Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

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Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

Referat zum Hauptseminar

„Mathematik und Unterricht“

10.11.2010

Robert Blenk Holger Götzky

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Einleitende Fragen

Was muss man beweisen?

Woraus besteht ein Beweis?

Was braucht man fürs Beweisen?

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Was muss man beweisen?

Was nicht?

 Axiome

 Definitionen

 Annahmen

 Sätze

 Behauptungen

nicht bewiesen werden müssen:

bewiesen werden müssen:

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Woraus besteht ein Beweis?

Wie geht man beim Beweisen vor?

Beim Beweisen schlussfolgert man aus einer wahren Aussage in endlich vielen Schritten eine wiederum wahre Aussage.

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Welche (logischen) Grundlagen benötigt man?

 Prämissen

 Junktoren

 Konklusion

 Aussagenlogik

 Prädikatenlogik

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die Gesamtheit aller Regeln und Aussagen,

welche für den Beweis als wahr angenommen werden

Prämissen:

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 - Implikation

 - log. „oder“ (Disjunktion)

- log. „und“ (Konjunktion)

~ - Negation Junktoren:

 - Äquivalenz

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letzte Schlussfolgerung in einem Beweis,

welche die Gültigkeit der vorweg getroffenen Aussage bestätigt

Konklusion:

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bezeichnet die Schlussfolgerung einer Aussage B aus einer Aussage A, ohne Variablen zu nutzen

Aussagenlogik:

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(A 

(Satz der Kontraposition) A ~A

(Satz vom ausgeschlossenen Dritten)

aussagenlogische Identitäten (Beispiele):

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bezeichnet die Logik der Aussagen, welche sich auf alle möglichen Einsetzungen für eine Variable bezieht, und dafür Quantoren

verwendet

Prädikatenlogik:

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! - „es existiert genau ein“

 - „es existiert“

 - „für alle“

Quantoren:

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Ist diese Aussage wahr oder falsch?

„Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahlköpfig.“

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Die Aussage ist falsch.

Formalisierung (nach Russell):

x: (x ist kahlköpfig)  (x ist gegenwärtig König von Frankreich) also:

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x: ~(x ist kahlköpfig)  (x ist gegenwärtig König von Frankreich)

x: (x ist kahlköpfig)  (x ist gegenwärtig König von Frankreich) oder:

Negation:

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„Alle Griechen sind Menschen.“

g∈(Grieche): (g ist ein Mensch)

weitere Beispiele für Formalisierung:

„Der Hund ist weiß.“

x: (x ist ein Hund)  (x ist weiß)

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Beispiel Allaussage

Volk und Wissen, Klasse 6, S. 10

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Beispiel Allaussage

Ein Schüler untersucht die Zahl 78.432 und stellt fest, dass ihre Quersumme 24 ist. Da diese durch 3 teilbar ist, schließt er: 78.432 ist eine durch 3 teilbare Zahl.

„Alle natürlichen Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind selbst durch drei

teilbar.“

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„Alle natürlichen Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind selbst durch drei teilbar.“

also:

Wenn die Quersumme von x durch 3 teilbar ist, dann ist auch x selbst durch 3 teilbar.

erster Schluss:

Was für alle natürlichen Zahlen gilt, gilt auch für eine beliebige natürliche Zahl.

(Schluss aus einer Allaussage)

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zweiter Schluss:

Da x eine beliebige natürliche Zahl ist, kann für x auch 78.432 eingesetzt werden.

(Regel für die Termeinsetzung) also:

Wenn die Quersumme von 78.432 durch 3

teilbar ist, dann ist auch 78.432 selbst durch 3 teilbar.

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dritter Schluss:

Da die Quersumme von 78.432 durch 3 teilbar ist, ist auch 78.432 selbst durch 3 teilbar.

(Schluss aus einer Implikation)

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Schlussregeln

Welche weiteren Schlussregeln werden im Schulunterricht noch genutzt?

Diskussionsfrage:

Wie sollte man auf die Schlussregeln im Unterricht eingehen?

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weitere Grundlagen

Implikationen und Äquivalenzen Äquivalenzumformungen

notwendige und hinreichende Bedingungen

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Implikationen

Eine Implikation ausgehend von einer falschen Aussage ist immer wahr.

aber:

Eine Implikation ausgehend von einer wahren Aussage ist nur dann wahr, wenn auch die

gefolgerte Aussage wahr ist.

(25)

Äquivalenzen

Was zeichnet Äquivalenzumformungen aus?

Eine Äquivalenz von zwei Aussagen ist genau dann wahr, wenn entweder beide Aussagen

wahr oder beide Aussagen falsch sind.

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Äquivalenzumformungen

 Beispiel: Lösung eines (3,3)-LGS

 durch inverse Operationen erhält man wieder die Ursprungsgleichung

 Lösungsmenge der (Un-)Gleichungen bleibt erhalten (der Wahrheitswert bleibt unverändert)

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Notwendige und hinreichende Bedingungen

also:

Wenn B nicht gilt, kann auch A nicht gelten.

B ist notwendig für A genau dann, wenn A  gilt.

Was ist eine notwendige und was ist eine hinreichende Bedingung?

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Notwendige und hinreichende Bedingungen

C ist hinreichend für D genau dann, wenn C D gilt.

beachte:

Eine hinreichende Bedingung kann u. U. auch eine notwendige Bedingung enthalten.

also:

Wenn C gilt, muss auch D gelten.

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Beispiel: Raute

notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

Das Viereck hat vier gleich lange Seiten.

Das Viereck ist ein Quadrat.

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Beispiel: Extrempunkt bei (x,f(x))

notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

f´(x)=0

f´(x)=0  f´´(x)0

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Cornelsen, Klasse 11, S. 223 f.

(32)

Cornelsen, Klasse 11, S. 224

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Beweisarten

Welche Beweisarten kennt ihr?

Wie geht man bei diesen Beweisen vor?

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Beweisarten

Beispiel:

„Das Quadrat ungerader natürlicher Zahlen ist ungerade.“

Aus den Voraussetzungen wird

(über diverse Zwischenschritte) direkt auf die Behauptung geschlossen.

direkter Beweis:

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direkter Beweis - Beispiele

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direkter Beweis - Beispiele

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Beweisarten

Beispiel:

Beweis des Irrationalität von 2

indirekter Beweis:

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indirekter Beweis - Beispiele

Paetec Realschule/Gesamtschule, Klasse 9, S. 46

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Oldenburg, Klasse 10, S. 62

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Beweisarten

Beispiel:

Injektivitätsbeweise

Aus der Annahme, dass die Behauptung nicht gilt, wird darauf geschlossen, dass die Voraussetzung nicht gilt.

Kontraposition:

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Beweisverfahren im RLP

RLP Sekundarstufe II, S. VII

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Beweisverfahren im RLP

RLP Sekundarstufe II, S. VIII

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Beweisverfahren im RLP

Ist eine Einbindung der verschiedenen Beweisverfahren in den Unterricht (z. B.

zur Stärkung des Allgemeinwissens) sinnvoll?

(45)

Zusatz

Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

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