(2) = 2

h = 3 N(3) = 4

Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen

 N(h) sei die minimale Anzahl von Knoten eines AVL-Baumes der Höhe h

Höhe mögliche AVL-Bäume dieser Höhe Knotenzahl

(3)

C G C C G C

N(h-2)

N(h-1) 1

 Allgemeiner worst case Fall bei Höhe h:

C G C C G C

Satz:

Beweis:

1) Induktionsanfang: h = 1

2) Induktionsschritt:

N(h) N(h-1)

1

(4)

C G C C G

Minimaler AVL-Baum der Höhe 10

C

C G C C G

Maximale Höhe von AVL-Bäumen

C

 Erinnerung: Fibonacci-Zahlen

 Aus folgt nach Umformung und Abschätzung von F _n die …

 Wichtige Eigenschaft von AVL-Bäumen:

Ein AVL-Baum mit N Knoten hat höchstens die Höhe

 Erinnerung: Die Höhe jedes binären Baumes mit N Knoten beträgt

mindestens

(5)

C G C C G

AVL Search Tree

C

 Problem: wir wollen BST, der auch über viele Insert- und Delete- Operationen halbwegs gut balanciert bleibt

 Idee: verwende BST, der zusätzlich AVL-Eigenschaften hat

 Problem: wie erhält man AVL-Eigenschaften bei Einfügen/Löschen?

0 0

-1

0 +1 0

-1

0 +1 -1 10 +1

7 3 8

1 5

30 4 0

20 25

35 45 60

C G C C G C

Einfügen von k = 30

0 0 0

0 +1

+1

26 39 17

11 3

20 8

33 14

Einfügen von Knoten

(6)

C G C C G C

Einfügen von k = 30

0 0 0

0 +1

+1

26 39 17

11 3

20 8

33 14

30 0 +1

-1 +2

Einfügen von Knoten

C G C C G C

+1 -1 +2

Einfügen von k = 30

0 0

0 +1

26 39 17

11 3

20 8

33 14

30 0

Ausgeglichenheit

ist verletzt

Einfügen von Knoten

(7)

C G C C G C

+1 -1 +2

Einfügen von k = 30

0 0

0 +1

26 39 17

11 3

20 8

33 14

30 0

Ausbalancieren durch Rotation Einfügen von Knoten

C G C C G C

+1 -1 +2

Einfügen von k = 30

0 0

0 +1

26 39 17

11 3

20 8

33 14

30 0

R- Rotation

Einfügen von Knoten

(8)

C G C C G C

+1 -1 +2

Einfügen von k = 30

0 0

0 +1

26 39 17

11 3

20 8

33 14

30 0

Einfügen von Knoten

C G C C G C

+2

Einfügen von k = 30

0 0 0

0 +1

33 17

11 3

20 8

26 14

30 39

L- Rotation

Einfügen von Knoten

(9)

C G C C G C

+2

Einfügen von k = 30

0 0 0

0 +1

33 17

11 3

8

14 30 39 26

20

Einfügen von Knoten

C G C C G C

0

Einfügen von k = 30

0 0 0

0 +1

20 11

3

8

14 33 30 39 17

26

0 0 0 0

Einfügen von Knoten

(10)

C G C C G C

+1

löschen von k = 8

0 0 0

0 +1

17 11

3

8

14 33 26 39 20

0 0 0

Löschen von Knoten

C G C C G C

+1

löschen von k = 8

0 0 0

0 +1

17 3

8

14 33 26 39 20

0 0 0 11

Löschen von Knoten

(11)

C G C C G C

+1

löschen von k = 8

0 0

-1

+1

17 3

11

14 33 26 39 20

0 0 0

Löschen von Knoten

C G C C G C

+1

löschen von k = 11

0 0

-1

+1

17 3

11

14 33 26 39 20

0 0 0

Löschen von Knoten

(12)

C G C C G C

+1

löschen von k = 11

0 0

+1

17 3

14 33 26 39 20

0 0 0 +2

Löschen von Knoten

C G C C G C

+2

+1

löschen von k = 11

0 0

17 3

14 33 26 39 20

0 0 0

L- Rotation

Löschen von Knoten

(13)

C G C C G C

+2

+1

löschen von k = 11

0 0

17 3

14 33 26 39 20

0 0 0

Löschen von Knoten

C G C C G C

0

löschen von k = 11

0 14

20 0 33 26 39 0 0

3 17

0 0

Löschen von Knoten

(14)

C G C C G

AVL-Rotationen

C

 Operationen auf AVL-Bäumen zur Erhaltung der AVL-Eigenschaft

 Bestehen ausschließlich aus “Umhängen” von Zeigern

 Es gibt 2 verschiedene Arten von Rotationen

 Single Rotation : RR und LL

- RR = der neue Knoten befindet sich im rechten Teilbaum des rechten Teilbaums vom (jetzt) unbalancierten Knoten aus

- LL = analog

- wird manchmal auch einfach nur R- bzw. L-Rotation genannt

 Double Rotation :

- RL = neuer Knoten im linken Unterbaum des rechten Unterbaumes - m.a.W.: vom Knoten mit dem "schlechten" Balancefaktor muß man in den

rechten Teilbaum gehen, dann von da aus in den linken Teilbaum, dann kommt man zu dem neu eingefügten Knoten

- LR = analog

C G C C G C

T ₁

T ₂ T ₃ k ₁

k ₂

0 +1

RR-Rotation

(15)

C G C C G C

T ₁

T ₂ T ₃ k ₁

k ₂ +1 +2

RR-Rotation

x

C G C C G C

T ₁

T ₂ T ₃ k ₁

k ₂ +1 +2

RR-Rotation

x

(16)

C G C C G

LL Rotation Algorithm

C

def LL_Rotate (k2):

k1 = k2.left k2.left = k1.right k1.right = k2 return k1

C G C C G C

def RR_Rotate (k1):

k2 = k1.left k1.right = k2.left k2.left = k2 return k2

RR Rotation Algorithm

(17)

C G C C G C

T ₁

k ₂

k ₁ +1

-2

T ₃

T ₄ k ₃

T ₂

+1

x -1 0

0 LR-Rotation

C G C C G C

T ₁

k ₂

k ₁ +1

-2

T ₃

T ₄ k ₃

T ₂

+1

x

LR-Rotation

(18)

C G C C G C

-2

T ₁

k ₃

k ₁ -1

-2

T ₃ T ₄

k ₂

T ₂ -1

x LR-Rotation

C G C C G C

-2

T ₁

k ₃

k ₁ -1

-2

T ₃ T ₄

k ₂

T ₂ -1

x

LR-Rotation

(19)

C G C C G C

k ₃

T ₁

k ₁ 0 0

T ₃

T ₄ k ₂

T ₂ -1

x LR-Rotation

C G C C G C

def LR_doubleRotate ( k3 ):

k3.left = RR_Rotate ( k3.left ) return LL_Rotate ( k3 )

k

₃

k

1

k

1

k

2

k

1

k

₃

A

D

B C

C B

A D

(a) Before rotation (b) After rotation neues Element x kann in B oder C sein

Code

(20)

C G C C G C

def RL_doubleRotate( k1 ):

k1.right = LL_Rotate( k1.right ) return RR_Rotate( k1 )

C G C C G

Warum Double Rotation?

C

 Single Rotation kann LR oder RL nicht lösen:

(21)

C G C C G

Algo-Animation

C

http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htm

Balancierte Bäume

Tiefe: N-2

Balancierte Bäume

 Aufwand, ein Element zu finden, entspricht der Tiefe des gefundenen Knotens

 im worst case = Tiefe des Baumes

 liegt zwischen log N+1 und N

 Definition für "balanciert":

 es gibt verschiedene Definitionen

 Allgemein: kein Blatt ist “wesentlich weiter“ von der Wurzel entfernt als irgendein anderes

 Hier: Für alle Knoten unterscheidet sich Anzahl der Knoten in linkem und rechtem Teilbaum höchstens um 1

 Folge: ein binärer Baum der Tiefe log N+1

 schlecht balancierte Bäume

 erhält man, wenn die Elemente in sortierter Reihenfolge angeliefert werden

 Aufwand, einen optimal balancierten Baum nach Einfüge- und

Löschoperationen zu erzwingen, ist sehr groß

AVL-Bäume

 AVL-Baum

 1962 von Adelson, Velskij und Landis eingeführt

 schwächere Form eines balancierten Baumes

 Definition Balance-Faktor:

 bal(x) = (Höhe des rechten Unterbaumes von x) - (Höhe des linken Unterbaumes von x)

 Definition AVL-Baum:

binärer Baum, wobei für jeden Knoten x gilt:

bal(x) ∈ {-1,0,1}

0 0

0 0

-1

0

1 0

-1

0 1 -1 1

h = 1 N(1) = 1

h = 2 N(2) = 2

h = 3 N(3) = 4

Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen

 N(h) sei die minimale Anzahl von Knoten eines AVL-Baumes der Höhe h

Höhe mögliche AVL-Bäume dieser Höhe Knotenzahl

N(h-2)

N(h-1) 1

 Allgemeiner worst case Fall bei Höhe h:

Satz:

Beweis:

1) Induktionsanfang: h = 1

2) Induktionsschritt:

N(h) N(h-1)

1

Minimaler AVL-Baum der Höhe 10

Maximale Höhe von AVL-Bäumen

 Erinnerung: Fibonacci-Zahlen

 Aus folgt nach Umformung und Abschätzung von F n die …

 Wichtige Eigenschaft von AVL-Bäumen:

Ein AVL-Baum mit N Knoten hat höchstens die Höhe

 Erinnerung: Die Höhe jedes binären Baumes mit N Knoten beträgt

mindestens

AVL Search Tree

 Problem: wir wollen BST, der auch über viele Insert- und Delete- Operationen halbwegs gut balanciert bleibt

 Idee: verwende BST, der zusätzlich AVL-Eigenschaften hat

 Problem: wie erhält man AVL-Eigenschaften bei Einfügen/Löschen?

0 0

0 0

-1

0

+1 0

-1

0 +1 -1 10 +1

7

3 8

1 5

30

4 0

20 25

35

45 60

Einfügen von k = 30

0 0 0

0 0 0

0 +1

+1

26 39 17

11 3

 Aus folgt nach Umformung und Abschätzung von F _n die …