6.2 Dijkstras Algorithmus f¨ ur sssd

(1)

6.2 Dijkstras Algorithmus f¨ ur sssd

Gegeben sind ein (Di)Graph G = (V, E), ein Knoten s ∈ V und eine Gewichtsfunktion w : E → R ⁺ ∪ {∞}.

algorithm Dijkstra F :=V \{s }

for all v ∈ F do d [v ] := w (s ,v ) od co d [s ]=0 oc

while F 6=6 0 do

bestimme v ∈ F mit d [v ] minimal F :=F \{v }

for all w ∈ N (v ) do

d [w ] := min { d [w], d [v ]+w (v ,w ) } od

od end

Diskrete Strukturen 6.2 Dijkstras Algorithmus f¨ur sssd 527/566

c

Ernst W. Mayr

(2)

Satz 316

Dijkstras Algorithmus berechnet d(s, v) f¨ ur alle v ∈ V ; der Zeitaufwand ist O(n ² ), der Platzbedarf O(n + m).

Beweis:

Zeit- und Platzbedarf sind aus dem Algorithmus ersichtlich. Die Korrektheit zeigen wir mit einem Widerspruchsbeweis:

Annahme: v sei der erste Knoten, so dass d(s, v) falsch (d. h. zu groß) berechnet wird.

c

Ernst W. Mayr

(3)

Beweis (Forts.):

Diese Situation illustriert folgendes Bild:

Nach Annahme muss dann gelten:

d(w) + w(w, v) < d(s, v ⁰ ) + w(v ⁰ , v) = d(v) .

Damit w¨ are d(w) aber kleiner als d(v), und der Algorithmus h¨ atte w und nicht v gew¨ ahlt.

c

Ernst W. Mayr

(4)

Bemerkung:

Mit besseren Datenstrukturen (priority queues – z. B. Fibonacci heaps) kann Dijkstras Algorithmus so implementiert werden, dass er z. B. in Zeit O(m + n · log n) l¨ auft.

c

Ernst W. Mayr

(5)

7. Matchings

Definition 317

Sei G = (V, E) ein Graph.

1

M ⊆ E heißt Matching, falls alle Kanten in M paarweise disjunkt sind.

2

M heißt maximales Matching, falls es kein Matching M ⁰ in G gibt mit M ( M ⁰ .

3

M heißt Matching maximaler Kardinalit¨ at (aka Maximum Matching), falls es in G kein Matching M ⁰ mit |M ⁰ | > |M| gibt.

4

m(G) ist die Kardinalit¨ at eines Maximum Matchings in G.

c

Ernst W. Mayr

(6)

Beispiel 318

c

Ernst W. Mayr

(7)

7.1 Matchings in bipartiten Graphen Satz 319 (

” Heiratssatz“)

Sei G = (U, V, E) ein bipartiter Graph. Dann ist m(G) = |U | genau dann, wenn gilt:

(∀A ⊆ U )

|A| ≤ |N (A)|

Beweis:

” ⇒“

Offensichtlich.

Diskrete Strukturen 7.1 Matchings in bipartiten Graphen 533/566

c

Ernst W. Mayr

(8)

” ⇐“

Sei M ein Maximum Matching in G.

Annahme: Ein Knoten u = u ₀ ∈ U sei in M ungematcht.

Wir beginnen in u ₀ eine BFS, wobei wir in den ungeraden Schichten (also von U aus) nur ungematchte und in den geraden Schichten (also von V aus) nur gematchte Kanten verwenden. Querkanten bleiben außer Betracht.

Fall 1: Die BFS findet in V einen ungematchten Knoten v. Dann stoppen wir.

Fall 2: Nach Vollendung einer geraden Schicht (mit gematchten Kanten) sind alle Bl¨ atter des BFS-Baums gematcht. Seien U ⁰ (bzw. V ⁰ ) die Knoten des aktuellen BFS-Baums in U (bzw. V ). Gem¨ aß Annahme ist |U ⁰ | > |V ⁰ |, die alternierende BFS kann also fortgesetzt werden. Da G endlich ist, muss schließlich Fall 1 eintreten.

c

Ernst W. Mayr

(9)

Beweis (Forts.):

” ⇐“(Fortsetzung)

Also existiert per Konstruktion ein Pfad wie in folgender Abbildung:

Ein solcher Pfad, bei dem sich gematchte und ungematchte Kanten abwechseln, heißt alternierender Pfad. Sind, wie hier, Anfangs- und Endknoten ungematcht, heißt der Pfad auch augmentierend.

Vertauscht man auf diesem Pfad gematchte und ungematchte Kanten, erh¨ alt man dadurch ein Matching M ⁰ mit |M ⁰ | = |M | + 1, was wiederum einen Widerspruch darstellt:

c

Ernst W. Mayr

(10)

Definition 320

Man definiert f¨ ur einen bipartiten Graphen G = (U, V, E) die Kenngr¨ oße:

δ := δ(G) := max

A⊆U

|A| − |N (A)|

Da bei der Maximumsbildung auch A = ∅ sein kann, ist δ ≥ 0.

Satz 321 Es gilt:

m(G) = |U | − δ .

c

Ernst W. Mayr

(11)

Beweis:

Dass m(G) ≤ |U | − δ gilt, ist offensichtlich. Wir zeigen nun noch, dass auch m(G) ≥ |U | − δ gilt, damit ist der Satz bewiesen.

Betrachte folgenden Graphen:

Man f¨ ugt nun δ neue Knoten hinzu. Von diesen gehen Kanten zu allen Knoten in U , so dass ein K _|U|,δ entsteht.

c

Ernst W. Mayr

(12)

Beweis (Forts.):

Der neue Graph erf¨ ullt die Voraussetzungen des Heiratssatzes. Damit gibt es im neuen Graphen ein Matching M ⁰ mit |M ⁰ | = |U |. Daraus folgt, dass es im alten Graphen ein Matching der Kardinalit¨ at ≥ |U | − δ geben muss.

c

Ernst W. Mayr

(13)

Definition 322

D ⊆ U ] V heißt Tr¨ ager oder Knoten¨ uberdeckung (vertex cover, VC ) von G, wenn jede Kante in G zu mindestens einem u ∈ D inzident ist.

Beispiel 323

In den F¨ allen a, b und d sind Tr¨ ager gezeigt, in c nicht.

c

Ernst W. Mayr

(14)

Satz 324 Es gilt:

max

|M |; M Matching = min

|D|; D Tr¨ ager

c

Ernst W. Mayr

(15)

Beweis:

” ≤“ Offensichtlich.

” ≥“ F¨ ur ein geeignetes A ⊆ U gilt m(G) = |U | − δ(G) = |U \ A| + |N(A)|:

(U \ A) ∪ N (A) ist Tr¨ ager von G.

c

Ernst W. Mayr

(16)

Sei

M = m ij

1≤i≤n 1≤j≤n

eine (quadratische) Matrix mit m _ij ≥ 0. Alle Zeilen- und Spaltensummen von M seien gleich r > 0.

Man ordnet nun M den bipartiten Graphen G = (U, V, E) zu mit

U = {u

1

, . . . , u

_n

}, V = {v

1

, . . . , v

_n

} und {u

i

, v

_j

} ∈ E ⇔ m

_ij

6.2 Dijkstras Algorithmus f¨ ur sssd

6.2 Dijkstras Algorithmus f¨ ur sssd

Gegeben sind ein (Di)Graph G = (V, E), ein Knoten s ∈ V und eine Gewichtsfunktion w : E → R + ∪ {∞}.

algorithm Dijkstra F :=V \{s }

for all v ∈ F do d [v ] := w (s ,v ) od co d [s ]=0 oc

while F 6=6 0 do

bestimme v ∈ F mit d [v ] minimal F :=F \{v }

for all w ∈ N (v ) do

d [w ] := min { d [w], d [v ]+w (v ,w ) } od

od end

Satz 316

Dijkstras Algorithmus berechnet d(s, v) f¨ ur alle v ∈ V ; der Zeitaufwand ist O(n 2 ), der Platzbedarf O(n + m).

Beweis:

Zeit- und Platzbedarf sind aus dem Algorithmus ersichtlich. Die Korrektheit zeigen wir mit einem Widerspruchsbeweis:

Annahme: v sei der erste Knoten, so dass d(s, v) falsch (d. h. zu groß) berechnet wird.

Beweis (Forts.):

Diese Situation illustriert folgendes Bild:

Nach Annahme muss dann gelten:

d(w) + w(w, v) < d(s, v 0 ) + w(v 0 , v) = d(v) .

Damit w¨ are d(w) aber kleiner als d(v), und der Algorithmus h¨ atte w und nicht v gew¨ ahlt.

Bemerkung:

Mit besseren Datenstrukturen (priority queues – z. B. Fibonacci heaps) kann Dijkstras Algorithmus so implementiert werden, dass er z. B. in Zeit O(m + n · log n) l¨ auft.

7. Matchings

Definition 317

Sei G = (V, E) ein Graph.

M ⊆ E heißt Matching, falls alle Kanten in M paarweise disjunkt sind.

M heißt maximales Matching, falls es kein Matching M 0 in G gibt mit M ( M 0 .

M heißt Matching maximaler Kardinalit¨ at (aka Maximum Matching), falls es in G kein Matching M 0 mit |M 0 | > |M| gibt.

m(G) ist die Kardinalit¨ at eines Maximum Matchings in G.

Beispiel 318

7.1 Matchings in bipartiten Graphen Satz 319 (

” Heiratssatz“)

Sei G = (U, V, E) ein bipartiter Graph. Dann ist m(G) = |U | genau dann, wenn gilt:

(∀A ⊆ U )

|A| ≤ |N (A)|

Beweis:

” ⇒“

Offensichtlich.

” ⇐“

Sei M ein Maximum Matching in G.

Annahme: Ein Knoten u = u 0 ∈ U sei in M ungematcht.

Wir beginnen in u 0 eine BFS, wobei wir in den ungeraden Schichten (also von U aus) nur ungematchte und in den geraden Schichten (also von V aus) nur gematchte Kanten verwenden. Querkanten bleiben außer Betracht.

Fall 1: Die BFS findet in V einen ungematchten Knoten v. Dann stoppen wir.

Beweis (Forts.):

” ⇐“(Fortsetzung)

Also existiert per Konstruktion ein Pfad wie in folgender Abbildung:

Ein solcher Pfad, bei dem sich gematchte und ungematchte Kanten abwechseln, heißt alternierender Pfad. Sind, wie hier, Anfangs- und Endknoten ungematcht, heißt der Pfad auch augmentierend.

Vertauscht man auf diesem Pfad gematchte und ungematchte Kanten, erh¨ alt man dadurch ein Matching M 0 mit |M 0 | = |M | + 1, was wiederum einen Widerspruch darstellt:

Definition 320

Man definiert f¨ ur einen bipartiten Graphen G = (U, V, E) die Kenngr¨ oße:

δ := δ(G) := max

A⊆U

|A| − |N (A)|

Da bei der Maximumsbildung auch A = ∅ sein kann, ist δ ≥ 0.

Satz 321 Es gilt:

m(G) = |U | − δ .

Beweis:

Dass m(G) ≤ |U | − δ gilt, ist offensichtlich. Wir zeigen nun noch, dass auch m(G) ≥ |U | − δ gilt, damit ist der Satz bewiesen.

Betrachte folgenden Graphen:

Man f¨ ugt nun δ neue Knoten hinzu. Von diesen gehen Kanten zu allen Knoten in U , so dass ein K |U|,δ entsteht.

Beweis (Forts.):

Der neue Graph erf¨ ullt die Voraussetzungen des Heiratssatzes. Damit gibt es im neuen Graphen ein Matching M 0 mit |M 0 | = |U |. Daraus folgt, dass es im alten Graphen ein Matching der Kardinalit¨ at ≥ |U | − δ geben muss.

Definition 322

D ⊆ U ] V heißt Tr¨ ager oder Knoten¨ uberdeckung (vertex cover, VC ) von G, wenn jede Kante in G zu mindestens einem u ∈ D inzident ist.

Beispiel 323

In den F¨ allen a, b und d sind Tr¨ ager gezeigt, in c nicht.

Satz 324 Es gilt:

max

|M |; M Matching = min

|D|; D Tr¨ ager

Beweis:

” ≤“ Offensichtlich.

” ≥“ F¨ ur ein geeignetes A ⊆ U gilt m(G) = |U | − δ(G) = |U \ A| + |N(A)|:

(U \ A) ∪ N (A) ist Tr¨ ager von G.

Sei

M = m ij

1≤i≤n 1≤j≤n

eine (quadratische) Matrix mit m ij ≥ 0. Alle Zeilen- und Spaltensummen von M seien gleich r > 0.

Man ordnet nun M den bipartiten Graphen G = (U, V, E) zu mit

U = {u

Gegeben sind ein (Di)Graph G = (V, E), ein Knoten s ∈ V und eine Gewichtsfunktion w : E → R ⁺ ∪ {∞}.

Dijkstras Algorithmus berechnet d(s, v) f¨ ur alle v ∈ V ; der Zeitaufwand ist O(n ² ), der Platzbedarf O(n + m).

d(w) + w(w, v) < d(s, v ⁰ ) + w(v ⁰ , v) = d(v) .

M heißt maximales Matching, falls es kein Matching M ⁰ in G gibt mit M ( M ⁰ .

M heißt Matching maximaler Kardinalit¨ at (aka Maximum Matching), falls es in G kein Matching M ⁰ mit |M ⁰ | > |M| gibt.

Annahme: Ein Knoten u = u ₀ ∈ U sei in M ungematcht.

Wir beginnen in u ₀ eine BFS, wobei wir in den ungeraden Schichten (also von U aus) nur ungematchte und in den geraden Schichten (also von V aus) nur gematchte Kanten verwenden. Querkanten bleiben außer Betracht.

Vertauscht man auf diesem Pfad gematchte und ungematchte Kanten, erh¨ alt man dadurch ein Matching M ⁰ mit |M ⁰ | = |M | + 1, was wiederum einen Widerspruch darstellt:

Man f¨ ugt nun δ neue Knoten hinzu. Von diesen gehen Kanten zu allen Knoten in U , so dass ein K _|U|,δ entsteht.

Der neue Graph erf¨ ullt die Voraussetzungen des Heiratssatzes. Damit gibt es im neuen Graphen ein Matching M ⁰ mit |M ⁰ | = |U |. Daraus folgt, dass es im alten Graphen ein Matching der Kardinalit¨ at ≥ |U | − δ geben muss.

eine (quadratische) Matrix mit m _ij ≥ 0. Alle Zeilen- und Spaltensummen von M seien gleich r > 0.