Das Transportproblem Ausgangssituation:
es gibt zwei Anbieter A1 & A2, die Nutzholz für drei Besteller B1, B2 & B3 bereitstellen.
A1 bietet a1 = 6 Mengeneinheiten und A2 entsprechend a2 = 7 ME an.
Die Besteller B1, B2 & B3 fordern b1= 4 ME, b2= 5 ME und b3 = 4 ME an.
Die Kosten für den Transport einer ME von Ai (i= 1,2) nach Bk (k = 1,2,3) werden durch Bewertungszahlen cik mit i = 1,2 und k = 1, 2, 3 als Matrix gegeben:
4 2 5 cik =
6 3 4
Gesucht ist der Plan, bei dem die Transport-Kosten minimal werden.
Vorgehensweise:
1.: Erstelle eine Transporttabelle wie folgt:
B1 B2 B3
A1 6
A2 7
4 5 4
2.: Überprüfe, ob die Randsummen gleich groß sind. Sehr wichtig!!!
Also hier: ist 6 + 7 = 4 + 5 +4 ?
Ja: Du kannst sofort mit den nächsten Schritt weitermachen. (hier der Fall.)
Nein: Bastle eine Hilfskonstruktion:
Randsumme A > Randsumme B: füge einen fiktiven Besteller ein A1 = 15, A2 = 20, A3 = 55, A4 = 10; Randsumme A ges. = 100 B1 = 5, B2 = 35, B3 = 40; Randsumme B ges. = 080 B4 = 20 führt zu einer neuen Randsumme B ges. = 100 es ergibt sich eine zusätzliche Spalte, rechts angehängt.
Randsumme A < Randsumme B: füge einen fiktiven Anbieter ein A1 = 3, A2 = 4, A3 = 2; Randsumme A ges. = 09 B1 = 5, B2 = 2, B3 = 4, B4 = 4; Randsumme B ges. = 15 A4 = 6 führt zu einer neuen Randsumme A ges. = 15 es ergibt sich eine zusätzliche Zeile, unten angehängt.
3.: Die endgültige Arbeitstabelle ist nun fertig. Ggf. neu hinschreiben!!!
4.: Übertrage nun die Bewertungszahlen in die Tabelle - in die Zellen oben links:
Wähle für die Zellen großzügig viel Platz; es muß einiges hinein passen!
B1 B2 B3
4 2 5
A1 5 6
6 3 4
A2 7
4 5 4
6.: Matrixminimumverfahren = "Regel der kleinsten Kosten" anwenden Bedeutet: Suche die kleinste Bewertungszahl (hier: c12 = 2).
Merke: bei mehreren gleichen die linkeste in der am obersten liegenden Zeile wählen!
Lies´ für diese Zelle die beiden Randsummen ab & bilde min (6, 5) = 5.
Dieses Ergebnis wird in die dazugehörige Zelle eingetragen.
7.: Die Spalte B2 ist optimal versorgt und wird gedanklich gestrichen.
Das wird symbolisiert durch eine Zahl mit senkrechtem Strich (da Spalte).
Memo: Wäre es eine Zeile, hätte man eine Zahl mit waagerechtem Strich.
(Luxus??? Hat So-Kra-Tes mal gemacht, mal nicht...
Also ggf. im SB2 ab S. 7 für Notation nachsehen, wenn 1 mit Sternchen und Zeit übrig in Klausur!)
8.: Die 1. reduzierte Tabelle lautet:
B1 B3
4 5
A1 6-5= 1
6 4
A2 7
9.: Wieder kleinste Kosten-Regel:
Lies´ für c11 = 4 die beiden Randsummen ab & bilde →min (1,4) = 1 es ergibt sich:
B1 B3
4 5
A1 1 1-1= 0
6 4
A2 7
4 - 1 =3 4
10.: B1 ist noch nicht optimal versorgt!!!
A1 kann nichts mehr liefern, daher nur Zeile gedanklich gestrichen.
11.: resultierende 2. reduzierte Tabelle:
B1 B3
6 4
A2 4 7
3 4
12.: wieder kleinste Bewertungszahl suchen. Hier: c23 = 4→min (7,4) = 4 13.: B3 ist nun optimal versorgt; Spalte wird gestrichen.
resultierende Tabelle (= 3. reduzierte):
B1
6
A2 7-4=3
3
14.: verbleibendes Feld:
6
3 3
3
wieder maximal belegen: min (3,3) = 3 15. alles vereinfacht:
B1 B2 B3
4 2 5
A1 1 5 6
6 3 4
A2 3 4 7
4 5 4
16.: Gleichungssystem resultiert:
6 = 1 +5 +0x13
7 = 3 +0x22 +4 u.s.w.
17.: nun MODI-Methode = Potentialmethode anwenden:
Ai → ui 1 ≤ i ≤ m
Bi → vk 1 ≤ k ≤ n
ui und vk sind sogenannte Potentiale 18. Nun immer v1 = 0 setzen!
19.: resultierende Tabelle:
v1 = 0 v2 v3
4 2 5
u1 1 5 6
6 3 4
u2 3 4 7
4 5 4
Gibt sonst falsche Werte!!!
Die Potentiale werden ermittelt durch die Formel ui + vk = cik
Es ergibt sich: u1 +v1 = 4. v1 = 0 gesetzt (immer die Startbedingung!!!) → u1 = 4.
Und jetzt munteres Weiterrechnen, bis alle besetzten Felder abgearbeitet sind:
u1= 4+v2 = 2 → v2 = -2 u2 +v1=0 = 6 → u2 = 6 u2= 6+v3 = 4 → v3 = -2
Memo: wenn irgendwann nicht weitergerechnet werden kann, wähle v2 = 1!!!
v1 = 0 v2 = -2 v3= -2
4 2 5
u1= 4 1 5 6
6 3 4
u2= 6 3 4 7
4 5 4
Jetzt die unbesetzten Felder berechnen: ACHTUNG; neuer Rechenweg!!!
_
cik = ui + vk - cik
cik "quer" sind sogenannte fiktive Bewertungszahlen.
es ergeben sich:
_
c13 = u1=4 + v3=-2 - c13 = 5 = -3 _
c22 = u2= 6+ v2 = -2 - c22 = 3 = 1
20.: die fiktiven Bewertungszahlen schreibe je in die unbesetzten Zellen oben rechts:
v1 = 0 v2 = -2 v3= -2
4 2 5 -3
u1= 4 1 5 6
6 3 1 4
u2= 6 3 4 7
4 5 4
21: Prüfe, ob das Optimalitätskriterium erfüllt ist:
_
alle cik müssen ≤ 0 sein Merke:
Wenn das Optimalitätskriterium erfüllt ist, breche ab (da optimale Lösung vorliegt) Wenn das Optimalitätskriterium nicht erfüllt ist, folgt der Schritt 22 (wie hier.) 22.: Das erste Feld mit größtem cik "quer" bekommt ein Δ.
Finde das Feld, indem Du die Spalte ´runtergehst und den größten Wert wählst.
Hier:
v1 = 0 v2 = -2 v3= -2
4 2 5 -3
u1= 4 1 5 6
6 3 1 4
u2= 6 3 Δ 4 7
4 5 4
23.: Zickzackweg einschlagen:
Start: von Δ springe in gleicher Spalte zum nächsten in der Mitte besetzten Feld = 5.
Subtrahiere hier Δ.
Es ergibt sich 5- Δ.
Springe jetzt in gleicher Zeile von 5- Δ zum nächsten in der Mitte besetzten Feld = 1 Addiere hier Δ.
Es ergibt sich 1+ Δ.
Springe jetzt in von 1+ Δ gleicher Spalte zum nächsten in der Mitte besetzten Feld = 3.
Subtrahiere hier Δ.
Es ergibt sich 3- Δ.
usw., bis alle erreichbaren Felder bedient sind:
v1 = 0 v2 = -2 v3= -2
4 2 5 -3
u1= 4 1+ Δ 5- Δ 6
6 3 1 4
u2= 6 3- Δ Δ 4 7
24: Betrachte nun alle Felder, in denen - Δ steht. Hier: 5- Δ sowie 3- Δ.
Bilde jetzt das Minimum der Zahlen, die vor - Δ stehen, also: Δ = min (5,3) = 3
Merke:
gibt es mehrere minimale Werte, so wird der Wert gewählt mit dem 1. teuersten Feld im Zick-Zack-Weg. Bei mehreren gleichteuren wähle den obersten linksten Wert aus!
Das minimale Δ wird neben die Tabelle geschrieben, S.S.14
Dann werden alle Δ durch das Minimum ersetzt & es wird eine neue Transporttabelle eröffnet & mit neuen Mittelwerten besetzt. (Wird Mittelwert = 0 , verschwindet er.) 25: die Schritte alle ggf. solange wiederholen, bis das Optimalitätskriterium erfüllt ist (Schleife ab Schritt 21.)
Überprüfe ein neues Ergebnis ggf. durch erneute Bestimmung der Potentiale, usw. ab Schritt 18.
ACHTUNG: Prüfe immer, ob die Anzahl der besetzten Felder = n + m -1 ist!!!
Wenn nicht, trage in das billigste leere Feld eine 0 ein & dann gehe den Zickzackweg.
ACHTUNG! es darf hier kein leeres Feld gewählt werden, das oben rechts mit einem - gekennzeichnet ist (eine ggf. vorhandene fiktive Spalte oder Zeile wird nicht berück- sichtigt; in den Zellen rechts oben stehen dort zur Abgrenzung - außerdem bei fiktiven negativen cik "quer"-Werten)
26: Optimalitätskriterium ist erfüllt bei (hier) resultierender Tabelle:
v1 = 0 v2 = -2 v3= -1
4 2 5 -2
u1= 4 1+ Δ = 4 5- Δ = 2 6
6 -1 3 4
u2= 5 Δ = 3 4 7
4 5 4
27: Nun Zielwert berechnen:
Dazu werden nur die Zellen angesehen, die besetzt sind!
Zmin = 4*4+2*2+3*3+4*4 = 45
28.:Diagramm möglich, vgl. SB S. 13
schreibe die Randsummen ganz vom Anfang entsprechend ab!
Ggf. Bezeichnung aus Aufgabe / Text übernehmen.) A1 = 6 A2 = 7 B1= 4 B2 = 5 B3=4
dann die Pfeile von A zu B zeichnen & an die Pfeile die entsprechenden Zellenwerte der Optimallösung schreiben. (echt tiefsinnig.)
A1 : 6 A2 : 7
4 2 3 4
B1: 4 B2: 5 B3: 4
