1 Aufgaben
Aufgabe 1.01Berechne den Abstand der PunktePundQzur Geradeng. Der Abstand vonPist mit dem Lotverfahren, der vonQmit der Hilfsebene zu bestimmen.
a) P(8|1|1) undQ(−2|4|0),g:−→x =
1 0 2
+r·
2
−1 1
,r ∈R
b) P(4|2|5) undQ(−4| −3|8),g:−→x =
−3 2 3
+r·
1
−1 1
,r∈R
Aufgabe 1.02Bestimme den Abstand der beiden parallelen Geraden mit dem Lotverfahren.
a) g:−→x =
0 0 1
+r·
−2
−4 1
,r∈Rundh:−→x =
4 11
−10
+s·
6 12
−3
,s∈R
b) g:−→x =
4 1 3
+r·
3 3
−6
,r∈Rundh:−→x =
3
−2 19
+s·
−1
−1 2
,s∈R
Aufgabe 1.03Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden
g:−→x =
−7 3
−1
+r·
0 2 4
,r ∈Rundh:−→x =
−2
−1 4
+s·
1 2 1
,s∈R
a) mit der Hilfsebene.
b) mit dem Lotfußpunktverfahren.
zur Vollversion
VORSC
HAU
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Für den Lotfußpunkt entwederrinhodersundtinEeinsetzen, umF(2|1| −1) zu erhalten.
Der Abstand vom Punkt zur Ebene ist dann
d =−→
PF=
2−2 1−1
−1−(−1)
=
0 0 0
=√
0 = 0 [LE]
Der Abstand ist Null. Der Punkt liegt also in der Ebene. Tipp: Vor der Abstandsberechnung kurz den Punkt in die Gerade oder Ebene einsetzen, um zu gucken, ob dieser Teil der Gerade oder Ebene (nicht, wenn Ebene in Parameterform vorliegt) ist. Dann kann man sich viel Rechenaufwand sparen!
zu Aufgabe 1.05
a) Umazu bestimmen, setzen wirPin die EbeneEein und lösen nachaauf:
3·(3a)−4a= 15 ⇔ a= 3 Damit der Punkt in der Ebene liegt, mussa= 3 sein:P(9|3|0).
b) Wir verwenden zur Lösung die Hessesche Normalenform in Koordinatenform mit und setzen den PunktPfür den Abstandd= 1 ein. Wir erhalten:
E:3x1−4x52−15 = d
⇒ 3·(3a)−54a−15 = 1
⇔ |a−3| = 1
Achtung bei Betragsstrichen! Hier gilt es die Definition des Betrags zu beachten. Wir kön- nen aber einfach die Gleichung quadrieren, damit die Betragsstriche wegfallen, denn es gilt (|x|)2=x2. Dann folgt:
(a−3)2= 12 ⇔ a2−6a+ 8 = 0
Anwenden derpq-Formel bringt die Lösungena1= 4 odera2= 2. Interpretation: Wenn der Parameteragleich 4 oder 2 ist, ist der Abstand des Punktes zur Ebene genau 1.
