Halbgruppen und Gruppen
K ¨urzungsregel f ¨ur invertierbarescmit Inversemd:
•Ausac = bcfolgta = b, denn es gilta = (ac)d = (bc)d = b.
•Ausca = cbfolgta = b, denn es gilta = d(ca) = d(cb) = b.
Neutrale Elemente und Inverse sind eindeutig:
•e1= e1e2= e2, auscd1= e = cd2folgt durch K ¨urzend1= d2. Kombinierte Inverse:
•(ab)−1= b−1a−1,(a−1)−1= a.
Eine GruppeGist eine Halbgruppe mit neutralem Element, in dem jedes Element invertierbar ist.
Das Inverse vonc∈Gwird mitc−1bezeichnet.
Die Ordnung vonGist#G.
3 13. November 2008
Gruppen
Minimale Axiome f ¨ur eine Gruppe:
•(ab)c = a(bc)f ¨ur allea,b,c∈G.
•Es gibte∈Gmitea = af ¨ur allea∈G. (Linksneutrales Element).
•F ¨ur jedesa∈Ggibt esb∈Gmitba = e. (Linksinverses Element).
Bew: Seib∈Gmitba = e.
1. Ausa2= afolgta = e. Denn es gilta = ea = (ba)a = b(aa) = ba = e.
2. Es giltab = e. Denn(ab)(ab) = a(ba)b = abund nach 1 auchab = e.
3. Es giltae = a. Dennae = a(ba) = (ab)a = ea = a.
Die Existenz eines linksneutralen Elements und von linksinversen Elementen impliziert also, daß diese auch rechtsneutral und rechtsinvers sind.
Halbgruppen
SeiGeine Menge,·: G×G→Gunde∈G. Es gelte
•(a·b)·c = a·(b·c)f ¨ur allea,b,c∈G.
•a·e = e·a = af ¨ur allea∈G.
Dann heißtGeine Halbgruppe mit neutralem Elemente.
Gheißt kommutativ (oder abelsch), wenna·b = b·a f ¨ur allea,b∈Ggilt.
Das Elementbheißt Inverses vonaundainvertierbar inG, wenna·b = b·a = egilt.
1 13. November 2008
Halbgruppen
Beispiel:
•(Z,·),(Z,+).
•In(Z,·)sind nur1,−1invertierbar. In(Z,+)sind alle Elemente invertierbar:a + (−a) = (−a) + a = 0.
Beispiel:
•StringsA∗und Aneinanderh ¨angen·. EINS·ZWEI = EINSZWEI.
•ZWEI·EINS = ZWEIEINS. Sind ungleich, daher nicht kommutativ.
•Neutrales Element: Der leere String.
•Inverse Elemente: Gibt es f ¨ur nicht-leere Strings nicht.
Kerne und Bilder
Die MengeU := f−1({1H})ist ein Normalteiler vonG.
•F ¨ura,b∈U gilt f (ab−1) = f (a) f (b)−1= 1H, alsoab−1∈U undU ist eine Untergruppe vonG.
•F ¨ura∈Gundb∈U gilt f (aba−1) = f (a) f (b) f (a−1) = 1H, also aba−1∈U.
Man nenntU den Kern von f und schreibtU = ker( f ).
f ist ein Monomorphismus⇔ker( f ) ={1G}. Die MengeV := f (G)ist eine Untergruppe vonH.
•F ¨urc,d∈Vgibt esa,b∈Gmitc = f (a),d = f (b). Dann cd−1= f (a) f (b)−1= f (ab−1). Wegenab−1∈Gfolgtcd−1∈V.
Man nenntV das Bild von f und schreibtV =im( f ).
f ist ein Epimorphismus⇔im( f ) = H.
7 13. November 2008
Nebenklassen
SeiGeine Gruppe undU⊆Geine Untergruppe. Wir bezeichnenaU als eine Nebenklasse vonU inG.
Thm (Lagrange): Die MengeU ={aU|a∈G}ist eine Partition vonG in Mengen gleicher Kardinalit ¨at,Gist also disjunkte Vereinigung der NebenklassenaU.
Bew: Dau7→auinjektiv ist, gilt#U = #aUf ¨ur allea.
F ¨ura∈Ggilta∈aU wegene∈U, daherG =∪a∈GaU.
Istc∈aU∩bU, so giltc = au1= bu2, alsoa = bu2u−11 . Danna∈bU und aU = bU. Daher entwederaU = bUoderaU∩bU ={}.
Folgerung: Man nennt(G : U ) = #U den Index vonU inG. Es gilt
#G = (G : U ) #U.
8 13. November 2008
Homomorphismen von Gruppen
SeienG,HGruppen mit den neutralen Elementen1G,1Hund
f : G→H. Es gelte f (ab) = f (a) f (b)f ¨ur allea,b∈G. Dann heißt f ein Homomorphismus.
Epimorphismus = surjektiv.
Monomorphismus = injektiv.
Isomorphismus = bijektiv.
Endomorphismus =H = G.
Automorphismus =H = Gund bijektiv.
Es gilt:
• f (1G) = f (1G) f (1G), daher f (1G) = 1Hnach der K ¨urzungsregel.
•1H= f (1G) = f (bb−1) = f (b) f (b−1), also f (b−1) = f (b)−1wegen der Eindeutigkeit der Inversen.
5 13. November 2008
Untergruppen und Normalteiler
IstU⊆Geine Gruppe und die Multiplikation inU die gleiche wie die inG, so heißtU eine Untergruppe vonG.
SetzeaU :={au|u∈U},U a :={ua|u∈U},aU a−1:={aua−1|u∈U}. Die Abbildungenu7→au,u7→ua,u7→aua−1sind bijektiv.
Gilt f ¨ur eine UntergruppeU vonGzus ¨atzlichaU a−1⊆U f ¨ur allea∈G, so heißtU normal inGbzw. ein Normalteiler vonG. Hier gilt sofort aU a−1= U, weilu7→aua−1bijektiv ist.
In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe normal, denn aua−1= aa−1u = uundaU a−1= U.
6 13. November 2008
Isomorphiesatz
Thm: Ist f : G→H ein Homomorphismus, so isth : G/ker( f )→im( f ), x ker( f )7→ f (x)ein Isomorphismus.
Bew: Wegen f (xn) = f (x)f ¨ur allen∈ker( f )isthwohldefiniert.
Außerdem ist es auch surjektiv. Weiter ergibt sich h((x ker( f ))(y ker( f ))) = h((xy) ker( f )) = f (xy) = f (x) f (y) =
h(x ker( f ))h(y ker( f )), also isthein Homomorphismus. Schließlich folgt aush(x ker( f )) = f (x) = 1H, daßx∈ker( f )ist, alsox ker( f ) = ker( f ).
Daher isthauch injektiv.
11 13. November 2008
Beispiel
G =Z,H =Z/25Z, f :Z→Z/25Z,x7→5x + 25Z. Dannker( f ) = 5Zund im( f ) ={5i + 25Z|0≤i≤4}.
Bekommen Isomorphismush :Z/5Z→ {5i + 25Z|0≤i≤4}
durchx + 5Z7→5x + 25Z.
Faktorgruppen
SeiGeine Gruppe undN⊆Gein Normalteiler.
Wir wollen inGmoduloN rechnen. Zwei Elemente sollen als gleich gelten, wenn sie sich um ein Element ausN unterscheiden: Also wenna = bnf ¨ur einn∈N bzw.a∈bN.
Wir betrachten die NebenklassenzerlegungG/N ={aN|a∈G}und definierenaN·bN = (ab)N.
•Dies ist wohldefiniert: F ¨ura′∈aN undb′∈bN gilta′N = aN, b′N = bN undbN = NbwegenbNb−1= N, und dann
(a′b′)N = a′bN = a′Nb = aNb = (ab)N.
•bN·N = bN undN·bN = bN, also istNdas neutrale Element.
•bN·b−1N = (bb−1)N = N, also istb−1N das Inverse vonbN.
Damit wirdG/N eine Gruppe und f : G→G/N,x7→xN ein Epimorphismus (Restklassenhomomorphismus).
9 13. November 2008
Beispiel
G =Z,U = 4Zmit+. DannZ/4Z={0 + 4Z,1 + 4Z,2 + 4Z,3 + 4Z}. Hieri + 4Z={i + 4 j|j∈Z}.
Es gilt(2 + 4Z) + (3 + 4Z) = (2 + 3) + 4Z= (1 + 4) + 4Z= 1 + 4Z. Also modulo4Rechnen!
G =Z,H =Z/25Z, f :Z→Z/25Z,x7→5x + 25Z. Dannker( f ) = 5Zund im( f ) ={5i + 25Z|0≤i≤4}. Stets#(G/N) = (G : N).
Ordnungen
SeiGeine Gruppe unda∈G. Dann heißt#haidie Ordnung vona.
Es gilt#hai= min{n∈Z≥1|an= e}und#hai |#Gnach Lagrange.
Thm (Fermat): IstGendlich, so gilta#G= ef ¨ura∈G.
Bew: Es gilta#G= (a#hai)#G/#hai= e#G/#hai= e.
Thm: Ist#Geine Primzahl, so istGzyklisch.
Bew: F ¨ura∈G\{e}folgt#hai>1und#hai |#G, also#hai= #G.
Thm: SindU,VUntergruppen vonGmit teilerfremden Ordnungen, so giltU∩V ={e}.
Bew: Es gilt#(U∩V )|#U und#(U∩V )|#V nach Lagrange. Also
#(U∩V )|gcd{#U,#V}= 1und daher#(U∩V ) = 1.
15 13. November 2008
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
SeiGeine endlich erzeugte abelsche Gruppe.
Thm (Version 1): Es gibt ein eindeutig bestimmtesnund eindeutig bestimmteci∈Z≥0mitci|ci+1f ¨ur1≤i≤n−1, so daß gilt:
G∼=
∏
n i=1Z/ciZ.
Thm (Version 2): Es gibtr∈Z≥0, Primzahlen piund Exponenten ei≥1, so daß
G∼=Zr×
∏
m i=1Z/peiiZ
gilt. Die Zahlrund die Paare(pi,ei)sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Bemerkung: Die ¨Aquivalenz von Version 1 und 2 beruht auf dem chinesischen Restsatz.
16 13. November 2008
Direktes Produkt
SeienGundH Gruppen. Dann inG×H koordinatenweise die Gruppengesetze definieren:(a1,a2)(b1,b2) = (a1b1,a2b2).
Einheitselement(1G,1H).
Damit wirdG×H zur Gruppe.
EinbettungG→G×H,x7→(x,1H)vonGist Monomorphismus.
ProjektionG×H→G,(x,y)7→xaufGist Epimorphismus.
Kern der Projektion aufGist Untergruppe{1G} ×H vonG×H.
13 13. November 2008
Erzeuger
Seieng1, . . . ,gr∈G. Die von dengierzeugte UntergruppeU vonG besteht aus allen Elementen vonG, die durch Verkn ¨upfung und Inversion aus dengierhalten werden k ¨onnen.
SchreibweiseU =hg1, . . . ,gri.
Aquivalent kann¨ U als der Schnitt aller Untergruppen vonGdefiniert werden, welche diegienthalten.
Ist die von dengierzeugte Untergruppe gleichG, so heißen diegiein Erzeugendensystem vonG.
GiltG =hg1, . . . ,grimitr<∞, so heißtGendlich erzeugt.
GiltG =hgi, so heißtGzyklisch.
Homomorphismen sind bereits durch ihre Bildwerte auf Erzeugern definiert.
14 13. November 2008
Beispiel
Ein direktes ProduktZ/3Z×Z×5Z.
Erzeuger:(1 + 3Z,0,0),(0 + 3Z,1,0),(0 + 3Z,0,5).
Ist nicht zyklisch.
Z/5Zhat Erzeuger1 + 5Z. Ist zyklisch.
Z/2Z×Z/3Zist auch zyklisch (!):
Erzeuger(1 + 2Z,1 + 3Z).
Als Gruppen sindZund5Zunterx7→5xisomorph.
Gruppe wie in Thm (Version 1) ist genau dann zyklisch, wennn = 1gilt.
F ¨ur einen endlichen K ¨orperFqgiltF×q ∼=Z/(q−1)Z.
17 13. November 2008
Exponentiation in Gruppen
Wiegneffizient ausrechnen? Z.B. f ¨urn = 27354268183173165356.
Schreiben =∑ki=0ri2i,ri∈ {0,1}. Danngn= g(···(rk2+rk−1)2+···)2+r0. Eingabe:gundn≥0.
Ausgabe:gn.
1. Wennn = 0dann Ausgabe von1.
2. Berechne rekursivb←gndiv2. Berechneb←b2. 3. Wennnungerade, dannb←bg.
4. Ausgabe vonb.
Aufwand≤2(log2(n) + 1)Operationen (Quadrieren und Multiplizieren).
Von diesem Verfahren gibt es einige Varianten (mit vorberechneter Tabelle, links-rechts, rechts-links, sliding windows,. . .).