Pr ¨ufung ”Mathematik I und II“ Herbst 2003
Teil ”Systemanalyse“ 1. Vordiplom
f ¨ur die Departemente ERDW, AGRL und UMNW
25. September 2003
Vorname: Nachname: Legi-Nummer:
Bitte beachten Sie die folgenden Punkte:
(a) Tragen Sie auf dieses Blatt Ihren Namen und Ihre Legi-Nummer ein. Schreiben Sie auch auf jedes Ihrer L¨osungsbl¨atter Ihren Namen.
(b) Geben Sie am Ende der Pr ¨ufung auch dieses Blatt ab (Deckblatt). Geben Sie alle Aufgaben- bl¨atter ab, auf welchen Sie Aufzeichnungen gemacht haben.
(c) Die drei Aufgaben dieser Teilpr ¨ufung sind auf eine Pr ¨ufungszeit von 60 Minuten ausgelegt.
Die maximale Punktezahl dieser Teilpr ¨ufung ist 19. Das Ergebnis dieser Pr ¨ufung tr¨agt zu einem Drittel zur Gesamtnote der beiden Teilpr ¨ufungen bei.
(d) Beschriften Sie jedes abgegebene Blatt mit Ihrem Namen!
(e) Zur Pr ¨ufung zugelassene Hilfsmittel sind Vorlesungsunterlagen. Im Systemanalyseteil sind dies Vorlesungsnotizen, Skript und die ¨Ubungsaufgaben mit L¨osungen.
(f) Nicht zugelassen sind Taschenrechner. Einige Funktionswerte f ¨ur den nat ¨urlichen Logarithmus (
) und die Exponentialfunktion, welche eventuell von Hilfe sein k¨onnten finden Sie am Ende dieser Seite angegeben.
Viel Erfolg !
Nicht ausf ¨ullen!
Aufgabe 1 2 3 Summe
Punkte Kontrolle
Funktionswerte f ¨ur
und
:
"!#"$% "!%&' ()&*
+%,.-
#/
+%,10 23
+%,14
#%
+%,65
#87
+%,19
#/
+%,1:
#!
+%,<;
#
1
Aufgabe 1 (5 Punkte)
F ¨ur die Konzentration
=?>A@CBeines Stoffes in einem nat ¨urlichen System sei die folgende Modellglei- chung gegeben:
D =
D @ E F
>G=BIHKJ
Die Funktion
F
>G=B
ist durch die folgende Grafik festgelegt und
Jist eine Konstante.
0 6 12 18 24 30 36 42
-200 -100 0 100 200
u(C) [g h m ]
-1-3C [g m ]
-3C
1C
2C
3C
4C
5Ausgehend von den verschiedenen Anfangszust¨anden
=L>A@E B E = -
,
= 0. . .
= 9, welche in der obigen Grafik eingezeichnet sind, strebt der Zustand des Systems gegen unterschiedliche Endzust¨ande.
(a) Geben Sie die numerischen Werte der Endzust¨ande an, zu welchen
=?>A@CBf ¨ur
@NMPOin Abh¨angig- keit von den f ¨unf verschiedenen Anfangszust¨anden strebt. Betrachten Sie dabei die zwei F¨alle mit
(a.1)
JE
und (2.5 Punkte)
(a.2)
JE
)RQS
,.-6TU,14
. (2.5 Punkte)
Sie k¨onnen Ihre Ergebnisse auch in die folgende Tabelle eintragen.
=?>
B
=?>A@VMPOWB
in
XQ T ,14ZYf ¨ur
JE
=L>A@NM[OWB
in
XQ T ,14\Yf ¨ur
JE
)RQ S
,.-6TU,14
= -
= 0
= 4
= 5
=
Aufgabe 2 (7 Punkte)
Eine wegen ihrer nat ¨urlichen Umwelt besonders attraktive Region zieht Touristen an. Sie wollen den Zusammenhang zwischenTouristenpopulation
](
]gibt die Anzahl Touristen in 1000 und ist somit dimensionslos) und Umweltzustand
^(dimensionsloses Mass f ¨ur den Umweltzustand,
`_ ^ _a) modellieren. Der Wert
^E
steht f ¨ur eine sich selber ¨uberlassene intakte Umwelt, also ohne Touri- sten. Eine unwiederbringlich zerst¨orte Umwelt wird durch
^E
gekennzeichnet.
F ¨ur die Modellierung ber ¨ucksichtigen Sie ausschliesslich die folgenden Prozesse:
Prozess A: Die Attraktivit¨at der Region h¨angt von ihrem Umweltzustand
^ab und kann noch durch Werbung verst¨arkt werden. Dadurch wachse die Touristenpopulation
]gem¨ass einem linearen Prozess in
^mit der spezifischen Werbewirkunksrate
bc.
Prozess B: Die Touristenpopulation
]hat st¨andige Verluste durch abreisende Touristen zu verzeich- nen. Auch hierf ¨ur setzten Sie einen linearen Prozess mit der spezifischen Touristenverlu- strate
decan.
Prozess C: Ohne Touristen w ¨urde sich der Umweltzustand
^nach anf¨anglicher Beeintr¨achtigung erholen. Der Umweltzustand folgt dabei dem Prozess
D ^
D @ E f > ^B^ >
hgQijlkCij\m\S
+
jlnKomZS6jlkCp
T
Brq
mit der spezifischen Regenerationsrate
f c.
Prozess D: Wegen der Touristenpopulation
]wird der Umweltzustand
^negativ beeintr¨achtigt.
Diese Beeintr¨achtigung h¨angt auch vom Umweltzustand selber ab. Dieser Prozess sei proportional zu
]tsu^und zur spezifischen Belastungsrate
vc.
(a) Stellen Sie die Bilanzgleichungen f ¨ur
]und
^auf. (2 Punkte) (b) In welche Richtung im zweidimensionalen Zustandsraum ¨andert sich der Zustand unmittelbar
an den folgenden Anfangszust¨anden:
(b.1)
]E
und
^E
(b.2)
]wcund
^E
Beantworten Sie diese Frage grafisch (qualitativ) indem Sie zuerst mit einem Punkt den An- fangszustand im zwei-dimensionalen Zustandsraum markieren. Ausgehend von diesem zeich- nen Sie dann einen (kurzen) Pfeil der die gesuchte Richtung anzeigt. (Tip: Die L¨osung folgt
direkt aus den Bilanzgleichungen.) (1 Punkt)
(c) Welchen nicht trivialen Fixpunkt haben die Bilanzgleichungen? (1 Punkt) (d) Charakterisieren Sie den nicht trivialen Fixpunkt mit Hilfe der Jakobi Matrix f ¨ur
vE f E d E
b E
yxnzgmZS
+
(hier haben die Raten erster und zweiter Ordnung c, d, v und w dieselbe Dimen-
sion, da sowohl
]und
^dimensionslos sind). Geben Sie also an, ob es sich beim nicht trivialen
Fixpunkt z.B. um ein Zentrum, einen stabilen/instabilen Stern usw. handelt. (3 Punkte)
Aufgabe 3 (7 Punkte)
Ein See mit dem zeitlich konstanten Volumen
{ -und Wasser-Durchfluss
|habe einen Zufluss und einen Abfluss. Im Zufluss wird ab dem Zeitpunkt
@E
ein Schadstoff mit der Konzentration
=}~eingeleitet. Bis zu diesem Zeitpunkt war der See frei von diesem Schadstoff. Der Schadstoff werde im See gem¨ass einer linearen Reaktion mit der Halbwertszeit
-0abgebaut.
(a) Geben Sie formale Antworten zu den folgenden Punkten: (3 Punkte) (a.1) Zeichnen Sie ein Boxschema, welches dieses System charakterisiert.
(a.2) Stellen Sie die Bilanzgleichung f ¨ur die Konzentration
= - >A@CBim See auf.
(a.3) Welchen Wert erreicht
= - >A@lBf ¨ur
@VMPO? (a.4) Nach welcher Zeit (gemessen von
@E
) hat C(t) diesen Wert zu 95% erreicht?
(a.5) Geben Sie die L¨osung f ¨ur den zeitlichen Konzentrationsverlauf
= - >A@lBan.
Der Abfluss des ersten Sees m ¨undet in einen zweiten See mit dem zeitlich konstanten Volumen
{ 0. Auch dieser hat nur einen Zufluss und einen Abfluss, und auch in diesem See wird der Schadstoff gem¨ass einer linearen Reaktion mit der Halbwertszeit
-0abgebaut.
(b) Geben Sie formale Antworten zu den folgenden Punkten: (2 Punkte) (b.1) Zeichnen Sie ein Boxschema, welches dieses Zwei-Seen-System charakterisiert.
(b.2) Stellen Sie die Systemgleichungen f ¨ur die Konzentrationen
= - >A@CBund
= 0 >A@CBin den beiden Seen auf.
(b.3) Welchen Wert erreicht
= 0 >A@lBf ¨ur
@VMPO?
Es seien die folgenden numerischen Werte gegeben:
{ - E s )
T 4 | E
)
T 4 o ,.-
-0
E
Ro
{ 0 E
!
s
)
T 4 = }~
E
NQ
T ,14
