N e u n abschließende Übungsbeispiele sowohl für die dreistündige Schularbeit als auch für die schriftliche Matura

N e u n abschließende Übungsbeispiele sowohl für die dreistündige Schularbeit

als auch für die schriftliche Matura

(Themengebiet A NALYTISCHE R AUMGEOMETRIE )

8C, Realgymnasium, 2008/09

24) Lösen eines Problems der ebenen Elementarge- ometrie mittels

analytischer Raumgeometrie

: Die Punkte P, Q und R liegen auf den Seiten AB, BC und AC eines gleichseitigen Dreiecks∆ABC und entstehen wie in nebenstehender Abbildung illustriert durch Halbierung, Drittelung und Sechstelung der Seiten. Errichtet man nun über den Seiten des Dreiecks ∆PQR Quadrate, so ist zu zeigen, dass die Flächeninhalte dieser Quadrate eine arithmetische Folge bilden.

Hinweis: Wähle für das Dreieck ∆ABC eine Seitenfläche eines regel- mäßigen Tetraeders, welches

in simpler Weise aus einem Würfel (Tipp: Kantenlänge 6) abgeleitet werden kann!

25) Ein raumgeometrisches Problem das regel- mäßige Tetraeder betreffend (Skizze selbst!!):

Betrachte zwei Begrenzungsdreiecke eines regelmä- ßigen Tetraeders sowie deren Schwerpunkte S1 und S2. a) Zeige, dass die Trägerebenen dieser beiden Drei-

ecke mit der Gerade g durch S1 und S2den gleichen spitzen Schnittwinkel ϕ einschließen!

b) Zeige, dass die Gerade g aus a) zu beiden Trägerebenen der verbleibenden Begrenzungsdreiecke parallel verläuft!

c) Zeige, dass ϕ auch in jenem Dreieck als ein Innenwinkel (Welcher?

Skizze!) auftaucht, welches eine Kante, eine Flächendiagonale und eine Raumdiagonale eines beliebigen Würfels erzeugen.

26) Ein raumgeometrisches Problem das regelmä- ßige Oktaeder betreffend (siehe Abbildung/en!):

Durch den Eckpunkt A eines regelmäßigen Okta- eders wird die Normale n_ε auf die Ebene ε durch die Punkte B, C und F gelegt, L bezeichnet den Schnittpunkt vonε mit nε (siehe Abbildung rechts!).

a) Berechne in einem geeigneten Koordinatensystem die Lage von L, wobei die Seitenkante des

erzeugenden Würfels mit 6 zu wählen ist!

b) Überprüfe, dass sich L auch mittels fortlaufender Drit- telung von BC sowie durch Anlegen eines Parallelo- gramms (siehe gerahmte Abbildung rechts oben!) gewin- nen läßt und zeige, dass das Viereck BCFL ein Deltoid ist.

( ) ( )

[ ^{a × b × a × c} ] ^⋅ ( ) ( ) ^{b × c =} [ ^{a × b ⋅ c} ] ²

( ) ( ) ( ) ( ) ^{ }







 







+

⋅ +

+

⋅

−

⋅

 =

 





 





 +

−

 =

 





 





 +

+

=

2 t 1 t

1 t t

1 t t c

, 1 t

t 1 t b , 2 t

1 t

t a

27) Zur Festigung des Rechnens mit dem Vektoriellen Produkt:

Mit dem Spatprodukt (siehe linksstehender Auszug aus einem Handout vom Dezember 2006) kann man nebst dem Lösen linearer ...

… Gleichungssysteme auch Volumina von Parallelepipeden sowie diverser Pyramidentypen berechnen.

N U R Z U R E R I N N E R U N G ! ! ! ! ! ! ! !

Benutze entweder das Skriptum zur Analytischen Raumgeometrie [von www.matheprof.at via 6D(2007/08) oder bzw. und 6E(2008/09) downloadbar, falls die Hardcopy-Variante vom Sommer 2006 schon verschollen sein sollte] zum Beweis der folgenden Formel [Hinweis: GRASS(L! )MANN!] oder/und(!) … überprüfe sie anhand dreier selbst gewähl- ter Vektoren des IR³! … ungeachtet eines Be- weises jedenfalls zur Ü- bung sehr zu empfehlen!

28) Mehr zum Spatprodukt:

Die drei rechts gerahmten Vektoren erzeugen für jeden Wert von t ein Parallelepiped [siehe Aufgabe 27)!].

Zeige, dass das Volumen V dieses Parallelepipeds nicht von t abhängt!

29) Pyramiden und Flächeninhalte:

Die rechts gerahmte Aufgabe 7) aus den Übungen zur 1. Schularbeit der heurigen 6E war im Oktober 2006 in der 6C ein Hausübungsbeispiel ("Aufgabe 36"), welches die 6C damals schwer beschäftigt hat … (Klassensprecher DJ Benzinator hat

gar am Wochenende seinen KV per e-m@il angeschrieben, der daraufhin die rechts abgebildete "grobe Handskizze"

stark vergrößert an der weißen Tafel der 6C anbrachte! ) Für meine mittlerweile abgebrühten Realisten der 8C wird dem ganzen nun gleichsam die Krone aufgesetzt:

Bezeichnet a die Basiskantenlänge und h die Höhe der Pyramide, so gilt für den Flächeninhalt

A

^des

Vierecks AB´C´D´ die Formel

A

⁼24 ^{2 2} a

5 ⋅ 25a +20h . Beweise diese Formel oder/und(!)

verifiziere sie für a=12 und h=120!

30) Regelmäßige Sechsecke und Volumina:

In der rechten Abbildung ist illus- triert, wie man aus einem Würfel ABCDEFGH (welcher hier in ei- nem Horizontalriss dargestellt ist, d. h. der Würfel ruht auf der Grund- fläche ABCD und wir sehen prak- tisch von oben durch die Deckfläche EFGH in den Würfel hinein) unter Verwendung der Kantenmittelpunk- te I, J, K, L, M und N ein regel- mäßiges Sechseck ableiten kann.

Mache dir dies nun zunutze, um die folgende Aufgaben- stellung zu bearbeiten:

[Tipp: Da die Trägergerade g der Raumdiagonale AG des Würfels normal auf die Trägerebene des Sechsecks IJKLMN steht und durch den Mittelpunkt Z ("Zentrum") des Sechsecks geht, liegen die Spitzen aller möglichen regelmäßigen Pyramiden mit der Grundfläche IJKLMN somit jedenfalls auf g!]

. . .

u n d j e t z t z u r e i g e n t l i c h e n A u f g a b e n s t e l l u n g

:

Die Seitenkanten JS und NS einer regel- mäßigen sechsseitigen Pyramide IJKLMNS werden in vier gleich lange Teile geteilt, woraus die Punkte J´

und N´ hervorgehen (siehe Abbildung rechts!). L´ ist der Mittelpunkt der Seitenkante LS.

Beweise diesen Satz oder/und(!) verifiziere ihn für eine selbst gewählte konkrete Pyramide.

Tipp: A(0|0|0), B bzw. D bzw. E auf der positiven x- bzw. y- bzw. z-Achse, Seitenlänge des erzeugenden Würfels als Vielfaches von 16 (16a), Spitze S auf g, ergo S(4t|4t|4t), wobei t a (Warum diese Forderung? Begründe!)

Volumsberechnung von IJKLMNS ohne Vektorrechnung!!

wegen J´ und N´!

31) Anhang zu Aufgabe 30):

… zwischen 30) und 31) vielleicht eine kleine Pause einlegen (vgl. Abbildung rechts!

Beweise die Gültigkeit der in Aufgabe 30) verwen- deten

HILFSÜBERLEGUNG

über das regel- mäßige Sechseck und den Würfel allgemein oder/und(!) rechne an einem selbst gewählten konkreten Würfel (gerade Zahl als Seitenlänge empfohlen!) nach!

32)… zum Abschluss nochmals das

regelmäßige Tetraeder

:

Im regelmäßigen Tetraeder ABCD (abzuleiten aus einem Würfel der Kantenlänge 8) werden die Kanten AD und CD in vier gleich lange Teile geteilt, wodurch sich die Punkte Q und S ergeben (siehe Abbildung rechts unten!). R ist der Mittelpunkt der Kante BD.

a) Zeige, dass das Volumen der dreiseitigen Pyramide QRSD ₃₂³ vom Tetraedervolumen beträgt.

b) Zeige, dass die Schnittpunkte PAB, PAC und PBC der Geraden gQR, gQSund gRS mit der Ebene εABC kollinear liegen

( der Kollineation

zwischen dem Dreieck∆ABC und dem Dreieck ∆QRS, ein vor dem Computerzeitalter zentraler Begriff im UnterrichtsgegenstandDarstellendeGeometrie;

… und für das Funktionieren diverser Computerprogramme maßgeblich!) und überprüfe ferner die Gültigkeit der Proportion P_ABP_AC:P_ACP_BC =1:3.

Gutes Gelingen beim Lösen dieser schönen Aufgaben!

Wien, im Juli 2008. Dr. Robert Resel, e. h.

Lösungen zu ausgewählten ab- schließenden Übungsbeispielen

(A NALYTISCHE R AUMGEOMETRIE )

8C, Realgymnasium, 2008/09

28) V=2

32) Unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems gilt:

2 : 1 BC : B P , 8 : 1 AC : A P , 2 : 1 AB : A

P_AB = _AC = _BC =

Post scriptum:

Auch für das Dreieck ∆J´L´N´ aus Aufgabe 30 läßt sich zeigen, dass die Schnittpunkte P

_JL

, P

_NJ

und P

_NL

der Geraden g

_JL

, g

_NJ

und g

_NL

mit der Trägerebene des Basissechsecks (vgl. Abbildung unten!) der Pyramide kollinear liegen (

Kollineation zwischen dem Dreieck ∆JLN und dem Dreieck ∆J´L´N´).

Fasse dies als Übungsaufgabe Numero 33 auf und nutze die Chance!

"Big Al" and "little Steve"

Abschließende Bemerkung (für letztjährige Wahl- pflichtfachbesucher des W i n t e r s e m e s t e r s !):

Anstatt eine perspektive Kollineation zu betrachten, kann man auf die Kollinearität der drei Schnittpunkte auch über die räumliche Version des Satzes von Desargues

(vgl. "E

ULE

"

S

Bemerkung hiezu

auf www.matheprof.at unter

Wahlpflichtfach!) schließen!