Deklarative (= fortgeschrittene) Programmierung Vorlesung WS 09,10; SS 12–14, 16

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Deklarative

(= fortgeschrittene) Programmierung

Vorlesung

WS 09,10; SS 12–14, 16

Johannes Waldmann, HTWK Leipzig 13. Juli 2016

Johannes Waldmann, HTWK Leipzig Deklarative (= fortgeschrittene) Programmierung Vorlesung WS 09,10; SS 12–14, 1613. Juli 2016 1 / 209

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Einleitung

Formen der deklarativen Programmierung

I funktionale Programmierung:

foldr (+) 0 [1,2,3]

foldr f z l = case l of

[] -> z ; (x:xs) -> f x (foldr f z xs)

I logische Programmierung:

append(A,B,[1,2,3]).

append([],YS,YS).

append([X|XS],YS,[X|ZS]):-append(XS,YS,ZS).

I Constraint-Programmierung

(set-logic QF_LIA) (set-option :produce-models true) (declare-fun a () Int) (declare-fun b () Int)

(assert (and (>= a 5) (<= b 30) (= (+ a b) 20))) (check-sat) (get-value (a b))

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Einleitung

Definition

deklarativ: jedes (Teil-)Programm/Ausdruck hat einen Wert

(. . . und keine weitere (versteckte) Wirkung).

Werte k ¨onnen sein:

I “klassische” Daten (Zahlen, Listen, B ¨aume. . . )

I Funktionen (Sinus, . . . )

I Aktionen (Datei schreiben, . . . )

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Einleitung

Softwaretechnische Vorteile

. . . der deklarativen Programmierung

I Beweisbarkeit: Rechnen mit Programmen wie in der Mathematik mit Termen

I Sicherheit: es gibt keine Nebenwirkungen und Wirkungen sieht man bereits am Typ

I Wiederverwendbarkeit: durch Entwurfsmuster (= Funktionen h ¨oherer Ordnung)

I Effizienz: durch Programmtransformationen im Compiler,

I Parallelisierbarkeit: durch Nebenwirkungsfreiheit

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Einleitung

Beispiel Spezifikation/Test

import Test.SmallCheck

append :: forall t . [t] -> [t] -> [t]

append x y = case x of [] -> y

h : t -> h : append t y associative f =

\ x y z -> f x (f y z) == f (f x y) z test1 = smallCheckI

(associative (append::[Int]->[Int]->[Int])) Ubung: Kommutativit ¨at (formulieren und testen)¨

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Einleitung

Beispiel Verifikation

app :: forall t . [t] -> [t] -> [t]

app x y = case x of [] -> y

h : t -> h : app t y Beweise

app x (app y z) == app (app x y) z Beweismethode: Induktion nach x.

I Induktionsanfang: x == [] . . .

I Induktionsschritt: x == h : t . . .

(7)

Einleitung

Beispiel Parallelisierung (Haskell)

Klassische Implementierung von Mergesort sort :: Ord a => [a] -> [a]

sort [] = [] ; sort [x] = [x]

sort xs = let ( left,right ) = split xs sleft = sort left

sright = sort right in merge sleft sright wird parallelisiert durch Annotationen:

sleft = sort left

‘using‘ rpar ‘dot‘ spineList sright = sort right ‘using‘ spineList vgl. http://thread.gmane.org/gmane.comp.

lang.haskell.parallel/181/focus=202

(8)

Einleitung

Beispiel Parallelisierung (C#, PLINQ)

I Die Anzahl der 1-Bits einer nichtnegativen Zahl:

Func<int,int>f =

x=>{int s=0; while(x>0){s+=x%2;x/=2;}return s;}

I

2²⁶−1

X

x=0

f(x)

Enumerable.Range(0,1<<26).Select(f).Sum()

I automatische parallele Auswertung, Laufzeitvergleich:

Time(()=>Enumerable.Range(0,1<<26).Select(f).Sum()) Time(()=>Enumerable.Range(0,1<<26).AsParallel()

.Select(f).Sum())

vgl. Introduction to PLINQ

https://msdn.microsoft.com/en-us/

library/dd997425(v=vs.110).aspx

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Einleitung

Softwaretechnische Vorteile

. . . der statischen Typisierung

The language in which you write profoundly affects the design of programs written in that language.

For example, in the OO world, many people use UML to sketch a design. In Haskell or ML, one writes type signatures instead.

Much of the initial design phase of a

functional program consists of writing type definitions.

Unlike UML, though, all this design is incorporated in the final product, and is machine-checked throughout.

Simon Peyton Jones, in: Masterminds of Programing, 2009; ^http:

//shop.oreilly.com/product/9780596515171.do

(10)

Einleitung

Deklarative Programmierung in der Lehre

I funktionale Programmierung: diese Vorlesung

I logische Programmierung: in Angew. K ¨unstl.

Intell.

I Constraint-Programmierung: als Master-Wahlfach

Beziehungen zu weiteren LV: Voraussetzungen

I B ¨aume, Terme (Alg.+DS, Grundlagen Theor.

Inf.)

I Logik (Grundlagen TI, Softwaretechnik) Anwendungen:

I Softwarepraktikum

I weitere Sprachkonzepte in Prinzipien v.

Programmiersprachen

I Programmverifikation (vorw. f. imperative Programme)

(11)

Einleitung

Konzepte und Sprachen

Funktionale Programmierung ist ein Konzept.

Realisierungen:

I in prozeduralen Sprachen:

I Unterprogramme als Argumente (in Pascal)

I Funktionszeiger (in C)

I in OO-Sprachen: Befehlsobjekte

I Multi-Paradigmen-Sprachen:

I Lambda-Ausdr ¨ucke in C#, Scala, Clojure

I funktionale Programmiersprachen (LISP, ML, Haskell)

Die Erkenntnisse sind sprachunabh ¨angig.

I A good programmer can write LISP in any language.

I Learn Haskell and become a better Java programmer.

(12)

Einleitung

Gliederung der Vorlesung

I Terme, Termersetzungssysteme algebraische Datentypen, Pattern Matching, Persistenz

I Funktionen (polymorph, h ¨oherer Ordnung), Lambda-Kalk ¨ul, Rekursionsmuster

I Typklassen zur Steuerung der Polymorphie

I Bedarfsauswertung, unendl. Datenstrukturen (Iterator-Muster)

I weitere Entwurfsmuster

I Code-Qualit ¨at, Code-Smells, Refactoring

(13)

Einleitung

Softwaretechnische Aspekte

I algebraische Datentypen, Pattern Matching, Termersetzungssysteme

Scale: case class, Java: Entwurfsmuster Kompositum,

immutable objects, das Datenmodell von Git

I Funktionen (h ¨oherer Ordnung), Lambda-Kalk ¨ul, Rekursionsmuster

Lambda-Ausdr ¨ucke in C#, Entwurfsmuster Besucher

Codequalit ¨at, code smells, Refaktorisierung

I Typklassen zur Steuerung der Polymorphie

Interfaces in Java/C# , automatische Testfallgenerierung

I Bedarfsauswertung, unendl. Datenstrukturen

Iteratoren, Str ¨ome, LINQ

(14)

Einleitung

Organisation der LV

I jede Woche eine Vorlesung, eine ¨Ubung

I Hausaufgaben (teilw. autotool)

https://autotool.imn.htwk-leipzig.

de/shib/cgi-bin/Super.cgi

Identifizierung und Authentifizierung ¨uber Shibboleth-IDP des HTWK-Rechenzentrums, wie bei OPAL

I Pr ¨ufungszulassung: regelm ¨aßiges (d.h.

innerhalb der jeweiligen Deadline) und erfolgreiches (ingesamt ≥ 50%der Pflichtaufgaben) Bearbeiten von Ubungsaufgaben.¨

I Pr ¨ufung: Klausur (ohne Hilfsmittel)

(15)

Einleitung

Literatur

I Skripte:

I aktuelles Semester http://www.imn.

htwk-leipzig.de/˜waldmann/lehre.html

I vorige Semester

http://www.imn.htwk-leipzig.de/

˜waldmann/lehre-alt.html

I Entwurfsmuster:

http://www.imn.htwk-leipzig.de/

˜waldmann/draft/pub/hal4/emu/

I Maurice Naftalin und Phil Wadler: Java Generics and Collections, O’Reilly 2006

I http://haskell.org/ (Sprache, Werkzeuge, Tutorials),

http://book.realworldhaskell.org/

(16)

Einleitung

Ubungen ¨

I im Pool Z430, vgl. http://www.imn.

htwk-leipzig.de/˜waldmann/etc/pool/

I Beispiele f. deklarative Programmierung

I funktional: Haskell mit ghci,

I logisch: Prolog mit swipl,

I constraint: mit mathsat, z3

I Haskell-Entwicklungswerkzeuge

I (eclipsefp, leksah, . . . ,http://xkcd.org/378/)

I API-Suchmaschine

http://www.haskell.org/hoogle/

I Commercial Uses of Functional Programming http://www.syslog.cl.cam.ac.uk/

2013/09/22/liveblogging-cufp-2013/

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Daten

Wiederholung: Terme

I (Pr ¨adikatenlogik) Signatur Σ ist Menge von Funktionssymbolen mit Stelligkeiten

ein Term t in Signatur Σ ist

I Funktionssymbolf ∈Σder Stelligkeitk

mit Argumenten(t1, . . . ,tk), die selbst Terme sind.

Term(Σ) = Menge der Terme ¨uber Signatur Σ

I (Graphentheorie) ein Term ist ein

gerichteter, geordneter, markierter Baum

I (Datenstrukturen)

I Funktionssymbol=Konstruktor, Term=Baum

(18)

Daten

Beispiele: Signatur, Terme

I Signatur: Σ₁ = {Z/0,S/1,f/2}

I Elemente von Term(Σ₁):

Z(), S(S(Z())), f(S(S(Z())),Z())

I Signatur: Σ₂ = {E/0,A/1,B/1}

I Elemente von Term(Σ₂): . . .

(19)

Daten

Algebraische Datentypen

data Foo = Foo { bar :: Int, baz :: String } deriving Show

Bezeichnungen (benannte Notation)

I data Foo ist Typname

I Foo { .. } ist Konstruktor

I bar, baz sind Komponenten x :: Foo

x = Foo { bar = 3, baz = "hal" } Bezeichnungen (positionelle Notation)

data Foo = Foo Int String y = Foo 3 "bar"

(20)

Daten

Datentyp mit mehreren Konstruktoren

Beispiel (selbst definiert)

data T = A { foo :: Int }

| B { bar :: String, baz :: Bool } deriving Show

Bespiele (in Prelude vordefiniert) data Bool = False | True

data Ordering = LT | EQ | GT

(21)

Daten

Mehrsortige Signaturen

I (bisher) einsortige Signatur

Abbildung von Funktionssymbol nach Stelligkeit

I (neu) mehrsortige Signatur

I Menge von SortensymbolenS ={S1, . . .}

I Abb. von F.-Symbol nach Typ

I Typist Element ausS^∗ ×S

Folge der Argument-Sorten, Resultat-Sorte

Bsp.: S = {Z,B},Σ ={0 7→([],Z),p 7→ ([Z,Z],Z), e 7→ ([Z,Z],B),a 7→ ([B,B],B)}.

I Term(Σ): konkrete Beispiele, allgemeine Definition?

(22)

Daten

Rekursive Datentypen

data Tree = Leaf {}

| Branch { left :: Tree , right :: Tree } Ubung: Objekte dieses Typs erzeugen¨ (benannte und positionelle Notation der Konstruktoren)

(23)

Daten

Daten mit Baum-Struktur

I mathematisches Modell: Term ¨uber Signatur

I programmiersprachliche Bezeichnung:

algebraischer Datentyp (die Konstruktoren bilden eine Algebra)

I praktische Anwendungen:

I Formel-B ¨aume (in Aussagen- und Pr ¨adikatenlogik)

I Suchb ¨aume (in VL Algorithmen und

Datenstrukturen, injava.util.TreeSet<E>)

I DOM (Document Object Model) https://www.w3.org/DOM/DOMTR

I JSON (Javascript Object Notation) z.B. f ¨ur AJAX http://www.ecma-international.org/

publications/standards/Ecma-404.htm

(24)

Daten

Bezeichnungen f ¨ur Teilterme

I Position: Folge von nat ¨urlichen Zahlen

(bezeichnet einen Pfad von der Wurzel zu einem Knoten)

Beispiel: f ¨ur t = S(f(S(S(Z())),Z())) ist [0,1] eine Position in t.

I Pos(t) = die Menge der Positionen eines Terms t

Definition: wenn t = f(t₁, . . . ,t_k),

dann Pos(t) = {[]} ∪ {[i −1]++p | 1 ≤i ≤ k ∧p ∈ Pos(t_i)}.

dabei bezeichnen:

I [] die leere Folge,

I [i] die Folge der L ¨ange 1 mit Element i,

I ++ den Verkettungsoperator f ¨ur Folgen

(25)

Daten

Operationen mit (Teil)Termen

I t[p] = der Teilterm von t an Position p Beispiel: S(f(S(S(Z())),Z()))[0,1] = . . .

Definition (durch Induktion ¨uber die L ¨ange von p): . . .

I t[p := s] : wie t, aber mit Terms an Position p Beispiel:

S(f(S(S(Z())),Z()))[[0,1] := S(Z)]x = . . . Definition (durch Induktion ¨uber die L ¨ange von p): . . .

(26)

Daten

Operationen mit Variablen in Termen

I Term(Σ,V) = Menge der Terme ¨uber Signatur Σ mit Variablen aus V

Beispiel: Σ ={Z/0,S/1,f/2},V = {y}, f(Z(),y) ∈ Term(Σ,V).

I Substitution σ: partielle Abbildung V → Term(Σ) Beispiel: σ₁ = {(y,S(Z()))}

I eine Substitution auf einen Term anwenden: tσ:

Intuition: wie t, aber stattv immer σ(v) Beispiel: f(Z(),y)σ₁ = f(Z(),S(Z())) Definition durch Induktion ¨uber t

(27)

Daten

Termersetzungssysteme

I Daten = Terme (ohne Variablen)

I Programm R = Menge von Regeln

Bsp: R = {(f(Z(),y),y), (f(S(x),y),S(f(x,y)))}

I Regel = Paar(l,r) von Termen mit Variablen

I Relation →_R ist Menge aller Paare (t,t⁰) mit

I es existiert(l,r)∈R

I es existiert Positionp int

I es existiert Substitution

σ : (Var(l)∪Var(r))→Term(Σ)

I so daßt[p] =lσundt⁰ =t[p :=rσ].

(28)

Daten

Termersetzungssysteme als Programme

I →_R beschreibt einen Schritt der Rechnung von R,

I transitive und reflexive H ¨ulle →^∗_R beschreibt Folge von Schritten.

I Resultat einer Rechnung ist Term in R-Normalform

(:= ohne→_R-Nachfolger)

dieses Berechnungsmodell ist im allgemeinen

I nichtdeterministisch

R1 = {C(x,y) → x,C(x,y) → y}

(ein Term kann mehrere →_R-Nachfolger haben, ein Term kann mehrere Normalformen

erreichen)

I nicht terminierend R₂ = {p(x,y) →p(y,x)}

(es gibt eine unendliche Folge von

→_R-Schritten,

es kann Terme ohne Normalform geben)

(29)

Daten

Konstruktor-Systeme

F ¨ur TRS R ¨uber Signatur Σ: Symbol s ∈ Σ heißt

I definiert, wenn ∃(l,r) ∈ R : l[] = s(. . .) (das Symbol in der Wurzel ist s)

I sonst Konstruktor.

Das TRS R heißt Konstruktor-TRS, falls:

I definierte Symbole kommen links nur in den Wurzeln vor

Ubung: diese Eigenschaft formal spezifizieren¨ Beispiele: R₁ = {a(b(x)) → b(a(x))} ¨uber Σ₁ = {a/1,b/1},

R₂ = {f(f(x,y),z) → f(x,f(y,z)) ¨uberΣ₂ = {f/2}:

definierte Symbole? Konstruktoren?

Konstruktor-System?

Funktionale Programme sind ¨ahnlich zu Konstruktor-TRS.

(30)

Daten

Ubung Terme, TRS ¨

I Geben Sie die Signatur des Terms √

a·a+b·b an.

I Geben Sie ein Element

t ∈ Term({f/1,g/3,c/0}) an mitt[1] = c().

mit ghci:

I

data T = F T | G T T T | C deriving Show erzeugen Sie o.g. Terme (durch

Konstruktoraufrufe)

Die Gr ¨oße eines Terms t ist definiert durch

|f(t₁, . . . ,t_k)| = 1+ Pk

i=1|t_i|.

I Bestimmen Sie |√

a·a+b ·b|.

I Beweisen Sie ∀Σ : ∀t ∈ Term(Σ) : |t|= |Pos(t)|.

Vervollst ¨andigen Sie die Definition der Tiefe von Termen:

depth(f()) = 0

k > 0 ⇒ depth(f(t₁, . . . ,t_k)) = . . .

I Bestimmen Sie depth(√

a·a+b ·b)

I Beweisen Sie ∀Σ : ∀t ∈ Term(Σ) : depth(t) < |t|.

F ¨ur die Signatur Σ = {Z/0,S/1,f/2}:

I f ¨ur welche Substitution σ gilt f(x,Z)σ = f(S(Z),Z)?

I f ¨ur dieses σ: bestimmen Sie f(x,S(x))σ.

Notation f ¨ur Termersetzungsregeln: anstatt (l,r) schreibe l →r.

Abk ¨urzung f ¨ur Anwendung von 0-stelligen Symbolen: anstatt Z() schreibe Z.

I F ¨ur R = {f(S(x),y) → f(x,S(y)),f(Z,y) → y} bestimme alle R-Normalformen von

f(S(Z),S(Z)).

I f ¨ur R_d = R∪ {d(x) → f(x,x)}

bestimme alle R_d-Normalformen von d(d(S(Z))).

I Bestimme die Signatur Σ_d von R_d.

Bestimme die Menge der Terme aus Term(Σ_d), die R_d-Normalformen sind.

I f ¨ur die Signatur {A/2,D/0}:

definiere Terme t₀ = D,t_i₊₁ = A(t_i,D).

Zeichne t₃. Bestimme|t_i| .

I f ¨ur S = {A(A(D,x),y) → A(x,A(x,y))}

bestimme S-Normalform(en), soweit existieren, der Terme t2,t3,t4. Zusatz: von t_i allgemein.

Abk ¨urzung f ¨ur mehrfache Anwendung eines einstelligen Symbols: A(A(A(A(x)))) = A⁴(x)

I f ¨ur {A(B(x)) → B(A(x))}

¨uber Signatur{A/1,B/1,E/0}:

bestimme Normalform von A^k(B^k(E)) f ¨ur k = 1,2,3, allgemein.

I f ¨ur {A(B(x)) → B(B(A(x)))}

¨uber Signatur{A/1,B/1,E/0}:

bestimme Normalform von A^k(B(E)) f ¨ur k = 1,2,3, allgemein.

(31)

Programme

Funktionale Programme

. . . sind spezielle Term-Ersetzungssysteme. Beispiel:

Signatur: S einstellig, Z nullstellig, f zweistellig.

Ersetzungssystem

{f(Z,y) → y,f(S(x⁰),y) → S(f(x⁰,y))}.

Startterm f(S(S(Z)),S(Z)).

entsprechendes funktionales Programm:

data N = Z | S N f :: N -> N -> N f x y = case x of

{ Z -> y ; S x’ -> S (f x’ y) }

Aufruf: f (S (S Z)) (S Z)

Auswertung = Folge von Ersetzungsschritten →^∗_R Resultat = Normalform (hat keine →_R-Nachfolger)

(32)

Programme

Pattern Matching

data Tree = Leaf | Branch Tree Tree size :: Tree -> Int

size t = case t of { ... ; Branch l r -> ... }^I Syntax allgemein:

case t of { <Muster> -> <Ausdruck> ; ... }

I <Muster> enth ¨alt Konstruktoren und Variablen, entspricht linker Seite einer

Term-Ersetzungs-Regel, <Ausdruck>

entspricht rechter Seite

I Def.: t paßt zum Muster l: es existiert σ mit lσ = t

I dynamische Semantik: f ¨ur das erste passende Muster wird rσ ausgewertet

I statische Semantik: jedes <Muster> hat gleichen Typ wie t, alle <Ausdruck> haben

¨ubereinstimmenden Typ.

(33)

Programme

Eigenschaften von Case-Ausdr ¨ucken

ein case-Ausdruck heißt

I disjunkt, wenn die Muster nicht ¨uberlappen (es gibt keinen Term, der zu mehr als 1 Muster paßt)

I vollst ¨andig, wenn die Muster den gesamten Datentyp abdecken

(es gibt keinen Term, der zu keinem Muster paßt)

Bespiele (f ¨ur data N = F N N | S N | Z) -- nicht disjunkt:

case t of { F (S x) y -> .. ; F x (S y) -> .. } -- nicht vollst¨andig:

case t of { F x y -> .. ; Z -> .. }

(34)

Programme

data und case

typisches Vorgehen beim Verarbeiten algebraischer Daten vom Typ T:

I F ¨ur jeden Konstruktor des Datentyps data T = C1 ...

| C2 ...

I schreibe einen Zweig in der Fallunterscheidung f x = case x of

C1 ... -> ...

C2 ... -> ...

I Argumente der Konstruktoren sind Variablen ⇒ Case-Ausdruck ist disjunkt und vollst ¨andig.

(35)

Programme

Peano-Zahlen

data N = Z | S N plus :: N -> N -> N plus x y = case x of

Z -> y

S x’ -> S (plus x’ y) Aufgaben:

I implementiere Multiplikation, Potenz

I beweise die ¨ublichen Eigenschaften (Addition, Multiplikation sind assoziativ, kommutativ, besitzen neutrales Element)

(36)

Programme

Pattern Matching in versch. Sprachen

I Scala: case classes

http://docs.scala-lang.org/

tutorials/tour/case-classes.html

I C# (7): https://github.com/dotnet/

roslyn/blob/features/patterns/docs/

features/patterns.md

I Javascript?

Nicht verwechseln mit regular expression matching zur String-Verarbeitung. Es geht um algebraische (d.h. baum-artige) Daten!

(37)

Programme

Ubung Pattern Matching, Programme ¨

I F ¨ur die Deklarationen

-- data Bool = False | True (aus Prelude) data T = F T | G T T T | C

entscheide/bestimme f ¨ur jeden der folgenden Ausdr ¨ucke:

I syntaktisch korrekt?

I statisch korrekt?

I Resultat (dynamische Semantik)

I disjunkt? vollst ¨andig?

1. case False of { True -> C } 2. case False of { C -> True } 3. case False of { False -> F F }

4. case G (F C) C (F C) of { G x y z -> F z } 5. case F C of { F (F x) -> False }

6. case F C of { F x -> False ; True -> False } 7. case True of { False -> C ; True -> F C } 8. case True of { False -> C ; False -> F C }

9. case C of { G x y z -> False; F x -> False; C -> True }

I Operationen auf Wahrheitswerten:

import qualified Prelude

data Bool = False | True deriving Prelude.Show not :: Bool -> Bool -- Negation

not x = case x of ... -> ...

... -> ...

Syntax: wenn nach of kein {folgt:

implizite { ; }durch Abseitsregel (layout rule).

I (&&) :: Bool -> Bool -> Bool x && y = case ... of ...

Syntax: Funktionsname

I beginnt mit Buchstabe: steht vor Argumenten,

I beginnt mit Zeichen: zwischen Argumenten (als Operator)

Operator als Funktion: (&&) False True, Funktion als Operator: True ‘f‘ False.

I Listen von Wahrheitswerten:

data List = Nil | Cons Bool List deriving Prelude.Show and :: List -> Bool

and l = case l of ...

entsprechend or :: List -> Bool

I (Wdhlg.) welche Signatur beschreibt bin ¨are B ¨aume

(jeder Knoten hat 2 oder 0 Kinder, die B ¨aume sind; es gibt keine Schl ¨ussel)

I geben Sie die dazu ¨aquivalente

data-Deklaration an: data T = ...

I implementieren Sie daf ¨ur die Funktionen size :: T -> Prelude.Int

depth :: T -> Prelude.Int

benutze Prelude.+ (das ist Operator), Prelude.min, Prelude.max

I f ¨ur Peano-Zahlen data N = Z | S N implementieren Sie plus, mal, min, max

(38)

Polymorphie

Definition, Motivation

I Beispiel: bin äre B äume mit Schl üssel vom Typ e data Tree e = Leaf

| Branch (Tree e) e (Tree e) Branch Leaf True Leaf :: Tree Bool

Branch Leaf 42 Leaf :: Tree Int

I Definition:

ein polymorpher Datentyp ist ein Typkonstruktor (= eine Funktion, die Typen auf einen Typ

abbildet)

I unterscheide: Tree ist der Typkonstruktor, Branch ist ein Datenkonstruktor

(39)

Polymorphie

Beispiele f. Typkonstruktoren (I)

I Kreuzprodukt:

data Pair a b = Pair a b

I disjunkte Vereinigung:

data Either a b = Left a | Right b

I data Maybe a = Nothing | Just a

I Haskell-Notation f ¨ur Produkte:

(1,True)::(Int,Bool) f ¨ur 0,2,3, . . . Komponenten

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Polymorphie

Beispiele f. Typkonstruktoren (II)

I bin ¨are B ¨aume

data Bin a = Leaf

| Branch (Bin a) a (Bin a)

I Listen

data List a = Nil

| Cons a (List a)

I B ¨aume

data Tree a = Node a (List (Tree a))

(41)

Polymorphie

Polymorphe Funktionen

Beispiele:

I Spiegeln einer Liste:

reverse :: forall e . List e -> List e

I Verketten von Listen mit gleichem Elementtyp:

append :: forall e . List e -> List e -> List e

Knotenreihenfolge eines Bin ¨arbaumes:

preorder :: forall e . Bin e -> List e Def: der Typ einer polymorphen Funktion beginnt mit All-Quantoren f ¨ur Typvariablen.

Bsp: Datenkonstruktoren polymorpher Typen.

(42)

Polymorphie

Bezeichnungen f. Polymorphie

data List e = Nil | Cons e (List e)

I List ist ein Typkonstruktor

I List e ist ein polymorpher Typ (ein Typ-Ausdruck mit Typ-Variablen)

I List Bool ist ein monomorpherTyp

(entsteht durch Instantiierung: Substitution der Typ-Variablen durch Typen)

I polymorphe Funktion:

reverse:: forall e . List e -> List e monomorphe Funktion:

xor:: List Bool -> Bool polymorphe Konstante:

Nil::forall e. List e

(43)

Polymorphie

Operationen auf Listen (I)

data List a = Nil | Cons a (List a)

I append xs ys = case xs of Nil ->

Cons x xs’ ->

I Ubung: formuliere und beweise:¨ append ist assoziativ.

I reverse xs = case xs of Nil ->

Cons x xs’ ->

I beweise:

forall xs . reverse (reverse xs) == xs

(44)

Polymorphie

Operationen auf Listen (II)

Die vorige Implementierung von reverse ist (f ¨ur einfach verkettete Listen) nicht effizient.

Besser ist:

reverse xs = rev_app xs Nil mit Spezifikation

rev_app xs ys = append (reverse xs) ys Ubung: daraus die Implementierung von¨ rev_app ableiten

rev_app xs ys = case xs of ...

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Polymorphie

Operationen auf B ¨aumen

data List e = Nil | Cons e (List e)

data Bin e = Leaf | Branch (Bin e) e (Bin e) Knotenreihenfolgen

I preorder :: forall e . Bin e -> List e preorder t = case t of ...

I entsprechend inorder, postorder

I und Rekonstruktionsaufgaben

Adressierug von Knoten (False= links,True = rechts)

I get :: Tree e -> List Bool -> Maybe e

I positions :: Tree e -> List (List Bool)

(46)

Polymorphie

Ubung Polymorphie ¨

Geben Sie alle Elemente dieser Datentypen an:

I Maybe ()

I Maybe (Bool, Maybe ())

I

Either (Bool,Bool) (Maybe (Maybe Bool)) Operationen auf Listen:

I append, reverse, rev app Operationen auf B ¨aumen:

I preorder, inorder, postorder, (Rekonstruktion)

I get, (positions)

(47)

Polymorphie

Kochrezept: Objektkonstruktion

Aufgabe (Bsp):

x :: Either (Maybe ()) (Pair Bool ()) L ¨osung (Bsp):

I der Typ Either a b hat Konstruktoren Left a | Right b. W ¨ahle Right b.

Die Substitution f ¨ur die Typvariablen ist a = Maybe (), b = Pair Bool ().

x = Right y mit y :: Pair Bool ()

I der Typ Pair a b hat Konstruktor Pair a b.

die Substitution f ¨ur diese Typvariablen ist a = Bool, b = ().

y = Pair p q mit p :: Bool, q :: ()

I der Typ Boolhat Konstruktoren

False | True, w ¨ahle p = False. der Typ () hat Konstruktor (), also q=()

Insgesamt

x = Right y = Right (Pair False ()) Vorgehen (allgemein)

I bestimme den Typkonstruktor

I bestimme die Substitution f ¨ur die Typvariablen

I w ¨ahle einen Datenkonstruktor

I bestimme Anzahl und Typ seiner Argumente

I w ¨ahle Werte f ¨ur diese Argumente nach diesem Vorgehen.

(48)

Polymorphie

Kochrezept: Typ-Bestimmung

Aufgabe (Bsp.) bestimme Typ von x (erstes Arg. von get):

at :: Position -> Tree a -> Maybe a at p t = case t of

Node f ts -> case p of Nil -> Just f

Cons x p’ -> case get x ts of Nothing -> Nothing

Just t’ -> at p’ t’

L ¨osung:

I bestimme das Muster, durch welches x deklariert wird.

L ¨osung: Cons x p’ ->

I bestimme den Typ diese Musters

L ¨osung: ist gleich dem Typ der zugeh ¨origen Diskriminante p

I bestimme das Muster, durch das p deklariert wird

L ¨osung: at p t =

I bestimme den Typ von p

L ¨osung: durch Vergleich mit Typdeklaration von at (p ist das erste Argument) p :: Position, also Cons x p’ :: Position = List N, also x :: N.

Vorgehen zur Typbestimmung eines Namens:

I finde die Deklaration (Muster einer Fallunterscheidung oder einer Funktionsdefinition)

I bestimme den Typ des Musters

(Fallunterscheidung: Typ der Diskriminante, Funktion: deklarierter Typ)

(49)

Polymorphie

Statische Typisierung und Polymorphie

Def: dynamische Typisierung:

I die Daten (zur Laufzeit des Programms, im Hauptspeicher) haben einen Typ

Def: statische Typisierung:

I Bezeichner, Ausdr ¨ucke (im Quelltext) haben einen Type (zur ¨Ubersetzungszeit bestimmt).

I f ¨ur jede Ausf ¨uhrung des Programms gilt: der statische Typ eines Ausdrucks ist gleich dem dynamischen Typ seines Wertes

Bsp. f ¨ur Programm ohne statischen Typ (Javascript) function f (x) {

if (x>0) { return function () { return 42; } } else { return "foobar"; } }

Dann: Auswertung von f(1)() ergibt 42,

Auswertung von f(0)() ergibt Laufzeit-Typfehler.

entsprechendes Haskell-Programm ist statisch fehlerhaft

f x = case x > 0 of True -> \ () -> 42 False -> "foobar"

Nutzen der statischen Typisierung:

I beim Programmieren: Entwurfsfehler werden zu Typfehlern, diese werden zur Entwurfszeit

automatisch erkannt ⇒ fr ¨uher erkannte Fehler lassen sich leichter beheben

I beim Ausf ¨uhren: es gibt keine Lauzeit-Typfehler

⇒ keine Typpr üfung zur Laufzeit n ötig, effiziente Ausf ührung

Nutzen der Polymorphie:

I Flexibilit ¨at, nachnutzbarer Code, z.B. Anwender einer Collection-Bibliothek legt Element-Typ fest (Entwickler der Bibliothek kennt den

Element-Typ nicht)

I gleichzeitig bleibt statische Typsicherheit erhalten

(50)

Polymorphie

Von der Spezifikation zur Implementierung (I)

Bsp: Addition von Peano-Zahlen data N = Z | S N

plus :: N -> N -> N

aus der Typdeklaration wird abgeleitet:

plus x y = case x of Z ->

S x’ ->

erster Zweig: plus Z y = 0 + y = y zweiter Zweig :

plus (S x’) y = (1 + x’) + y = mit Assoziativit ¨at von + gilt

... = 1 + (x’ + y) = S (plus x’ y) Bsp. ( ¨U): Multiplikation. Hinweis: benutze Distributivgesetz.

(51)

Polymorphie

Von der Spezifikation zur Implementierung (II)

Bsp: homogene Listen

data List a = Nil | Cons a (List a) Aufgabe: implementiere

maximum :: List N -> N Spezifikation:

maximum (Cons x1 Nil) = x1

maximum (append xs ys) = max (maximum xs) (maximum ys)

I substitutiere xs = Nil, erhalte

maximum (append Nil ys) = maximum ys

= max (maximum Nil) (maximum ys) d.h. maximum Nil sollte das neutrale Element f ¨ur max (auf nat ¨urlichen Zahlen) sein, also 0 (geschrieben Z).

I substitutiere xs = Cons x1 Nil, erhalte maximum (append (Cons x1 Nil) ys)

= maximum (Cons x1 ys)

= max (maximum (Cons x1 Nil)) (maximum ys)

= max x1 (maximum ys)

Damit kann der aus dem Typ abgeleitete Quelltext maximum :: List N -> N

maximum xs = case xs of Nil ->

Cons x xs’ ->

erg ¨anzt werden.

Vorsicht: f ¨ur min, minimum funktioniert das nicht so, denn minhat f ¨ur N kein neutrales Element.

(52)

Unver ¨anderliche Objekte

Uberblick ¨

I alle Attribute aller Objekte sind unver ¨anderlich (final)

I anstatt Objekt zu ¨andern, konstruiert man ein neues

Eigenschaften des Programmierstils:

I vereinfacht Formulierung und Beweis von Objekteigenschaften

I parallelisierbar (keine updates, keinedata races) http://fpcomplete.com/

the-downfall-of-imperative-programming/

I Persistenz (Verf ¨ugbarkeit fr ¨uherer Versionen)

I Belastung des Garbage Collectors (. . . daf ¨ur ist er da)

(53)

Beispiel: Einf ¨ugen in Baum

I destruktiv:

interface Tree<K> { void insert (K key); } Tree<String> t = ... ;

t.insert ("foo");

I persistent (Java):

interface Tree<K> { Tree<K> insert (K key); } Tree<String> t = ... ;

Tree<String> u = t.insert ("foo");

I persistent (Haskell):

insert :: Tree k -> k -> Tree k

(54)

Beispiel: (unbalancierter) Suchbaum

data Tree k = Leaf

| Branch (Tree k) k (Tree k) insert :: Ord k => k -> Tree k -> Tree k insert k t = case t of ...

Diskussion:

I Ord k entspricht

K implements Comparable<K>, genaueres sp ¨ater (Haskell-Typklassen)

I wie teuer ist die Persistenz?

(wieviel M ¨ull entsteht bei einem insert?)

(55)

Beispiel: Sortieren mit Suchb ¨aumen

data Tree k = Leaf

| Branch (Tree k) k (Tree k) insert :: Ord k => k -> Tree k -> Tree k build :: Ord k => [k] -> Tree k

build = foldr ... ...

sort :: Ord k => [k] -> [k]

sort xs = ... ( ... xs )

(56)

Persistente Objekte in Git

http://git-scm.com/

I Distributed development.

I Strong support for non-lineardevelopment.

(Branching and merging are fast and easy.)

I Efficient handling of large projects.

(z. B. Linux-Kernel, http://kernel.org/ )

I Toolkit design.

I Cryptographic authentication of history.

(57)

Objekt-Versionierung in Git

I Objekt-Typen:

I Datei (blob),

I Verzeichnis (tree), mit Verweisen auf blobs und trees

I Commit, mit Verweisen auf tree u. commits (Vorg ¨anger)

git cat-file -p <hash>

I Objekte sind unver ¨anderlich und durch SHA1-Hash (160 bit = 40 Hex-Zeichen) identifiziert

I statt ¨Uberschreiben: neue Objekte anlegen

I jeder Zustand ist durch Commit-Hash (weltweit) eindeutig beschrieben und kann

wiederhergestellt werden

Quelltexte zur Vorlesung: https://gitlab.imn.

htwk-leipzig.de/waldmann/fop-ss16

(58)

Funktionen

Funktionen als Daten

bisher:

f :: Int -> Int f x = 2 * x + 5

¨aquivalent: Lambda-Ausdruck f = \ x -> 2 * x + 5

Lambda-Kalk ¨ul: Alonzo Church 1936, Henk Barendregt 198*, . . .

Funktionsanwendung:

(\ x -> B) A = B [x := A]

ist nur erlaubt, falls keine in A freie Variable durch ein Lambda in B gebunden wird.

(59)

Funktionen

Der Lambda-Kalk ¨ul

. . . als weiteres Berechnungsmodell,

(vgl. Termersetzungssysteme, Turingmaschine, Random-Access-Maschine)

Syntax: die Menge der Lambda-TermeΛ ist

I jede Variable ist ein Term: v ∈ V ⇒v ∈ Λ

I Funktionsanwendung (Applikation):

F ∈ Λ,A ∈ Λ ⇒(FA) ∈ Λ

I Funktionsdefinition (Abstraktion):

v ∈ V,B ∈ Λ⇒ (λv.B) ∈ Λ Semantik: eine Relation→_β auf Λ (vgl. →_R f ¨ur TermersetzungssystemR)

(60)

Funktionen

Freie und gebundene Variablen(vorkommen)

I Das Vorkommen von v ∈ V an Position p in Term t heißt frei, wenn

”dar ¨uber kein λv. . . . steht“

I Def. fvar(t) =Menge der in t frei vorkommenden Variablen (definiere durch strukturelle Induktion)

I Eine Variable x heißt in A gebunden, falls A einen Teilausdruck λx.B enth ¨alt.

I Def. bvar(t) = Menge der int gebundenen Variablen

Bsp: fvar(x(λx.λy.x)) = {x}, bvar(x(λx.λy.x)) = {x,y},

(61)

Funktionen

Semantik des Lambda-Kalk ¨uls:

Reduktion →

_β

Relation →_β auf Λ (ein Reduktionsschritt) Es gilt t →_β t⁰, falls

I ∃p ∈ Pos(t), so daß

I t[p] = (λx.B)A mit bvar(B)∩fvar(A) = ∅

I t⁰ = t[p := B[x := A]]

dabei bezeichnet B[x := A] ein Kopie von B, bei der jedes freie Vorkommen von x durchA

ersetzt ist

Ein (Teil-)Ausdruck der Form (λx.B)A heißt Redex.

(Dort kann weitergerechnet werden.) Ein Term ohne Redex heißt Normalform.

(Normalformen sind Resultate von Rechnungen.)

(62)

Funktionen

Semantik . . . : gebundene Umbenennung →

_α

I Relation →_α auf Λ, beschreibt gebundene Umbenennung einer lokalen Variablen.

I Beispiel λx.fxz →_α λy.fyz.

(f und z sind frei, k ¨onnen nicht umbenannt werden)

I Definition t →_α t⁰:

I ∃p ∈Pos(t), so daßt[p] = (λx.B)

I y ∈/ bvar(B)∪fvar(B)

I t⁰ =t[p :=λy.B[x :=y]]

I wird angewendet, um bvar(B)∩ fvar(A) = ∅ in Regel f ¨ur →_β zu erf ¨ullen.

Bsp: betrachte den unterstrichenen Redex in (λx.((λf.(λx.(x +f8)))(λy.(x + y))))3

(63)

Funktionen

Umbenennung von lokalen Variablen

int x = 3;

int f(int y) { return x + y; }

int g(int x) { return (x + f(8)); } // g(5) => 16

Darf f(8)ersetzt werden durch f[y := 8] ? - Nein:

int x = 3;

int g(int x) { return (x + (x+8)); } // g(5) => 18

Das freie x in (x + y) wird f ¨alschlich gebunden.

L ¨osung: lokal umbenennen

int g(int z) { return (z + f(8)); }

dann ist Ersetzung erlaubt

int x = 3;

int g(int z) { return (z + (x+8)); } // g(5) => 16

(64)

Funktionen

Lambda-Terme: verk ¨urzte Notation

I Applikation ist links-assoziativ, Klammern weglassen:

(. . .((FA₁)A₂). . .A_n) ∼FA₁A₂. . .A_n Beispiel: ((xz)(yz)) ∼xz(yz)

Wirkt auch hinter dem Punkt:

(λx.xx) bedeutet (λx.(xx)) — und nicht ((λx.x)x)

I geschachtelte Abstraktionen unter ein Lambda schreiben:

(λx₁.(λx₂. . . .(λx_n.B). . .)) ∼λx₁x₂. . .x_n.B Beispiel: λx.λy.λz.B ∼ λxyz.B

(65)

Funktionen

Ein- und mehrstellige Funktionen

eine einstellige Funktion zweiter Ordnung:

f = \ x -> ( \ y -> ( x*x + y*y ) ) Anwendung dieser Funktion:

(f 3) 4 = ...

Kurzschreibweisen (Klammern weglassen):

f = \ x y -> x * x + y * y ; f 3 4 Ubung:¨

gegeben t = \ f x -> f (f x) bestimme t succ 0, t t succ 0,

t t t succ 0, t t t t succ 0, ...

(66)

Funktionen

Typen

f ¨ur nicht polymorphe Typen: tats ¨achlicher

Argumenttyp muß mit deklariertem Argumenttyp

¨ubereinstimmen:

wenn f :: A → B und x ::A, dann(fx) :: B. bei polymorphen Typen k ¨onnen der Typ von f :: A → B und der Typ von x :: A⁰ Typvariablen enthalten.

Beispiel: λx.x :: ∀t.t → t.

Dann m ¨ussen A und A⁰ nicht ¨ubereinstimmen, sondern nur unifizierbar sein (eine gemeinsame Instanz besitzen).

Beispiel: (λx.x)True

benutze Typ-Substitution σ = {(t,Bool)}.

Bestimme allgemeinsten Typ von t = λfx.f(fx)), von (tt).

(67)

Funktionen

Beispiel f ¨ur Typ-Bestimmung

Aufgabe: bestimme den allgemeinsten Typ von λfx.f(fx)

I Ansatz mit Typvariablen f ::t₁,x :: t₂

I betrachte (fx): der Typ von f muß ein Funktionstyp sein, also t₁ = (t₁₁ →t₁₂) mit neuen Variablen t11,t12.

Dann gilt t₁₁ = t₂ und (fx) :: t₁₂.

I betrachte f(fx). Wir haben f ::t₁₁ →t₁₂ und (fx) :: t₁₂, also folgt t₁₁ = t₁₂. Dann f(fx) :: t₁₂.

I betrachte λx.f(fx).

Aus x :: t12 und f(fx) :: t12 folgt λx.f(fx) :: t₁₂ → t₁₂.

I betrachte λf.(λx.f(fx)).

Aus f ::t₁₂ →t₁₂ und λx.f(fx) :: t₁₂ → t₁₂ folgt λfx.f(fx) :: (t₁₂ → t₁₂) → (t₁₂ → t₁₂)

(68)

Funktionen

Verk ¨urzte Notation f ¨ur Typen

I Der Typ-Pfeil ist rechts-assoziativ:

T₁ → T₂ → · · · → T_n →T bedeutet (T₁ →(T₂ → · · · → (T_n → T)· · ·))

I das paßt zu den Abk ¨urzungen f ¨ur mehrstellige Funktionen:

λ(x :: T₁).λ(x ::T₂).(B :: T) hat den Typ (T₁ →(T₂ →B)), mit o.g. Abk ¨urzung T₁ →T₂ →T.

(69)

Funktionen

Lambda-Ausdr ¨ucke in C#

I Beispiel (Fkt. 1. Ordnung)

Func<int,int> f = (int x) => x*x;

f (7);

I Ubung (Fkt. 2. Ordnung) — erg ¨anze alle Typen:¨

??? t = (??? g) => (??? x) => g (g (x));

t (f)(3);

I Anwendungen bei Streams, sp ¨ater mehr

(new int[]{3,1,4,1,5,9}).Select(x => x * 2);

(new int[]{3,1,4,1,5,9}).Where(x => x > 3);

I Ubung: Diskutiere statische/dynamische¨ Semantik von

(new int[]{3,1,4,1,5,9}).Select(x => x > 3);

(new int[]{3,1,4,1,5,9}).Where(x => x * 2);

(70)

Funktionen

Lambda-Ausdr ¨ucke in Java(8)

funktionales Interface (FI): hat genau eine Methode Lambda-Ausdruck (

”burger arrow“) erzeugt Objekt einer anonymen Klasse, die FI implementiert.

interface I { int foo (int x); } I f = (x)-> x+1;

System.out.println (f.foo(8));

vordefinierte FIs:

import java.util.function.*;

Function<Integer,Integer> g = (x)-> x*2;

System.out.println (g.apply(8));

Predicate<Integer> p = (x)-> x > 3;

if (p.test(4)) { System.out.println ("foo"); }

(71)

Funktionen

Lambda-Ausdr ¨ucke in Javascript

$ node

> var f = function (x){return x+3;}

undefined

> f(4) 7

(72)

Funktionen

Beispiele Fkt. h ¨oherer Ord.

I Haskell-Notation f ¨ur Listen:

data List a = Nil | Cons a (List a) data [a] = [] | a : [a]

I Verarbeitung von Listen:

filter :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]

takeWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]

partition :: (a -> Bool) -> [a] -> ([a],[a])

I Vergleichen, Ordnen:

nubBy :: (a -> a -> Bool) -> [a] -> [a]

data Ordering = LT | EQ | GT minimumBy

:: (a -> a -> Ordering) -> [a] -> a

(73)

Funktionen

Ubung Lambda-Kalk ¨ul ¨

I Wiederholung: konkrete Syntax, abstrakte Syntax, Semantik

I S = λxyz.xz(yz),K = λab.a, Normalform von SKKc

I (mit data N=Z|S N) bestimme Normalform von ttSZ

f ¨ur t = λfx.f(fx),

I definiere Λals algebraischen Datentyp data L = ... (3 Konstruktoren) implementiere size :: L -> Int, depth :: L -> Int.

implementiere

bvar :: L -> S.Set String, fvar :: L -> S.Set String, siehe Folie mit Definitionen und dort angegebene Testf ¨alle

benutze

import qualified Data.Set as S, API-Dokumentation: https:

//hackage.haskell.org/package/

containers/docs/Data-Set.html

I autotool-Aufgaben Lambda-Kalk ¨ul

(74)

Funktionen

Ubung Fkt. h ¨oherer Ordnung ¨

I Typisierung, Beispiele in Haskell, C#, Java, Javascript

compose ::

compose = \ f g -> \ x -> f (g x)

I Implementierung von takeWhile, dropWhile

(75)

Rekursionsmuster

Rekursion ¨uber B ¨aume (Beispiele)

data Tree a = Leaf

| Branch (Tree a) a (Tree a) summe :: Tree Int -> Int

summe t = case t of Leaf -> 0

Branch l k r -> summe l + k + summe r preorder :: Tree a -> List a

preorder t = case t of Leaf -> Nil

Branch l k r ->

Cons k (append (preorder l) (preorder r))

(76)

Rekursionsmuster

Rekursion ¨uber B ¨aume (Schema)

f :: Tree a -> b f t = case t of

Leaf -> ...

Branch l k r -> ... (f l) k (f r) dieses Schema ist eine Funktion h ¨oherer Ordnung:

fold :: ( ... ) -> ( ... ) -> ( Tree a -> b ) fold leaf branch = \ t -> case t of

Leaf -> leaf Branch l k r ->

branch (fold leaf branch l) k (fold leaf branch r)

summe = fold 0 ( \ l k r -> l + k + r )

(77)

Rekursionsmuster

Rekursion ¨uber Listen

and :: List Bool -> Bool and xs = case xs of

Nil -> True ; Cons x xs’ -> x && and xs’

length :: List a -> N length xs = case xs of

Nil -> Z ; Cons x xs’ -> S (length xs’) fold :: b -> ( a -> b -> b ) -> List a -> b fold nil cons xs = case xs of

Nil -> nil

Cons x xs’ -> cons x ( fold nil cons xs’ ) and = fold True (&&)

length = fold Z ( \ x y -> S y)

(78)

Rekursionsmuster

Rekursionsmuster (Prinzip)

ein Rekursionsmuster anwenden = jeden

Konstruktor durch eine passende Funktion ersetzen.

data List a = Nil | Cons a (List a)

fold ( nil :: b ) ( cons :: a -> b -> b ) :: List a -> b

Rekursionsmuster instantiieren =

(Konstruktor-)Symbole interpretieren (durch Funktionen) = eine Algebra angeben.

length = fold Z ( \ _ l -> S l ) reverse = fold Nil ( \ x ys -> )