Das Rechnen mit Logarithmen

Spezielle Logarithmen

Der natürliche Logarithmus ist von besonderer Bedeutung in den Anwendungen: Basiszahl ist die Eulersche Zahl e:

log _e x ≡ ln x

gelesen: natürlicher Logarithmus von x

Der Logarithmus für die Basiszahl a = 10, Zehnerlogarithmus, auch Briggscher oder Dekadischer Logarithmus genannt

log ₁₀ x ≡ lg x

gelesen: Zehnerlogarithmus von x

Der Logarithmus für die Basiszahl a = 2, Zweierlogarithmus, auch Binärlogarithmus genannt

log ₂ x ≡ lb x

gelesen: Zweierlogarithmus von x

●

●

●

Logarithmen: Aufgaben 1, 2

Verwandle folgende Potenzgleichungen in Logarithmengleichungen:

Aufgabe 1:

a ) 2⁵ = 32, 2⁷ = 128, 2⁻³ = 1 8 b ) 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁻² = 1

9 c ) 4⁰ = 1, 4³ = 64, 4⁻² = 1

16

Verwandle folgende Logarithmengleichungen in Potenzgleichungen:

Aufgabe 2:

log₃9 = 2, log₇ 49 = 2, log₆6 = 1, log₈1 = 0, log₄2 = 1 2

Logarithmen: Lösung 1

a) 2⁵ = 32, log₂32 = 5, 2⁷ = 128, log₂128 = 7, 2⁻³ = 1

8 , log₂ 1

8 = −3,

b) 3³ = 27, log₃ 27 = 3, 3⁴ = 81, log₃81 = 4, 3⁻² = 1

9 , log₃ 1

9 =−2,

c ) 4⁰ = 1, log₄1 = 0, 4³ = 64, log₄64 = 3, 4⁻² = 1

16 , log₄ 1

16 = −2,

Logarithmen: Lösung 2

log₃9 = 2, 3² = 9

log₆6 = 1, 6¹ = 6 log₇ 49 = 2, 7² = 49

log₈1 = 0, 8⁰ = 1 log₄ 2 = 1

2 , 4

1

2 =



Logarithmen: Aufgaben 3, 4

Berechnen Sie die gegebenen Ausdrücke ohne Taschenrechner:

Aufgabe 3:

a ) log₂32, log₂64, log₂ 1

16 , log₂ 1

128 , log₂ 2⁻⁴ , log₂1 b) log₄4, log₄16, log₄ 1

64 , log₈64, log₈ 1

8 , log₈8⁻³ c ) log₆36, log₅125, log₁₆ 1

16 , log₇1, log₇









d ) lg 100, lg 100000, lg 1

10 , lg 1

1000 , lg 0.01, lg0.0001.

Berechnen Sie x:

Aufgabe 4:

log_x 25 = 2, log_x 27 = 3, log_x 1

9 = −2, log_x 1

9 = −1.

Logarithmen: Lösung 3

a) log₂32 = 5, log₂64 = 6, log₂ 1

16 = −4, log₂ 1

128 =−7, log₂2⁻⁴ = −4, log₂1 = 0, b) log₄4 = 1, log₄16 = 2, log₄ 1

64 = −3, log₈64 = 2, log₈ 1

8 = −1, log₈8⁻³ =−3,

c ) log₆36 = 2, log₅125 = 3, log₁₆ 1

16 = −1, log₇1 = 0, log₇









d ) lg 100 = 2, lg 100000 = 5, lg 1

10 = −1, lg 1

1000 = −3, lg 0.01 = −2, lg 0.0001= −4

Logarithmen: Lösung 4

log_x 25 = 2, x ² = 25, x = 5,

log_x 1

9 = −2, x⁻² = 1

9 = 1

3² = 3⁻² , x = 3 log_x 27 = 3, x³ = 27, x = 3,

log_x 1

9 = −1, x⁻¹ = 1

9 = 9⁻¹ , x = 9

Logarithmen: Aufgaben 5-8

Aufgabe 5:

Aufgabe 6:

Berechnen Sie:

Aufgabe 7:

Aufgabe 8:

Logarithmen: Lösung 5

Logarithmen: Lösungen 6, 7

Lösung 6:

Lösung 7:

Logarithmen: Lösung 8

log _b  x ⋅ y  = log _b x  log _b y

Erste Rechenregel Erste Rechenregel

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren

b , x , y > 0

log _b  ^{x y}  ^{= log b x − log b y}

Zweite Rechenregel Zweite Rechenregel

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Loga-

log _b  x ⁿ  = n log _b x

Dritte Rechenregel Dritte Rechenregel

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Expo- nenten und dem Logarithmus der Basis.

b , x > 0

Logarithmen: Aufgabe 9

Aufgabe 9: Berechnen Sie die gegebenen Ausdrücke:

a) log₁₂4 + log₁₂3, log₁₄2 + log₁₄7, log₃₃3 + log₃₃11, b) lg 2 + lg 5000, log₅75 − log₅3, lg 300 − lg 3,

c) log_√2 4 − log_√22

√

√

Logarithmen: Lösung 9

a) log₁₂4 + log₁₂3 = log₁₂(4⋅3) = log₁₂12 = 1,

b) lg 2 + lg 5000 = lg 10 000 = lg 10⁴ = 4lg 10 = 4, log₁₄2 + log₁₄7 = log₁₄(2⋅7) = log₁₄14 = 1, log₃₃3 + log₃₃11 = log₃₃(3⋅11) = log₃₃33 = 1,

log₅75 − log₅3 = log₅ 75

3 = log₅ 25 = 2 log₅5 = 2, lg 300 − lg 3 = lg 100 = 2.

c) log_√24 − log_√22

√

(

√

)

^√

log_√ 6 − log_√ 2

√

√

Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen:

Logarithmen: Aufgabe 10

a ) log₃5 x , log₃3 x, log₂4 x b) log₃ 1

3 , log₃ 1

9 , 2 log₃ 1 27

c ) loga b, loga b c, loga b c d d ) log a

b , log a c

b , log a b c d

e ) log a²b , loga³b² , log a⁵b³c f ) log a²c

b , log a c

b d³ , log



c⁴

Logarithmen: Lösung 10

a) log₃5x = log₃5  log₃ x , log₃3x = log₃3  log₃x = 1 log₃ x log₂4 x = log₂4  log₂ x = log₂2²  log₂ x = 2  log₂ x

b) log₃ 1

3 = log₃1 − log₃3= −1, log₃ 1

3 = log₃3⁻¹ = − log₃3 = −1, log₃ 1

9 = log₃1 − log₃9 = 0 − log₃3² = −2 log₃3 = −2 2 log₃ 1

27 = 2log₃1 − log₃27 = 2log₃1 − log₃3³ = −2⋅3 log₃3 = −6

c ) loga b = log a  log b , loga b c = log a  log b  log c loga b c d = log a  log b  log c  logd

d ) log a

= log a − logb , log a c

= loga  logc − log b

Logarithmen: Lösung 10

e ) loga²b = loga²  logb = 2 log a  log b log a³b² = log a³  log b² = 3 log a  2 logb

log a⁵b³c = log a⁵ log b³  logc = 5 loga  3 log b  logc

f ) log a²c

b = loga²  log c − logb = 2 loga  logc − log b log a c

b d³ = log a c − log b d³ = log a  log c − logb − log d³ =

= log a  log c − logb − 3 log d

log



c⁴ = log 



= 1

2 log a  log b − 4 logc

Logarithmen:

Logarithmen: Aufgabe 11 Aufgabe 11

Fassen Sie die folgenden Logarithmen zusammen:

a) log_u a  2 log_u b

b) log_u a  log_u b − log_u c c ) log_u a  1

2 log_u b  2 log_u c d ) log_u a  1

2 log_u b − 3 log_u c e ) log_u a  1

2 log_u b  1

4 log_u c

Logarithmen: Lösung 11

d ) log_u a  1

2 log_u b − 3 log_u c = log_u a  log_u



= log_u a



a



c³

a ) log_u a  2 log_u b = log_u a  log_u b² = log_u a b² b ) log_u a  log_u b − log_u c = log_u





c ) log_u a  1

2 log_u b  2 log_u c = log_u a  log_u





e ) log_u a  1

2 log_u b  1

4 log_u c = log_u a  log_u b

1

2  log_u c

1 4 =

= log_u a  log_u b

1

2  log_u c

1

4 = log_u









^

^

Logarithmen: Aufgaben 12, 13

Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen:

a) b) c)

Aufgabe 12:

Aufgabe 13:

Logarithmen: Lösung 12

a)

b)

c)

Logarithmen: Lösung 13

Logarithmen: Aufgaben 14, 15

Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen:

Aufgabe 14:

Aufgabe 15:

Logarithmen: Lösungen 14, 15

Lösung 14:

Lösung 15: