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Halbgruppen und Gruppen

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Academic year: 2022

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(1)

Halbgruppen und Gruppen

K ¨urzungsregel f ¨ur invertierbarescmit Inversemd:

•Ausac = bcfolgta = b, denn es gilta = (ac)d = (bc)d = b.

•Ausca = cbfolgta = b, denn es gilta = d(ca) = d(cb) = b.

Neutrale Elemente und Inverse sind eindeutig:

e1= e1e2= e2, auscd1= e = cd2folgt durch K ¨urzend1= d2. Kombinierte Inverse:

(ab)−1= b−1a−1,(a−1)−1= a.

Eine GruppeGist eine Halbgruppe mit neutralem Element, in dem jedes Element invertierbar ist.

Das Inverse voncGwird mitc−1bezeichnet.

Die Ordnung vonGist#G.

3 13. November 2008

Gruppen

Minimale Axiome f ¨ur eine Gruppe:

(ab)c = a(bc)f ¨ur allea,b,cG.

•Es gibteGmitea = af ¨ur alleaG. (Linksneutrales Element).

•F ¨ur jedesaGgibt esbGmitba = e. (Linksinverses Element).

Bew: SeibGmitba = e.

1. Ausa2= afolgta = e. Denn es gilta = ea = (ba)a = b(aa) = ba = e.

2. Es giltab = e. Denn(ab)(ab) = a(ba)b = abund nach 1 auchab = e.

3. Es giltae = a. Dennae = a(ba) = (ab)a = ea = a.

Die Existenz eines linksneutralen Elements und von linksinversen Elementen impliziert also, daß diese auch rechtsneutral und rechtsinvers sind.

Halbgruppen

SeiGeine Menge,·: G×GGundeG. Es gelte

(a·b)·c = a·(b·c)f ¨ur allea,b,cG.

a·e = e·a = af ¨ur alleaG.

Dann heißtGeine Halbgruppe mit neutralem Elemente.

Gheißt kommutativ (oder abelsch), wenna·b = b·a f ¨ur allea,bGgilt.

Das Elementbheißt Inverses vonaundainvertierbar inG, wenna·b = b·a = egilt.

1 13. November 2008

Halbgruppen

Beispiel:

•(Z,·),(Z,+).

•In(Z,·)sind nur1,−1invertierbar. In(Z,+)sind alle Elemente invertierbar:a + (−a) = (−a) + a = 0.

Beispiel:

•StringsAund Aneinanderh ¨angen·. EINS·ZWEI = EINSZWEI.

•ZWEI·EINS = ZWEIEINS. Sind ungleich, daher nicht kommutativ.

•Neutrales Element: Der leere String.

•Inverse Elemente: Gibt es f ¨ur nicht-leere Strings nicht.

(2)

Kerne und Bilder

Die MengeU := f−1({1H})ist ein Normalteiler vonG.

•F ¨ura,bU gilt f (ab−1) = f (a) f (b)−1= 1H, alsoab−1U undU ist eine Untergruppe vonG.

•F ¨uraGundbU gilt f (aba−1) = f (a) f (b) f (a−1) = 1H, also aba−1U.

Man nenntU den Kern von f und schreibtU = ker( f ).

f ist ein Monomorphismus⇔ker( f ) ={1G}. Die MengeV := f (G)ist eine Untergruppe vonH.

•F ¨urc,dVgibt esa,bGmitc = f (a),d = f (b). Dann cd−1= f (a) f (b)−1= f (ab−1). Wegenab−1Gfolgtcd−1V.

Man nenntV das Bild von f und schreibtV =im( f ).

f ist ein Epimorphismus⇔im( f ) = H.

7 13. November 2008

Nebenklassen

SeiGeine Gruppe undUGeine Untergruppe. Wir bezeichnenaU als eine Nebenklasse vonU inG.

Thm (Lagrange): Die MengeU ={aU|aG}ist eine Partition vonG in Mengen gleicher Kardinalit ¨at,Gist also disjunkte Vereinigung der NebenklassenaU.

Bew: Dau7→auinjektiv ist, gilt#U = #aUf ¨ur allea.

F ¨uraGgiltaaU wegeneU, daherG =a∈GaU.

IstcaUbU, so giltc = au1= bu2, alsoa = bu2u−11 . DannabU und aU = bU. Daher entwederaU = bUoderaUbU ={}.

Folgerung: Man nennt(G : U ) = #U den Index vonU inG. Es gilt

#G = (G : U ) #U.

8 13. November 2008

Homomorphismen von Gruppen

SeienG,HGruppen mit den neutralen Elementen1G,1Hund

f : GH. Es gelte f (ab) = f (a) f (b)f ¨ur allea,bG. Dann heißt f ein Homomorphismus.

Epimorphismus = surjektiv.

Monomorphismus = injektiv.

Isomorphismus = bijektiv.

Endomorphismus =H = G.

Automorphismus =H = Gund bijektiv.

Es gilt:

f (1G) = f (1G) f (1G), daher f (1G) = 1Hnach der K ¨urzungsregel.

•1H= f (1G) = f (bb−1) = f (b) f (b−1), also f (b−1) = f (b)−1wegen der Eindeutigkeit der Inversen.

5 13. November 2008

Untergruppen und Normalteiler

IstUGeine Gruppe und die Multiplikation inU die gleiche wie die inG, so heißtU eine Untergruppe vonG.

SetzeaU :={au|uU},U a :={ua|uU},aU a−1:={aua−1|uU}. Die Abbildungenu7→au,u7→ua,u7→aua−1sind bijektiv.

Gilt f ¨ur eine UntergruppeU vonGzus ¨atzlichaU a−1U f ¨ur alleaG, so heißtU normal inGbzw. ein Normalteiler vonG. Hier gilt sofort aU a−1= U, weilu7→aua−1bijektiv ist.

In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe normal, denn aua−1= aa−1u = uundaU a−1= U.

6 13. November 2008

(3)

Isomorphiesatz

Thm: Ist f : GH ein Homomorphismus, so isth : G/ker( f )→im( f ), x ker( f )7→ f (x)ein Isomorphismus.

Bew: Wegen f (xn) = f (x)f ¨ur allenker( f )isthwohldefiniert.

Außerdem ist es auch surjektiv. Weiter ergibt sich h((x ker( f ))(y ker( f ))) = h((xy) ker( f )) = f (xy) = f (x) f (y) =

h(x ker( f ))h(y ker( f )), also isthein Homomorphismus. Schließlich folgt aush(x ker( f )) = f (x) = 1H, daßxker( f )ist, alsox ker( f ) = ker( f ).

Daher isthauch injektiv.

11 13. November 2008

Beispiel

G =Z,H =Z/25Z, f :Z→Z/25Z,x7→5x + 25Z. Dannker( f ) = 5Zund im( f ) ={5i + 25Z|0≤i≤4}.

Bekommen Isomorphismush :Z/5Z→ {5i + 25Z|0≤i≤4}

durchx + 5Z7→5x + 25Z.

Faktorgruppen

SeiGeine Gruppe undNGein Normalteiler.

Wir wollen inGmoduloN rechnen. Zwei Elemente sollen als gleich gelten, wenn sie sich um ein Element ausN unterscheiden: Also wenna = bnf ¨ur einnN bzw.abN.

Wir betrachten die NebenklassenzerlegungG/N ={aN|aG}und definierenaN·bN = (ab)N.

•Dies ist wohldefiniert: F ¨uraaN undbbN giltaN = aN, bN = bN undbN = NbwegenbNb−1= N, und dann

(ab)N = abN = aNb = aNb = (ab)N.

bN·N = bN undN·bN = bN, also istNdas neutrale Element.

bN·b−1N = (bb−1)N = N, also istb−1N das Inverse vonbN.

Damit wirdG/N eine Gruppe und f : GG/N,x7→xN ein Epimorphismus (Restklassenhomomorphismus).

9 13. November 2008

Beispiel

G =Z,U = 4Zmit+. DannZ/4Z={0 + 4Z,1 + 4Z,2 + 4Z,3 + 4Z}. Hieri + 4Z={i + 4 j|j∈Z}.

Es gilt(2 + 4Z) + (3 + 4Z) = (2 + 3) + 4Z= (1 + 4) + 4Z= 1 + 4Z. Also modulo4Rechnen!

G =Z,H =Z/25Z, f :Z→Z/25Z,x7→5x + 25Z. Dannker( f ) = 5Zund im( f ) ={5i + 25Z|0≤i≤4}. Stets#(G/N) = (G : N).

(4)

Ordnungen

SeiGeine Gruppe undaG. Dann heißt#haidie Ordnung vona.

Es gilt#hai= min{n∈Z≥1|an= e}und#hai |#Gnach Lagrange.

Thm (Fermat): IstGendlich, so gilta#G= ef ¨uraG.

Bew: Es gilta#G= (a#hai)#G/#hai= e#G/#hai= e.

Thm: Ist#Geine Primzahl, so istGzyklisch.

Bew: F ¨uraG\{e}folgt#hai>1und#hai |#G, also#hai= #G.

Thm: SindU,VUntergruppen vonGmit teilerfremden Ordnungen, so giltUV ={e}.

Bew: Es gilt#(UV )|#U und#(UV )|#V nach Lagrange. Also

#(UV )|gcd{#U,#V}= 1und daher#(UV ) = 1.

15 13. November 2008

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

SeiGeine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Thm (Version 1): Es gibt ein eindeutig bestimmtesnund eindeutig bestimmteci∈Z≥0mitci|ci+1f ¨ur1≤in−1, so daß gilt:

G∼=

n i=1

Z/ciZ.

Thm (Version 2): Es gibtr∈Z≥0, Primzahlen piund Exponenten ei≥1, so daß

G∼=Zr×

m i=1

Z/peiiZ

gilt. Die Zahlrund die Paare(pi,ei)sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Bemerkung: Die ¨Aquivalenz von Version 1 und 2 beruht auf dem chinesischen Restsatz.

16 13. November 2008

Direktes Produkt

SeienGundH Gruppen. Dann inG×H koordinatenweise die Gruppengesetze definieren:(a1,a2)(b1,b2) = (a1b1,a2b2).

Einheitselement(1G,1H).

Damit wirdG×H zur Gruppe.

EinbettungGG×H,x7→(x,1H)vonGist Monomorphismus.

ProjektionG×HG,(x,y)7→xaufGist Epimorphismus.

Kern der Projektion aufGist Untergruppe{1G} ×H vonG×H.

13 13. November 2008

Erzeuger

Seieng1, . . . ,grG. Die von dengierzeugte UntergruppeU vonG besteht aus allen Elementen vonG, die durch Verkn ¨upfung und Inversion aus dengierhalten werden k ¨onnen.

SchreibweiseU =hg1, . . . ,gri.

Aquivalent kann¨ U als der Schnitt aller Untergruppen vonGdefiniert werden, welche diegienthalten.

Ist die von dengierzeugte Untergruppe gleichG, so heißen diegiein Erzeugendensystem vonG.

GiltG =hg1, . . . ,grimitr<∞, so heißtGendlich erzeugt.

GiltG =hgi, so heißtGzyklisch.

Homomorphismen sind bereits durch ihre Bildwerte auf Erzeugern definiert.

14 13. November 2008

(5)

Beispiel

Ein direktes ProduktZ/3Z×Z×5Z.

Erzeuger:(1 + 3Z,0,0),(0 + 3Z,1,0),(0 + 3Z,0,5).

Ist nicht zyklisch.

Z/5Zhat Erzeuger1 + 5Z. Ist zyklisch.

Z/2Z×Z/3Zist auch zyklisch (!):

Erzeuger(1 + 2Z,1 + 3Z).

Als Gruppen sindZund5Zunterx7→5xisomorph.

Gruppe wie in Thm (Version 1) ist genau dann zyklisch, wennn = 1gilt.

F ¨ur einen endlichen K ¨orperFqgiltF×q ∼=Z/(q−1)Z.

17 13. November 2008

Exponentiation in Gruppen

Wiegneffizient ausrechnen? Z.B. f ¨urn = 27354268183173165356.

Schreiben =ki=0ri2i,ri∈ {0,1}. Danngn= g(···(rk2+rk−1)2+···)2+r0. Eingabe:gundn≥0.

Ausgabe:gn.

1. Wennn = 0dann Ausgabe von1.

2. Berechne rekursivbgndiv2. Berechnebb2. 3. Wennnungerade, dannbbg.

4. Ausgabe vonb.

Aufwand≤2(log2(n) + 1)Operationen (Quadrieren und Multiplizieren).

Von diesem Verfahren gibt es einige Varianten (mit vorberechneter Tabelle, links-rechts, rechts-links, sliding windows,. . .).

Referenzen

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