Über die arithmetische Begründung von Klassenzahlrelationen

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Doctoral Thesis

Über die arithmetische Begründung von Klassenzahlrelationen

Author(s):

Pfenninger, Otto Publication Date:

1917

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Über die

arithmetische Begründung

von

Klassenzahlrelationen

Von der

Eidgenössischen

Technischen Hochschule in Zürich

zur

Erlangung der Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte Promotionsarbeit

vorgelegtvon

Otto Pfenninger

ausBäretswil (Zürich)

Referent: Herr Prof. Dr.A.Hurwitz Korreferent: Herr Prof. Dr.J.^Franel

188.

Bern

Druck von Stämpfli ^{& O} 1917

Ich,

^Otto

Pfenninger

^von Bäretswil

(Zürich),

^{wurde am}

29.

April

1891 in Küti

(Zürich) geboren.

Kurz vor meinem

schulpflichtigen

^Alter siedelten meine Eltern nach Zürich

über,

^{wo ich in der}

Folge

^{an den}

städtischen Schulen den Primär- und

Sekundarschulunterricht

genoas. Im Jahre 1907 trat ich in das kantonale Lehrer¬

seminar in Küsnacht

(Zürich)

^{ein und erwarb dort im}

Frühling

^{1911 das}

Lehrerpatent.

^Im

folgenden

^Sommer¬

semester unterrichtete ich aushülfsweise an der Sekundär¬

schule Winterthur. Im Herbste des

gleichen

^Jahres bestand ich die

Aufnahmeprüfung

^{an die}

Eidgenössische

Technische Hochschule in

Zürich,

^{wo ich nun} bis zum Sommer 1915

an der

Abteilung

^{für Fachlehrer in Mathematik} und

Physik

studierte. Das Hochschulstudium schloss ich mit der Er¬

werbung

^des

Diploms

^als Fachlehrer in mathematisch¬

physikalischer Richtung ab;

^{dabei lautete meine}

Diplom¬

arbeit:

„Über

^die Zahlentheorie der bilinearen Formen von

zwei Reihen von

je

zwei Variabein."

Seitdem übte ich

einige

^{Zeit den} Lehrerberuf aus und habe mich im

September

¹⁹¹⁶ der

Lebensversicherung¬

zugewandt.

Zürich,

im Mai 1917.

die arithmetische Begründung ^von Klassenzahlrelationen.

Von

Otto

Pfenninger.

Einleitung.

L. Kronecker hat in Crelles

Journal,

^{Band 57}

(1860),

unter der

Überschrift „Über

^{die Anzahlder} verschiedenen Klassen

quadratischer

^{Formen von}

negativer

^Determi¬

nante" acht Formeln

veröffentlicht,

die ihm die Unter¬

suchung

^der

elliptischen Funktionen,

^{für welche}

komplexe Multiplikation stattfindet, geliefert

^{hat. Diese Formeln}

geben Beziehungen

^anzwischen den AnzahlenvonKlassen binärer

quadratischer

^Formenvonverschiedenen

negativen

Determinanten und

einigen

zahlentheoretischen Funk¬

tionen,

^{die im} wesentlichen Teilerfunktionen sind. Wie Dirichlet den Satz von Jacobi über die Anzahl derDar¬

stellungen

^{einer Zahl 4m durch vier}

Quadrate

arithmetisch

begründet hat,

^{fand es Kronecker}

wünschenswert,

^seine

Formeln

„der Fremdartigkeit

^ihres

analytischen Ursprungs

zu entkleidend Dieses

gelang

^ihm

auch,

^{und er}

legte

den arithmetischen Beweis der ersten sechs Formeln in

seiner

Abhandlung „Über

^{bilineare Formen mit vier}

Variabeln" ^{nieder. Der Beweis stützt} sich auf ähnliche

Grundlagen

^wie der erwähnte Dirichletsche Beweis und die auch das Wesen ^der berühmten zahlentheoretischen Sätze Liouvilles ausmachen. In der Tat ist es auch Herrn Prof. E. Meissner

gelungen,

^{direkt aus diesen}

Sätzen eine Kroneckersche Relation herzuleiten. Neben diesen

Bestrebungen gingen

^die

Untersuchungen

^von

J. Qierster und Herrn Prof. A.

Hurwitz,

^{durch welche} die bekannten Relationen zwischen Klassenzahlen vom

Standpunkt

^der

elliptischen

Modulfunktionen neu be- leuch et und durch neue Resultate ihre Anzahl und Er¬

kenntnis ganz bedeutend bereichertwurde. In die Reihe der

hervorragenden ^Forscher,

^{die sich mit den Relationen}

beschäftigten,

^{trat noch Ch.}

Hermite,

^{der sie aus Reihen¬}

entwicklungen elliptischer

^Funktionen

begründete.

^An

dieArbeiten Hennîtes

knüpfen

^sichneuere

Untersuchungen

von G. Humlert an.

Die

vorliegende

^{Arbeit hat den}

Zweck,

^{den Kro-}

neckerschen arithmetischen Beweis in übersichtlicher "Weise darzustellen. _{Dazu zog} ich den

Begriff

der Wurzel einer

quadratischen

Form herbei und summierte nicht über

quadratische ^Formen,

^{sondern in}

Verallgemeinerung

^über

eine äusserst willkürliche Funktion. Einfache

Speziali¬

sierungen

dieser Funktion führten mich dann auf die Kroneckerschen

Formeln,

resp. auf lineareKombinationen

von

diesen,

^{die sich durch}

gefälligen

Aufbau auszeichnen.

Ich habe noch

einige

weitere Formeln

hinzugefügt,

^die

sich im Laufe der

Betrachtungen eigentlich aufdrängen.

Meinem hochverehrten

Lehrer,

Herrn Prof. Dr. A.

Hurwitz, spreche

^{ich meinen} herzlichsten Dank aus für seine freundlichen

Ratschläge,

^{die mir}

erlaubten,

^etwas

zu

jenem

^Gebiete

beizutragen,

^das durch ihn selbst ganz bedeutend

gefördert

^wurde.

Von den

Abbandlungen,

die sich auf Klassenzahl¬

relationen

beziehen,

seien hier noch die

hauptsächlichsten zusammengestellt

^:

L. Kronecker,

„Über

die Anzahl der verschiedenen Klassen

quadratischer

^{Formen von}

negativer

Determinante".

Crelles

Journal,

^{Bd. 57}

(1860),

pag. 248.

L.

Kronecker, „Über

bilineare Formen mit vier Variabein".

Aus den

Abhandlungen

^der

Königl.

Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin

(1884). (In

^der

Folge

^mit

„Kronecker" zitiert.)

J.

Gierster, „Über

Relationen zwischen Klassenzahlen etc."

Math.

Annalen,

Bde. XXI und XXII.

A.

Hurwitz, „Über

^{Relationen zwischen}Klassenzahlen". Math.

Annalen,

^Bd.

XXV,

pag. 157.

A.

Hurivitz, „Über

^die Klassenzahlrelationen etc." Berichte der K. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften. 4.Mai 1885.

Ch.

Hermile, „Sur quelques conséquences arithmétiques

^des

formules de la théorie des fonctions

elliptiques".

^Acta

mathematica,

^{tome 5}

(1884).

G- Humbert,

„Formules

^{relatives aux} nombres de classes des formes

quadratiques

^{binaires et}

positives".

Journal des

Mathématiques,

^6me

série,

^{vol. 3.}

E.

Meissner, „Über

^die zahlentheoretischen Formeln Liou- villes". Diss. Zürich 1907.

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Bilineare Formen.

§

^i-

Bilineare und ihre

zugeordneten quadratischen

^Formen.

Wir

gehen

^{bei unsern}

Untersuchungen

^{aus von}

der

Betrachtung

der Funktion

F ⁼

axx x2 -f bx1 y2

^—

cx2 y1 -\- dy2

yv

Die Koeffizienten _a,

b,

^{—c und d setzen} wir als ganze Zahlen voraus und ordnen die Yariabeln zu den zwei Paaren

(xv y^

^und

(x2, y2)

^{zusammen. Wir nennen die}

Funktion eine bilineare Form und bezeichnen sie kurz mit

(1)

^{F =}

{a, b,

c,

d).

Jedes Paar der Variabein transformieren wir mit einer und derselben

Substitution,

^{die wir}

ganzzahlig-unimodular

voraussetzen. Wir setzen also:

x ⁼ ax

-f ßy

x., ^{= ax}

+ ßy

und ^•

Vl ⁼

yx[ ⁺ ày\

y2 ⁼

yx\ ⁺ by2

wobei die

Bedingung

ab^—

ßy

^{= 1} erfüllt sein muss.

Die Form F

geht

durch diese

Substitution,

^{die wir}

mit 8 bezeichnen

wollen,

^{wieder in eine} bilineare Form

F'

=

(a, b',

c,

d)

über,

^{wobei sich die neuen} Koeffizienten aus den ur¬

sprünglichen

^{aus den}

folgenden Gleichungen ergeben:

a = aa

-\-(b

^—

^c)

^ay

^{+ dy}

b'

=

aaß -\-

^{bad —}

cßy -f- dy<5

— c =

aa/î -(- è/fy

^{— ca<5}

-\- dyô d'

=

aßi-\-(b-c)ßd + ^dd2.

Zwei

Formen,

^{die in dieser Weise}

zusammenhängen,

nennen wir

äquivalent

^{und drücken dies durch die}

Gleichung

F8=F'

aus. Alle

Formen,

^{die zu einer}

gegebenen

^{Form F}

äqui¬

valent

sind,

^{bilden eine}

„Klasse

^{bilinearer For¬}

men";

wir bezeichnen sie mit

K=(FS).

Eine solche Klasse besitzt zwei Invarianten. In der

Tat,

subtrahieren wir die dritte

Gleichung

^des

Systems (2)

von der

zweiten,

^so finden wir:

b

+

^c=

b' +

^c

und durch leichte

Eechnung ergibt sich,

^dass ad

-[-

^{bc =}

ad' + b'c ist; folglich

^sind

(3)

^{n = ad}

-f-

^{bc und x = b}

-f-

^c

Invarianten,

^{die erstere nennen wir die} Determinante der bilinearen Klasse und bezeichnen sie durch¬

weg ^mit n, die zweite bezeichnen wir mit dem Buch¬

staben x.

Setzen wir in der bilinearen Form F x1 ⁼ xi ^{= x,} y1 ⁼ ys⁼ yi

so

geht

^{sie in die binäre}

quadratische

^Form

F⁼

ax2 + (b

^—

c)

xy

-f dy2

oder kurz

geschrieben

ⁱⁿ

(4)

^F=

(a, h—c, d)

über. Wir nennen F die

zugeordnete

^{Form zu F. Wir}

wollen an dieser Stelle

bemerken,

dass wir im

folgenden

die elementaren

Begriffe

^{und Sätze der}OaiissschenTheorie der

quadratischen

^{Formen als bekannt} voraussetzen. Sind zwei bilineare Formen

äquivalent,

^{so sind es auch ihre}

zugeordneten

^{Formen. Um diese}

Aussage einzusehen,

brauchen wir ^{nur in}

FS⁼

F'

die Yariabeln wie vorhin zu identifizieren. Es seien nun

zwei

äquivalente quadratische

^Formen

(P, Q, B)S

⁼

{P',Q', B)

und eine bestimmte Zahl

x =

Q (mod 2)

gegeben

; wir werden

zeigen,

^{dass sich in}

eindeutiger

Weise zwei

äquivalente

^{bilineare Formen bestimmen}

lassen,

^{denen die}

gegebenen quadratischen zugeordnet

sind ; ^es ist nämlich:

(P, £±ü, =^±ü, ^B)

^s=

^{(p; £ + ü, =itf±* b).}

In der Tat haben wir die

Gleichungen:

P'

⁼ Pa

+ Qay + By2

Q'

⁼

2Paß + Q (ad + ßy) + 2Byô

B'

⁼

Pß2 + Qßö + ^BÔ2

Zur

Bildung

^{eines neuen}

Gleichungssystems

^übernehmen

wir die erste und dritte

Gleichung

unverändert. Zur zweiten

hingegen

^{addieren wir auf} beiden Seiten _x, be¬

züglich

^—x, und dividieren sie durch

zwei,

^{so erhalten} wir das

System:

P'

⁼

Pa2 + Qay + By2

—2—

⁼

-^«Z3 H _2—

2 Py "*" 7

2 ⁼

Pct/^ "^ 2— ^

₂ ^°

+

r

B'

⁼

Pß2 -f Q/îd + ^Bö2.

Offenbar sind die Formen

(P, Q, P)

^und

(P\ Q\ È)

resp.

zugeordnet

^{den Formen}

(P, ^, =^, ^{^)}

^und

^{(P', £ + ^f} =4±iî, ^B)

und dass diese

äquivalent sind, zeigt

^{uns ein}

Vergleich

des letzten

Gleichungssystems

^mit

(2)

; die

Systeme

^sind

wesentlich identisch. Die

eindeutige Bestimmung

^ist

offenbar.

Aus der soeben bewiesenen

Beziehung entspringt

ein fundamentaler Satz:

Eine Klasse

quadratischer

^Formen

(5) K={(P,Q,B)S)

und eine bestimmte Zahl

x ⁼

Q (mod 2)

bestimmen die Klasse bilinearer Formen

(6)

^{K =}

{(P, ^{9±ï, ^M B)} S}

vollständig

^und

eindeutig.

Wir können ^zu

jeder

Form F der Klasse K mit der Zahl x eine bilineare Form F

bilden,

^{zu welcher}

F die

zugeordnete ist;

^{da nun} die Formen F zu

(P, Q, B) äquivalent sind,

sind die Formen F zu

(P, —-^-—,

Q

-\-

^x

~-—,

B) äquivalent,

^{d. h. sie}

liegen

ⁱⁿ der Klasse K.

x ist eine der Invarianten dieser Klasse. Es leuchtet auch unmittelbar

ein, dass,

^{wenn F die sämtlichen}

Formen der Klasse K

durchläuft,

^die

entsprechende

Form F die sämtlichen Formen der Klasse K durch¬

läuft.

Wir nennen eine bilineare Form

„positiv",

^wenn

ihre

Zugeordnete

^eine

positive

^Form

^ist,

^{wobei diese}

bekanntlich charakterisiert ist durch die

Ungleichungen

^:

a>0,

^{iad —}

(b

^—

c)2>0.

Daraus kommt:

a>

0, 4(ad + bc)

^—

(b -f cf

^>0

und endlich

(7) ^«>0, *2<4/i.

Wenn eine

quadratische

^Form

positiv ^ist,

^{so ist ihre}

Klasse

positiv,

^{d. h. ihre Klasse enthält} ausschliesslich

positive Formen;

^dasselbe

gilt

^{für bilineare Formen.}

Durch

Multiplikation

^{derFormen mit}

(— 1)

erhalten wir

aus einer

positiven

^{Klasse eine}

negative

^und

umgekehrt.

Wir beschränken uns auf die

Betrachtung posi¬

tiver

Formen,

^{d. h. wir}

legen

^die

Ungleichungen (7)

unsern

Folgerungen zugrunde.

D sei die Determinante der Form

(P, Q, B),

^es

sei also:

—D ⁼ m = 4Plt^—

Qr.

Zwischen den Invarianten einer Klasse bili¬

nearer und der Klasse der

zugeordneten

^Formen

besteht die Identität:

(8)

^m= 4ra ^—h2.

"Wir

geben

^{nun n einen}

bestimmten,

^aber

beliebig

ge¬

wählten

ganzzahligen positiven Wert,

^{hierauf lassen wir}

x alle

möglichen

ganzen Zahlen

durchlaufen,

^{die der}

Ungleichung

\x\ ^< 2}/^

genügen,

^{m nimmt dadurch eine Reihe}

positiver

^Werte

an, und wir bilden zu

jedem

die Klassen

positiver

qua¬

dratischer

Formen,

^{welche ihn zur} Determinante haben.

Nach dem fundamentalen Satze

gibt

^{es zu}

jeder

^dieser

Klassen eine

positive

^{Klasse bilinearer}

Formen,

^wobei

diese letzteren die Determinante n besitzen. Wir werden noch

zeigen,

^{dass wir} auf diese Weise die Gesamtheit der

positiven

^Klassen bilinearer Formen der De¬

terminante n

gefunden

^haben. Es sei K eine ganz

beliebige

^{Klasse der} Determinante _n, dann

befriedigt

^sie

und ihre

Zugeordnete

^die

Gleichung (8)

; d. h. die Zu¬

geordnete

^{haben wir}

aufgestellt

^{und damit auch K}

gefunden.

Wir bezeichnen die Anzahl der

positiven

Klassen

quadratischer

^Formen der Determi¬

nante m mit

H(m)

^und

diejenige

^der

positiven

Klassen bilinearer _{Formen der} Determinante

n mit Gl

(«).

Das Resultat der letzten

Überlegungen

kann durch die

folgende Gleichung ausgedrückt werden,

die eine

Beziehung

zwischen der Anzahl der bilinearen Klassen einer Determinante mit den Anzahlen der

quadratischen

^Klassen verschiedener Determinanten herstellt.

Es ist:

Cl(n)

⁼

H(4n) -\-2H(in—l2) + 2Jff(4w—22) + 2S(4h

^—

32)-|

das ist:

(9) Cl(n)

⁼

^H(4n

^—

^x2)

K

wobei k die Zahlen

0, +1,

.+

2, ±3,

^{.... durchläuft} und

begrenzt

^{ist durch die}

Bedingung

|*|

^<

2J/h.

§

^2.

Repräsentantensysteme

bilinearer Formen.

Unter der ersten Wurzel der

positiven quadratischen

Form

(P, Q, E) .versteht

^{man die Grösse}

—

Q + i]/m

Wir werden nur erste Wurzeln in Betracht ziehen und sie durch Punkte in der Gaussschen Zahlenebene dar¬

stellen. Mcht nur

Formen,

sondern auch

„Wurzel- punkte"

^{werden wir als}

Repräsentanten

^von

Klassen

ansprechen.

^Zwei

^Wurzeln,

^{m und co, welche}

die

Gleichung

aco

-\- ß

CO ⁼ ;

yco

-f-

^ô

erfüllen,

^wobei

ad^—

ßy

^{= 1}

ist,

^{nennt man}

äquivalent,

^{wofür man} auch kürzer

CO = SCO

schreibt. Ist co die Wurzel der Form F und

befriedigt

co die

Gleichung

co ⁼ Sco ,

so ist o die Wurzel der Form

F'=

FS.

Wir

greifen

^{aus denKlassen}

positiver quadratischer

Formen

diejenigen

^Formen

heraus,

^deren Koeffizienten die

Ungleichungen

2P

I> Q ^

⁰

• 2ß ;>

Q

^{I> 0}

befriedigen.

^{In diesen}

Bedingungen

sollen nicht

gleich¬

zeitig

^zwei Gleichheitszeichen

gelten. Sachgemäss

^haben

P, Q

^{und B nur endliche} Werte. Wir setzen

co = !/

-f-

^iv

(v

>

ü)

und

finden,

^{dass die}

Wurzelpunkte

^der betrachteten Formen in einem Gebiete B

liegen,

das durch die Be¬

dingungen

—1

^

^{«< °}

(« ⁺ TJ ^+v ^7

beschrieben wird. Der unendlich ferne Punkt der

v-Achse,

sowie die Punkte

(0,0)

^und

(— 1,0) gehören

^{nicht zu R.}

Liegt

^{anderseits der}

Wurzelpunkt

^{einer Form im Ge¬}

biete

B,

^{so sind die}

Koeffizienten-Ungleichungen

^erfüllt.

Jede Klasse hat im bekannten

Reduktionsgebiet

^der

Oaussschen Ebene einen und nur einen

Repräsentanten.

Wir

zerlegen

^{dieses Gebiet in zwei}

Teile,

^{die Punkte}

(iv),

^v

>

^{1 rechnen} wir als zu

jedem

^{der Teile}

gehörig.

*H

*

I

/ / „

V \ It

Den rechts

liegenden

^Teil transformieren wir mit der Substitution

wodurch er sich um die Einheit translatorisch nach links verschiebt. Das neue Gebiet bildet mit dem nicht trans¬

formiertenTeil zusammen ein Stück von

R,

^{in dem}

jede

Klasse im

allgemeinen

^{einen und nur einen}

Repräsen¬

tanten hat. Dieses Stück bezeichnen wir mit iü

, seine Punkte mit wv Transformieren wir R durch

-1 -

CO ⁼ 1,

co1

so

liegen

^{die Punkte} _u>2 ⁱⁿ

R2

^und dieses Gebiet besitzt die

gleichen Eigenschaften

^{wie R .} Ebenso erhalten wir durch die Transformation

—1 œ<i ^— TT

ein Gebiet

P3,

^{das wieder dieselben}

Eigenschaften

^hat.

Die Gebiete

R,, R.

^und

R„

^{überdecken das Gebiet R} lückenlos und bis auf den

Schnittpunkt

^{von u ———}

mit

u2 -\- ^v2

^{= 1 einfach.}

Liegt

^von einer Klasse ein

Wurzelpunkt

^{auf der}

^Begrenzung

^von

R,

^{so hat sie in R}

überhaupt

^{nur Wurzel}

punkte

^{in dieser}

Lage;

eine solche Klasse nennen wir

„Ran

^{dkla ssc". Wir}

folgern

^nun:

Eine

Klasse,

ausgenommen sind die

Randklassen,

hat im

allgemeinen

^{inP drei}

Repräsentanten

^und

die

entsprechenden

^Formen

genügen

^den

Bedingungen:

I. ... 2P>

Q

>

0,

^{2R >}

^Q

^{> 0.}

Wenn

(P, Q, R)

^{eine der Formen}

ist,

^{so sind die zwei}

andern

(P

^—

Q + P,

^2P—

Q, P)

^und

(P,

^2R—

Q,

P^—

Q-(-R).

^{Eine Randklasse}

hingegen

^{besitzt im}

allgemeinen

^sechs

Wurzelpunkte,

^{und die ent¬}

sprechenden

^Formen

befriedigen

^zu

je

^{zweien die Be¬}

dingungen

^:

IL . .. 2P>

Q

⁼

0,

^2R>

Q

^{= 0} in... . 2P ⁼

Q

>

0,

^2R >

Q

> 0 IV.. . . 2P >

Q

>

0,

^{2.B =}

Q

> ^0.

Diese sechs Formen sind:

(P, 0, R), (R, 2R, P+P), (P + P, 2P, P)

^und

(Ä, 0, P), (P, 2P,

^P

+ P), (P+P, 2fi, P).

Im besondern hat

jedoch

^{die Klasse von}

(P, P, P)

nur diese eine

Form,

^{die den}

Bedingungen (I) genügt

und die Klasse von

(P, 0, P)

^hat

je

^eine

Form,

die den

Bedingungen (II), (III)

^oder

(IY) Genüge

leistet ;

es sind das die Formen:

(P, 0, P), (P,

^2P—

Q, 2P—Q)

und

(2P—Q, 2P—Q, P).

Betrachten wir alle Formen der Determinante

m = APR^—

QJ,

welche entweder den

Bedingungen (A)... 2P^Q>0, 2P^Q>0,

^P

+ R>Q

oder den

Bedingungen

(B)... 2P>q;>o, 2P>q:>o

genügen,

^{so erhalten wir für}

jede

Klasse der Determi¬

nante m sechs und nur sechs

Repräsentanten,

dabei zählen wir aber die Klassen mit einer Form

(P, 0, P)

^{nur mit Einhalb} und die Klassen mit einer Form

(P, P, P)

^{nur mit} Eindrittel. In der Tat werden die

Formen,

^die

(I) befriedigen, je

ⁱⁿ

(A)

^und

(B)

^auftreten.

DieFormen der Bandklassen aus

(II)

befinden sich unter

denjenigen,

^die

(B) erfüllen,

^{und die aus}

(III)

^und

(IV)

unter denen von

(A).

^Die

Zusatzbedingung P-\-R~^>Q

schliesst die

Möglichkeit

aus, dass

gleichzeitig

^zweiGleich¬

heitszeichen

gelten.

^Die

Formen,

^{die bei}

gegebenem

^m

die

Bedingungen (A)

^und

(B) befriedigen,

^{nennen wir in}

ihrer Gesamtheit ein

Repräsentantensystem posi¬

tiver

quadratischer

^{Formen der} Determinante m.

"Wir bilden nun die

Repräsentantensysteme

^{für alle}

Determinanten »w, die sich bei festem n aus der

Gleichung (8) ergeben,

^{und betrachten endlich die}

entsprechenden

bilinearen Formen zu den

gefundenen Repräsentanten

; diese bilinearen Formen stellen ein

Repräsentantensystem positiver

^bilinearer

Formen der Determinante n dar. Wir

folgern

den Satz:

Bilden wir alle

positiven

bilinearen For¬

men

(a, b,

c,

d)

^der Determinante n = ad

-j- 6c,

welche entweder den

Bedingungen

2

(1)...

2«:>&^—

c>0,

2d>&^—

c>0,

^a

+ d>&

^—c odor

(2)... 2a>Z>

^—

cl>0, 2d>&

^—

cl>0,

genügen,

^{so erhalten wir ein}

System

^von

Formen,

^{in dem}

jede

Klasse sechsmal ver¬

treten ist. Dabei werden die Klassen mit einer

zugeordneten

^Form

(P, 0, P)

^{mit Ein¬}

halb, diejenigen

^{aber mit einer Form}

(P,P,P)

mit Eindrittel

gezählt.

Es sei nun

/"(a, b,

c,

d)

^eine Funktion der vier

Argumente

a,

b,

^{c und}

d,

die für alle in Betracht zu

ziehenden

Argumentwerte

^definiert

ist;

^{n sei eine}

posi¬

tive ganze Zahl. Wir bilden ^nun die Summe:

(10). S=2/(a' ^t>,

^c,

^d),

welche erstreckt wird über alle

Systeme

ganzer ^Zahlen a,

b,

^{c und}

d,

^{die die}

Gleichung

n ⁼ ad

-\-

^bc

erfüllen und den

Bedingungen (1)

^und

(2) genügen.

^Es

folgt sogleich,

^dass

(id s=2a*,^,=4±^*)

ist,

^{wobei die} Summe rechts erstreckt ist über alle _x, die die

Ungleichung \x\ <2(/w befriedigen,

^{und bei fest}

gewähltem

^{x über das}

Eepräsentantensystem quadratischer

Formen der Determinante 4w^—

x2.

Es ist also:

(12) 2 ^f{P, ^, =1^±A ^R)

⁼

^{£ />, 6,}

^c,

^d).

Dabei sind die Summationen bzw. dieselben wie vorhin.

II. Abschnitt.

Umformungen ^{der Summe S.}

§

^i.

Die

Zerlegung

ⁱⁿ

Teilsummen.

Wir werden im

folgenden

die Summe S in mehrere Teile

zerlegen.

^Zur

Abkürzung

bezeichnen wir die Summe

s=

7,/"(«, ^&,

^c>

«0,

welche über alle

diejenigen ganzzahligen Lösungen

^der

Gleichung

^{n = ad}

-\-

bc erstreckt

ist,

^die

gewissen

^Be¬

dingungen (B) genügen,

^mit

S/B).

Die in

Frage

stehende Summe

(10)

schreibt sich hiermit:

S=8f(2a^b

^—

^c>0, 2d^b

^—

c>0,

^a

+

^d>b—

c) + #;.(2a>&

^—

^{c^O,} 2d>& —c^O)

oder noch kürzer:

(13) S=Sf(l) ⁺ 6>(2).

Wir

zerlegen

^{diese zwei}

„Teilsummen"

ⁱⁿ

je

^drei

weitere,

indem wir setzen:

8f(l)

⁼

8f((l),

^a—d=b

⁺ c) ⁺ ^((1),

^a—

^{d<b +} c)

+ Sf((l),a

^—

^{d>b +} c)

und

8f(2)

⁼

^((2),

^a~d==6

⁺ c) ⁺ ^((2),

^a—d<6

⁺ c)

+ 8f((2),a-d>b ⁺ c).

Durch die Substitution

/a, 6,

c, d\

\d,

^{—c, —}

6, a)

die so

gemeint ist,

^{dass a durch}

d,

^{b durch} —c, ^c durch

—b und d durch ^{a ersetzt} werden

soll, gehen

^{die Be¬}

dingungen (1)

^und

(2)

^{und die}

Gleichung

^{n = ad}

-\-

^bc

in sich selbst über. Die

Ungleichung

^{a—d > b}

-J-

^c

wird

hingegen

^{zu a— d}

^{<^b} -\-

^{c und es wird}

8f((l),

^a—

d>b-\-c)

⁼

2_jf(d,

^{—c, —}

^{6, a)}

wobei die Summe rechts über

(1),

^a—d

<C.b -\-

^{c zu} erstrecken ist. Definieren wir hier die Funktion:

h

(a, &,

c,

d)

⁼

f(a, b,

c,

d) -\-f(d,

—c,

—b, a),

so wird

Sf(l)

⁼

^((1),

^a-d=&

^{+ C) + 8A((1), a-d<6 + c)}

^(2)

⁼

^((2),

^a-d=5

⁺ c) ⁺ SA ((2),

^a-d<6

⁺ c).

Zu den

Bedingungen (2)

können wir noch ohne weiteres

a-\- d^>

^{b— c}

hinzufügen,

^{worauf wir in den auf h}

bezüglichen

^{Summen a}

-\-

^{d>b—c und a—}

d<Z_b-\-

^c

zu der

Bedingung

c

-\- d^> \a

^—

b\

zusammenfassen. Für diese Summen setzen wir nun

Sh(l)

^und

8h(2)

wobei also

(l')... 2«2>&-—c>0, 2d^>b

^{—c, c}

+ d>\a

^—

b\,

(2').-. 2os>&

^—

c^O, 2d>&

—c,

c4-d>|a—

⁶¹

ist. Die durch

(1 )

^bestimmten

Zahlsysteme

^werden

erhalten,

^{indem wir yon}

denjenigen

^die

(I)... 2a^>b

^—

^c>0,

^c

+ d>|a— &|

befriedigen, diejenigen ausschalten,

^welche

(I*)... 2al>& —c>0, 2d<b

^—c, ^c

+ d>|a

^—

b\

genügen.

Da aber wegen

2a ^—

(6

^—

c)

⁼

2(c ⁺

^d

^{+ (a}

^—

6)) ^{+ (6}

^—c—

^2d)

^{> 0}

2a > &^—c von selbst erfüllt

ist,

^ersetzenwir

(I*)

^durch

(I')...

^&

—c>0,

^&

—c>2d,

^c

+ d>|a—&|.

Es wird dadurch

^(i')

⁼

^(D-sA(i')-

Dieselben

Überlegungen

^{führen uns von}

(2 )

^{zu den}

neuen

Bedingungen

(II)... 2a>&

^—

c^>0,

^c

+ d>|a

^—

6|

(II')...

^&—

cl>0,

^6—

c^2d,

^c

+ d>ja

^—

&|

woraus

folgt

^(2')

⁼

^(II)-^(II).

Damit wird:

(15) ^

⁼

Ä/(W'

^{*-^= &}

⁺ «) ⁺ ^(I)-^(l') Sf(2)

⁼

Sf((2),

^a-d=

b+c) ⁺ £A(II)-#A(Il').

Das

System (I) zerlegen

^wir

bezüglich

^{des Wertes von}

a^—& in drei Teile:

(I0)...

^o=

^{6, 2a^b}

^—

^c>0,

^c

^{+ d>0,}

(I,)...

^a>

^&,

^2a

^{^&}

^—c>

^0,

^c

^{+ d>a— b,}

(Ig)...

^{a <}

^&,

^2a

;>

^&—c>

0,

^c

+ d>

^&—a

und ebenso das

System (II)

^in:

(1I0)...

^{a =}

^b, 2a>&

^—c

^ 0,

^c

+ d>0, (IIX)... ^{a>6, 2a>6 —c^O,}

^c

^{+ d>o —6,} (IL,)...

a<

6,

^{2a> &—c}

^:> 0,

^c

+ d>

^b—a.

Einige

^dieser

Systeme

transformieren wir mit der Sub¬

stitution

/a, ö,

c, d\

\a, ^2a—

6,

—c, 2c

+ ^d/'

wobei w in sich selbst

übergeht. Dagegen

^verwandelt

sich

(I2)

ⁱⁿ

(IIJ, (II0)

ⁱⁿ

(I0)

^und

(LI2)

ⁱⁿ

(IJ

^{; es}

^genügt,

einen der Fälle

durchzuführen,

^{wir wählen den ersten}

und finden ^aus

(I2):

a<2a—b, 2al>2a—&+c>0,

^—

c+2c-fd>2a—b—a,

das ist:

(IIj)

^a>

^{6, 2a>}

^b—c

^{^ 0,}

^c

^{+ d>a}

^—b.

"Wir haben so die

Bedingungen (I2), (II0)

^und

(II2)

^eli¬

miniert und setzen

l "ft(a, ^2a-6,—c,2c+<2)^V

l'

und es ist die Summe

(16) 8h(T) ⁺ Sh(lT)

⁼

Äfc(I0) + W ⁺ 5,(11,)

wobei wir definieren:

k(a, b,

c,

d)

⁼

h(a, b,

c,

d)-\-h(a,

^2a—

b,

—c, 2c

-f- <^).

Die subtraktiven Summen der

Gleichungen (15)

^suchen

wir inähnlicher Weise zusammenzufassen. Das

System (I )

zerlegen

^wir

bezüglich

^{des Wertes von d in:}

(X)...

^{d =}

^0,

^b—c>

^{0, c>\a}

^—

^b\, (l[)...

^d>

^0,

^{b—c >}

^{2d, c-\-d}

^>

^\a

^—

^b\, (l't)... ^d<0,

^&—c>

^0,

^c

^{+ d> |a —6|,}

und ebenso

(II)

^in:

(Ilg)...

^{d =}

^0,

^&—c

^{I> 0, c>\a}

^—

^b\, (IIj)... ^d>0,

^&

^{—c^> 2d,}

^c

^{+ d>} |a—-6|, (EÇ)... ^d<0,

^b—

^{c^ 0,}

^c

^{+ d> |a«—61.}

Mit der Substitution

a,

b,

c, d\

—a

+ 26, b,

^c

+ 2d,

^—dr

die w unverändert

lässt,

eliminieren wirdie

Bedingungen

mit dem Index

2,

^{sie führt}

(1^)

ⁱⁿ

(ij)

^und

(11^)

ⁱⁿ

(IIj)

^{über. Es} wird demnach

äa(ii)

⁼

sh(W0) ⁺ sA(ii;) ⁺ sfc(_a+Äi

^{b c+2di}

_d)(n;).

Wir definieren

q(a, b,

c,

d)

⁼

Ä(a, fr,

c,

d) + 7i(—a-{-2b, b, c-\-2d, —d)

und erhalten damit

(i7) 6A(i')+^(n')=Äft(i;)+ÄA(ii;)+s4(i;)+Ää(ii;).

Die Summe S

(l[)

^ist erstreckt über

b^—

c>2d>0, c-fd>|a

^—

&|,

jeder

^{Summand erfüllt also eine und nur} eine der Un¬

gleichungen

2,«<Z<

^b—

c<: 20-HK

wofi alle

ganzzahligen positiven

^Werte annehmen kann

').

Es wird somit

Sq(l[) =J^Sq(2/xd ^{<b-c ^2(ju + l)d,}

^c

⁺ d>\a

^—

b\).

,u⁼1,2, 3,...

Die Substitution

t ^_

/

o,

h

c,

A

f*

\2/xb-\-d, 2fia—c, —6,

^a/

lässt die Determinante n

unverändert,

die letzten Be¬

dingungen

aber werden:

2a:> b—c >

0, (2ju—l)(a—6)

<

c+tf

^<

(2/*+l)(a—6)

somit ist

8q{l[)

⁼

2 _Sqtj2a^ ^{6-c> 0,} (2^-1)(o-&)

<

c+d

<

(2,u+l)(a-

,(⁼l, ä, ...

Anderseits ist

«Sfc(I1)=2^(«, ^6,

^c,

^d); (2a^b-c>0, c+d>a—&

>

0),

aus dieser Summe nehmen wir sämtliche Glieder

heraus,

in denen

c

+

^d=

(2r-f-l)(a

^—

b)

ist,

^{wobei v eine} _ganze

positive

Zahl ist. In allen

übrigen

Summanden lässt sich eine und nur eine ganze

positive

Zahl _/j,

bestimmen,

^{für welche}

(2fx

^—

1) (a

^—

&)<

^e

+

^d<

(2,a -f-1) (a

^—

b)

ist. Wir schreiben darum

') ft istdas grössteGanze,^welchesvon überschrittenwird.

S^) =^i8k(2a'^b-c>0, ^c+d

⁼

(2v+l)(a—ft), a-&>0)

y=l,2,^...

+ 2#fc(2a:>& —c>0,(2^-l)(a—&)<c + d<(2^ + l)(«— 6))

ß⁼i,2, ^...

und somit kommt für die Differenz:

S^IJ

^—S

(IJ

2Ä*(2a^6—C>0'

^C

⁺

^{^ =}

(2"+1)(a—&)i «—&>0)

1, 2,^...

+2 V«y(2a^6-C>0' (2/*-l)(o-6)<c+d<(2H-l)(*-6))-

,K⁼1,2,^...

Ebenso finden wir für die Differenz:

Äfc(II)

^—8

(H^)

2]/Sfc(2a>&—c^O, ^c+d

⁼

(2v + l)(a— 5), a—&>0)

:1,2,...

+Z ^V* )(2«>&-c^°5 (2,«-l)(a-&)<c+d<(2/*4-l)(a-&)).

r^=r1 2

(18)

(19)

^V

=1'2

li⁼l,2,...

Als Resultat dieses

Paragraphen

erhalten wir schliesslich:

(20)

^{S =}

^A.+

^{B— C}

+

^D

+

^E.

Dabei ist:

A =

Sf(2a^>b

^—

^{c>0, 2d~^b}

^{—c, a}

+ d>&

—c, a—d⁼

è-}-c) + Ä/(2a>&—c^O, ^2d>6—c,

^{a—d= 6}

^{+ e),}

B =

Äfc(a

⁼

^6, 2a^a—c>0, ^c+d>0),

0 ⁼

5^(^

⁼

0, 6—c>0, c>|a

^—

6|)

4-^A(d

⁼

0, b—c>0, c>ja —6|),

Vi

D^2_i\Sk(2a^b—c>°> c+d

^—

(2v+l)(o—&), a-6>0)

2

+ Sfc(2a

> &—c

^ 0, c+d

⁼

(2v+l) (a—b),

^a—b>

0)f,

v=l,ⁱ

^⁼1, 2,^...

+ V«y (2a>6-^0' (2/*-l)(o-6)<c+d<(2A4+l)(o-6))}.

Die Funktionen Ä undotf können wir durch die Funktion

/(«, 6,

c,

d) ausdrücken,

^{wir benutzen aber dazu}

h(a, b,

c,

d)

^im Sinne einer

Abkürzung.

^{Es wird also:}

(21)

h(a.i b,

c,

d)

⁼

f(a, b,

c,

d) -\- f(d,

—c,

—b, a)

k(a, b,

c,

d)

⁼

h(a, b,

c,

d)~\-h(a,

^2a—

b,

—c,

2c-\-d) qt (a, b,

c,

d)

⁼

h(2/j,b-\-d, 2jua—c, —b, a)

-f h(2[a(2a

^—

b)

^—

{d + 2c), 2/ia

^—

c,2a

^—

b,—a).

§

^2-

Die Teilsummen als Punktionen von

f(a, ^b,

^c,

d).

Wir betrachten nun der Reihe nach die Teilsummen.

Die

Bedingungen

^{für die erste Summe}

8f

^{von A lauten:}

2a^>b

^—

c>0, 2d^b

^—c,

a-\-d~^>b

^—c, ^a—d=

b-\-c

n = ad

-f-

^bc.

Die zwei letztern

geben

n⁼

(a

^—

c) (a

^—

b)

und wenn wir setzen

ô =a^—c, A ⁼a^—

b,

so werden die

Bedingungen

n =

ÔA, <5>zf>0,

^ô—

A<^2a<i3A ⁺

^ô.

Indem wir einen Parameter t

einführen,

unterscheiden wir zwei Fälle:

1. Es sei ô^—A⁼0

(mod 2),

^{dann wird}

à^—A 2 Ô^—3A

2 Ö

+

^A

2 Ô

+

^SA

"-

2 -'

darin durchläuft t alle ganzenZahlen zwischen Null und

2A,

die Grenzen

eingeschlossen.

^Dabei

gilt

n ⁼

ôA, <5>zl>0.

2. Es sei d^—A⁼ 1

(mod 2),

^{hier wird}

^-y+'-n

wobei die

Bedingungen

w =

Ad, <5>zl>0, 0^^2J

^—1

gelten.

Ebenso behandeln wir die zweite Summe

Sf

^von

A,

^{d. i.:}

1. Wenn ô— A = 0

(mod 2),

^{so werden die all¬}

gemeinen

^{Ausdrücke für die}

Argumente

^{dieselben wie}

vorhin_; die

Bedingungen

aber werden leicht

geändert

^{zu :}

n =

ôA,

^Ô:>A>

0,

⁰<^t<^2A.

2. Wenn ô^—A ⁼ 1

(mod 2),

^so erhalten wir das¬

selbe Resultat wie im

entsprechenden

Falle oben.

Wir führen an dieser Stelle die Funktion co

(n)

^ein;

es sei nämlich:

co

(«)

^{= 1 wenn n ein}

vollständiges ^Quadrat ist,

co

(n)

^{=0 in}

jedem

anderen Fall.

Ist 6^—A ⁼ 0

(mod 2),

^{so erhalten}

wir,

^{wenn der}

Index

(o)

^{an A diese}

Bedingung

^ausdrückt:

n

Ä(*=2Lf{-2- ⁺ t>--2- ^{+ t>} i— ⁺ *'—2 *)

1;2/)—1

+

^co

(») 2 ^{/U -1^+ *,}

^-

^{^+ % 2^- 0}

1; 2y«—1

wobei die erste Summe rechts über die

Zerlegungen

n⁼

dA,

ô > ^A >

0,

die wir mit einem w über dem Summenzeichen andeuten

wollen,

und ausserdem bei festem ô und A über

t=l,2, 3,

^{...2z/ —1}

erstreckt ist. Die Summation über t deuten wir durch seine extremen Werte unterhalb des Summenzeichens

an. In der zweiten Summe ist die

Zerlegung

^{von n die¬}

selbe,

^{aber es ist nur}

t ⁼ 0 und t —

2A,

die dritte endlich läuft nur über

tf,

^{wie esinderFormel} bemerkt ist.

Ist

jedoch

^{ô—A = \}

(mod 2),

^{wobei wir diese}

Bedingung analog

^wie oben durch den Index

(1)

^{an A}

andeuten,

^so finden wir:

(23)

.

0: 2d-i

In der Teilsumme B wird über die

Zerlegungen

n⁼

a(d-\-c)1

^{a =}

b,

^2a

^{^}

^{a—c >}

0, c-\-a">0

summiert. Wir setzen

c

-f-

^{d =}

(5,

^{a = A}

und erhalten

n ⁼

ôA,

^<3

>0,

^—

A^c<A.

Indem wir wieder den Parameter t

einführen,

^werden

die

Argumente:

a ⁼ A b = A c ⁼ —A

+

^t

d ⁼

ô-\-A

^—

t,

wobei t die Zahlen

0, 1, 2, 3,

^{.. .. 2A—1 durchläuft}

und die Summe B wird mit

Berücksichtigung

^von

(21)

iju

(24)

^{5 =}

2 ^{h(Ai 4}

^—A

^{+ t,}

^à

⁺

^A—

^{f) + h(A, A,}

^A—

^t,

^d—d

^{+ t).}

0;^2d—1

Die Summation über die Teiler von n deuten wir durch das Zeichen

A/n

^{über dem}

Sigma

^an.

Die erste Summe

Sh

^{von C} ist über die

Bedingungen

n=

bc,

^{d =}

0,

^b—c>

0, c>|&

^—

b\

erstreckt,

die wir auch wie

folgt

^schreiben:

n =

bc,

^{d =}

0,

^b—c>

0,

^{b—c < a< &}

+

c>

oder

n =

ÔA,

^d=

0, ô>A,

^ô—

A<Za<:ô-\-A,

wonach für die

Argumente

^{die Ausdrücke}

a = Ô^—A

+

^t b = Ô

c =A d ⁼ 0

folgen;

^{t durchläuft die Zahlen von} Eins bis und mit 2A^—1. Damit wird nun unsere Summe

n

J^h(ô-A ^{+ t,ô,A,0).}

1;^2d—1 Zu den

Zerlegungen

n =

ÔA,

^ô> ^A> ⁰

dieser Summe kommt in der zweiten Summe ^&_h von C noch der Fall

ô = A in Betracht. Wir erhalten somit:

n

(25)

^C=

2^]h(d

^—A

^{+ t, ô, A, 0) +} m(n)y^ih(t, ^{}/n, ]/n, 0)}

l; 2d—1 1; 2]/n—1

Die zweite Summe rechts ist durch den letzterwähnten Fall bewirkt und erstreckt sich darum nur über t.

Wir haben weiter die Teilsumme D zu

betrachten,

die

Bedingungen

^{ihres ersten Gliedes}

) Sk

^sind

V

2a^>b

^—

^c>0,

^c

+

^{d =}

(2r-fl)(a— b),

^a

—&>0,

und daraus

folgt:

n =

(a

^—

b)((2v ⁺ l)a—c), 2a^>b—c>0, a—b>0,

indem wir setzen:

a^—b ⁼

A, (2v + l)a

^{—c = d}

erhalten wir dafür

n =

dA, A>0, 2va<:ô

^—A<:

2(v+l)a.

1. Es sei nun ô^—A = 1

(mod 2).

2a nimmt dann alle

geraden

^{Werte unter à—A an bis und mit der Zahl2.}

In der Tat können wir zu

jedem

dieser Werte ein und

nur ein

positives

^v

bestimmen,

^{so dass die}

Bedingung 2va<ö

^—zf

<T2(>-f-l)a

^*

erfüllt

ist,

^{denn v}

ergibt

^{sich als die}

grösste

ganze

Zahl,

die von ^— überschritten wird. Die

Einführung

^des

ACL

ganzzahligen

^{Parameters t}

gestattet

^{zu setzen:}

a = t b = t^—A

c ⁼

(2v-\-ï)t

^—Ô

d =

(2v+l)(A

^—

t)-\-d

wo t die

Ungleichungen

erfüllt. Die

Bedingungen

^{für die}

Zerlegung

^{von n werden}

n ⁼

ôA, 0>A>0.

2. Es sei ô^—A ⁼ 0

(mod 2).

Auch in diesem Falle nimmt 2a alle

positiven geraden

^{Werte unter ô— A an.}

Die Ausdrücke für die

Argumente

^{und die}

Bedingungen

für die

Zerlegungen

^bleiben

unverändert,

^t

hingegen

^wird

durch die

Ungleichungen

bestimmt.

Für das zweite Glied

/, ^

^{von -^}

^liegen

^etwas

v

veränderte

Bedingungen

^vor. Es wird nämlich

n ⁼

ÔA,

^{zl >}

0,

^2va<iô—

J<2(v + l)a.

Die

Überlegungen

^{entwickeln sich hier in ähnlicher}

Weise wie

vorhin,

^{wir finden so : v ist die}

grösste

ganze

Zahl,

^{die in — enthalten ist. Ist ô—A}

ungerade,

£iOj

so erhalten wir dieselben

Argumente

^und

Bedingungen

wie im

entsprechenden

^Falle

oben,

^wenn

hingegen

^ô—A

gerade ist,

^{so sind wohl die}

Argumente

^{in ihren all¬}

gemeinen

^{Ausdrücken und die}

Zerlegungen

^{von n die¬}

selben wie im Falle 2 von

vorhin,

die Summation be¬

züglich

^t erstreckt sich aber über

t—\ 2 3 Ô~A

1 b~A