Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt 9

Universit¨at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Grundlagen der Theoretischen Informatik SS 2020

Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt 9

Aufgabe 1. Geben Sie Kellerautomaten und kontextfreie Grammatiken an, die die folgenden Sprachen akzeptieren.

(a) {aⁿbⁿ |n ≥0}

(b) {w ∈ {a,b}^∗ |Die Anzahl der a’s und b’s ist gleich.}

(c) {a^mbⁿ |m,n ≥0, m 6=n}

(d) {w ∈ {a,b}^∗ |w =w^r}

L¨osung zu Aufgabe 1. Die Grammatiken, die im Folgenden angegeben sind, erf¨ullen zum Teil nicht dieε-Sonderregel und sind daher streng genom- men nicht kontextfrei im Sinne der Definition.

Zus¨atzliche Aufgabe: Modifizieren Sie die angegebenen Grammatiken so, dass die ε-Sonderregel erf¨ullt ist und die Grammatiken somit auch im strengeren Sinne kontextfrei sind.

(a) Grammatik

• G₁ = (V,Σ,P,S)

• V ={S}

• Σ ={a,b}

• P ={S →ε | aSb}

Kellerautomat

• M₁ = (Z,Σ,Γ, δ,z₀,#)

• Z ={z0,z1}

• Σ ={a,b}

δ : (z₀, ε,#) →(z₁, ε) (z₀,a,#)→(z₀,A#) (z₀,a,A)→(z₀,AA) (z₀,b,A)→(z₁, ε) (z₁,b,A)→(z₁, ε) (z1, ε,#) →(z1, ε)

Die einfache Idee hinter diesem Kellerautomaten ist, dass f¨ur jedes a im aⁿ Bereich einAauf den Keller gelegt wird, und f¨ur jedesb imbⁿ Bereich ein A vom Keller entfernt wird.

(b) Grammatik

• G₂ = (V,Σ,P,S)

• V ={S}

• Σ ={a,b}

• P ={S →ε | aSbS | bSaS}

Idee: Auf jedes a muss irgendwann ein zugeh¨origes b folgen und um- gekehrt. Davor und dahinter k¨onnen wir mit einem S das Wort weiter verl¨angern oder die Konstruktion durch die ε-Transition beenden.

Kellerautomat, Variante 1

• M₂ = (Z,Σ,Γ, δ,z₀,#)

• Z ={z₀}

• Σ ={a,b}

• Γ ={#,P,N}

Dabei istδ wie folgt definiert:

δ : (z₀, ε,#)→(z₀, ε) (z₀,a,#)→(z₀,P#) (z₀,b,#)→(z₀,N#) (z₀,a,P)→(z₀,PP) (z₀,b,P)→(z₀, ε) (z0,a,N)→(z0, ε) (z₀,b,N)→(z₀,NN)

Wir verwenden den Keller um die Differenz #_a(w)−#_b(w) zu speichern, wobei #_a(w) die Anzahl a’s im Wort w ist, #_b(w) die Anzahl an b’s.

Positive Werte werden durch eine Folge vonP’s codiert, negative Werte durch eine Folge vonN’s.

Enth¨alt das eingelesene Wort gleichviele a’s und b’s, ist der Keller am Ende leer.

Kellerautomat, Variante 2

• M₂ = (Z,Σ,Γ, δ,z₀,S)

• Z ={z₀}

• Σ ={a,b}

• Γ ={S,A,B}

Dabei istδ wie folgt definiert:

δ: (z0, ε,#)→(z0,S#) (z₀, ε,S)→(z₀,ASBS) (z₀, ε,S)→(z₀,BSAS)

wenn wieder ein S oben auf dem Keller liegt, mit Hilfe der beiden ε- Uberg¨¨ ange ((z₀, ε,S) → (z₀,ASBS), (z₀, ε,S) → (z₀,BSAS)) r¨at, wie das Wort in der Zukunft weiter geht und die entsprechenden Symbole auf den Keller packt. Anschließend werden mit den beiden ¨Uberg¨angen (z₀,a,A) → (z₀, ε) und (z₀,b,B) → (z₀, ε) die entsprechenden Symbole vom Keller entfernt.

(c) Grammatik

• G3 = (V,Σ,P,S)

• V ={S,A,B}

• Σ ={a,b}

• P ={S →aSb | A | B, A→aA |a, B →bB |b}

Uber die Regel¨ S →aSb erzeugen wir W¨orter mit gleich vielen a’s und b’s.

Die ¨Uberg¨ange S → A und S → B f¨ugen in der Mitte dann noch ein Wortaⁿ oderbⁿ mitn ≥1 ein, so dass am Ende entweder mehra’s oder mehrb’s erzeugt wurden.

Kellerautomat

• M₃ = (Z,Σ,Γ, δ,z₀,#)

• Z ={z0,z1,z2,z3,z4,z5}

• Σ ={a,b}

• Γ ={#,A,B}

Dabei istδ wie folgt definiert:

δ: (z₀,a,#)→(z₁,#) (1)

(z₁,a,#)→(z₁,#) (1) (z₁, ε,#)→(z₁, ε) (1) (z₀,b,#)→(z₂,#) (2) (z2,b,#)→(z2,#) (2/4) (z₂, ε,#)→(z₂, ε) (2/4) (z₀,a,#)→(z₃,A#) (3/4) (z₃,a,A)→(z₃,AA) (3/4) (z₃,b,A)→(s₀, ε) (3) (s₀,b,A)→(s₀, ε) (3) (s0, ε,A)→(s1, ε) (3) (s₁, ε,A)→(s₁, ε) (3) (s₁, ε,#)→(s₁, ε) (3) (z₃,b,A)→(q₀, ε) (4) (q₀,b,A)→(q₀, ε) (4) (q0,b,#)→(z2,#) (4)

Lassen Sie sich nicht abschrecken von den vielen Transitionen, denn das Prinzip ist einfacher als es aussieht. Wir unterscheiden nichtdeterminis- tisch 4 Typen von W¨ortern, die zur Sprache geh¨oren:

(1) aⁿ f¨ur n ≥1 (2) bⁿ f¨ur n ≥1

(3) a^mbⁿ mit m,n ≥1 und m >n (4) a^mbⁿ mit m,n ≥1 und m <n

schließend den Keller ohne weitere Buchstaben zu lesen. Beachten Sie, dass falls man den ε- ¨Ubergang anwendet bevor das Wort zu Ende ge- lesen wurde, so wird am Ende nicht akzeptiert, da im Zustands₁ keine weiteren Buchstaben gelesen werden.

Im Fall (4) wird ebenfalls f¨ur jedes b ein A vom Keller entfernt, aber anschließend wechselt man in den Zustand z₂, falls man das Kellerbo- densymbol # erreicht und ein b gelesen wird (und somit mehr b’s als a’s gelesen wurden). Im Zustand z₂ werden dann noch beliebig viele b’s gelesen bevor man das Kellerbodensymbol entfernt.

(d) Grammatik

• G4 = (V,Σ,P,S)

• V ={S}

• Σ ={a,b}

• P ={S →ε | a | b | aSa | bSb}

Kellerautomat

• M₄ = (Z,Σ,Γ, δ,z₀,#)

• Z ={z₀,z₁}

• Σ ={a,b}

• Γ ={#,A,B}

Dabei istδ wie folgt definiert:

δ: (z₀, ε,#)→(z₀, ε) (1)

(z₀,a,#)→(z₀,A#) (1) (z₀,b,#)→(z₀,B#) (1) (z₀,a,A)→(z₀,AA) (1) (z₀,b,A)→(z₀,BA) (1) (z0,a,B)→(z0,AB) (1) (z₀,b,B)→(z₀,BB) (1) (z₀, ε,A)→(z₁,A) (2) (z₀, ε,B)→(z₁,B) (2) (z₀,a,A)→(z₁,A) (2) (z₀,b,A)→(z₁,A) (2) (z0,a,B)→(z1,B) (2) (z₀,b,B)→(z₁,B) (2) (z₁,a,A)→(z₁, ε) (3) (z₁,b,B)→(z₁, ε) (3) (z₁, ε,#)→(z₁, ε) (3)

Falls w ∈ L, muss w = xx^r oder xmx^r aufgebaut sein mit x ∈ {a,b}^∗, m ∈ {a,b}.

In (1) wird das Wort in richtiger Reihenfolge auf den Stack gelegt und in (3) r¨uckw¨arts ausgelesen und mit dem Rest des Wortes verglichen.

Der ¨Ubergang, d.h. die Mitte des Wortes, wird mit (2) nicht-deterministisch geraten, mit einem ε- ¨Ubergang f¨ur den Fall w = xx^r und einem a/b- Ubergang f¨¨ ur den Fall w =xmx^r.

• Regul¨are Sprachen

• Kontextfreie Sprachen

• Endliche Sprachen

• Un¨are Sprachen (alle Sprachen Lmit L⊆ {a}^∗) L¨osung zu Aufgabe 2.

endliche Sprachen

regul¨are Sprachen

kontext- freie Sprachen

un¨are Sprachen

• endlich und un¨ar: {a}

• endlich und nicht un¨ar: {ab}

• regul¨ar, un¨ar und nicht endich: {aⁿ |n ∈N}

• regul¨ar, nicht un¨ar und nicht endlich: {abⁿ |n ∈N}

• un¨ar, nicht endlich, nicht kontextfrei: {a^p |p ist Primzahl}

• nicht un¨ar, nicht regul¨ar, kontextfrei:{aⁿbⁿ |n ∈N}

Hinweis: Jede kontextfreie, un¨are Sprache ist auch regul¨ar (siehe Vorlesung).