Theoretische Physik II Probeklausur L¨ osungshinweise

Theoretische Physik II Probeklausur 10.7.2012

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Aufgabe 1: Bindungszustand im eindimensionalen Potential

Welchen Wert mussL haben, damit die Grundzustandsenergie eines Teilchens (m) im Potential

V(x) =







−^~_2m^2κ2 f¨ur |x|< a mit κ, a >0 0 f¨ur a <|x|< L

∞ sonst

den Wert Null hat?[Strategie: V-Skizze, Bereiche, Dgl, Ans¨atze, Lsg, Anschluss, Antwort.]

Aufgabe 2: Drehimpuls

SeiS~ˆ ein Spin-Operator undJ~ˆ=L~ˆ+S~ˆder Gesamtdrehimpuls.

(a) Dr¨ucken Sie den OperatorJ~ˆ² durch~Lˆ²,S~ˆ²,Lˆ₃,Sˆ₃ sowie die LeiteroperatorenLˆ± = ˆL₁±iLˆ₂ und Sˆ_± = ˆS₁ ±iSˆ₂ aus.

(b) Die gemeinsamen Eigenzust¨ande von ~Lˆ²,Lˆ₃,S~ˆ² undSˆ₃ seien |`, m<sub>`</sub>;s, m_si. Zeigen Sie, dass

|`, `;s, siein Eigenzustand von J~ˆ² ist und geben Sie den zugeh¨origen Eigenwert an.

[Hinweis: F¨ur die Leiteroperatoren gilt (Condon-Shortley)Jˆ_±|j, mi=~p

(j∓m)(j±m+ 1)|j, m±1i.]

(c) Betrachten Sie nun den Zustand|ψi=a<sub>`m</sub>|`, m−¹₂;¹₂,¹₂i+b<sub>`m</sub>|`, m+¹₂;¹₂,−¹₂i. Wie muss das Verh¨altnis _a^b`m

`m sein, damit |ψi einJ~ˆ<sup>2</sup>-Eigenzustand zum Eigenwert j =`+¹₂ ist?

Aufgabe 3: Rayleigh-Ritz Variationsverfahren

Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen OszillatorHˆ = _2m^pˆ2 +¹₂mω²xˆ², und bestimmen Sie eine obere Schranke f¨ur dessen Grundzustandsenergie E₀ per Variationsansatz

ψ(x) = (

C

1−^|x|_a

f¨ur |x| ≤a

0 sonst ,

wobeiC >0 eine Normierungskonstante und a der Variationsparameter sei.

(a) Bestimmen SieC per Normierungsbedingung.

(b) Berechnen Sie das notwendige Matrixelement.

(c) Bestimmen Sie das optimale a und vergleichen Sie mit dem exakten Ergebnis f¨ur E₀.

Aufgabe 4: St¨orungstheorie in zweiter Ordnung

Hˆ = ˆH₀+λHˆ₁ mit |λ| 1. Das ungest¨orte System Hˆ₀ sei bereits gel¨ost: Hˆ₀|ϕ_ni=E_0n|ϕ_ni.

Leiten Sie den Ausdruck f¨urEn⁽²⁾ der EntwicklungE_n=E_0n+λEn⁽¹⁾+λ²En⁽²⁾+O(λ³)her, wobei H|ψˆ _ni=E_n|ψ_ni ist. Dr¨ucken Sie schliesslich En⁽²⁾ durch die E_0n,|ϕ_ni und Hˆ₁ aus.

[Hinweis: In erster Ordnung hatten wir|ψn⁽¹⁾i=P

p6=n

hϕp|Hˆ₁|ϕni

E0n−E0p |ϕpierhalten.]

Theoretische Physik II Probeklausur L¨ osungshinweise

Aufgabe 1:

Aussenbereich,|x|> L: ψ(x) = 0 ⇒ ψ(±L) = 0

Bereich I,a < x < L: SG −∂_x²ψI = 0·ψI, Lsg ψI(x) = Ax+B =A(x−L)

Bereich II,−a < x < a: SG (−∂_x²−κ²)ψ_II = 0·ψ_II, Lsg ψ_II(x) =Ccos(κx) +Dsin(κx), D= 0 da Grundzustand keine Knoten hat

AnschlussψI(a)=^! ψII(a) ⇒ A(a−L) = Ccos(κa) ψ⁰_I(a)=^! ψ_II⁰ (a) ⇒ A=−κCsin(κa) Teilen der beiden letzten Gln f¨uhrt auf L=a+_κ^cos(κa)_sin(κa)

Aufgabe 2:

(a)J~² =~L² +S~²+ 2S~·L~ wegen [S, ~~ L] = 0; und mit2S~·L~ = 2S3L3+ 2S1L1+ 2S2L2 = 2S₃L₃+S₊L−+S−L₊ gilt insgesamtJ~² =~L²+S~²+ 2S₃L₃ +S₊L−+S−L₊

(b)J~²|`, `;s, si^(a)= ~²[`(`+ 1) +s(s+ 1) + 2`s+ 0 + 0]|`, `;s, si=~<sup>2</sup>(`+s)(`+s+1)|`, `;s, si (c)J~²|ψi^(a)= ~²

h

`(`+ 1) +³₄ + (m− ¹₂) + 0 + _a^b`m

`m

q

(`+m+<sup>1</sup><sub>2</sub>)(`−m+¹₂)i

a<sub>`m</sub>|`, m−¹₂;¹₂,¹₂i +~²

h

`(`+ 1) +³₄ −(m+¹₂) + 0 + ^a_b^`m

`m

q

(`−m+<sup>1</sup><sub>2</sub>)(`+m+¹₂)i

b<sub>`m</sub>|`, m+¹₂;¹₂,−¹₂i Also muss die erste[..]=^! j(j+1) = (`+<sup>1</sup><sub>2</sub>)(`+³₂) =`(`+1)+³₄+`sein, woraus <sub>a</sub><sup>b`m</sup>

`m = r

`−m+¹₂

`+m+¹₂

folgt, und mit diesem Wert ist auch die zweite [..] =`(`+ 1) + ³₄ +` =j(j + 1).

Aufgabe 3:

(a)1=^! hψ|ψi=R∞

−∞dx ψ²(x) = C²2Ra

0 dx(1−^x_a)² =C²2(a−a+^a₃) ⇒ C = q3

2a

(b)E₀ ≤ hψ|H|ψiˆ =−_2m^~2 R

dx ψ(x)ψ⁰⁰(x) + ¹₂mω²R

dx x²ψ²(x) = _2m^{~2 2C}_a² + ¹₂mω^2C₁₅^2a3

⇒ E₀ ≤ ^~ω_{2 3}

A+₁₀^A

mit A≡ ^mω

~ a² (c) [ ]⁰ =−_A³2 +₁₀¹ = 0^! ⇒ A=±√

30 ; [ ]⁰⁰= _A⁶3

>! 0 ⇒ A = +√

30ist Minimum

⇒ E₀ ≤ ^~₂^ωq

6

5; Schranke ist nur ca 10% ¨uber exaktem Ergebnis.

Aufgabe 4:

λ²-Koeff-Vergl in SG (H₀+λH₁−E_0n−λEn⁽¹⁾−λ²En⁽²⁾−...)(ϕ_n+λψ⁽¹⁾n +λ²ψ⁽²⁾n +...) = 0 liefert(H₀−E_0n)ψn⁽²⁾+ (H₁−En⁽¹⁾)ψn⁽¹⁾−En⁽²⁾ϕ_n = 0. Operiere auf diese Glg v.li. mit R

dx ϕ^†_n

⇒ hϕ_n|H₀−E_0n|ψn⁽²⁾i+hϕ_n|H₁−En⁽¹⁾|ψn⁽¹⁾i −En⁽²⁾hϕ_n|ϕ_ni= 0

Erste h..i= 0 da H₀ hermitesch, letzte=1 (Norm), ⇒ En⁽²⁾ =hϕ_n|H₁|ψn⁽¹⁾i −En⁽¹⁾hϕ_n|ψn⁽¹⁾i 1.Ordnung ψn⁽¹⁾ einsetzen ⇒ En⁽²⁾ =P

p6=nhϕ_n|H₁|ϕ_pi^hϕ_E^p|H1|ϕni

0n−E0p −En⁽¹⁾·0 =P

p6=n

|hϕp|H1|ϕni|² E0n−E0p