Vorlesung 8 Roter Faden:

Vorlesung 8

Roter Faden:

1. Entstehung der Galaxien-> Materie nur 30% der Gesamtenergie

2. Galaxienstruktur-> m

< 0.23 eV

Literatur: Modern Cosmology, Scott Dodelson

Introduction to Cosmology, Barbara Ryden (SEHR gut)

Evolution of the universe

 T / T

 

SLOAN DIGITAL SKY SURVEY (SDSS) Few Gpc.

Present distribution of matter

Present distribution of matter

Dichtefluktuationen in Galaxienverteilung und Temp.flukt. In CMB haben gleichen Ursprung

1 2

( )r ( ) ( )r r

     

• Autokorrelationsfunktion C(θ)=<ΔΘ(n1)∙ΔΘ(n2)>|

=(4π)^-1 Σ (2l+1)ClPl(cosθ)

• Pl sind die

Legendrepolynome:

• da CMB auf Kugelfläche

Dichteflukt. innerhalb Kugel

statt Kugelfläche-> Entwicklung nach

Abständen  im Raum oder Wellenvektor k=2/

CMB Large scale structure

Terminology

• We want to quantify the Power

• On different scales

– either as l (scale-length) or k (wave number)





   ^

• Fluctuations field

• Fourier Transform of density field





k

 e



• Power Spectrum ^P   ^{k  }

Measures the power of fluctuations on a given scale k

• Dichtefluktuationen mit ~ 10^-4 wachsen erst nachdem Materie Potential bestimmt und wenn sie im kausalen Kontakt sind (“innerhalb des Horizonts sind”). Vorher eingefroren.

• Kleine Skalen (größere k) eher im Horizont, mehr Zeit zum Wachsen, d.h. mehr Power. Oder P  kⁿ n= powerindex.

  ^k

^k

P  



 1 n

Harrison-Zeldovich

Harrison-Zeldovich Spektrum

 k

Data: n=0.960.02

t<t

eq

keq (ρ_Str= ρ_M )

Warum entspricht n=1 skalenfreies Spektrum?

(Harrison-Zeldovich Spektrun)

Skalenfrei bedeutet alle Längen haben gleich viel power.

Betrachte Kugel mit Radius L und Überdichte M- oder

Potentialfluktuation  = G M/L  M /M^1/3  M / (MM^-2/3) Es gilt: M /M = M ^–(3+n)/6

Daher:   (M / (M M^-2/3 ) M ^(1-n)/6

D.h. n=1 ist einziger Wert, wobei Potentialfluktuation nicht divergiert für kleine oder große Massen (oder

Kugel der Skale L-> skalenfrei)

Erwartet nach Inflation-> alle Skalen gleich stark vergrößert (Beweis folgt)

M /M = M ^–(3+n)/6

Beweis: nehme an das Dichtefluktuationen nach einer Gaußglocke mit Standardabweichung  verteilt sind.

²= V/(2)³  P(k) d³k= V/(2)³  kⁿ k²dkd=  k⁽³⁺ⁿ⁾ P(k) = kⁿ

 ² =(M /M)²  k⁽³⁺ⁿ⁾

=(M /M)  k^(3+n)/2  L^-(3+n)/2  M^-(3+n)/6

Fouriertransformierte einer Gauss-Fkt= Gauss-Fkt

mit gleicher Varianz, d.h. im Raum der Dichteflukt. gilt auch:

M=4/3 L³ ε/c²

Zeitpunkt und Skale wo _str und _m gleich sind

_m=_str bei z=3570

Beweis: _m=_m0(1+z)³ : _str= _tr0(1+z)⁴

: _m0=0.3 _crit

: _str0=8.4 10^-5 _crit(aus CMB)

: _str/_m=2.8 10^-4 (1+z) =1 für z=1/(2.8 10^-4 )=3570 oder t=47.000 a (St^2/31/(1+z)) Hubble Abstand = Abstand für kausalen Kontakt zum Zeitpunkt d=c/H(teq)=0,026 Mpc

(H aus: H²(z)/H₀²=_st0(1+z)⁴+ _m0(1+z)³ ) Bei teq: k=2/(d(1+z))=

(korrigiert für  , siehe Plots in Buch: Modern Cosmology, Scott Dodelson)

Kombinierte Korr. der CMB und Dichteflukt.

Max. wenn

ρ_Str= ρ_M bei t=t_eq

oder k=k_eq =2/d mit d= c/H(t_eq )= Hubble Abstand = Abstand mit kausalem Kontakt.

Für t<t_eq oder k>k_eq kein Anwachsen, wegen

Strahlungsdruck und free-streaming von Neutrinos

d=350/h Mpc entspricht Ω_M=0.3 für m_=0

Lyman-α Absorptionslinien zeigen DF als Fkt. von z

Fluctuations in forest trace fluctuations in density

Gnedin & Hui, 1997

Flux

Baryon Density

Position along line of Sight

Kombination aller Daten

Was machen relativistische Teilchen?

Relativistisch, wenn mc²<<E_kin (E²=E_kin+m²c⁴)

Ekin 3kT 1 eVt=10⁵ a, so neutrinos mit m<0.23 eV bleiben lange relativistisch -> HOT DM

Diese Teilchen bewegen sich mit

Lichtgeschwindigkeit und wechselwirken NUR schwach mit andere Materie

-> free streaming -> reduziert /

innerhalb des Hubble Horizonts ct=c/H ->

reduziert Power bei kleinen Skalen (große k), auch nach t_eq, wenn / anfängt zu wachsen durch Gravitation.

Für CDM und ≤ct_eq Power reduziert durch Photonen. Bei HDM zusätzliche Reduktion durch free streaming der relativ. Neutrinos.

P

k Pk

CDM HD

M

≤ct_eq

≥ct_eq

Powerspektrum bei kleinen Skalen empfindlich für Neutrinomasse!

Neutrino Masse < 0.23 eV (alle ν’s gleiche Massen, 95% C.L.)

Strukturbildung: zuerst lineares Anwachsen, dann Gravitationskollaps, wenn /  1

Galaxien: 10¹¹ Solarmassen, 10 kpc

Galaxiencluster: 10¹² – 10¹³ Sol.m., 10 Mpc, Supercluster: 10¹⁴ -10¹⁵ Sol.m., 100 Mpc.

Idee: Struktur entstand aus Dichtefluktuationen (DF) im

frühen Univ., die durch Gravitation anwachsen, nachdem die Materiedichte überwiegt (nach ca. 47000 y, z=3600) Wenn die JEANS-Grenze erreicht ist, (/  1), folgt nicht-linearer Gravitationskollaps zu Sternen und später Galaxien, Cluster, und Supercluster.

Betrachte Kugel mit Radius R mit Überdichte <>+=<>(1+) und Masse M (mittlere Dichte <> und = - <>/ <>).

Beschleunigung R`` für Masse m auf der Kugelfläche:

R``=-GM/R² = -4/3 G <>(1+ )R (1)

Anwachsen der DF bestimmt durch Meszaros Gl.

Massenerhaltung beim Anwachsen: M=4/3 <>(1+ )R³ oder R(t)=S(t)(1+)^-1/3 (<>=M/ 4/3 S³) (2)

Zweite Ableitung nach der Zeit:

R``/R= S``/S- ``/3 -2S` `/3S = S``/S - ``/3 -2H `/3 (3)

(1)=(3) ergibt mit (2) S``/S - ``/3 -2H `/3 = -4/3 G <>(1+ )S (4) Für =0: S``/S = -4/3 G <> (5)

(5) in (4): `` + 2H ` = 4 G <> (Meszaros Gl.) Term  ` ist “Reibungsterm” der Hubble Expansion

Lösungen der Meszaros Gl.:  = a t^2/3

`` + 2H ` = 4 G <> oder mit relativ. Verallgemeinerung:

_m=<>c² und _m=8G _m /3c²H²

`` + 2H ` - 3_m H² /2=0

Strahlungs dominiert: St^1/2 oder H=2/t und _m =0: `` + ` /t=0 Lösung:  = a + b ln t (nur logarithmisches Anwachsen)

Materiedominiert: St^2/3 oder H=2/3t : `` + 4` /3t -2  /3t²=0 Lösungsansatz:  = a tⁿ

Einsetzen: n(n-1)a t^n-2 + 4n/3at^n-2 -2/3a t^n-2=0 oder n(n-1) + 4n/3-2/3=0 Lösung: n=-1 oder n=2/3

oder :  = a t^2/3 + bt^-1 , d.h. 2 Moden: anwachsend mit t^2/3 und

abfallend mit 1/t. Nach einiger Zeit dominiert anwachsender Mode Wenn  = 1 erreicht wird: keine lineare Entwicklung mehr, sondern

Kriterium für Gravitationskollaps:

Jeans Masse und Jeans Länge

Gravitationskollaps einer Dichtefluktuation, wenn Expansionsrate 1/t_Exp  H  G langsamer als die Kontraktionsrate 1/t_Kon  v_S / λ_J ist.

Oder die Jeanslänge (nach Jeans), d.h. die Länge einer Dichtefluktuation, die unter Einfluß der Gravitation wachsen kann, ist von der Größenordnung λ_J = v_s/ G (v_S ist Schallgeschwindigkeit)

(exakte hydrodynamische Rechnung gibt noch Faktor  größeren Wert)

Nur in Volumen mit Radius λ_J /2 Gravitationskollaps. Dies entspricht eine Jeansmasse von

M_J = 4/3 (λ_J/2)³  = (^5/2 v_s³ ) / (6G^3/2)

Die Schallgeschwindigkeit fällt a)für DM wenn die

Strahlungsdichte nicht mehr dominiert und

b) für Baryonen nach der Rekombination um viele

Größendordnungen (von c/3 für ein relat. Plasma auf 5T/3m_p für Wasserstoff)

D.h. DF die vor Rekombination stabil waren, kollabieren durch Gravitation.

Galaxienbildung in viel kleineren Bereichen möglich, wenn v_S klein!

Abfall der Schallgeschwindigkeit nach t_r

wenn Photonkoppelung wegfällt

Große Jeanslänge

(relativistische Materie, Z.B.

Neutrinos mit kleiner Masse)

Little power on small scales (large k) Kleine Jeanslänge

(non-relativistische Materie, Z.B.

Neutralinos der Supersymmetrie) More power on small scales (large k)

Top-down versus Bottom-up

HDM (relativistisch  v_S =c/3) versus CDM

Oder für gemischte DM Szenarien …

Colombi, Dodelson, & Widrow 1995

Structure is smoothed out in model with light neutrinos

CDM WarmDM C+HDM

Strukturbildung aus Dichtefluktuationen: wachsen zuerst t^2/3, dann Gravitationskollaps, wenn Jeans-Masse erreicht ist.

Maximum des Powerspektrums gegeben durch Zeitpunkt, wo Materie und Strahlung gleiche Dichte haben. -> _m=0,3

Hot Dark Matter (HDM) bildet zuerst große Strukturen, weil Jeanslänge  v_S sehr groß (top down Szenario)

Cold Dark Matter (CDM) bildet zuerst kleine Strukturen, weil Jeanslänge  v_S sehr klein (bottom up Szenario)

Kombination der Powerspektren von CMB und

Galaxienverteilungen zeigt, dass HDM Dichte gering ist  Neutrino Masse < 0.23 eV (alle ν’s gleiche Massen, 95% C.L.)

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