Zusammenfassung Theoretische Physik C - Elektrodynamik
Christoph Hofheinz
Zuletzt übersetzt um 18:00 4. April 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Wichtige Formeln 3
1.1 Logarithmengesetze . . . 3
1.2 Additionstheoreme . . . 3
1.3 Kugel und Zylinderkoordinaten . . . 3
1.4 Taylorentwicklung. . . 4
1.5 Ableitung einer Umkehrfunktion . . . 4
1.6 Kettenregel . . . 5
1.7 Levi-Civita-Tensor . . . 5
2 Integrale 6 2.1 Transformationsformel . . . 6
2.2 Kurvenintegrale und Linienelement . . . 7
2.3 Flächenintegrale. . . 7
2.4 Nicht orientierte Flächenintegrale . . . 7
2.5 Orientierte Flächenintegrale . . . 8
2.6 Umrechnung eines orientierten in ein nicht-orientiertes Flächenintegral. . . 8
2.7 Umwandlung eines nicht orientierten Integral in ein orientiertes Integral . . . 8
2.8 Vorbereitungen zur erstengreensche Identität . . . 8
2.9 Erste greensche Identität . . . 9
2.10 Zweite greensche Identität. . . 9
3 Maxwell Gleichungen 9 3.1 Maxwell Gleichungen in differentieller Form . . . 9
3.2 Maxwell Gleichungen in integraler Form . . . 10 1
INHALTSVERZEICHNIS 2
4 Elektrostatik 10
4.1 Potential und Feld einer beliebigen Ladungsdichteverteilung im freien Raum . . 11
4.2 Induzierte Oberflächenladungsdichte . . . 11
4.3 Coulombkraft zwischen zwei Ladungen . . . 12
4.4 Energie einer Ladungsverteilung und Arbeit W. . . 12
4.5 Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . 12
4.6 Potenzial einer kugelsymmetrischen Ladungsdichte %(r) . . . 13
4.7 Die Multipolentwicklung . . . 13
5 Magnetostatik 14 5.1 Das Vektorpotential. . . 14
5.2 Coulomb-Eichung . . . 15
5.3 Magnetisches Dipolmoment . . . 15
6 Quasistationäre Felder 15 7 Elektromagnetische Wellen 16 7.1 Homogene Wellengleichung . . . 16
7.2 Wellenpakete . . . 17
8 Fouriertransformation (FT) 18 8.1 Vorbemerkung. . . 18
8.2 Definition . . . 18
8.3 Eigenschaften der Fouriertransformation . . . 18
9 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 20 9.1 Vierervektoren, Vierertensoren und Vektoroperationen . . . 21
9.1.1 Definition . . . 21
9.1.2 Das Skalarprodukt . . . 22
9.1.3 Die Feldgleichungen. . . 22
9.1.4 Der Vierer-Strom . . . 23
9.1.5 Vierer-Potential . . . 23
9.1.6 Feldstärketensor . . . 24
9.1.7 Dualer Feldstärketensor . . . 24
9.1.8 Maxwellgleichungen. . . 24
9.1.9 Invarianten / Lorentzskalare . . . 24
9.2 Lorentzkraft in kovarianter Formulierung . . . 25
Literaturverzeichnis 25
1 WICHTIGE FORMELN 3
Vorwort
Die folgende Zusammenfassung ist entstanden zur Vorlesung Elektrodynamik - Klassische Theo- rie 3 (WS 2010/11).
Ich habe viele Textpassagen einfach aus den Büchern übernommen. Ich verzichte aus Zeitmangel darauf, die Angaben jetzt zu machen. Man schaue ins Literaturverzeichnis.
1 Wichtige Formeln
1.1 Logarithmengesetze
Beispiel
log( d2
a1a2) = log(d2)−log(a1a2) = 2 log(d)−log(a1a2) (1)
= 2{logd− 1
2log(a1a2)}= 2{logd−log
(a1a2)12
}
= 2{logd−log
(a1a2)12
}= 2 log( d
√a1a2)
1.2 Additionstheoreme
sin(ϕ±ϑ) = sin(ϕ) cos(ϑ)±sin(ϑ) cos(ϕ) (2) cos(ϕ±ϑ) = cos(ϕ) cos(ϑ)∓sin(ϕ) sin(ϑ) (3) Insbesondere
sin(2ϕ) = 2 sin(ϕ) cos(ϕ) (4)
cos(2ϕ) = cos2(ϕ)−sin2(ϕ) = 2 cos2(ϕ)−1 = 1−2 sin2(ϕ) (5)
1.3 Kugel und Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
rsinθcosϕ rsinθsinϕ
rcosθ
(6)
Oberflächenelement dA~ =R2
cosϕsin2ϑ sinϕsin2ϑ cosϑsin2ϑ
dϑdΦ (7) dA=R2sin dϑdΦ (8) Volumenelement
dV =R2 sin dϑdϕdr (9)
Zylinderkoordinaten
ρsinϕ ρcosϕ
z
(10) Oberflächenelement dA~ =ρ
cosϕ sinϕ
0
dϕdz (11)
dA=ρdϕdz (12)
Volumenelement dV =ρdρdϕdz (13)
1 WICHTIGE FORMELN 4 Gradient (Zylinderkoordinaten)
∂f
∂ρρˆ+ 1 ρ
∂f
∂ΦΦˆ +∂f
∂zzˆ (14) Divergenz (Zylinderkoordinaten)
1 ρ
∂(ρAρ)
∂ρ + 1 ρ
∂AΦ
∂Φ + ∂Az
∂z (15)
Rotation (Zylinderkoordinaten) 1
ρ
∂Az
∂Φ − ∂A∂zΦ ˆ
ρ +
∂Aρ
∂z −∂A∂ρz
Φˆ +
1 ρ
∂(ρAΦ)
∂ρ − ∂A∂Φρ ˆ z
(16)
Laplace (Zylinderkoordinaten) 1
ρ
∂
∂ρ
ρ∂f
∂ρ
+ 1 ρ2
∂2f
∂Φ2 +∂2f
∂z2 (17)
Gradient (Kugelkoordinaten)
∂f
∂rrˆ+ 1 r
∂f
∂θθˆ+ 1 rsinθ
∂f
∂ΦΦˆ (18) Divergenz (Kugelkoordinaten) 1
r2
∂(r2Ar)
∂r + 1
rsinθ
∂
∂θ(Aθsinθ) + 1 rsinθ
∂AΦ
∂Φ (19) Rotation (Kugelkoordinaten)
1 rsinθ
∂
∂θ(AΦsinθ)− ∂A∂Φθ ˆ r +
1 r
1 sinθ
∂Ar
∂Φ − ∂r∂(rAΦ)θˆ +
1 r
∂
∂r(rAθ)−∂A∂θrΦˆ
(20)
Laplace (Kugelkoordinaten)
1 r2
∂
∂r r2∂f∂r
+r2sin1 θ
∂
∂θ sinθ∂f∂θ +r2sin12θ
∂2f
∂Φ2
(21)
1.4 Taylorentwicklung
Eindimensionale Taylorentwicklung / Taylorpolynom n-ten Grades im Entwicklungspunktx0 = a
Tn(x) := f(a) + f0(a)
1! (x−a) +· · ·+ f(n)(a)
n! (x−a)n, (22)
1.5 Ableitung einer Umkehrfunktion
Umkehrregel / Ableitung der Umkehrfunktion (f−1)0(y) = 1
f0(f−1(y)) = 1
f0(x). (23)
Differentation einer (vektorwertigen) Umkehrfunktion
Jf−1(f(~x)) = (Jf(~x))−1 (24) Jacobimatrix von Kugelkoordinatentransformation
J = ∂(x, y, z)
∂(r, θ, ϕ) =
sinθcosϕ rcosθcosϕ −rsinθsinϕ sinθsinϕ rcosθsinϕ rsinθcosϕ
cosθ −rsinθ 0
(25) Inverse von J
J−1 = ∂(r, θ, ϕ)
∂(x, y, z) =
sinθcosϕ sinθsinϕ cosθ
1
rcosθcosϕ 1rcosθsinϕ −1rsinθ
−1rsinsinϕθ 1rcossinϕθ 0
. (26)
1 WICHTIGE FORMELN 5 Darstellung der Inversen in kartesischen Koordinaten
J−1 =
x r
y r
z r xz
r2
√
x2+y2
yz r2
√
x2+y2
−(x2+y2) r2
√
x2+y2
−y x2+y2
x
x2+y2 0
. (27)
1.6 Kettenregel
Kettenregel
Rn→~g RM
f~
→Rk, so ist f~◦~g0
(~a) =f~0(~g(~a))·~g0(~a) (28) Spezialfall
~g :I ⊂Rm →Rn und f :Rn→R mit h:Rm →R, h=f ◦~g (29) dh
dx =∇f ·~g0 = ∂f
∂u1
∂g1(x, y, z)
∂x + ∂f
∂u2
∂g2(x, y, z)
∂x +. . .+ ∂f
∂un
∂gn(x, y, z)
∂x Beispiel
Sei f =f(r(x, y, z), θ(x, y, z),Φ(x, y, z)) df
dx = ∂f
∂r
∂r
∂x + ∂f
∂θ
∂θ
∂x + ∂f
∂Φ
∂Φ
∂x (30)
1.7 Levi-Civita-Tensor
εijk=
1 i, j, k zyklisch
−1 i, j, k antizyklisch 0 sonst
(31)
εijkεlmn=
ˆ
ei·eˆl eˆi ·ˆem eˆi·eˆn ˆ
ej ·ˆel ˆej·eˆm eˆj·eˆn
ˆ
ek·eˆl eˆk·ˆem eˆk·ˆen
=
δil δim δin δjl δjm δjn
δkl δkm δkn
(32)
Die Lagrange-Identität
|~a×~b|2 =~a2~b2−
~a·~b2
=|~a|2|~b|2 1−cos2θ
, (33)
Das Kreuzprodukt
ˆ
x yˆ zˆ ax ay az bx by bz
= ˆ
x ax bx ˆ
y ay by ˆ
z az bz
=~a×~b=X
ijk
εijk aibjˆek (34)
2 INTEGRALE 6 Beispiel:
~a×~b
2 =X
ijk
εij2 aibjˆek·eˆ2 =X
ijk
εij2 aibjδ2,k =ε1,3,2 a1b2+ε3,1,2 a3b1 =−1·a1b3+ 1·a3b1
(35) Nützliche Summationsregeln des Levi-Civita-Tensor:
X
i
εijkεilm =δjl δkm−δjm δkl (36) X
ij
εijk εijl = 2δkl (37)
Das doppelte Vektorprodukt
~a×~b
×~c=~b(~a·~c)−~c(~a·~b) (38) Dyadisches Produkt
~a⊗~b
jk =ajbk j, k = 1,2,3 (39)
Divergenz einer Rotation ist null !
∇ ·(∇ ×~v) = 0 (40)
Rotation eines Gradienten ist null !
∇ ×(∇f) =~0 (41)
2 Integrale
2.1 Transformationsformel
Die Transformationsformel ist die Grundlage für die Verwendung neuer Koodinatensysteme.
Der Zusammenhang zwischen den alten und den neuen Koordinaten ist so gegeben: das Inte- grationsgebiet G ⊆R3 ist das Bild eines Gebiets G’ im u-v-w-Raum unter einer Parametrisie- rungsabbildung Φ:~
Der Transformationssatz sagt dann:
Z
G
f(~r) dxdydz = Z
G0
f(Φ(~~ p))|detΦ~ 0|dudvdw (42)
Beachte :
|detΦ~ 0|= det
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
=
det
∂(u, v, w)
∂(x, y, z) −1
(43)
Der Term |detΦ~ 0|dudvdw heißt Volumenelement. Er hängt nur von der Koordinatentrans- formation ab.
2 INTEGRALE 7
2.2 Kurvenintegrale und Linienelement
Wir wollen das Linienelement d~r ermitteln Dazu gehen wir folgende Schritte
1. Paramaterisierung der Kurve C alsC ={~r ∈Rn|~r=Φ(t), a~ ≤t≤b}
2. Damit kann das folgende Integral gelöst werden Z
C
~v(~r)d~r=
b
Z
a
~v(~Φ(t))·Φ~t(t)dt (44)
3. Also erhalten wir d~r=~Φt(t)dt
Entsprechend berechnet man nicht orientierte Kurvenintegrale nach folgender Formel Z
C
~v(~r)ds=
b
Z
a
~v(~Φ(t))· |Φ~t(t)|dt (45)
und erhält das Linienelement ds=|~Φt(t)|dt. Die Parametrisierung ist die gleiche wie oben.
2.3 Flächenintegrale
Ein Flächenstück F im R3 wird beschrieben durch eine stetig diffbare Funktion Φ :~ G → R3 (Parametrisierung) über einem Parametergebiet G⊆R2
F ={~r∈R3 |~r =Φ(s, t),~ (s, t)∈G⊆R2} (46) Die Flächennormale von F ist der Vektor ~n = ~Φs×~Φt
|~Φs×~Φt|.
Die umgekehrt orientierte Fläche -F zu F gewinnt man, indem man die Orientierung her- umdreht. Dies kann durch Vertauschung - bei der Berechnung von ~n - der Reihenfolge der Parameter s und t geschehen oder indem man~n durch −~n ersetzt
2.4 Nicht orientierte Flächenintegrale
Das Vorgehen ist in drei Schritte unterteilt:
1. Parametrisierung der Fläche F als
F ={~r∈R3 |~r =Φ(s, t),~ (s, t)∈G⊆R2} 2. Nun kann folgendes Integral über dem Gebiet G gelöst werden
Z
F
f(~r) dA= Z Z
G
f(~Φ(s, t))|Φ~s×Φ~t|dsdt (47)
3. das Flächenelement dA=|Φ~s×~Φt|dsdt kann abgelesen werden
2 INTEGRALE 8
2.5 Orientierte Flächenintegrale
Das Vorgehen untergliedert sich wieder in drei Schritte:
• Parametrisierung wie im Abschnitt Nicht orientierte Flächenintegrale
• Berechne folgendes Integral über dem Gebiet G Z
F
f(~r) dA~ = Z Z
G
f(~Φ(s, t))·
Φ~s×Φ~t
dsdt (48)
• das Flächenelement dA~ =
Φ~s×Φ~t
dsdt kann abgelesen werden
2.6 Umrechnung eines orientierten in ein nicht-orientiertes Flächen- integral
Vorgehen: Man zerlegt den dA~ Anteil in~ndA und berechnet das folgende Integral:
Z
F
~vdA~ = Z
G
~ v ·
Φ~s×~Φt
dsdt= Z
G
~v· ~Φs×Φ~t
|~Φs×Φ~t||~Φs×Φ~t|dsdt= Z
F
(~v ·~n) dA (49)
2.7 Umwandlung eines nicht orientierten Integral in ein orientiertes Integral
Vorgehen: Der Integrand wird mit dem Flächennormalenvektor~n multipliziert
Z
F
f(~r) dA~ = Z Z
G
f(Φ(s, t))|~ ~Φs×~Φt|dsdt= Z Z
G
f(~Φ(s, t)) Φ~s×Φ~t
|Φ~s×Φ~t| · Φ~s×Φ~t
|Φ~s×Φ~t|
| {z }
n·ˆˆn=1
|Φ~s×Φ~t|dsdt
(50)
= Z
G
(f~n)·(Φ~s×Φ~t)dsdt= Z
F
f~ndA~
Die Normalenableitung
∂ψ
∂n =∇ψ·~n (51)
2.8 Vorbereitungen zur ersten greensche Identität
Seien ϕ, ψ zweimal stetig diffbare skalare Felder, V ein Volumen mit geschlossener Oberfläche S(V)
Definiere das Vektorfeld
E(~~ r) =ϕ(~r)∇ψ(~r) (52)
3 MAXWELL GLEICHUNGEN 9 Darauf wird der Gaußsche Satz angewendet.
Dazu nutzen wir folgende Ableitungsregel
∇ ·E(~~ r) =∇ ·(ϕ(~r)∇ψ(~r)) =∇ ·(ϕ(~r)∇ψ(~r)) =ϕ(~r)∇ · (∇ψ(~r)) +∇ϕ· ∇ψ (53) und wir benötigen die ortsabhängige Flächennormalenˆ !
dA~ = ˆndA (54)
Wir erhalten also
E~ ·dA~ =ϕ(∇ψ·n) dAˆ (55)
Der Gaußsche Satz liefert uns dann die Erste greenscheIdentität
2.9 Erste greensche Identität
Z
V
(Φ∇2ψ+∇Φ· ∇ψ) dV = Z
∂V
Φ∂ψ
∂ndA = Z
∂V
Φ∇ψdA~ (56)
Z
∂V
F~ ·~n dA = Z
V
∇ ·F~ dV (57) wobei benutzt wurde:
Z
∂V
Φ∂ψ
∂ndA= Z
∂V
(Φ∇ψ)·~ndA(57)= Z
V
∇ ·(Φ∇ψ) dV = Z
V
(Φ∇2ψ+∇Φ· ∇ψ) dV (58)
2.10 Zweite greensche Identität
Z
V
(Φ∇2ψ−ψ∇2Φ) dV = Z
∂V
Φ∂ψ
∂n −ψ∂Φ
∂n
dA (59)
Die Zweite greensche Identität folgt aus der ersten greenschen Identität:
Z
V
(Φ∇2ψ+∇Φ· ∇ψ) dV = Z
∂V
Φ∂ψ
∂ndA (60)
Z
V
(ψ∇2Φ +∇ψ· ∇Φ) dV = Z
∂V
ψ∂Φ
∂ndA (61)
Gleichung (60) - (61) ergibt die zweite greensche Identität
3 Maxwell Gleichungen
3.1 Maxwell Gleichungen in differentieller Form
Satz von Gauß
∇ ·E~ = ρ ε0
(62)
4 ELEKTROSTATIK 10
Induktionsgesetz
∇ ×E~ =−∂ ~B
∂t (63)
Ampère sches Gesetz
∇ ×B~ =µ0~j+µ0ε0∂ ~E
∂t (64)
Namenloses Gesetz
∇ ·B~ = 0 (65)
3.2 Maxwell Gleichungen in integraler Form
Satz von Gauß
Z
⊂ Z
∂V
⊃E~ ·dA~ = Q(V)
ε0 (66)
Induktionsgesetz
I
C(A)
E~·d~r =−dΦB,A
dt =−d dt
Z Z
B~·dA~ (67)
Ampère sches Gesetz I
C(A)
B~·d~r=µ0IA+µ0ε0∂ΦE,A
∂t =µ0 Z Z
A
~j·dA~+ε0µ0 d dt
Z Z
E~·dA~ (68)
Namenloses Gesetz
Z
⊂ Z
∂V
⊃B~ ·dA~ = 0 (69)
4 Elektrostatik
Die Poissongleichung
∆Φ =−%
ε0 (70)
Im ladungsfreien Raum gilt ∆Φ = 0und damit E~ =−∇Φ
4 ELEKTROSTATIK 11
4.1 Potential und Feld einer beliebigen Ladungsdichteverteilung im freien Raum
q(~r) =
N
X
n=1
qnδ(~r−~rn) (71)
(72) Superpositionsprinzip liefert
Φ = 1 4πε0
N
X
n=1
qn
|~r−~rn| (73) E(~~ r) = 1
4πε0
N
X
n=1
qn
|~r−~rn|2
~r−~rn
|~r−~rn| (74)
4.2 Induzierte Oberflächenladungsdichte
σ =−ε0∂Φ
∂nˆ (75)
Die gesamte Oberflächenladung erhält man dann durch Integration Q=
Z
dA σ
|{z}
ε0E(~r)
(76) Beispiel Punktladung vor einer Metalloberfläche bei z = 0.
Die Punktladung befinde sich auf der z-Achse bei~r0 = (0,0, z0) Die Metalloberfläche ist eine Äquipotentialfläche (ϕ= 0)
Das Potential wird mittels der Methode der Spiegelladungen aufgestellt:
ϕ(~r) = q 4πε0
1
|~r−~r0| − 1
|~r+~r0|
(77) Indem wir den negativen Gradienten von (77) bilden, erhalten wir das elektrische Feld
E~(~r) = q 4πε0
(x, y, z−z0)
|~r−~r0| − (x, y, z+z0)
|~r+~r0|
(78) Das elektrische Feld auf der Metallplatte sieht folgendermaßen aus:
E(~~ r, z = 0) =− q 2πε0
z0
(x2+y2+z2)3/2eˆz (79) Die gesamte influenzierte Ladung auf der Platte bekommt man durch Lösen von
Q= Z
z=0
dA σ (80)
4 ELEKTROSTATIK 12 Transformation auf Zylinderkoordinaten mit dA=ρdρdϕergibt
Q=− q 2π
2π
Z
0
dϕ
∞
Z
0
dρ ρ z0
(ρ2+z02)3/2 =q z0
1 (ρ2+z02)1/2
∞
ρ=0
=−q (81)
Bildkraft
dF~ = σ2
2ε0dA= (σdA)E~ mit E~ = 1 2
σ
ε0 (82)
4.3 Coulombkraft zwischen zwei Ladungen
F~ = q1q2 4πε0
~ r1−~r2
|~r1−~r2|3 (83)
4.4 Energie einer Ladungsverteilung und Arbeit W
Ladungsdichte
%= dQ
dV (84) σ = dQ
dA (85) λ= dQ
dl (86)
Wges= 1 2
N
X
m=1 N
X
n=1
| {z }
n6=m
1 4πε0
qmqn
|~rn−~rm| (87)
Die Arbeit ist wie folgt definiert:
W =
s2
Z
s1
F~(s)·d~s (88)
4.5 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Φ = 1 4πε0
Z Z Z
V
ρ(~r0)
|~r−~r0| dV0 (89) E(~~ r) = 1
4πε0 Z Z Z
V
ρ(~r0)
|~r−~r0|2
~ r−~r0
|~r−~r0| dV0 (90)
Lorentzkraft
F~ =q ~E+q~v ×B~ (91)
Lorentkraftdichte f~=% ~E+~j×B~ (92) Dirichlet-Problem:
Φ(~r) = 1 4πε0
Z Z Z
V
GD(~r, ~r0)%(~r0)dV0− 1 4π
Z Z
∂V
Φ(~r0)∂GD(~r, ~r0)
∂n dA0 (93)
4 ELEKTROSTATIK 13 Neumann-Problem:
Φ(~r) = 1 4πε0
Z Z Z
V
GN(~r, ~r0)%(~r0)dV0+ 1 4π
Z Z
∂V
∂nΦ(~r0)GN(~r, ~r0)dA0+ 1
|∂V| Z Z
∂V
Φ(~r0)dA0
| {z }
const.
(94)
4.6 Potenzial einer kugelsymmetrischen Ladungsdichte %(r)
Hilfsintegral
π
Z
0
sinϑdϑ
√a−bcosϑ =−
1
Z
−1
√ dz
a−bz = 2 b
√ a−bz
−1
z=1
= 2 b
n√
a+b−√ a−b
o
(95)
Benutzte Substitutionen: z = cosϑ mit dzdϑ =−sinϑ Nun können wir folgendes Integral lösen:
π
Z
0
sinϑdϑ
√r2+r02−2rr0cosϑ = 2 2rr0
n√
r2+r02+ 2rr0−√
r2+r02−2rr0 o
(96)
= 1 rr0
np(r+r0)2−p
(r−r0)2o
= 1
rr0 {(r+r0)− |(r−r0)|}=
(2/r r≥r0 2/r0 r < r0
4.7 Die Multipolentwicklung
Eine Ladungsverteilung erzeugt ein elektrisches PotentialΦ(~r)an der Stelle~r, das sich z.B. mit Hilfe des Poisson-Integrals
Φ(~r) = 1 4πε0
Z %(~r0)
|~r−~r0|d3r0 (97) bestimmen lässt.
Für viele Anwendungen ist wesentlich das FernfeldΦ(~r)fürR rvon Interesse. Wir entwickeln also den Integranden für kleines r0/r (Taylorentwicklung).
Damit wird der Integrand zu 1
|~r−~r0| ≈ 1 r + 1
r3~r·~r0+ 1
2r5{(~r0·~r)2−r02r2} (98) Einsetzen in (97) liefert Φ(~r)
4πε0Φ(~r)≈ Z
1 r + 1
r3~r·~r0+ 1
2r5{(~r0·~r)2−r02r2}
%(r0) d3r0 (99) Es ergeben sich die folgenden Terme
Gesamtladung / Monopolmoment
q= Z
%(~r0) d3r0 (100)
5 MAGNETOSTATIK 14 Zweiter Term
Z 1
r3~r·~r0%(~r0) d3r0 = 1
r3~r·p~= 1
r2 rˆ·~p (101)
mit Dipolmoment
~ p=
Z
~r0%(~r0) d3r0 (102)
Das Dipolmoment für diskrete Ladungsverteilungen ist entsprechend
~ p=
n
X
i=1
~ pi =
n
X
i=1
qi~ri (103)
und das Quadrupolmoment
Qjk = Z
3r0jrk0 −r02δjk
%(~r0) d3r0 (104)
Der Quadrupoltensor Q= (Qjk) ist symmetrisch, seine Spur ist null.
Fazit
Φ(~r)≈ 1 4πε0
q r + 1
r2rˆ·~p+ 1 2r3ˆrtQˆr
(105) Das Fernfeld weit draußen wird von dem ersten Term der Multipolentwicklung bestimmt.
5 Magnetostatik
Die Magnetostatik behandelt Magntefelder, die durch einen zeitlich konstante Verteilung von Strömen - beschrieben durch eine Stromdichte ~j(~r)) - erzeugt werden. Die Stromdichte ist divergenzfrei.
∇ ·~j = 0 (106)
Die Stromdichte wird nach folgender Formel bestimmt
~j(~r, t) = %(~r, t)~v(~r, t)mit ~v(~r, t) =~ω×~r (107) Es wird unterstellt, dass die Stromverteilung ganz im Endlichen liegt, d.h.|~j| →0für|~r| → ∞.
Eine der Grundaufgaben der Magnetostatik ist es, das magnetische FeldB(~~ r)zu dieser Strom- verteilung zu konstruieren, also eine Lösung der Maxwell-Gleichungen
∇ ·B~ = 0 (108) ∇ ×B~ =µ0~j (109)
5.1 Das Vektorpotential
Ansatz
B~(~r) =∇ ×A~ (110)
Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen (108), (109) ergibt
∇ ·B~ =∇ ·(∇ ×A) = 0~ (111)
Die erste Maxwellgleichung (108) ist also erfüllt
Die zweite Maxwellgleichung formt man man mit der Zerlegung des doppelten Vektorproduktes um
∇ ×B~ =∇ ×(∇ ×A) =~ ∇(∇ ·A)~ −∆A~ (!)=µ0~j (112)
6 QUASISTATIONÄRE FELDER 15
5.2 Coulomb-Eichung
Es wird verlangt, dass das Vektorpotential divergenzfrei ist:
∇ ·A~ = 0 (113)
Damit vereinfacht (112) sich zu
∆A~ =−µ0~j (114)
Dieser Ausdruck ist komponentenweise äquivalent zur Poissongleichung. Daher können wir die Lösungen dieser Gleichungen aus dem Poisson-Integral direkt übernehmen (97).
A(~~ r) = µ0 4π
Z ~j(~r0)
|~r−~r0|d3r0 (115)
5.3 Magnetisches Dipolmoment
Das magnetische Dipolmoment ist ähnlich dem elektrischen Dipolmoment
~ m= 1
2 Z Z Z
~r×j(~r)dV (116)
Das Vektorpotential eines magnetischen Dipols lautet:
A~ = µ0 4π
~ m×~r
r3 (117)
Das Magnetfeld eines Dipols ist entsprechend B =∇ ×A~ =∇ ×
µ0 4π
~ m×~r
r3
= µ0 4π
3(~m·~r)~r−r2m~ r5
(118) Wichtige Identität
∇(B~ ×E) =~ B(∇ ×~ E)~ −B(∇ ×~ B) (119) In der folgenden Tabelle stellen wir Begriffe der Elektrostatik und der Magnetostatik gegenüber:
6 Quasistationäre Felder
Bei quasistationäre Feldern geht man von langsam veränderlichen Feldern aus. Die Maxwell- gleichungen werden genähert:
Es wird der Verschiebungsstrom außer Acht gelassen. Damit ergeben sich folgende Maxwell- gleichungen
∇ ×E~ =−∂tB~ (120)
∇ ·E~ = ρ
ε0 (121)
∇ ×B~ ≈µ0~j (122)
∇ ·B~ = 0 (123)
Hier werden Kondensatoren und Spulen betrachtet, die aufgeladen werden. Die Induktionsspan- nung entsteht durch Änderung des magnetischen Flusses (Lenz’sche Regel)
Uind =−d
dtΦ =−d dt
Z
B~ ·dA~ = I
C
E~ ·d~r (124)
7 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 16
Elektrostatik Relation Magnetostatik
dq =%d3r Ladungs-/Stromelement Id~l=~jd3r
dF~ =dq ~E Felddefinition d ~F =~j(~r)×B~(~r)·d3r
F~ =q ~E Felddefinition F =qv×B
dE(~~ r) = dq 4πε0
~ r−~r0
|~r−~r0|3 Kraftgesetz dB(~~ r) = µ0
4π·d3r0·~j(r0)× ~r−~r0
|~r−~r0|3
∇ ·E~ = %
ε0 Feldgleichungen ∇ ×B~ =µ0~j
∇ ×E~ = 0 ∇ ·B~ = 0
E~ =−∇Φ Potentiale Φ, A B =∇ ×A~
∆Φ =−%
ε0 Feldgleichung ∆A~ =−µ0~j
Φ(~r) = 1 4πε0
R %(~~ r0)
|~r−~r0|d3r0 Potential aus Quelldichte A(~~ r) = µ0
4π
R ~j(~r0)
|~r−~r0|d3r0
7 Elektromagnetische Wellen
7.1 Homogene Wellengleichung
Wir wollen die nicht stationären-Vorgänge im Vakuum studieren. Am einfachsten geht das, indem wir die Stromdichte und die Ladungen gleich null setzen. Also
∇ ·~j = 0 und %= 0 Die Maxwellgleichungen haben dann folgende Gestalt:
∇ ×E~ =−∂tB~ (125)
∇ ·E~ = 0 (126)
∇ ×B~ =ε0µ0∂tE~ (127)
∇ ·B~ = 0 (128)
Der Verschiebungsstrom ist jetzt nicht mehr vernachlässigbar! Wenn wir die Rotation auf die Rotationsgleichungen (125), (127) anwenden, erhalten wir die Wellengleichung.
Zunächst wenden wir die Rotation auf (125) an.
∇ ×(∇ ×E) =~ ∇(∇ ·E)~
| {z }
=0
−∆E~ =−∇ ×∂~tB
=−∂t
∇ ×B~
=−∂t
ε0µ0∂tE~
=−1 c2∂t2E~ Das liefert uns
∆E~ − 1
c2∂t2E~ = 0 (129)
Rotation auf (127) liefert uns:
∇ ×(∇ ×B) =~ ∇(∇ ·B)~
| {z }
=0
−∆B~ =∇ ×
ε0µ0∂tE~
=∂t
ε0µ0∇ ×E~
=∂t
ε0µ0(−∂tB)~
=−∂t2 1 c2
B~
7 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 17 Wir gewinnen die Wellengleichung für das Magnetfeld:
∆B~ − 1
c2∂t2B~ = 0 (130)
Wir können dies auch kürzer notieren:
E~ = 0 mit =
∆− 1 c2
∂2
∂t2
(131) Die homogene Wellengleichung
ψ(~r, t) = 0 (132)
wird allgemein von folgender Funktion gelöst
ψ(~r, t) =f>(~k~r−ωt) +f<(~k~r+ωt) mit ϕ±(~r, t) =~k~r±ωt (133) Dies ist allerdings nur Lösung wennω und k eine bestimmte Relation erfüllen. Wir bestimmen diese im folgenden:
∆ψ =k2ψ00; ∂2
∂t2 =ω2ψ00 Nun bekommen wir für die Wellengleichung:
k2− ω2 c2
ψ(~r, t)00 =
k2− ω2 c2
d2f>
dϕ2− +d2f<
dϕ2+ = 0
Die Gleichung wird durchω =c·k gelöst Wir wollen im folgenden eine Zeitaufnahme beit =t0 machen. Wir verlangen nun das die Phase konstant ist. Das bringen wir durch~k·~r=const zum Ausdruck. Das stellt die Gleichung einer ebenen Welle (Wellenfront) senkrecht zu ~k dar. Nun wollen wir alle Zeiten zulassen und erhalten für die Bewegung einer Ebene konstanter Phase :
~k·~r−ωt=krk−ωt=ϕ(0) =const (134)
⇒rk =~k·~r
k =ϕ(0)+ ω
kt (135)
Wenn wir jetzt (135) nach t ableiten erhalten wir die Phasengeschwindigkeit, mit der sich die Wellenfront in Richtung~k ausbreitet:
drk
dt = ω
k =v (136)
Periodische Funktionen der folgenden Form lösen die Wellengleichung
f>(~r, t) =Aei(~k·~r−ωt) f<(~r, t) =Aei(~k·~r+ωt) (137)
7.2 Wellenpakete
Allgemein löstf>/<(~k~r∓ωt)die Wellengleichung (132). Es muss hierbei die Dispersionrelation eingehalten werden (136) ! Die Gleichung kann auch von einer Überlagerung von Funktionen f>/<(~k~r∓ωt) mit verschiedenen Wellenvektoren ~kgelöst werden. Es muss aber auch hier die Dispersionsrelation eingehalten werden.
8 FOURIERTRANSFORMATION (FT) 18 Man kann hier eine gewichtete Überlagerung von ebenen Wellen vornehmen und erhält so ein Wellenpaket.
H± =
∞
Z
−∞
b(k)ei(kz±ωt)dk (138)
Dieses Wellenpaket hat keine Phasengeschwindigkeit mehr. Es bewegt sich mit der Gruppen- geschwindigkeit
vg = dω
dk (139)
8 Fouriertransformation (FT)
8.1 Vorbemerkung
Wir fordern f(x)−→0für x−→ ±∞
8.2 Definition
Die mehrdimensionale Fouriertransformation einer Funktion ϕ:Rn→C ist wie folgt definiert F(ϕ)(~k) = 1
(2π)n2
∞
Z
−∞
ϕ(~x)e−i~k·~xdnx. (140)
Die eindimensionale Fouriertransformation ist entsprechend:
˜
ϕ(k) = 1
√2π
∞
Z
−∞
dx ϕ(x)e−ikx (141)
Die Rücktransformation ist ähnlich:
ϕ(x) = 1
√2π
∞
Z
−∞
dkϕ(k)e˜ ikx (142)
Im folgenden werden die wichtigsten Eigenschaften der Fouriertransformation aufgeführt.
8.3 Eigenschaften der Fouriertransformation
1. ϕ(x) = ϕ(−x);ϕist gerade
Dann ist ϕ(k) = ˜˜ ϕ(−k) und ϕ(k)˜ vereinfacht sich zu
˜
ϕ(k) = 1
√2π
∞
Z
−∞
dx ϕ(x) cos(kx) (143)
8 FOURIERTRANSFORMATION (FT) 19 2. ϕ(x) = −ϕ(−x);ϕist ungerade
Dann ist ϕ(k) =˜ −ϕ(−k)˜ und ϕ(k)˜ vereinfacht sich zu
˜
ϕ(k) = −i
√2π
∞
Z
−∞
dx ϕ(x) sin(kx) (144)
3. Die FT ist linear
4. Das Skalengesetz liefert (Beweis durch Subst mitx0 =αx) F[ϕ(αx)](k) = 1
|α|ϕ˜ k
α
(145) 5. Die Verschiebungsrelation kann man mit der Substitution x0 =x−x0 herleiten:
F[ϕ(x−x0)](k) =e−ikx0F[ϕ(x)](k) =e−ikx0ϕ(k)˜ (146) Die Fouriertransformierte einer Ableitung geben wir hier an:
F[ϕ0(x)](k) =ikϕ(k) =˜ ikF[ϕ](k) (147) Man kann diese wichtige Regel mithilfe der Produktregel verifizieren, was wir jetzt tuen:
F[ϕ0(x)](k) = 1
√2π
∞
Z
−∞
dx ϕ(x)e−ikx (148)
= 1
√2πϕ(x)e−ikx
∞
−∞
+ ik
√2π
∞
Z
−∞
dx ϕ(x)e−ikx (149)
= ik
√2π
∞
Z
−∞
dx ϕ(x)e−ikx =ikF[ϕ](k) (150)
6. Faltungstheorem
Zwei Funktionen werden im Ortsbereich multipliziert und das Ergebnis dann fouriertrans- formiert, dies ergibt im Frequenzbereich die Faltung der beiden Funktionen
F[(ϕ1·ϕ2)(x)](k) = (ϕ1∗ϕ2)(k) = 1
√2π
∞
Z
−∞
dx ϕ2(x)ϕ1(k−x) (151)
7. δ-Funktion
Ein Weg einzusehen wie die Darstellung der Deltafunktion als Integral ist, selbige unter das Integral einer Fouriertransformation zu schreiben:
√1 2π
∞
Z
−∞
dx δ(x)e−ikx = 1
√2π
Hierauf wenden wir die Rücktransformation an und erhalten δ(x) = 1
2π
∞
Z
−∞
dx eikx (152)
9 KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK 20 Wir zeigen im weiteren einen anderen Weg zur Darstellung der Deltafunktion:
ϕ(x) = 1
√2π
∞
Z
−∞
dkϕ(k)e˜ ikx
= 1
√2π
∞
Z
−∞
√1 2π
∞
Z
−∞
dx0ϕ(x0)e−ikx0
eikxdk
=
∞
Z
−∞
1 2π
∞
Z
−∞
eik(x−x0)dk
| {z }
δ(x−x0)=δ(x0−x)
ϕ(x0)dx0
8. Transformation einer Zeitfunktion f(t)
Es gelten die gleichen Regeln wie oben für das Variablenpaar (x,k). Beachte: Die Vorzei- chen in den Exponenten werden in (141) und (142) getauscht. Das ist eine Konvention.
Es ergeben sich also folgende Vorschriften:
f(ω) =˜ 1
√2π
∞
Z
−∞
dt f(t)eiωt
f(t) = 1
√2π
∞
Z
−∞
dωf˜(ω)e−iωt (153)
9 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Die spezielle Lorentztransformation (LT) hier in xˆ Richtung hat folgende Gestalt:
x0 = x−vt
p1−β2 y0 =y z0 =z ct0 = ct−βx
p1−β2 mit β := v
c und γ = 1
p1−β2 (154) Die LT stellen wir durch eine Matrix dar:
ct0
x0 y0 z0
=
γ −βγ 0 0
−βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct
x y z
(155)
Die allgemeine Lorentztransformation behandelt Drehungen der Bezugsysteme und ist entspre- chend
1 0 0 0
0
0 (D)
0
(156)
9 KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK 21 Die allgemeinste Form der speziellen Lorentztransformation ist die Bewegung (v = const) zweier BS entlang einer beliebigen Achse.
ct0
x0 y0 z0
=
γ −γβx −γβy −γβz
−γβx 1 + (γ−1)βx2
β2 (γ−1)βxβy
β2 (γ−1)βxβz β2
−γβy (γ−1)βxβy
β2 1 + (γ−1)βy2
β2 (γ−1)βyβz
β2
−γβz (γ−1)βxβz
β2 (γ−1)βyβz
β2 1 + (γ−1)βz2 β2
| {z }
(∗)
ct
x y z
(157)
(*) bezeichen wir mit L=Lνµ
Der Vierer-Abstand ist lorentzinvariant. Es finden zwei Ereignisse in K und K’ zu unterschied- lichen Zeiten statt.
s12 =c2(t2−t1)2−(x2−x1)2−(y2−y1)2−(z2−z1)2 (158) s012 =c2(t02−t01)2−(x02−x01)2−(y20 −y10)2−(z20 −z10)2 (159) Wir unterscheiden s12 in zeitartige Abstände und in raumartige Abstände:
Zeitartige Abstände s212> 0. Eine kausale Korrelation ist möglich. Gleichzeitigkeit ist jedoch nicht möglich.
Raumartige Abstände s212 < 0. Es ist keine kausale Relation möglich. Gleichzeitigkeit hin- gegen ist möglich.
9.1 Vierervektoren, Vierertensoren und Vektoroperationen
9.1.1 Definition
Ein Satz von vier physikalischen Größen, die unter einer Lorentztrafo wie (ct, x, y, z) transfor- mieren heißt 4-Vektor.
aµ = (a0, ~a) = (a0, a1, a2, a3) µ= 0,1,2,3 (160) Wichtig ist bei den indizierten Größen, das griechische Buchstaben von 0 . . . 3 laufen und lateinische Buchstaben von 1 . . .4. Beispiel:
α00 =γ(α0−βα1) α10 =γ(α1−βα0) α20 =α2
α30 =α3
9 KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK 22 9.1.2 Das Skalarprodukt
Man kann ein Skalarprodukt zwischen zwei 4-Vektoren folgendermaßen bilden:
a·b =a0b0−~a·~b (161) a·b =
3
X
µ=0
aµ
3
X
ν=0
gµνbν =
3
X
µ=0
aµbµ =aµbµ (162)
Es wird über gleiche Indices summiert, dies bedingt jedoch das ein Index unten und einer oben steht! Indices „runterziehen“ und „raufziehen“ geht mit folgendem Tensor:
gµν =
1 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 −1
(163)
gµν = (g−1)µν =gµν (164)
Beispiel
aµ =gµνaν aµ =gµνaν
Entsprechend schreibt man die LT
x0µ =Lµνxν (165)
Wir notieren den Ableitungsoperator und den Wellenoperator als Produkt des kontravarianter und des kovarianten Ableitungsoperators:
Kontravariant: ∂µ = 1
c∂t,∇
Kovariant: ∂µ= 1
c∂t,−∇
(166) Wellenoperator: ∂µ∂µ= 1
c2∂t2− ∇2 (167)
Wir wollen nun die Maxwellgleichungen in kovarianter Form aufschreiben.
9.1.3 Die Feldgleichungen
∇ ·E~ = ρ
ε0 ∇ ·B~ = 0 (168)
∇ ×E~ =−∂tB ∇ ×B~ =µ0~j+ε0µ0∂tE~ (169) Wir schreiben B als Rotation eines Vektorfeldes.
B~ =∇ ×A~
Das elektrische Feld bestimmen wir durch einsetzen von dieser Rotation in rot E. Damit erhalten wir:
∇ ×(E~ +∂tA) = 0~ (170)
9 KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK 23 Wir können dieses wirbelfreie Vektorfeld als Gradientenfeld schreiben und so unser Potential bestimmen!
Φ = −∇(E~ +∂tA)~ (171)
Wir nehmen eine Eichtransformation vor:
A(~~ r, t) = A(~~ r, t) +∇Λ(~r, t) (172) Φ(~r, t) = Φ(~r, t)−∂tΛ(~r, t) (173) Wir erhalten
∆ϕ+∂t∇ ·A~
= −ρ
ε0 (174)
Nun ziehen wir die Lorenz-Eichung heran:
∇ ·A~+ 1
c2∂tΦ = 0 (175)
Wenn wir diese Bedingung in (174) einsetzen, erhalten wir:
ϕ=−ρ
ε0 (176)
A~ =−µ0~j =− 1
ε0c2~j (177)
Jetzt drücken wir die Ladungserhaltung durch Vierer-Vektoren aus:
∂ct(c%) +∇ ·~j = 0⇔
∂ct
∂x
∂y
∂z
c%
jx jy jz
= 0 (178)
Die Ladungserhaltung stellt ein Lorentzskalar dar.
9.1.4 Der Vierer-Strom
Wir führen nun den Viererstrom ein und können die Ladungserhaltung kompakt ausdrücken:
~jµ:= (c%,~j) (179)
Die Ladungserhaltung ist entsprechend:
∂µjµ= 0 (180)
Wir führen noch das Vierer-Potential ein.
9.1.5 Vierer-Potential
Mithilfe des Viererpotentials drücken wir die Lorentzeichung und die Wellengleichungen aus.
Aµ := (Φ, c ~A) (181)
Die Lorenz-Eichung:
∂µAµ= 0 (182)
Die Wellengleichung:
∂µ∂µAν =−1 ε0
1
c2jν =−µ0jν (183) Wir definieren nun den Kontravarianten Feldstärke-Tensor.
9 KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK 24 9.1.6 Feldstärketensor
Fµν =∂µAν −∂νAµ=
0 −Ex −Ey −Ez Ex 0 −cBz cBy Ey cBz 0 −cBx
Ez −cBy cBx 0
(184)
Den kovarianten Feldstärketensor erhalten wir durch „herunterziehen“ der beiden Indices:
F%σ =g%µgσνFµν =
0 Ex Ey Ez
−Ex 0 −cBz cBy
−Ey cBz 0 −cBx
−Ez −cBy cBx 0
(185)
Wir müssen die erste Zeile und die erste Spalte des kontravarianten Feldstärketensors jeweils mit -1 multiplizieren und erhalten den kovarianten Feldstärketensor.
Wir führen nun den dualen Feldstärketensor ein und werden im Anschluss die Maxwellgleichun- gen mithilfe der Feldstärketensoren ausdrücken.
9.1.7 Dualer Feldstärketensor
Den dualen Feldstärketensor gewinnen wir aus F%σ durch Substitution von E ←→ −cB
Fµν = 1
2εµν%σF%σ =
0 −cBx −cBy −cBz cBx 0 Ez −Ey cBy −Ez 0 Ex cBz Ey −Ex 0
(186)
Wir geben nun die Maxwellgleichungen an.
9.1.8 Maxwellgleichungen
Homogene Maxwellgleichungen
∂µFµν = 0 (187)
Inhomogene Maxwellgleichungen
∂µFµν =−µ0jµ (188) Wir geben im Folgenden Invarianten des EM-Feldes an
9.1.9 Invarianten / Lorentzskalare
FµνFµν =−FνµFµν =Spur( ˜F F) = 2(E~2 −c2B~2) (189) E~ =X
n
anΦn(~r−R~n, t) (190) εµν%σFµνF%σ =E~ ·B~ (191)
9 KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK 25
9.2 Lorentzkraft in kovarianter Formulierung
Wir betrachten eine Punktladung q mit der Ruhemassem0. Ihr Ruhesystem sei K’. Die Eigen- zeit ist gegeben durch
dτ = dt0
p1−β2 (192)
In K’ gelte:
m0∂t0~v0 =∂t0~p=q ~E0 (193)
Die Vierergeschwindigkeit des Teilchens im Ru- hesystem ist:
u0α = (c, ~0) (194)
Im beliebigen IS gilt:
uα =γ(c, ~v) = dxα dτ
!
(195)
= c
p1−β2, ~v p1−β2
!
Wir berechenen den Betrag:
uαuα = c2−~v2 p1−β22
=c2 (196)
die rechte Seite ergänzen wir durch zeitartige Komponente (0, q ~E0) = q
cF0αβu0β = q
c(F0α0c) (197)
die linke Seite:
∂t0u0α =
0, ~v0
∂t0
mit ∂t0uα =
0, ~v0
∂t0
(198) Wir erhalten in K’:
m0duα dτ = q
cFαβuβ (199)
⇒Zeitartige Komponente µ= 0 : ∂t m0c2 p1−β2
| {z }
Änderung der Energie
= q ~E
|{z}
Kraft
·~v (200)
⇒Raumartige Komponente µ= 1,2,3 :∂t m0~v p1−β2
| {z }
Impulsänderung
=q(E~ +~v ×B)~ (201)
Nebenrechnung:
q
cF0αβu0β =
0 −Ex −Ey −Ez Ex 0 −cBz cBy Ey cBz 0 −cBx Ez −cBy cBx 0
c 0 0 0
· q c =
0 qEx qEy qEz
(202)
Diese Formulierung ist kovariant!
Wenn wir die Lorentzkraft für v
c 1entwickeln, erhalten wir die nicht relativistische Lorentz- kraft
∂tm0~v =q(E~ +~c×B) +~ O v2
c2
(203)
LITERATUR 26
Literatur
[Fli07] Fließbach, Torsten: Lehrbuch zur theoretischen Physik, Band 1: Mechanik. El- sevier, Spektrum Akad. Verl., Heidelberg, 5. Aufl. Auflage, 2007.
[Fli08a] Fließbach, Torsten: Lehrbuch zur theoretischen Physik, Band 2: Elektrodyna- mik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 5. Aufl. Auflage, 2008.
[Fli08b] Fließbach, Torsten ; Walliser, Hans: Arbeitsbuch zur theoretischen Physik : Repetitorium und Übungsbuch. Spektrum Akademischer Verl., Heidelberg, 2. Aufl.
Auflage, 2008.
[Kor07] Korsch, Hans J: Mathematische Ergänzungen: zur Einführung in die Physik. Bi- nomi, 2007.
[Mer10] Merziger, Gerhard ; Wirth, Thomas: Repetitorium höhere Mathematik : [mehrere Veränderliche, Differentialrechnung, komplexe Zahlen, Integralrechnung, Vektoranalysis, Taylorreihen, Reelle Zahlen ... ; meher als 1000 durchgerechnete Beispiele] = Repetitio est mater studiorum. Binomi, Barsinghausen, 6. Aufl. Auf- lage, [20]10.
[Nol07] Nolting, Wolfgang (Herausgeber): Grundkurs Theoretische Physik 3 : Elektrodynamik. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin, Hei- delberg, 8. Auflage Auflage, 2007. In: Springer-Online.
[SWB06] Das gelbe Rechenbuch, Band 2: Integralrechnung, mehrdimensionale Differentialrech- nung, mehrdimensionale Integralrechnung. Furlan, Dortmund, [Nachdr.] Auflage, 2006.