Wozu reine Mathematik?

(1)

Jonathan Weinberger

Inhalt Einleitung Was ist reine Mathematik?

Wie entstand reine Mathematik?

Was nutzt reine Mathematik?

{ Diskussion

Wozu reine Mathematik?

Mathematisierung der Wissenschaften im historischen Wandel

Jonathan Weinberger

10. Januar 2012, Seminar \Wissenschaftstheorie"

(2)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

1 Einleitung

2 Was ist reine Mathematik?

3 Wie entstand reine Mathematik?

4 Was nutzt reine Mathematik? { Diskussion

(3)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

\There is no branch of mathematics, however abstract, which may not someday be applied to the phenomena of the real world.\

Nikolaj Lobachevskij (1792 - 1856)

(4)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

\God does not care about our mathematical diculties { He integrates empirically."

Albert Einstein (1879 - 1955)

(5)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

"There is no branch of mathematics, however abstract, which may not someday be applied to the phenomena of the real world.\

(6)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Suche nach \Algebra" in Titeln von ESI-Preprints: 192 von 2346 Treern ( 8:18%)

(7)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Trotz dieses Ergebnisses: Ist abstrakte Mathematik notwendig . . .

(8)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Trotz dieser Ergebnisse: Ist abstrakte Mathematik notwendig . . .

. . . fur die eigentliche Physik, d.h. die reale Welt?

(9)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Auch, wenn Lobachevskij Recht hat, so widerspricht das nicht Einsteins Zitat.

(10)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Auch, wenn Lobachevskij Recht hat, so widerspricht das nicht Einsteins Zitat.

Aber wozu brauchen wir dann reine Mathematik?

(11)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Historischer Ruckblick: Antike

Platon [Der Staat]: Doppelter Nutzen der Mathematik Militarisch: \Logistik" (Rechnen)

Philosophisch: \Arithmetik" (Zahlentheorie)

(12)

Jonathan Weinberger

Historischer Ruckblick

Noch zu Zeiten von Gau (1777 - 1855) keine Trennung reiner und angewandter Mathematik.

(13)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Historischer Ruckblick

Noch zu Zeiten von Gau (1777 - 1855) keine Trennung reiner und angewandter Mathematik

Wendepunkt zu Beginn des 20. Jahrhunderts mit der Russellschen Grundlagenkrise und Hilbertschem Logizismus

(14)

Jonathan Weinberger

Heutiges Verstandnis

reine Mathematik: axiomatisch und eher

strukturalistisch, intrinsische Anwendung (Algebra, Dierentialgeometrie, Logik, Topologie, Zahlentheorie. . . )

(15)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Heutiges Verstandnis

strukturalistisch, intrinsische Anwendung (Algebra, Dierentialgeometrie, Logik, Topologie, Zahlentheorie. . . ) angewandte Mathematik: heuristisch und eher

problembezogen, rechen- oder wirtschaftspraktische Anwendung (Numerik, Statistik, Stochastik, physikalische Anwendungen, Biomathematik. . . )

(16)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Heutiges Verstandnis

strukturalistisch, intrinsische Anwendung (Algebra, Dierentialgeometrie, Logik, Topologie, Zahlentheorie. . . ) angewandte Mathematik: heuristisch und eher

problembezogen, rechen- oder wirtschaftspraktische Anwendung (Numerik, Statistik, Stochastik, physikalische Anwendungen, Biomathematik. . . )

experimentelle Mathematik: simulatorisch, Anwendung sowohl in reiner als auch angewandter Mathematik (Dierentialgleichungen, Gitter, Gruppen, Zahlentheorie, Zufallsverteilungen. . . )

(17)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Isaac Newton (1643 - 1727) aus Lincolnshire

(18)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Isaac Newton (1643 - 1727) aus Lincolnshire Interesse an Mathematik ab 21. Lebensjahr

(19)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Isaac Newton (1643 - 1727) aus Lincolnshire Interesse an Mathematik ab 21. Lebensjahr beeinusst durch Viete und Descartes

(20)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Aspekte der Arbeit:

1 Approximation durch Kurven von Potenzreihen (\unendliche Gleichungen")

(21)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Aspekte der Arbeit:

2 Konvergenzuntersuchungen ohne strenge Denition (!)

(22)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Aspekte der Arbeit:

3 Geometrische Form des Hauptsatzes der Analysis

(23)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Aspekte der Arbeit:

4 Funktionen, Ableitungen, Innitesimale (\Fluenten, Fluxionen, Momente"), Symbole x; _x; ox

(24)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Aspekte der Arbeit:

4 Funktionen, Ableitungen, Innitesimale (\Fluenten, Fluxionen, Momente"), Symbole x; _x; ox

5 Kurzungsregel fur Dierentiale nicht strenger als Fermat (Mitte 18. Jh.) (!)

(25)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 { 1716) aus Leipzig

(26)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 { 1716) aus Leipzig studierte, Philosophie, Jura, Mathematik

(27)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Konzept einer \Characteristica universalis"

(28)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Konzept einer \Characteristica universalis"

Motivation: Zahlenfolgen

(29)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Aspekte der Arbeit:

1 Darstellungen von unendlichen Reihen uber Teleskopsummen

(30)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Aspekte der Arbeit:

2 Innitesimale Geometrie von Kurven

(31)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Aspekte der Arbeit:

3 Kalkul von Dierentialen und Symbole dx;^dy_dx;R

(32)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Aspekte der Arbeit:

4 Algebraische Fassung des Hauptsatzes uber die Inversitat von d zuR

(33)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Aspekte der Arbeit:

4 Algebraische Fassung des Hauptsatzes uber die Inversitat von d zuR

5 Pragung der Ableitung als \Quotient von Dierentialen"

(34)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

1 Plagiatsklage Newton vs. Leibniz (Anfang 18 Jh.)

(35)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

2 Newton: Ableiten ist Bewegung (Veranderung von Position in der Zeit)

(36)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

2 Newton: Ableiten ist Bewegung (Veranderung von Position in der Zeit)

3 Leibniz: Ableiten ist Berechnung der Tangentensteigung

(37)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

1 Leibniz' \reineres" Konzept setzt sich durch. . .

(38)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

2 . . . aber Newtons physikalische Interpretation steht heute gleichberechtigt da.

(39)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

3 Beide konnten nicht denieren, womit sie operierten. . .

(40)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

3 Beide konnten nicht denieren, womit sie operierten. . .

4 . . . achteten aber auf mogliche Denitionslucken (\Konvergenzradius" etc.)

(41)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Russellsche Antinomie)

Russellsches Antinomie (1903):

R := fx : x =2 xg

(42)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Russellsche Antinomie)

R := fx : x =2 xg Enthalt R sich selbst?

(43)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Russellsche Antinomie)

R := fx : x =2 xg Enthalt R sich selbst?

Die Menge R ist widerspruchsvoll!

(44)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Logizismus)

1 Russell/Whitehead: Principia Mathematica (1903 - 1913)

(45)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Logizismus)

2 erstmals rigorose Beweise

(46)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Logizismus)

2 erstmals rigorose Beweise

3 aber: ontologische Annahmen nicht evident

(47)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

1 Hilbert (um 1900): Hilbertsches Programm

(48)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

2 anti-ontologisch, formale Manipulation von Symbolen

(49)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

3 Vorschlag von \Metamathematik": nite Methoden zum Beweis von Widerspruchsfreiheit

(50)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

3 Vorschlag von \Metamathematik": nite Methoden zum Beweis von Widerspruchsfreiheit

4 neues Grundlagenproblem Unvollstandigkeit (Godel, 1930):

PM und Cantorsche Mengenlehre enthalten Satze, die weder beweis- noch widerlegbar sind

(51)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

1 Brouwer (1918): Alternative Mengenlehre

(52)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

2 Mathematik hat geistige Realitat (nicht sprachliche oder symbolische)

(53)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

3 Potentielle statt aktualer Unendlichkeit

(54)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

3 Potentielle statt aktualer Unendlichkeit

4 Ablehnung von Tertium non datur

(55)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Fazit)

1 Keines der Programme ist vollends gegluckt. . .

(56)

Jonathan Weinberger

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Fazit)

1 Keines der Programme ist vollends gegluckt. . .

2 . . . aber alle drei Schulen haben langfristig Einuss

(57)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Analysis:

Die Analysis entwickelte sich uber Jahrhunderte ohne axiomatische Grundlagen . . .

(58)

Jonathan Weinberger

Beispiel Analysis:

. . . dennoch mit korrekten Ergebnissen { sogar dem Hauptsatz!

(59)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Analysis:

Entsprechend benutzen die Physiker die Mathematik, ebenfalls mit korrekten Ergebnissen. . .

(60)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Analysis:

. . . trotz diverser mathematisch falscher Formalismen:

1 Renormierung: divergente Integrale in der QFT (bis auf 14 Nachkommastellen exakt!)

(61)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Analysis:

2 Distributionen: Losungen fur bestimmte, sonst nicht-losbare DGLn { aber keine Funktionen im mathematischen Sinn

3 Relativitatstheorie: Einstein formulierte sein

Relativitatsprinzip nicht in rigoroser Dierentialgeometrie

(62)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Analysis:

2 Distributionen: Losungen fur bestimmte, sonst nicht-losbare DGLn { aber keine Funktionen im mathematischen Sinn

3 Relativitatstheorie: Einstein formulierte sein

Relativitatsprinzip nicht in rigoroser Dierentialgeometrie . . . Und auch in der mathematischen Praxis des Rechnens mit PDGLn sind physikalische Heuristiken unerlasslich.

(63)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Grundlagenkrise:

Die Grundlagenkrise erschutterte die Mathematik des 21.

Jahrhunderts . . .

(64)

Jonathan Weinberger

Beispiel Grundlagenkrise:

Jahrhunderts . . . scheinbar?

(65)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Grundlagenkrise:

1 Die Diskussionen und Argumente waren u.a.

philosophischer, nicht-mathematischer Natur.

(66)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Grundlagenkrise:

2 Die PM und andere Grundlagenwerke (z.B. Brouwers) waren luckenhaft und unpraktisch zu handhaben.

(67)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Grundlagenkrise:

3 Welche nach Godel existierenden unentscheidbaren Satze sind wirklich von Bedeutung?

(68)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Grundlagenkrise:

4 Schlussendlich: Welcher nach heutigen Mastaben reiner Mathematiker benutzt Logik/Mengenlehre bzw. ist uber sie im Bilde?

(69)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Beispiel Grundlagenkrise:

4 Schlussendlich: Welcher nach heutigen Mastaben reiner Mathematiker benutzt Logik/Mengenlehre bzw. ist uber sie im Bilde?

(70)

Jonathan Weinberger

Thesen aus der Einleitung { Fazit

(71)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Thesen aus der Einleitung { Fazit

(72)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Thesen aus der Einleitung { Fazit

Mathematik kann rein betrieben werden. . .

(73)

Jonathan Weinberger

{ Diskussion

Thesen aus der Einleitung { Fazit

Mathematik kann rein betrieben werden. . . muss es aber meistens nicht!

Wozu reine Mathematik?

Wozu reine Mathematik?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Historischer Ruckblick: Antike

Historischer Ruckblick

Historischer Ruckblick

Heutiges Verstandnis

Heutiges Verstandnis

Heutiges Verstandnis

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Newton)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Leibniz)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Fazit)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Russellsche Antinomie)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Russellsche Antinomie)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Russellsche Antinomie)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Logizismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Logizismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Logizismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Formalismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Intuitionismus)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Fazit)

Wie entstand reine Mathematik? { Grundlagenkrise (Fazit)

Beispiel Analysis:

Beispiel Analysis:

Beispiel Analysis:

Beispiel Analysis:

Beispiel Analysis:

Beispiel Analysis:

Beispiel Grundlagenkrise:

Beispiel Grundlagenkrise:

Beispiel Grundlagenkrise:

Beispiel Grundlagenkrise:

Beispiel Grundlagenkrise:

Beispiel Grundlagenkrise:

Beispiel Grundlagenkrise:

Thesen aus der Einleitung { Fazit

Thesen aus der Einleitung { Fazit

Thesen aus der Einleitung { Fazit

Thesen aus der Einleitung { Fazit

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

Einleitung { Zwei gegenlauge Thesen?

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Historischer Ruckblick: Antike

Historischer Ruckblick

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Heutiges Verstandnis

Heutiges Verstandnis

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Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)

Wie entstand reine Mathematik? { Entwicklung der Analysis (Prioritatsstreit)