Hyperbolische Modelle der Fluiddynamik : Wohlgestelltheit und Vergleich mit der klassischen Navier-Stokes-Gleichung

Hyperbolische Modelle der

Fluiddynamik – Wohlgestelltheit und Vergleich mit der klassischen

Navier-Stokes-Gleichung

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)

vorgelegt von

Alexander Schöwe

an der

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik Tag der mündlichen Prüfung: 9. Juni 2015

Referenten:

Prof. Dr. Reinhard Racke (Universität Konstanz) Prof. Dr. Jürgen Saal (Universität Düsseldorf)

Konstanz, 2015

Konstanzer Online-Publikations-System (KOPS) URL: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:352-0-296207

Danksagung

Bei der Erstellung der vorliegenden Arbeit am Fachbereich Mathematik und Statistik der Univer- sität Konstanz haben mich viele Personen in den unterschiedlichsten Formen unterstützt, wofür ich mich an dieser Stelle herzlichst bedanken möchte.

Zuerst und besonders danke ich meinem Betreuer Prof. Dr. Reinhard Racke, der mir die Mög- lichkeit gegeben hat, meine in der Diplomarbeit begonnene Forschung in Form der vorliegenden Dissertation weiter zu vertiefen. Prof. Dr. R. Racke hat sich stets Zeit für meine Fragen und Diskussionen genommen und mir die Teilnahme an mehreren internationalen Konferenzen er- möglicht. Hervorheben möchte ich hierbei meinen Forschungsaufenthalt am Institute of Applied Physics and Computational Mathematics in Peking und mich gleichzeitig bei Prof. Dr. Song Jiang und Dr. Yuxi Hu für die zahlreichen Fachgespräche und die Gastfreundschaft bedanken.

Prof. Dr. Jürgen Saal danke ich vielmals für die Einladung an die Universität Düsseldorf, die fachlichen Diskussionen und für die Übernahme des Koreferats.

Für die sehr gute Zusammenarbeit und insbesondere auch für die Unterstützung in der Endphase der Promotion möchte ich einen besonderen Dank an Prof. Dr. Robert Denk und Marco Ritter aussprechen. Neben Prof. Dr. R. Racke und Prof. Dr. R. Denk haben weiter meine Kollegen und Freunde Karin Borgmeyer, Dr. Mario Kaip, Felix Kammerlander, Dr. Patrick Kurth, Max Nendel, Dr. Michael Pokojovy, Dr. Martin Saal, Dr. Johannes Schnur und Dr. Tim Seger stets für eine tolle Zusammenarbeit in Forschung und Lehre und ein sehr gutes Arbeitsklima gesorgt.

Ganz besonders möchte ich mich bei meinen Eltern Karin und Hellmut Schöwe und meiner Freun- din Julia Lang bedanken, die mir stets den nötigen Rückhalt gegeben haben und unter anderem durch ihre motivierenden Worte maßgeblich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.

Nicht zuletzt danke ich der Studienstiftung des deutschen Volkes für die Unterstützung in Form eines Promotionsstipendiums.

Vielen Dank!

Konstanz, im März 2015 Alexander Schöwe

Inhaltsverzeichnis

Danksagung v

Einleitung 1

1 Singuläre Grenzwerte in der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung 5

1.1 Viskositätsgrenzwert in der Differentialgleichung . . . 5

1.1.1 Beschränktheit von u^µ,τ . . . 6

1.1.2 Konvergenzbeweis für µ→0. . . 11

1.2 Energieabschätzung und Viskositätsgrenzwert in der Integroformulierung . . . 17

1.2.1 Energieabschätzung in der Integroformulierung . . . 17

1.2.2 Viskositätsgrenzwert in der Integroformulierung . . . 20

1.3 Globaler Grenzwert τ →0 . . . 21

2 Globale Resultate zur hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung 27 2.1 Globale Lösung mitτ-unabhängiger Kleinheitsbedingung an die Anfangsdaten . . 28

2.2 Globale glatte Lösung in R² ohne Kleinheitsbedingung an die Anfangsdaten . . . 42

2.3 Globale Lösung in R³ und der Zusammenhang zum Millennium-Problem . . . 52

2.3.1 Globale Existenz in R³ in Spezialfällen . . . 52

2.3.2 Zusammenhang zum Millennium-Problem . . . 54

2.4 Regularitätskriterium . . . 56

3 Semilineare hyperbolische Fluidmodelle 61 3.1 Lokale Existenzsätze und Fortsetzbarkeit von Lösungen . . . 62

3.2 Globale Lösbarkeit von (sHNS_α) . . . 86

3.3 Grenzwert α→0in (sHNS_α) . . . 91

3.4 Modelle mit Blow-up . . . 94

Anhang 103 A.1 Notationen . . . 103

A.2 Fourieranalysis . . . 103

A.2.1 Fouriertransformation . . . 104

A.2.2 Besselpotentialräume . . . 109

A.2.3 Besovräume . . . 109

A.3 Helmholtzprojektion . . . 122

A.4 Sonstige Hilfsmittel . . . 123

Literaturverzeichnis 127

Einleitung

Der Modellierung von Strömungen inkompressibler Flüssigkeiten liegen im Allgemeinen die bei- den, aus dem Gesetz der Impuls- bzw. Massenerhaltung stammenden, Gleichungen

ut+ (u· ∇)u+∇p= div 2S und divu= 0

für das Geschwindigkeitsvektorfeldu, den Druckp und den SpannungstensorS zu Grunde (vgl.

[AS09]). Zur Vervollständigung der Beschreibung muss weiter ein Zusammenhang zwischen dem Spannungs- und dem Verzerrungstensor E = ¹₂ ∇u+ (∇u)^>

angenommen werden. Dieser be- schreibt die Viskosität der Flüssigkeit und muss folglich passend zur jeweiligen Anwendung ge- wählt werden (vgl. [Jos90]).

In der vorliegenden Arbeit sollen vom mathematischen Standpunkt her einige Modellprobleme mit hyperbolischem Charakter auf deren Wohlgestelltheit und Zusammenhang zur klassischen Navier-Stokes-Gleichung

v_t−µ∆v+ (v· ∇)v+∇p= 0 divv= 0 v(0,·) =v0

in(0, T)×Rⁿ, in(0, T)×Rⁿ, inRⁿ,

(NS)

die man durch die Annahme S = µE für ein µ > 0 erhält, untersucht werden. Hyperbolische Fluidmodelle wurden im Gegensatz zur klassischen Navier-Stokes-Gleichung (vgl. z.B. [LR02], [Soh01] und [Tem79] sowie die Referenzen darin) bislang weniger intensiv studiert. Zentral wird in dieser Arbeit das, nach [RS12a] als hyperbolische Navier-Stokes-Gleichung bezeichnete, System

τ utt−µ∆u+ut+τ(u· ∇)u_t+ (τ ut+u)· ∇

u+∇p+τ∇p_t= 0 divu= 0 u(0,·) =u₀, u_t(0,·) =u₁

in(0, T)×Rⁿ, in(0, T)×Rⁿ, inRⁿ

(HNS)

betrachtet. Dieses erhält man durch die AnnahmeτS_t+S = µE mit einem kleinen Parameter τ >0, was formal vergleichbar ist mit dem aus der Theorie der Wärmeleitung bekannten Über- gang vom Gesetz von Fourier auf das Gesetz von Cattaneo (vgl. [Cat49], [CM72], [CR81] und [RS12a]). Ein erster heuristischer Vergleich mit der klassischen Navier-Stokes-Gleichung zeigt, dass der Übergang auf τS_t +S = µE einen Übergang von einer semilinearen parabolischen Gleichung auf eine quasilineare hyperbolische Gleichung darstellt, was zum Beispiel zusätzliche Schwierigkeiten bei Untersuchungen zur Wohlgestelltheit vermuten lässt.

Der genauere Zusammenhang zwischen den beiden Gleichungen wurde bereits in [Sch12] unter- sucht, indem lokal in der Zeit fürτ →0die Konvergenz der Lösungen der hyperbolischen Navier- Stokes-Gleichung gegen die Lösung der klassischen Navier-Stokes-Gleichung bewiesen wurde. In der vorliegenden Arbeit werden wir in Kapitel 1 zeigen, dass dieser singuläre Grenzwert sogar global und gleichmäßig in der Zeit gilt. Formal scheint die Einführung des kleinen Parametersτ vernachlässigbar, sodass man ein entsprechendes Ergebnis für τ →0 erwarten könnte, an dieser Stelle sei jedoch zum Beispiel an die Arbeiten [FSR09] und [DQR09] erinnert. Diese zeigen, dass für vergleichbare Systeme die Einführung eines Relaxationsparametersτ oder formale Taylorent- wicklungen des retardierten Terms große Auswirkungen auf das Lösungsverhalten haben können und zum Beispiel die Wohlgestelltheit verloren gehen kann.

Weiter wird in Kapitel 1 die von der klassischen Navier-Stokes-Gleichung bekannte (vgl. z. B.

[Kat72], [Kat75] und [Mas07]) Fragestellung des Viskositätsgrenzwerts µ → 0 in (HNS) un- tersucht. Es geht dabei um die Frage, ob bei vernachlässigbarer innerer Reibung (µ → 0) die Euler-Gleichung für eine ideale Flüssigkeit eine hinreichend gute Approximation von (HNS) dar- stellt. Dieser singuläre Grenzwert kann in Kapitel 1 unter der Bedingung einer Kopplung des Parameters τ an µoder für kompatible Anfangsdaten inklusive Konvergenzrate gezeigt werden.

Hinsichtlich Wohlgestelltheit wurde die Gleichung (HNS) bereits in [Osk85], [Lad97] und [Kar05]

untersucht und mittels Galerkin-Ansätzen die schwache Lösbarkeit, insbesondere auch in be- schränkten Gebieten, gezeigt. Im Gegensatz zu diesen Arbeiten soll hier jedoch die starke Lös- barkeit im Ganzraum, wie sie lokal nach [RS12a] bekannt ist, im Mittelpunkt stehen. Mit einer Methode von Klainerman und Ponce, die zum Beispiel in [Rac92] allgemein beschrieben ist, konn- te in [RS12b] ein globaler Existenzsatz für kleine Daten in R² und R³ bewiesen werden, der in [Sch11] bzw. [Sch12] im dreidimensionalen Fall durch Ausnutzung der stärkeren Konvergenzra- ten verbessert werden konnte (vgl. [Sch12, Remark 2.3]). Außerdem wurde in [Sch12] durch eine Spiegelungstechnik ein globaler Existenzsatz für das Halbraumproblem mit Sliprandbedingungen bewiesen, jedoch ebenfalls nur für kleine Daten.

Im Vergleich dazu hat die klassische Navier-Stokes-Gleichung bekanntlich fürn= 2 und im Fall n = 3 für (fast-)symmetrische Daten auch für große Daten eine globale Lösung, deren Ener- gie in der Zeit abfällt (vgl. [PRST94] und [SW96]). Weiter ist nach [Sch12] bekannt, dass die lokale Lösung u der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung für kleine Zeiten t ≤ T₁ in einer τ-Umgebung der Lösung v der klassischen Navier-Stokes-Gleichung bleibt und somit ebenfalls abfällt. Eine Idee um auch die globale Lösbarkeit der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung für große Daten zu beweisen, ist zu zeigen, dass die Lösunguzum ZeitpunktT₁soweit abgefallen ist, dass dort die Kleinheitsbedingung des globalen Existenzsatzes für kleine Daten erfüllt ist, dieser sich folglich anwenden lässt und man somit auch für große Anfangsdaten bei entsprechend klein gewähltem Parameter τ eine globale Lösung erhält.

Diese grundsätzliche Idee geht auf [HL02] zurück, wo allgemein hyperbolisch-parabolisch gekop- pelte Systeme, die von einem kleinen Parameter abhängen, betrachtet werden. Das allgemeine Theorem lässt sich aber nicht direkt anwenden um die globale Lösbarkeit für große Daten der hy- perbolischen Navier-Stokes-Gleichung zu zeigen und auch bei der Anwendung der grundsätzlichen Idee ergeben sich direkt einige Fragen und technische Probleme, die es zum Beispiel erfordern eineτ-unabhängige Variante des globalen Existenzsatzes für kleine Daten aus [RS12b] zu bewei- sen. Wir werden diese Idee jedoch in Kapitel 2 erfolgreich verwenden und die globale Lösbarkeit inklusive zeitlicher Asymptotik von (HNS) inR², sowie in den genannten Spezialfällen desR³, für

große Daten bei entsprechend klein gewähltem Parameterτ zeigen – ein bis dahin unbekanntes Resultat. Die Kleinheitsbedingung an den Parameterτ wird dabei durch die Größe der Anfangs- daten festgelegt, was mit der physikalischen Vorstellung eines, in Bezug zu den anderen Größen der Gleichung, kleinen Parametersτ übereinstimmt. Weiter ist das Ergebnis mit den Resultaten in [BNP04], [PR07] und [Hac14] zum semilinearen hyperbolischen Fluidmodell

τ utt+ut+ (u· ∇)u−∆u+∇p= 0 divu= 0 u(0,·) =u₀, u_t(0,·) =u₁

in(0, T)×Rⁿ, in(0, T)×Rⁿ, inRⁿ

(sHNS)

vergleichbar, wo eine analoge Kleinheitsbedingung an den Parameter τ gestellt wird. Die Frage nach einer globalen Lösung von (HNS) für große Daten und große Parameter τ bleibt durch diesen Satz aber offen, scheint jedoch der in [RS12b] geäußerten Vermutung eines Blow-ups der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung inR² zu widersprechen.

Im Gegensatz dazu kann die globale Lösbarkeit der klassischen Navier-Stokes-Gleichung in R² sehr leicht behandelt werden, da man sofort zeigen kann, dass das Beale-Kato-Majda Kriteri- um [BKM84] erfüllt ist (vgl. [MB02, Abschnitt 3.3]). Auch für die hyperbolische Navier-Stokes- Gleichung wurde in [FO12] ein Regularitätskriterium bewiesen, welches wir in dieser Arbeit deut- lich verallgemeinern werden. Konkret werden wir für die hyperbolische Navier-Stokes-Gleichung das direkte Analogon des verallgemeinerten Beale-Kato-Majda Kriteriums nach [KOT02] zeigen.

Dennoch kann die oben genannte Vermutung damit nicht widerlegt werden, sodass in Kapitel 3 zur Abgrenzung und noch besseren Einordnung der globalen Resultate fürα >0undβ ∈Rdas System

τ utt+ut−∆u−_α¹∇divu+ (u· ∇)u+β(divu)u= 0 u(0,·) =u0, ut(0,·) =u1

in(0, T)×Rⁿ, inRⁿ

(sHNS_α) betrachtet wird.

Die Gleichung (sHNS_α) wurde im Spezialfallβ = 0in [Hac13] betrachtet und die endliche Aus- breitungsgeschwindigkeit sowie in R² die globale Lösbarkeit für große Anfangsdaten und kleine Parameterαundτ gezeigt. Weiter wurden dort die singulären Grenzwerteα→0undτ →0un- tersucht und der Übergang des Systems in (sHNS) bzw. (NS) bewiesen. Diese Resultate können in der vorliegenden Arbeit aufβ ∈Rverallgemeinert werden. Außerdem wird die Lösbarkeit im Gegensatz zu [Hac13] in unterschiedlichen Regularitätsklassen, von homogenen Besovräumen bis zu klassischen Lösungen, untersucht. Besonders interessant ist der Fall β = 1, denn wir werden mit der Theorie von [Sid84] zeigen, dass (sHNS_α) fürβ = 1 für große Anfangsdaten und große Parameterα undτ einen Blow-up in endlicher Zeit besitzt. In diesem Sinne ist der globale Exis- tenzsatz fürβ= 1optimal. Weiter kann analog zu den Arbeiten [MS01], [GP09] und [Tao14] zur klassischen Navier-Stokes-Gleichung die Schlussfolgerung gezogen werden, dass (sHNS_α) auch für andere Werte vonβ sowie (sHNS) nur dann global für große Daten gelöst werden kann, wenn im Beweis die spezielle Struktur der Nichtlinearität genutzt wird. Ebenso werden wir fürγ >−2 die zur hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung assoziierten Systeme

τ u_tt+u_t−∆u−_α¹∇divu+ 1 +τ_∂t^∂

div(u⊗u) + γ 2

∂₁u²₂

∂₂u²₁

= 0 in(0, T)×R², u(0,·) =u⁰, ut(0,·) =u¹ inR²

3

betrachten und ein Blow-up Resultat beweisen, was insgesamt die Komplexität der Frage nach globalen Lösungen für große Daten von den in dieser Arbeit betrachteten hyperbolischen Fluid- modellen in R² und die Bedeutung von globalen Existenzsätzen für große Daten und kleine Parameter verdeutlicht.

Aspekte dieser Arbeit wurden vom Autor bereits in Kurzform in [Sch14] veröffentlicht und wer- den nun in der vorliegenden Arbeit im Detail bewiesen und ergänzt.

Die Struktur der vorliegenden Arbeit sei in folgender Übersicht nochmals kurz zusammengestellt.

Kapitel 1: Singuläre Grenzwerte in der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung Es wird der Grenzwert µ→0in (HNS) untersucht und für kompatible Anfangsdaten oder einen an µ gekoppelten Parameter τ der Übergang in die Euler-Gleichung bewiesen. Weiter wird ein in der Zeit globaler und gleichmäßiger Grenzwertτ →0in (HNS) bewiesen.

Kapitel 2: Globale Resultate zur hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung

In diesem Kapitel wird zunächst ein globaler Existenzsatz mitτ-unabhängiger Kleinheitsbedin- gung inklusive τ-unabhängiger Konvergenzraten für (HNS) bewiesen. Anschließend wird in den von der klassischen Navier-Stokes-Gleichung bekannten Fällen die globale Lösbarkeit für große Anfangsdaten und kleine Parameter τ von (HNS) gezeigt. Abschließend wird ein Regularitäts- kriterium im Stile von Beale-Kato-Majda präsentiert.

Kapitel 3: Semilineare hyperbolische Fluidmodelle

Hier werden lokale und globale Existenzsätze zu den semilinearen Fluidmodellen (sHNS) sowie (sHNS_α) bewiesen. Weiter wird der singuläre Grenzwertα→0in (sHNS_α) untersucht und letzt- lich der Zusammenhang zur klassischen Navier-Stokes-Gleichung hergestellt. Schließlich werden Blow-up Resultate zu einigen hyperbolischen Fluidmodellen bewiesen.

Anhang

Nach einer Darstellung der in der Arbeit verwendeten Notationen werden die wesentlichen Hilfs- mittel zusammengefasst. Insbesondere wird ein Einblick in die Theorie homogener Besovräume gegeben und eine Produktabschätzung bewiesen, wie sie in Kapitel 3 benötigt wird.

Kapitel 1

Singuläre Grenzwerte in der hyperbolischen

Navier-Stokes-Gleichung

In diesem Kapitel sollen singuläre Grenzwerte in der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung τ u_tt−µ∆u+u_t=−P((u· ∇)u)−P((τ u_t· ∇)u)−P((τ u· ∇)u_t)

u(0,·) =u₀, u_t(0,·) =u₁

in(0, T)×Rⁿ, inRⁿ

(HNS) füru∈L²_σ(Rⁿ)betrachtet werden. Als ein Beispiel für einen solchen Grenzwert wurde in [Sch12]

bereits der Grenzwertτ →0untersucht und gezeigt, dass zumindest lokal in der Zeit die Lösungen u^τ der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung in die Lösung v der klassischen Navier-Stokes- Gleichung übergehen.

Im Folgenden soll zunächst der sogenannte Viskositätsgrenzwertµ→0betrachtet werden, wobei dies sowohl in der Differentialgleichung als auch in der Integroformulierung der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung geschehen soll, was interessante Unterschiede aufweist (siehe Ende Ab- schnitt 1.2.2).

Schließlich wenden wir uns noch einmal der Betrachtung des singulären Grenzwertsτ →0zu und können mit einem kleinen Vorgriff auf Abschnitt 2.2 einen in der Zeit globalen und gleichmäßigen Grenzübergang beweisen.

1.1 Viskositätsgrenzwert in der Differentialgleichung

Bekanntlich wird das Verhalten einer Flüssigkeit ohne innere Reibung durch die Helmholtz- projizierte Euler-Gleichung fürv∈L²_σ(Rⁿ)

vt+P((v· ∇)v) = 0 v(0,·) =v0

in(0, T)×Rⁿ, inRⁿ

(1.1) beschrieben, während die Navier-Stokes-Gleichung bei Flüssigkeiten mit innerer Reibung Anwen- dung findet. Es ergibt sich daraus die typische Fragestellung, ob für verschwindende Reibung die Lösung der Navier-Stokes-Gleichung in die Lösung der Euler-Gleichung übergeht. Dies wurde für

die klassische Navier-Stokes-Gleichung zum Beispiel in [Kat72], [Kat75] und [Mas07] untersucht.

In direkter Analogie lässt sich dieselbe Frage nach dem Viskositätsgrenzwertµ→0auch für die hyperbolische Navier-Stokes-Gleichung

τ u_tt−µ∆u+u_t=−P((u· ∇)u)−P((τ u_t· ∇)u)−P((τ u· ∇)u_t)

≡N₁+N₂+N₃

u(0,·) =v₀, u_t(0,·) =−P((v₀· ∇)v₀) =:v₁

in(0, T)×Rⁿ, inRⁿ

(1.2)

für u∈L²_σ(Rⁿ) stellen. Der Anfangswert für v_t(0,·) ergibt sich dabei als natürliche Kompatibi- litätsbedingung aus (1.1) (vgl. unten).

Ein wesentlicher Unterschied zu der Frage für die klassische Navier-Stokes-Gleichung liegt in den Nichtlinearitäten, denn bei der klassischen Navier-Stokes-Gleichung fallen zum Beispiel bei Energieabschätzungen nichtlineare Terme vom Typh(u· ∇)u, ui_L2(Rⁿ) weg, sprich man muss die höchsten Ableitungen nicht gegen µk∇uk²_L2(Rⁿ) abschätzen, was in den oben genannten Veröf- fentlichungen genutzt wird. Dahingegen bleiben bei der hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung nichtlineare Terme wie zum Beispiel h(u· ∇)u, u_ti_L2(Rⁿ) übrig, was die Angelegenheit offensicht- lich erschwert.

Die Fragestellung soll hier mit der Multiplikatormethode, angewendet auf eine Gleichung für die Differenz w := u−v, behandelt werden. Analog wie für den Grenzwert τ → 0 in [Sch12]

wird zunächst die Beschränktheit der Lösungsfolge (u^µ)µ gezeigt werden, wobei das konkrete Vorgehen deutlich aufwendiger wird, denn die höchsten Ableitungen müssen getrennt behandelt werden. Außerdem wird es bereits für die Beschränktheit der Lösungsfolge(u^µ)_µ nötig sein den Zusammenhang τ ∈ O(µ) zu fordern, was zugleich bedeutet, dass die Energieabschätzung so- wohl unabhängig von τ als auch µ sein muss (vgl. Ende Abschnitt 1.2.2). Da jedoch z.B. der Termh∇^m+1N₁,∇^m+1u_ti keinen Vorfaktor τ hat, wird zusätzlich der nichtlineare Multiplikator

∇^α ut+P(u· ∇)u

benötigt.

Das Ergebnis formuliert sich in etwa wie folgt: Im Ganzraumfall Rⁿ mit n = 2oder n= 3 für hinreichend glatte Anfangsdaten,T1>0geeignet, m > ⁿ₂ undτ ∈ O(µ) gilt

sup

0≤t≤T₁

u^µ,τ(t)−v(t)

m+1,2 =O(√

µ) für µ→0. (1.3)

1.1.1 Beschränktheit von u^µ,τ

In diesem Abschnitt soll die Beschränktheit der Lösungsfolge (u^µ,τ)_µ,τ zu (1.2) gezeigt werden.

Die Folge ist für m > ⁿ₂ undv₀ ∈W^m+3,2(Rⁿ)∩L²_σ(Rⁿ)nach [RS12a] wohldefiniert und u^µ,τ ∈C⁰ [0, T^µ,τ], W^m+3,2(Rⁿ)∩L²_σ(Rⁿ)

∩C¹ [0, T^µ,τ], W^m+2,2

∩C² [0, T^µ,τ], W^m+1,2 , denn nach Satz A.52 und dem Sobolevschen Einbettungssatz (Satz A.51) gilt

kv₁k_m+2,2=k −P((v0· ∇)v₀)k_m+2,2 ≤ckv₀k²_m+3,2.

Es gelte ohne Einschränkung τ, µ ≤ 1. Das Argument (t) wird der Übersichtlichkeit halber weggelassen. Außerdem wird u statt u^µ,τ geschrieben, insbesondere auch deshalb weil später gezeigt wird, dass T1 >0 unabhängig von µ undτ so gewählt werden kann, dass alle Lösungen

1.1. Viskositätsgrenzwert in der Differentialgleichung

auf dem Intervall[0, T₁]existieren.

Definiere fürm > ⁿ₂ die Energie E_m(u) := X

|α|≤m+1

τ 2

∇^α u_t+P(u· ∇)u

2 2+ε₂

2k∇^αuk²₂

+ X

|α|≤m

τ

2k∇^αu_tk²₂+µk∇^α∇uk²₂ +τ²

2 k∇^m+1u_tk²₂+τ µ

2 k∇^m+1∇uk²₂+ µ

2k∇^m+1∇uk²₂, wobei0< ε₂ < ¹₂ fest gewählt wird und weiter definiere

Eem(u) :=Em(u) +ε2τ X

|α|≤m+1

h∇^αut,∇^αui

als Lyapunov-Funktional. Dieses Lyapunov-Funktional ist unabhängig von µ und τ äquivalent zur Energie, denn

eE_m(u)−E_m(u) =

ε₂τ X

|α|≤m+1

h∇^αu_t,∇^αui

≤ X

|α|≤m+1

1

2·³₂τ²k∇^αu_tk²₂+

3 2

2ε²₂k∇^αuk²₂

!

ε2<1

≤2 X

|α|≤m+1

2 3 ·τ²

2 k∇^αu_tk²₂+3 4 ·ε₂

2k∇^αuk²_{2 τ≤1}

≤ 3

4E_m(u), (1.4) woraus direkt die Behauptung folgt. Damit lässt sich der folgende Satz beweisen.

Satz 1.1

Es gelteτ ∈ O(µ), dann existiert einT1 >0so, dass für m > ⁿ₂ undv0 ∈W^m+3,2(Rⁿ)∩L²_σ(Rⁿ) sup

0≤t≤T1

E_m(u(t)) =O(1) fürµ→0.

Beweis:

Unter der Annahme dass(u^µ,τ)_µ,τ auf einem gemeinsamen Intervall[0, T]mitT unabhängig von µundτ existieren, wird fürµund τ klein genug eine a priori Abschätzung der Form

Eem(u(t))≤Eem(u(0)) +c

t

Z

0

Eem(u(r)) + 12

dr (1.5)

hergeleitet. Anschließend wird dann eine Variante des Lemmas von Gronwall (Lemma A.54) angewendet werden.

Sei |α| ≤ m+ 1. Wendet man ∇^α auf (1.2) an und multipliziert mit ∇^α u_t+P(u· ∇)u in L²(Rⁿ), so erhält man

τ 2

d dt

∇^α u_t+P(u· ∇)u

2 2+µ

2 d

dtk∇^α∇uk²₂+

∇^α u_t+P(u· ∇)u

2 2

=µh∇^α∆u,∇^αP(u· ∇)ui.

(1.6)

7

Die rechte Seite kann mit Satz A.52 abgeschätzt werden durch µh∇^α∆u,∇^αP(u· ∇)ui=−µh∇^α∇u,∇^α∇(u· ∇)ui

=−µh∇^α∇u,∇^α∇(u· ∇)u−(u· ∇∇^α∇)u+ (u· ∇∇^α∇)ui

divu=0

=−µh∇^α∇u,∇^α∇(u· ∇)u−(u· ∇∇^α∇)ui

≤cµk∇^α∇uk₂ k∇uk_∞k∇^m+1+1−1∇uk₂+k∇uk_∞k∇^m+1+1uk₂

≤cµ²k∇^α∇uk²₂k∇^m+1∇uk²₂+ck∇uk²_m,2 ≤c(Em(u) + 1)². (1.7) Wendet man nun∇^αjedoch nur für |α| ≤m auf (1.2) an und multipliziert mit∇^αutinL²(Rⁿ), so erhält man

τ 2

d

dtk∇^αutk²₂+µ 2

d

dtk∇^α∇uk²₂+k∇^αutk²₂ =

3

X

j=1

h∇^αNj,∇^αuti. (1.8) Es müssen nun die nichtlinearen Terme abgeschätzt werden.

|h∇^αN₁,∇^αu_ti| ≤c(kuk_∞k∇^m∇uk₂+k∇uk_∞k∇^muk₂)k∇^αu_tk₂

≤c kuk²_m,2k∇^m∇uk²₂+k∇uk²_m,2k∇^muk²₂

+¹₈k∇^αutk²₂

≤cEm(u)²+¹₈k∇^αutk²₂. (1.9)

Weiter gilt

|h∇^αN₂,∇^αu_ti| ≤cτ(ku_tk_∞k∇^m∇uk₂+k∇uk_∞k∇^mu_tk₂)k∇^αu_tk₂

≤cτ ku_tk²_m,2k∇^m∇uk²₂+k∇uk²_m,2k∇^mutk²₂

+cτk∇^αutk²₂

≤cE_m(u)²+c(E_m(u) + 1)². (1.10)

Ebenso erhält man

|h∇^αN3,∇^αuti| ≤cτ(kuk_∞k∇^m∇u_tk₂+k∇u_tk_∞k∇^muk₂)k∇^αutk₂

≤cτ² kuk²_m,2k∇^m∇u_tk²₂+k∇u_tk²_m,2k∇^muk²₂

+ ¹₈k∇^αu_tk²₂

≤cE_m(u)²+¹₈k∇^αu_tk²₂. (1.11)

Wie bereits erwähnt werden die höchsten Ableitungen getrennt behandelt, sodass die mit∇^α für

|α|=m+ 1differenzierte Gleichung mit τ∇^αu_t multipliziert wird und man τ²

2 d

dtk∇^αu_tk²₂+τ µ 2

d

dtk∇^α∇uk²₂+τk∇^αu_tk²₂ =τ

3

X

j=1

h∇^αN_j,∇^αu_ti (1.12) erhält.

Analog wie oben werden die Nichtlinearitäten abgeschätzt, wobei die Abhängigkeiten der Kon- stanten µundτ anders behandelt werden müssen. Es ergibt sich

|τh∇^αN₁,∇^αu_ti| ≤cτ kuk_∞k∇^m+1∇uk₂+k∇uk_∞k∇^m+1uk₂

k∇^αu_tk₂

≤cτkuk²_m,2k∇^m+1∇uk²₂+^τ₈k∇^αutk²₂+ck∇uk²_m,2k∇^m+1uk²₂+cτ²k∇^αutk²₂

≤c(Em(u) + 1)²+^τ₈k∇^αutk²₂. (1.13)

1.1. Viskositätsgrenzwert in der Differentialgleichung

Bemerkung 1.2

Wie schon in der Einleitung angedeutet, erklärt sich an dieser Abschätzung das gewählte Vorge- hen. Mit dem Multiplikator ∇^αut ließe sich der Term k∇^m+1∇uk₂ nicht behandeln, sodass der Multiplikatorτ∇^αut gewählt wurde, was aber zur Folge hatte, dass sich der Term k∇^αutk²₂ nur mit Vorfaktorτ auffangen ließ und somit der zusätzliche Multiplikator∇^α u_t+P(u· ∇)u

nötig war.

Ferner gilt

|τh∇^αN2,∇^αuti| ≤cτ² ku_tk∞k∇^m+1∇uk₂+k∇uk∞k∇^m+1utk₂

k∇^αutk₂

≤cτ² ku_tk²_m,2k∇^m+1∇uk²₂+k∇uk²_m,2k∇^m+1u_tk²₂

+cτ²k∇^αu_tk²₂

≤c(Em(u) + 1)². (1.14)

Der Term|τh∇^αN₃,∇^αu_ti|kann aufgeteilt werden und dadivu= 0, gilt

|τh∇^αN3,∇^αuti| ≤cτ²k∇^α((u· ∇)u_t)−(u· ∇^α∇)u_tk₂k∇^αutk₂

≤cτ² k∇uk_∞k∇^m∇u_tk₂+k∇u_tk_∞k∇^m+1uk₂

k∇^αu_tk₂

≤cτ² k∇uk²_m,2k∇^m∇u_tk²₂+k∇u_tk²_m,2k∇^m+1uk²₂

+cτ²k∇^αutk²₂

≤c(Em(u) + 1)². (1.15)

Zuletzt wird∇^α für |α| ≤ m+ 1auf (1.2) angewendet und mit ε2∇^αu inL²(Rⁿ) multipliziert.

Es ergibt sich ε2τ d

dth∇^αut,∇^αui −ε2τk∇^αutk²₂+ε2µk∇^α∇uk²₂+ε2

d dt

1

2k∇^αuk²₂ =ε2 3

X

j=1

h∇^αNj,∇^αui. (1.16) Dadivu= 0 gilt, kann der Term|h∇^αN₁, ε₂∇^αui|aufgeteilt werden und es gilt

|h∇^αN1, ε2∇^αui| ≤ck∇^α((u· ∇)u)−(u· ∇^α∇)uk₂k∇^αuk₂

≤c k∇uk_∞k∇^m+1−1∇uk₂+k∇uk_∞k∇^m+1uk₂

k∇^αuk₂

≤c k∇uk²_m,2k∇^m∇uk²₂+k∇uk²_m,2k∇^m+1uk²₂

+ck∇^αuk²₂

≤c(Em(u) + 1)². (1.17)

Weiter gilt

|h∇^αN₂, ε₂∇^αui| ≤cτ ku_tk_∞k∇^m+1∇uk₂+k∇uk_∞k∇^m+1u_tk₂

k∇^αuk₂

≤cτ² ku_tk²_m,2k∇^m+1∇uk²₂+k∇uk²_m,2k∇^m+1utk²₂

+ck∇^αuk²₂

≤c(Em(u) + 1)². (1.18)

Bei der Abschätzung von|h∇^αN₃, ε₂∇^αui| werden die Fälle|α|= 0 bzw.|α| 6= 0 unterschieden.

Für|α|= 0 gilt

|hN₃, ε2ui| ≤cτk(u· ∇)u_tk₂kuk₂≤cτkuk_∞k∇u_tk₂kuk₂

≤cτk∇u_tk²₂+cτkuk⁴_m,2≤c(E_m(u) + 1)². (1.19)

9

Für|α| 6= 0existiert ein 1≤k≤n mit α_k6= 0. Es ergibt sich mit partieller Integration

|h∇^αN3, ε2∇^αui| ≤cτ(kuk_∞k∇^m∇u_tk₂+k∇u_tk_∞k∇^muk₂)k∇^α+ekuk₂

≤cτkuk²_m,2k∇^α+ekuk²₂+ τ

8Nk∇^m∇u_tk²₂ +cτk∇^muk²₂k∇^α+ekuk²₂+ τ

8Nk∇u_tk²_m,2

≤c(E_m(u) + 1)²+ τ

4Nku_tk²_m+1,2, (1.20)

wobeiN die Anzahl Multiindices kleiner gleich m+ 1bezeichnet.

Summiert man die Gleichung (1.6) über |α| ≤m+ 1 und verwendet die Abschätzung (1.7), so ergibt sich

X

|α|≤m+1

τ 2

d dt

∇^α u_t+P(u· ∇)u

2 2+µ

2 d

dtk∇^α∇uk²₂+

∇^α u_t+P(u· ∇)u

2 2

≤c(Em(u) + 1)². Summiert man die Gleichung (1.8) über |α| ≤ m und verwendet die Abschätzung (1.9), (1.10) und (1.11), so erhält man

X

|α|≤m

τ 2

d

dtk∇^αutk²₂+ µ 2

d

dtk∇^α∇uk²₂+k∇^αutk²₂−1

4k∇^αutk²₂

≤c(Em(u) + 1)².

Summiert man die Gleichung (1.12) über |α| = m+ 1 und verwendet die Abschätzung (1.13), (1.14) und (1.15), so ergibt sich

X

|α|=m+1

τ² 2

d

dtk∇^αutk²₂+τ µ 2

d

dtk∇^α∇uk²₂+τk∇^αutk²₂− τ

8k∇^αutk²₂

≤c(Em(u) + 1)².

Summiert man die Gleichung (1.16) über |α| ≤ m+ 1 und verwendet die Abschätzung (1.17), (1.18) und (1.19) bzw. (1.20), so folgt

X

|α|≤m+1

ε₂τ d

dth∇^αu_t,∇^αui −ε₂τk∇^αu_tk²₂+ε₂µk∇^α∇uk²₂+ε₂ d dt

1

2k∇^αuk²₂− τ

4Nku_tk²_m+1,2

≤c(Em(u) + 1)². Addiert man diese vier Abschätzungen und fasst zusammen, so erhält man

d

dtEem(u) + X

|α|≤m

(1−¹₄ −ε2τ−^τ₄)k∇^αutk²₂+ X

|α|=m+1

(τ−^τ₈−ε2τ−^τ₄)k∇^αutk²₂ ≤c(Em(u) + 1)² und somit mit den Voraussetzungen anε₂ und τ

d

dtEem(u)≤c(Em(u) + 1)² ≤c Eem(u) + 12

.

1.1. Viskositätsgrenzwert in der Differentialgleichung

Integriert man nun in der Zeit von0 bist, so erhält man

Eem(u(t))≤Eem(u(0)) +

t

Z

0

c Eem(u(r)) + 12

dr

(1.4)

≤ 7

4E_m(u(0)) +

t

Z

0

c Ee_m(u(r)) + 12

dr.

Auf diese Ungleichung kann nun analog zu [Sch12, Abschnitt 3.1] das Lemma A.54 angewendet werden und man erhält für

h(t) := h0+ 1

1−tc(h0+ 1)−1 für t∈h 0,_c(h¹

0+1)

, mith₀:= ⁷₄E_m(u(0)) die Abschätzung

1

4E_m(u(t))≤Ee_m(u(t))≤h(t). (1.21) Das Existenzintervall vonhwird fürµ, τ →0größer. Setzt manδgleich dem Wert von ⁷₄Em(u(0)) für µ = 1 und τ = 1 und wählt T₁ mit 0 < T₁ < _c(δ+1)¹ , so kann man h als stetige Funktion h=h(t, τ, µ) : [0, T1]×[0,1]×[0,1]→R betrachten und erhält

sup

0≤t≤T1

h(t)≤C für µ, τ ∈[0,1].

und damit mit (1.21) die Behauptung des Satzes. Es bleibt zu zeigen, dassu^µ,τ für µ, τ ∈[0,1]

beliebig auf[0, T1] existiert. Dies folgt aber analog wie in [Sch12, Abschnitt 3.1], denn die eben gezeigte Beschränktheit der Lösung ermöglicht ein Fortsetzen der lokalen Lösung bis zuT₁. 1.1.2 Konvergenzbeweis für µ→0

Wie bereits erwähnt, soll der Viskositätsgrenzwert mit der Multiplikatormethode, angewendet auf eine Gleichung für die Differenzw:= u−v, behandelt werden. Die Gleichung für die Differenz w ergibt sich wie folgt (vgl. [Sch12, Abschnitt 3]). Zunächst differenziert man die Helmholtz- projizierte Euler-Gleichung (1.1) für v ∈L²_σ(Rⁿ) nach tund addiert nach Multiplikation mit τ die entstehende Gleichung zur ursprünglichen und erhält

τ v_tt+v_t=−P((v· ∇)v)−P((τ v_t· ∇)v)−P((τ v· ∇)v_t) v(0,·) =v0, vt(0,·) =−P((v0· ∇)v₀) =:v1

in(0, T)×Rⁿ,

inRⁿ. (1.22)

Der Anfangswert für v_t(0,·) ergibt sich als natürliche Kompatibilitätsbedingung aus (1.1), ob- gleich diese Bedingung, wie der Beweis zeigt, nicht notwendig ist. Subtrahiert man diese Glei- chung von der Helmholtz-projizierten hyperbolischen Navier-Stokes-Gleichung (1.2) für u ∈ L²_σ(Rⁿ), so ergibt sich für L²_σ(Rⁿ)3w:=u−v die Gleichung

τ w_tt+w_t−µ∆u=

6

X

j=1

M_j in(0, T)×Rⁿ, w(0,·) = 0, wt(0,·) = 0 inRⁿ.

(1.23)

11

Dabei sind die M_j bestimmt durch

−P(u· ∇)u+P(v· ∇)v=−P(u· ∇)(u−v)−P(u· ∇)v+P(v· ∇)v

=−P(u· ∇)(u−v)−P((u−v)· ∇)v=−P(u· ∇)w−P(w· ∇)v≡M₁+M₂, bzw.

−τ P(u_t· ∇)u−τ P(u· ∇)u_t+τ P(v_t· ∇)v+τ P(v· ∇)v_t

=−τ P(u_t· ∇)w−τ P(w_t· ∇)v−τ P(u· ∇)w_t−τ P(w· ∇)v_t

≡M3+M4+M5+M6.

Für m∈Nund v₀ ∈W^m+5,2(Rⁿ)∩L²_σ(Rⁿ)) besitzt die Gleichung (1.1) und damit auch (1.22) nach [Kat75, Abschnitt 14] eine Lösung

v∈C⁰ [0, T_v], W^m+5,2(Rⁿ)∩L²_σ(Rⁿ)

∩C¹ [0, T_v], W^m+3,2(Rⁿ)

∩C² [0, T_v], W^m+2,2(Rⁿ) . Definiert man die Energie

E_m(w) := X

|α|≤m

τ

2k∇^αw_tk²₂+ ε₂

2k∇^αwk²₂ +τ²

2 k∇^m+1w_tk²₂+ε₂

2k∇^m+1wk²₂, wobei0< ε₂< ¹₂ fest gewählt wird und das Lyapunov-Funktional

Eem(w) :=Em(w) +ε2τ X

|α|≤m+1

h∇^αwt,∇^αwi

und wählt wieder ohne Einschränkung µ, τ ≤1, so zeigt die gleiche Rechnung wie in (1.4), dass dieses Lyapunov-Funktional unabhängig vonµundτ äquivalent zur Energie ist. Damit lässt sich der folgende Satz formulieren.

Theorem 1.3 (Verhalten für µ→0)

Es gelte τ ∈ O(µ). Für m > ⁿ₂ und v0 ∈W^m+5,2(Rⁿ)∩L²_σ(Rⁿ) existiert ein T1 >0 so, dass sup

0≤t≤T1

E_m(w(t))≤cµ fürµ, τ ∈[0,1].

Beweis:

Ohne Einschränkung sei T1 ≤Tv.

Weiter sei für m∈Ndie Energie vonv durch E_m(v) := X

|α|≤m+1

k∇^αv_tk²₂+k∇^αvk²₂

definiert.

Ähnlich wie oben wird zunächst für µ, τ klein genug und R1, R2 >0 geeignet eine Abschätzung der Form

d

dtEem(u)≤c Em(u) +Em+1(v) + 1

Eem(w) +cτ R1+cµ²R2 (1.24)

1.1. Viskositätsgrenzwert in der Differentialgleichung

hergeleitet.

Zur besseren Übersicht wird das Argument (t) weggelassen. Sei |α| ≤ m. Wendet man ∇^α auf (1.23) an und multipliziert mit∇^αwt inL²(Rⁿ), so erhält man

τ 2

d

dtk∇^αwtk²₂+k∇^αwtk²₂ =hµ∇^α∆u,∇^αwti+

6

X

j=1

h∇^αMj,∇^αwti. (1.25) Wie oben erhält man

|h∇^αM1,∇^αwti| ≤c kuk_∞k∇^m∇wk₂+k∇wk_∞k∇^muk₂

k∇^αwtk₂

≤cE_m(u)E_m(w) +₁₂¹ k∇^αw_tk²₂. (1.26) Analog folgt

|h∇^αM₂,∇^αw_ti| ≤c kwk_∞k∇^m∇vk₂+k∇vk_∞k∇^mwk₂

k∇^αw_tk₂

≤cEm(v)Em(w) +₁₂¹ k∇^αwtk²₂. (1.27) Weiter gilt

|h∇^αM₃,∇^αw_ti| ≤cτ ku_tk_∞k∇^m∇wk₂+k∇wk_∞k∇^mu_tk₂

k∇^αw_tk₂

≤cτ ku_tk²_m,2k∇^m∇wk²₂+k∇wk²_m,2k∇^mutk²₂

+cτk∇^αwtk²₂

≤cE_m(u)E_m(w) +cE_m(w). (1.28)

Für|h∇^αM₄,∇^αw_ti| gilt die Abschätzung

|h∇^αM₄,∇^αw_ti| ≤cτ kw_tk_∞k∇^m∇vk₂+k∇vk_∞k∇^mw_tk₂

k∇^αw_tk₂

≤cEm(v)Em(w) +cEm(w). (1.29)

Weiter schätzt man ab

|h∇^αM5,∇^αwti| ≤cτ kuk_∞k∇^m∇w_tk₂+k∇w_tk_∞k∇^muk₂

k∇^αwtk₂

≤cτ² kuk²_m,2k∇^m∇w_tk²₂+k∇w_tk²_m,2k∇^muk²₂

+₁₂¹k∇^αw_tk²₂

≤cE_m(u)E_m(w) +₁₂¹ k∇^αw_tk²₂. (1.30) Der letzte Term|h∇^αM6,∇^αwti| wird abgeschätzt durch

|h∇^αM6,∇^αwti| ≤cτ kwk_∞k∇^m∇v_tk₂+k∇v_tk_∞k∇^mwk₂

k∇^αwtk₂

≤cEm(v)Em(w) +cEm(w). (1.31)

Die Skalarprodukte schätzt man ab durch

|hµ∇^α∆u,∇^αw_ti| ≤cµ²k∇^α∆uk²₂+₁₂¹k∇^αw_tk²₂ ≤cµ²E_m+1(u) +₁₂¹ k∇^αw_tk²₂. (1.32) Sei nun|α|=m+ 1. Wendet man∇^α auf (1.23) an und multipliziert mitτ∇^αw_t inL²(Rⁿ), so erhält man

τ² 2

d

dtk∇^αw_tk²₂+τk∇^αw_tk²₂ =τhµ∇^α∆u,∇^αw_ti+τ

6

X

j=1

h∇^αM_j,∇^αw_ti. (1.33)

13

Es ergibt sich

|τh∇^αM₁,∇^αw_ti|

≤cτ kuk_∞k∇^m+1∇wk₂+k∇wk_∞k∇^m+1uk₂

k∇^αwtk₂

≤cτkuk²_m,2k∇^m+1∇wk²₂+ τ

12k∇^αw_tk²₂+ck∇wk²_m,2k∇^m+1uk²₂+cτ²k∇^αw_tk²₂

≤cτ E_m(u) E_m+1(u) +E_m+1(v) + τ

12k∇^αw_tk²₂+cE_m(u)E_m(w) +cE_m(w). (1.34) Weiter gilt

|τh∇^αM2,∇^αwti| ≤cτ kwk_∞k∇^m+1∇vk₂+k∇vk_∞k∇^m+1wk₂

k∇^αwtk₂

≤c kwk²_m,2k∇^m+1∇vk²₂+k∇vk²_m,2k∇^m+1wk²₂

+cτ²k∇^αw_tk²₂

≤cEm+1(v)Em(w) +cEm(w). (1.35)

Außerdem schätzt man ab

|τh∇^αM3,∇^αwti| ≤cτ² ku_tk∞k∇^m+1∇wk₂+k∇wk∞k∇^m+1utk₂

k∇^αwtk₂

≤cτ² ku_tk²_m,2k∇^m+1∇wk²₂+k∇wk²_m,2k∇^m+1u_tk²₂

+cτ²k∇^αw_tk²₂

≤cτ Em(u) Em+1(u) +Em+1(v)

+cEm(u)Em(w) +cEm(w). (1.36) Für|τh∇^αM₄,∇^αw_ti|gilt die Abschätzung

|τh∇^αM₄,∇^αw_ti| ≤cτ² kw_tk∞k∇^m+1∇vk₂+k∇vk∞k∇^m+1w_tk₂

k∇^αw_tk₂

≤cτ² kw_tk²_m,2k∇^m+1∇vk²₂+k∇vk²_m,2k∇^m+1wtk²₂

+cτ²k∇^αwtk²₂

≤cEm+1(v)Em(w) +cEm(w). (1.37)

Beim Term|τh∇^αM5,∇^αwti|nimmt man die übliche Aufteilung vor und erhält

|τh∇^αM₅,∇^αw_ti| ≤cτ²k∇^α((u· ∇)w_t)−(u· ∇^α∇)w_tk₂k∇^αw_tk₂

≤cτ² k∇uk_∞k∇^m∇w_tk₂+k∇w_tk_∞k∇^m+1uk₂

k∇^αwtk₂

≤cτ² k∇uk²_m,2k∇^m∇w_tk²₂+k∇w_tk²_m,2k∇^m+1uk²₂

+cτ²k∇^αw_tk²₂

≤cEm(u)Em(w) +cEm(w). (1.38)

Der letzte Term |τh∇^αM₆,∇^αw_ti|wird durch

|τh∇^αM6,∇^αwti| ≤cτ² kwk∞k∇^m+1∇v_tk₂+k∇v_tk∞k∇^m+1wk₂

k∇^αwtk₂

≤cE_m+1(v)E_m(w) +cE_m(w) (1.39)

abgeschätzt. Die Skalarprodukte schätzt man ab durch

|τhµ∇^α∆u,∇^αw_ti| ≤cµ²k∇^α∆uk²₂+τ²k∇^αw_tk²₂ ≤cµ²E_m+2(u) +cE_m(w). (1.40) Nun wenden wir ∇^α für alle |α| ≤m+ 1auf (1.23) an und multiplizieren mit ε₂∇^αwinL²(Rⁿ) um einen Term _dt^dk∇^αwk²₂ zu erhalten. Es ergibt sich

ε₂τ d

dth∇^αw_t,∇^αwi −ε₂τk∇^αw_tk²₂+ε₂ d dt

1

2k∇^αwk²₂

=ε₂hµ∇^α∆u,∇^αwi+ε₂

6

X

j=1

h∇^αM_j,∇^αwi.

(1.41)