INSTITUT FÜR MEERESKUNDEan der

B E R I C H T E

aus dem

I N S T I T U T F Ü R M E E R E S K U N D E

an d e r

C H R I S T I A N - A L B R E C H T S - U N I V E R S I T Ä T • K I E L

Nr. 159

1 9 8 6

EIN NUMERISCHES MODELL ZUR UNTERSUCHUNG B A R O K LIN E R ROSSBY-W ELLEN IM N O R D A T L A N T IK

von

Chresten Wübber

DOT l O . m i T M

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Institut für Meereskunde an der U niversität K ie l A b t. Theoretisch e O zeanographie

Düsternbrooker Weg 20 2300 K ie l 1 - F R G -

ISSN 0341 - 8561 -

INHALTSVERZEICHNIS

Seite

EINLEITUNG 1

I. DAS PHYSIKALISCHE MODELL 5

II. DIE NUMERISCHE REALISIERUNG 18

11.1 Einführung

11.2 Die ze itlic h e Diskretisierung 19

11.3 Die spektrale Lösung der elliptischen Operatoren 23

11.4 Das M eh rgitterverfah ren 36

11.5 Das zeitabhängige Problem 47

III. ERGEBNISSE DES ZEITABHÄNGIGEN MODELLS 54

111.1 Die massenerhaltende Randbedingung 1.16 54

111.2 Allgem ein e Param eter 60

111.3 Ergebnisse 65

IV. ZUSAMMENFASSUNG 94

ANHANG

Spektrale Auswertung der Flächem ntegrale APPENDIX A Die räumliche Diskretisierung der

elliptischen O peratoren APPENDIX B

Die ILU -Zerlegung von APPENDIX C

Konstruktion von auf gröberen G ittern APPENDIX D Vergleichslösungen mit massenerhaltender Randbedingung APPENDIX E

LIT E R A TU R

Zusammenfassung

M it H ilfe neuer numerischer Techniken wird ein lineares, quasigeostropni- sches Modell en tw ickelt, das die Beschreibung winderzeugter, barokliner Rossby-W ellen in einem abgeschlossenen Becken mit Topographie und variablen Küstenlinien auf der K ugel gesta ttet. Dieses M odell wird angewendet auf" den Nordatlantik zwischen 5°N und 45°N, wobei als Anregung der Jahresgang der Windschubspannung dient. Die großen räumlichen Skalen des Windfeldes führen zur ausschließlichen Anregung der baroklinen Wellen am Ostrand des Beckens.

Es ze ig t sich, daß der M ittelatlantische Rücken auf der ß-Ebene eine w eit­

gehende Abschirmung des Westatlantiks von der am Ostrand erzeugten Wellen­

a k tivitä t bew irkt. Dieser E ffek t wird bei Berücksichtigung der Kugelgeome­

tr ie südlich von 25°N verm indert. Durch den mit der geographischen B reite variierenden internen Rossby-Radius wird das W ellenfeld erheblich m od ifiziert. So nehmen die Ost-W est-W ellenlängen zu niederen Breiten zu und werden bei 10°N größer als die Beckenbreite bei einer Phasengeschwindigkeit von 10 cm/sec nordwärts sowie einer südwestlichen Gruppengeschwindigkeit von 19 cm/sec.

Summary

New numerical techniques are used to develop a linear, quasigeostrophic model describing windinduced, baroclinic Rossby-waves in a closed basin with topography and variable coastline geom etry in spherical coordinates.

The model is applied to the North A tla n tic Ocean betw een 5°N and 45°N, using the annual cycle o f the windstress curl as forcin g function. Due to the large spatial scales o f the w indfield, Rossby-waves are only generated along the eastern coastline. On the ß-plane, this w a ve-activity is confined to the part o f the basin east o f the M idatlantic Ridge. The blocking e ff e c t o f the M idatlantic R idge is reduced considerably at lower latitudes, when spherical coordinates are used. In this case, the meridional variation o f the internal Rossby-radius leads to a strongly modified w a ve -fie ld . The east-w est w ave length increases towards lower latitudes and exceed s the width o f the basin at 10°N, thereby giving rise to a phase speed o f 10 cm/sec in northerly directions and a group velo city o f 19 cm/sec headed towards southwest.

EINLEITUNG

Die Analysen verschiedener Datensätze durch EMERY und M AG AA R D (1976), M A G A A R D und PRIC E (1977), PRIC E und M AG AA R D (1980), KANG und M A G AA R D (1980), PRIC E und M AG AARD (1983) sowie WHITE (1977) und WHITE (1982) haben zumindest für den Nordpazifik sehr eindeutig g e z e ig t, daß ein großer T e il der ozeanischen V ariabilität im Periodenbereich von einem halben bis zu zehn Jahren und auf Längenskalen von einigen hundert Kilom etern durch barokline Rossby-W ellen, die sich mit Phasengeschwindig­

keiten von wenigen cm/sec vorwiegend nordwestwärts bew egen, erklärt werden kann. Seitdem hat es w iederholt Versuche gegeben, die Anregung dieser Wellen durch variable m eteorologische Felder und andere, indirekte Antriebs­

mechanismen, sowie ihre Ausbreitung mit analytischen und numerischen Modellen zu simulieren. Diese Versuche lassen sich sehr grob in zw ei Klassen ein teilen . In der einen werden die antreibenden m eteorologischen Felder als stochastische Variablen angesehen (zu r Begründung siehe z.B.

W ILLEBRAND, 1981) und m ittels des zugrunde liegenden physikalischen Modells die Reaktion des Ozeans bestimmt. So ze ig te M A G A A R D (1977), daß Luftdruck­

schwankungen im Vergleich zu Fluktuationen der Windschubspannung und der Au ftriebsflüsse von untergeordneter Bedeutung für die direkte Anregung barokliner Rossby-W ellen sind. Dies wurde b estä tigt von FRANKIG NO U L und MÜLLER (1979 a, 1979 b), die weitergehend fes ts te llte n , daß auch die Anregung durch Auftriebsflüsse fü r Perioden kleiner als hundert Jahre vernachlässigbar ist gegenüber der durch variable Windschubspannungen.

Diese Ergebnisse beziehen sich alle auf einen horizontal unbegrenzten Ozean.

Den zusätzlichen Einfluß einer meridionalen östlichen Berandung auf w indgetriebene, barokline Rossby-W ellen beschreiben L IP PE R T und KÄSE (1985). Sie zeigen , daß dadurch die Energie der Wellen monoton mit dem Abstand von der Küste zunimmt, wie es auch den von M A G A A R D (1982) zusammengetragenen Beobachtungen entspricht. Schließlich werden diese Ergebnisse von L IP P E R T (1986) verallgem einert auf b eliebig gen eigte, aber gerade östliche Küsten, sowie auf die Berücksichtigung schwacher barotroper Grundströmungen. Beide E ffe k te haben einen teilw eise erheblichen Einfluß auf die Ausbreitungseigenschaften barokliner Rossby-W ellen, so daß die Vermutung naheliegt, daß zur vollständigen Beschreibung dieses Phänomens die Vorgabe einer realistischen Küstenkonfiguration wesentlich ist.

A l l e r d i n g s ist d ie s w e g e n d e s a n a ly tis c h e n C h a ra k t e r s d ies er M o d e l l - K l a s s e w oh l n icht m ö g l ic h .

In der zw eiten Klasse von Modellen werden die meteorologischen Felder als deterministische Größen angesehen und abgesehen von den Untersuchungen von Einschwingvorgängen, wie z.B. ANDERSON et al. (1979), wird ein zeitlich periodisches Windfeld vorgegeben. Auch andere Anregungsmechanismen werden am Ostrand der jew eiligen Ozeane betrachtet. BRYAN und R IPA (1978) simulieren z.B. sehr langperiodische Wellen, die durch am Ostrand re fle k tie rte Temperaturanomalien entstehen. WHITE und SAUR (1983) geben für langperiodische Wellen zwei verschiedene mögliche Ursachen an, nämlich südlich von 30°N durch polwärts wandernde Kelvin-Wellen und nördlich von 30°N durch Variationen im Windfeld. M YSAK (1983) erhält in vielen Aspekten gute Übereinstimmung mit den Ergebnissen von KANG und M AG AARD (1980) für Rossby-Wellen mit Jahresperiode, die von einem fluktuierenden östlichen Randstrom bei 48°N erzeu gt werden. WHITE und SAUR (1981) geben wiederum stark variable Windschubspannungen im küstennahen Bereich als Ursache für Rossby-Wellen mit Jahresperiode südlich von 4Q°N an. Bei der V erifikation der Beobachtungen längs des Großkreises San Francisco-Honolulu spielt hier die Berücksichtigung der realen Küstenkontur ebenso wie die Breitenab­

hängigkeit des Coriolisparam eters eine entscheidende R olle. Dies konnte mit einem vollständigeren numerischen Modell des Nordpazifik für w inderzeugte Rossby-Wellen mit Jahresperiode von CUMMINS, M YSAK und HAMILTON (1986) b estätigt werden.

Mit Ausnahme der A rbeiten von LIPPE R T und KÄSE (1985) und LIPPE R T (1986) beziehen sich alle hier genannten Untersuchungen auf den Nordpazifik. Für den Nordatlantik fehlen entsprechende Untersuchungen fast vollständig - möglicherweise aufgrund des Mangels an entsprechendem Beobachtungsmaterial.

Erst in einer neueren A rbeit von PRICE und M AG AARD (1986) werden historische Datensätze mit ähnlichen Analysemethoden wie im Nordpazifik systematisch auf barokline Rossby-Wellen hm untersucht. Allerdings lassen die vorliegenden Daten nur Analysen im Periodenbereich von fünf bis zehn Jahren zu. Im Vergleich zum P azifik scheinen die Wellen in diesem Periodenbereich einen erheblich geringeren A n teil an der gesamten

V ariabilität zu haben, obwohl ihre Amplitude etw a fünfmal so groß ist. Eine Ursache dafür könnte eine erhöhte W irbelaktivität im Atlan tik sein, die das Rossby-W ellen-Feld überdeckt. Außerdem wurden in dieser Untersuchung weder die komplexe Bodentopographie des Nordatlantik noch m ittlere Strömungen berücksichtigt.

ln einem ersten Versuch zur Modellierung barokliner Rossby-W ellen mit Jahresperiode stellten KRAUSS und WUBBER (1982 a) ein einfaches numerisches M odell für nordatlantische Verhältnisse zwischen 5°N und 31°N vor. Als Anregung diente ein id ea lisiertes Windfeld in einem schmalen Streifen längs des Ostrandes des rech teckigen , ebenen M odellozeans. Dieses Modell h atte im G egensatz zu den meisten oben zitierten Modellen eine hohe vertik a le Auflösung. Die Ergebnisse dieses Versuchs lassen sich wie fo lg t zusammenfassen:

Neben einer schwachen barotropen Zirkulation wurden fast ausschließlich barokline Rossby-Wellen der ersten vertikalen Ordnung mit einer W ellenlänge von 1800 km und einer Phasenausbreitung in Richtung 288° mit 5,8 cm/sec an geregt. Die maximalen Strömungsgeschwindigkeiten außerhalb des östlichen Anregungsgebietes betrugen etw a 1 cm/sec. Diese Zahlen stehen in einem bemerkenswerten G egensatz zu den aus Beobachtungen gewonnenen Größen im P a z ifik . Hierfür geben KANG und M AG AA R D (1980) Wellenlängen von 300 km und typische Phasengeschwindigkeiten von 1 cm/sec, ebenfalls in nordwestlicher Richtung, sowie zum T eil erheblich größere Strömungsgeschwindigkeiten an.

Eine mögliche Erklärung dieser Diskrepanz lie gt in der starken Abhängigkeit der Ausbreitungseigenschaften von Rossby-Wellen von der geographischen B reite (SCHOPF e t al., 1981). Während KRAUSS und WUBBER (1982 a) für ihre Rechnungen Parameter repräsentativ für 18°N wählten, fanden die Untersuchungen von K AN G und M A G A A R D (1980) zwischen 30°N und W °N statt.

Eine ausführliche Beschreibung dieses Modells findet sich bei KRAUSS und WUBBER (1982 b,c). Es entstand im Sonderforschungsbereich "Warmwassersphäre des Atlan tiks" unter dem P ro je k t-T ite l "Spektralm odell des Nordatlantiks".

Eine der Zielsetzungen dieses Projekts war die Erprobung neuer numerischer Algorithm en, um so m öglicherw eise im Vergleich zu herkömmlichen

ozeanographischen Modellen R echenzeit zu sparen. Dieses Ziel wurde für das sehr id ea lisierte M odell von KRAUSS und WUBBER (1982 a) mit H ilfe von spektralen Methoden auch erreich t. Allerdings ließ sich dieses Konzept nur sehr schwer auf die Berücksichtigung wenigstens einiger der oben erwähnten, für Rossby-Wellen als wesentlich erachteten E ffek te erw eitern . Einige dieser Schwierigkeiten beschreibt BÖNING (1985).

In der vorliegenden A rbeit wird der Versuch unternommen, ein Modell der windgetriebenen Rossby-Wellen mit Jahresperiode unter Einbeziehung realistischer Küsten und Topographie sowie der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters in einem M odell-Atlantik von 5°N bis 45°N mit H ilfe eines neuen numerischen Konzeptes zu erstellen.

Die wesentlichen Komponenten des numerischen Konzeptes sind zum einen ein verallgem einertes im plizites Zeitschrittverfahren, zum anderen M ehrgitterverfahren (siehe BRANDT, 1984) mit pseudo-spektraler D efekt-Korrektur (siehe O R SZ AG , 1979) für die zu jedem Zeitsch ritt zu invertierenden elliptischen Operatoren. Diese Verfahren sind bislang nicht in ozeanographischen Modellen verwendet worden. Daher wird das zugrunde liegende physikalische Modell so einfach wie möglich gehalten und die Beschreibung der numerischen Realisierung einen relativ breiten Raum einnehmen. Die Ergebnisse, die sowohl unter ozeanographischen wie auch numerischen Gesichtspunkten diskutiert werden, sollen einen B eitrag zum Verständnis des Phänomens der Rossby-Wellen im Nordatlantik leisten.

I. DAS PH YSIKALISCH E MODELL

In diesem K apitel wird das physikalische Modell mit seinen beschreibenden Gleichungen v orgestellt und eine vorläufige Diskussion seiner Grenzen geführt. Als allein ige antreibende K ra ft wird eine räumlich und zeitlich variable Windschubspannung an der M eeresoberfläche angesehen, die als bekannte Funktion vorausgesetzt wird. Anders als bei KRAUSS und WUBBER (1982 a) wird auf eine e x p lizite Beschreibung der oberflächennahen Ekman-Reibungsgrenzschicht v e rzic h te t. Der Einfluß des Windes wird also nur in der Form einer an der Untergrenze der Ekman-Schicht aus der K on vergen z bzw . D ivergenz des Ekman-Transportes resultierende Vertikalgeschwindigkeit Ui/g berücksichtigt. Dies ist für die zu betrachtende Jahresperiode sicherlich eine gute Näherung (siehe z.B . G ill, 1982).

Das Innere des Ozeans wird beschrieben durch die linearen Flach wassergleichungen auf der rotierenden Erde in der Boussinesq-Approximation:

VJL - = ______^ ___ 1 L

'it f f,cteoi^f 02

^1-1

T i * r “ - f 7 5 T o ? ‘ -2

" f r ? 1A

Z L 3 *

, - w ^ l 1.5

o t J *

zusammen mit den Randbedingungen in der Vertikalen:

W - U/s = 7 x' ( £ - ) 2 = 0 1.6

h/ = U - — — 14- + 1.7

wobei die tatsächliche W assertiefe sich ergib t zu H (% , f j = //<, _ i (3,

Das z u g e h ö r i g e K o o r d i n a t e n s y s t e m is t :

/) - geographische Länge, positiv ostwärts - geographische B reite, positiv nordwärts 2 - T ie fe , positiv aufwärts

Die w eiteren Größen haben folgen de Bedeutung:

■f - 2 & s ' f - CorioJisparameter

_iL - ? ^ 1 - 1 • /fö~* sffc' 1 " Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation

^ = 6 3 k *» - m ittlerer Erdradius

- ciw- s f c l - Erdbeschleunigung (fü r 25°N)

?0 - Boussinesq-Referenzdichte

- m ittleres vertikales D ichteprofil

<*

g Li)

( 3, 'f, t ) - Vektor der Windschubspannung

u/g

[

-3 f

t ) ~

Ekm an-G esohw indigkeit

H = co*ist - m ittlere W assertiefe

0

k - Abweichung von der mittleren W assertiefe

U - Geschwindigkeitskomponente ostwärts

V ( Oi, 'f, fcj " Geschwindigkeitskomponente nordwärts

W (. 'S, * i k) - Geschwindigkeitskomponente aufwärts

P ( Ot, 'f, h t ) ~ Druckstörung

f ( /i , f l i ¡ t ) - Dichtestörung

Diese Gleichungen sind, insbesondere im Hinblick auf ihre Wellenlösungen, ausführlich bei PHILANDER (1978) diskutiert. Sie beschreiben kleine Störungen eines ansonsten ruhenden Ozeans u.t ^ , w = . 0 , der sich im hydrostatischen G leichgew icht mit der mittleren Dichteschichtung befindet:

Bis auf den vertikalen Impulsaustausch, die Boussinesq-Approximation und diey^-Ebenen-Formulierung sind die Gleichungen 1.1 - 1.5 identisch mit denen von KRAUSS und WÜBBER (1982 a,b,c). In der vorliegenden A rb eit wird zunächst auf die S pezifizieru ng einer inneren Dissipation v erzich tet um die folgen d e Ableitung übersichtlicher zu halten. Die Ergebnisse von KRAUSS und WUBBER (1982 a) legen nun ein ige w e ite re Vereinfachungen nahe. Dort ließ sich die Reaktion des Ozeans auf den Jahresgang des W indfeldes in sehr guter Näherung beschreiben durch einen barotropen A n teil sowie barokline Rossby-Wellen der ersten vertikalen Wellenordnung. Daher wird hier auf eine hohe vertik a le Auflösung v e rz ic h te t und es werden lediglich diese beiden A n teile berücksichtigt. Desweiteren werden die im Gleichungssystem 1.1 - 1.5 enthaltenen Schwere- und Trägheitsw ellen durch die Annahme quasi-geostrophischer Bewegungen elim iniert.

Aus den Gleichungen 1.1 und 1.2 erhält man

¿M + - £ . 1 1 - * ? p

O f Z'CICOS'P s t 3 3

3 V v . / ! £ _ _ ! _ 2 l _

n z f . & e c s f O a ä « u w

r .-r

Für Perioden I ?'/ / , was für 1 Jahr sehr gut e rfü llt ist, und unter der Annahme, daß die horizontalen Skalen der Bewegungen in f und 3

ve rg le ic h b a r sind, e rh ä lt man zusammen mit der Kontinuitätsgleichung 1.3 das fo lg e n d e q u asi-geostroph isch e System :

J L

f ^{* Ct cos /}

o/>

17

1.8

f f

= 2f

f oa c 0 ) f

1.9

1.10

wobei ist

■71 - ^ ^ i l -f ( i . i v» ^ ) ] a -

h “ a* i o * / I 3 3 * 1 * ‘ ? f 1 * i ß ' ct

Für die vertikale Diskretisierung wird die von FLIE R L (1978) beschriebene Methode angewendet, wobei m ittels einer Galerkin-Approximation eine direkte Projektion des kontinuierlichen Problems auf barotrope und erste vertikale Eigenfunktionen der mittleren Dichteschichtung erreicht wird. Dies hat den V orteil, daß dadurch keine w eiteren freien Parameter eingeführt werden, so daß diese Methode im Vergleich zu einem Schichten-Modell eine optimale Kalibrierung für die verbleibenden zwei vertikalen Freiheitsgrade darstellt.

Die Eigenfunktionen der mittleren Dichteschichtung werden beschrieben durch

Dabei soll vorausgesetzt werden, daß die Lösungen von 1.11 normiert sind gemäß

T ü [ V 2*"

Daraus fo lg t zusammen mit 1.11 ^ - 0 . Für die Separation von P in der Form

n

- 22 p~ ix f> i) * t9)

J+t Z &

lie fe r t die Galerkin-Approxim ation für die >n-te Eigenfunktion f d.h.

das mit 2^ gew ich tete v ertik a le M ittel der Gleichung 1.8, unter Verwendung von 1.^ und 1.5

2— p + _______ . _

" j

Zusammen mit den Randbedingungen 1.6 und 1.7 erhält man für tl =1 schließlich das folgende Gleichungssystem:

2 - r ' p * _ A _ 2 3 *. / 2 m

U h » a f0Sf M J

1.12

* / * , . - we

h [ < r , * f \ P< 1 f i ~ ? u ’ , i J

1.13

* / ho I r ( z . i ) =

mit den Abkürzungen für * - 0,1 :

0J> 1 . 2A. 11 2 1 4 0y> ft cm f 33

> / / > . / ) ^ ¿Ts Jb

* * ' ' u (o $</ 02 ' ft o ?

Dies sind die bis auf die Spezifizierung eines Dissipationsmechanismus vollständigen Modell-Gleichungen. Es sind hierfür in vergleichbaren Modellen sehr unterschiedliche Formen verwendet worden. In einem Vergleich verschiedener Ansätze erzielen MÜLLER und FRANKIGNOUL (1981) in Zusammenhang mit einem stochastischen Modell mit einer skalenunabhängigen m odifizierten R ayleigh-Reibung die beste Übereinstimmung mit den Beobachtungen im MODE-Gebiet. L1PPERT und KÄSE (1985) dagegen benutzen, ebenfalls in einem stochastischen Modell, vertikalen Impulsaustausch, der zu einer sowohl von den horizontalen Skalen als auch von der vertikalen Wellenordnung abhängigen Dämpfung führt, die barotrope Komponente dagegen unberührt läßt. M it den gleichen e ffek tiv e n Auswirkungen verwenden MYSAK und M AG AA R D (1983) eine reine Rayleigh-Reibung. Schließlich verwenden KRAUSSS und WÜBBER (1982a,b) ebenfalls vertikalen Impulsaustausch, jedoch mit anderen Annahmen über die vertikale Abhängigkeit des Austauschkoeffizienten als L IP PE R T und KÄSE (1985), sowie eine zusätzliche Dämpfung für den barotropen A n teil. In der vorliegenden A rb eit wird ähnlich verfahren, wobei allerdings im Gegensatz zu den oben zitierten analytischen bzw . halbanalytischen Modellen auch numerischen Gesichtspunkte zu berücksichtigen sind.

Die Gleichungen 1.12 und 1.13 werden jeweils vervollständigt zu

* R, p0

cot *3

1.14

1.15

Diese Form der Reibung hat den V orteil, daß sie numerisch sehr einfach zu behandeln ist, da sie die Ordnung des Systems nicht erhöht. Um den E ffek t

der Reibung auf die freien Wellen des Systems abschätzen zu können, seien diese für den stark vereinfachten Fall der ß -Ebene bei ebenem Boden b etrach tet. Dafür enthalten 1.14 und 1.15 gedäm pfte Wellen der Form

-w * ( u t - x x - D t

$ ■ ? * . . , 1 - 0 . *

woraus sich die Dispersionsrelation und Dämpfungszeitkonstanten ergeben zu

V ; ; p s l -

* * + y * ? +y * /. \

Für rein zonal wandernde Wellen mit Jahresperiode, d.h.

(J = 2.02 'iO sec und für Param eter entsprechend 25°N, d.h.

/ : i 'li 'IO ^ i f c , A = 2- *0 , 3 = 'J-J- 'fO se**c*,'*

ergeben sich dann jew eils zw ei mögliche W ellenzahlen für barotrope und barokline Wellen.

1.) barokline Wellen

~ r

Hierfür erhält man " i e c >*> , aq * - o . ? ■ ■iO c m'

Dem entsprechen Wellenlängen von 68 km und 897 km und Gruppengeschwindigkeiten von 0,18 cm/sec (ostw ärts) sowie 2,k l cm/sec (w estw ärts). Es ist klar, daß die kurzen W ellen im numerischen Modell nicht au fgelöst werden können, so daß diese möglichst e ffe k tiv gedämpft werden sollen. Andererseits sollten die langen W ellen, denen hier das eigen tlich e Interesse g ilt, in der Lage sein, den A tlan tik , d.h. eine W eglänge von etw a 5000 km, ohne größere Reibungsverluste zu durchqueren. Diese Forderungen führen auf einen Kompromiß von ^ = * 0 sec 1 , woraus sich wiederum Dämpfungszeitskalen ( D ) von 120 Tagen für die kurzen und 4,5 Jahren für die langen Wellen ergeben. Diese Dämpfungszeitskalen entsprechen denen von L1PPERT und KÄSE (1985) und M YS AK und M A G AA R D (1983). Es ze ig t sich aber, daß dadurch nicht alle kurzen Wellen elim iniert werden können (siehe

K apitel III), so daß eine stärker skalenselektive Dämpfung wünschenswert erscheint. Dies ist nur mit einer Reibung höherer Ordnung möglich, die hier aber nicht b etrach tet werden soll.

2.) barotrope Wellen

M it \ - 0 werden hier X . = - 9.1) *0 c», 1 und - o t woraus sich

6 *▼

für die kurzen W ellen 63 km Wellenlänge ergibt. Auch diese Wellen müssen aus numerischen Gründen elim iniert werden. Versuche ergaben, daß dies erst mit R0 - ' i o ' 6sec~'t entsprechend einer Dämpfungszeitskala von etw a 11 Tagen erreich t werden kann. Damit enthält das System praktisch keine barotropen Wellen mehr, so daß die barotrope Reaktion des Ozeans im wesentlichen aus einer zeitabhängigen Sverdrup-Zirkulation, die durch einen westlichen Randstrom geschlossen wird, besteht. Die B reite dieses Randstroms ( ~ R0/ f i ö ) beträgt mit c <10 * s e c* etwa 50 km. Dies ist ein durchaus realistischer W ert, der allerdings auch an der Grenze der numerischen M öglichkeiten dieses Modells liegt.

Diese grobe Abschätzung der zu erwartenden Raum- und Zeitskalen berücksichtigt weder die Modifikationen durch Topographie noch die Abhängigkeit von -f und P von der geographischen B reite. L e tzteres ist für die kurzen barotropen Wellen nicht von wesentlicher Bedeutung, hat aber erheblichen Einfluß auf die baroklinen Weilen. Deren W est-Ost-W ellenlänge nimmt für höhere Breiten ten den ziell ab für die langen Wellen und nimmt zu für die kurzen, bis sie bei der für die Jahresperiode kritischen B reite, die durch

‘ W t . , I - ? * ^ 7

gegeben ist (LeBLO ND und M Y S A K , 1978), gleich werden. Für den gewählten Eigenwert % ist dies bei etw a 44°N mit einer Wellenlänge von 155 km der F a ll. Die daraus mit resultierende Dämpfungszeitskala ist mit 232 Tagen

sehr kurz. Allerdings wird dort die Gruppengeschwindigkeit zu Null, so daß sich daraus kein numerisches Problem ergib t. Jedoch wird die Aussagefähigkeit des Modells in höheren Breiten wegen der schlechten räumlichen Auflösung und der hohen Dämpfung beschränkt sein.

Eine w e ite re Einschränkung in seinem Gütigkeitsbereich erfäh rt das M odell durch die Annahme einer m ittleren Dichteschichtung S’ d ) . Daraus ergibt sich der Eigenwert \ und daraus der für die Ausbreitungseigenschaften barokliner Rossby-W ellen maßgebliche interne Rossby-Radius

- ( f ' 1 , r 1

Eine aus historischen Daten gewonnene geographische Verteilung von für den Nordatlantik ist bei EM ERY et al. (1984) w iedergegeben. Sie ze ig t neben dem in Nord-Süd-Richtung dominierenden Einfluß von / auch erhebliche Unterschiede in der zonalen Verteilung von , besonders nahe der Küsten.

Sieht man trotzdem von dieser V ariab ilität in Ost-W est-Richtung ab indem man ein zonales M ittel b ild et, so läßt sich daraus nach der Korrektur mit f eine meridionale Verteilung der E igen w erte % bestimmen.

Das Ergebnis ist in Tab elle 1.1 zusammengefaßt und ze ig t ein Minimum zwischen 25°N und 30°N sowie einen systematischen Anstieg sowohl nach Norden als auch nach Süden bis 5°N. L e g t man diese Daten zugrunde, so läßt sich eine m ittlere Dichteschichtung allen falls südlich 40°N annehmen mit einem Eigenwert von etw a 'l. ? 5sec1 cm 2

.

Dies ist keine sehr starke Einschränkung, da damit die kritische B reite der Rossby-Wellen mit Jahresperiode auf 43°N fe s tg e le g t ist - jedoch hat ein darauf beruhendes Modell die Eigenschaft, eine gerin gere Abnahme des internen Rossby-Radius nach Norden und eine zu starke Zunahme nach Süden wiederzugeben als es den Daten entspricht.

Die hier gewählten Grenzen des M odell-Ozeans liegen bei 5°N und 45°N und entsprechen damit den obigen Einschränkungen. Als m ittlere Dichteschichtung wurde ein beckenw eites M itte l des Levitus-D atensatzes (LEVITUS, 1982) zwischen 5°N und 45°N genommen. Diese Dichteschichtung sowie die verwendeten Eigenfunktionen 2e und sind in Abb.Ia,b w iedergegeben.

Der zugehörige barokline E igenw ert ist 3 - 6 fj • 4 0 i t c 1 c a ,'2 .

Vf j/ 1 ö

0 - 5 389,9 1,65

5 - 1 0 115,4 2,07

10 - 15 74,8 1,79

15 - 20 55,5 1,69

20 - 25 47,7 1,42

25 - 30 40,5 1,34

1O 1 ^

1

32,4 1,55

35 - 40 25,1 2,01

40 - 45 17,8 3,25

o1

1

15,0 3,85

1O

9,7 8,03

55 - 60 7,7 11,10

Tab. 1.1 Zonales M itte l der internen Rossby-Radien und E igen w erte (nach EMERY e t al., 1984)

Abb. 1.1 a) M ittle re s D ichtep rofil im A tlan tik , 5#N - 45»N b) V ertik ale Eigenfunktionen 2^ zu a)

Zur vollständigen Beschreibung des Modells fehlen noch die horizontalen Randbedingungen. Die westlichen und östlichen Ränder erfordern als fe s te Küsten das Verschwinden der küstennormalen Komponente des Geschwindigkeitsvektors. Die künstlichen Ränder im Süden und Norden dagegen lassen im Prinzip verschiedene Randbedingungen zu. So setzen KRAUSS und WliBBER (1982) alle Felder s te tig d ifferen zierb ar fo r t und fordern für das so verdoppelte G ebiet periodische Randbedingungen. Dies beinhaltet gewisse Schwierigkeiten bei der korrekten Darstellung der Gradienten der planetarischen V orticity (M Y S A K , 1983) und läßt sich nicht auf die hier verw en dete K ugelgeom etrie ausdehnen. Eine andere M öglichkeit ist die Vorgabe einer Ausstrahlungsbedingung für W ellen, so daß keine R eflexion en au ftreten (C A M E R LE N G O und O 'B R IE N , 1980). CUMMINS e t al. (1986) berichten aber, daß diese Bedingungen fü r Rossby-W ellen zu sehr unbefriedigenden Ergebnissen führen und wählen stattdessen eine Dämpfungszone mit hoher Reibung längs des Randes, der ansonsten als fe s te r Rand behandelt wird. In dieser A rb eit werden die südlichen und die nördlichen Ränder ebenfalls als fes t angesehen und es ze ig t sich, daß auf Dämpfungszonen v e rz ic h te t werden kann, wenn man eine geringe Reibung wie oben s p e z ifiz ie rt im gesamten Inneren des M odell-Ozeans zuläßt.

Der vollständig geschlossene Rand führt dann mit der quasi-geostrophischen Annahme 1.9, 1.10 auf die Randbedingung

P - Á ( é )

auf dem Rand

und mit der Zerlegung der Eigenfunktionen in der Vertikalen auf

p0 = E U ) / /% - C C + ) a u { d e m R a n d

Wie M cW ILLIAM S (1978) g e z e ig t hat, ist %C+) dynamisch irrelevan t. Dies wird auch sofort an Gleichung 1.14 deutlich, die z e ig t, daß eine additive räumliche Konstante in Pe die Gesamtlösung unverändert läßt. Dies ist für nicht der F all. M cW ILLIAM S ze ig t w e ite r, daß CC-f) aus der Forderung resu ltiert, daß die Gesamtmasse des geschlossenen Ozeans

erhalten b leib t. Die Massenerhaltung führt wiederum auf die Forderung, daß der becken w eite M ittelw ert der Vertikalgeschwindigkeit auf jeder horizontalen Fläche zu Null werden muß.

Aus den Gleichungen 1.4, 1.5 erhält man für w w . _ j L ¿ L * Qp'

~ ~ fB V t J l ' ~ V2 ¿9 11 i

so daß zu fordern ist

wobei sich die Integration über die Fläche des Modell-Ozeans erstreck t.

Wird das M odell aus einem ruhenden Anfangszustand heraus betrieben, so ist C - 0 .

Für diesen Fall lauten die vollständigen Randbedingungen:

P = 0 t P c C ( t ) c l t ) to , cSo/3

JJ

^{PcJA = 0}

&

Es ze igt sich, daß diese Randbedingungen gerade in Bezug auf die Anregung barokliner Rossby-Wellen nicht unproblematisch sind, da mit 1.16 die M öglichkeit besteht, lokale E ffek te des Windes in Küstennähe durch die in tegrale Bedingung in 1.16 zu ersetzen oder zu überlagern. Dieser Aspekt wird in K ap itel III ausführlich diskutiert und es werden dort zu Vergleichszw ecken auch Rechnungen mit C ( t ) = 0 vorgestellt. Desweiteren werden in K ap itel III Ergebnisse des Systems 1.14 - 1.16 mit denen des entsprechenden Systems auf der ß -Ebene verglichen. Die zugehörigen Gleichungen erhält man formal durch Übergang zu den lokalen kartesischen Koordinaten

X t o s Y' ■ 3 , ^ - C i f

sowie eine Entwicklung der trigonometrischen Funktionen um die Bezugsbreite % . Die entsprechenden Ausdrücke für f l und / sind

■f.P = 2 - . i l S i h f O a - 2 - - A c o s *

Damit ist die vorläu fige Diskussion des physikalischen Modells und seiner wesentlichen Param eter abgeschlossen. Für einige Beispiele wird noch eine verein fach te Form von 1.14 - 1.16 benötigt. Beschränkt man die Vertikalabhängigkeit auf die barotrope Eigenfunktion, so entspricht die Galerkin-Approximation einer einfachen vertikalen M itteilung der Gleichung 1.8. Das Resultat ist im stationären Fall auf der/3 -Ebene die für Topographie m od ifizierte Stommel-Gleichung (siehe VERONIS, 1981):

C’’1 P + / i ^ /^' ** 2 k ^ I - i w . , 7

T V

J

^{Hg we.} 1.17

P0 - 0 auf dem Rand .

Diese Gleichung läßt sich wegen des Topographie-Terms im Allgem einen nicht w eiter separieren. Um trotzdem zu einem eindimensionalen Beispiel zu

QL s\L

kommen, wird hier g e se tzt f f ~ ° - $ ■ ( * ) mit einer fik tiven

"Bodenneigung" <yc*) . Für

r S iu, ( ~ y j / fi - Pcjtj s/t, ( f r J erhält man dann aus 1.17

* ( f l ' -fc *M) 71 ' *■ Í J J Z- !-K lA8

p í o; =■ p a ) = o .

1.18 beschreibt natürlich kein reales Zirkulations-Problem, beinhaltet aber v iele der Merkmale, die die numerische Lösung der vollständigen Gleichungen schwierig macht. Dieses sind vor allem die im Vergleich zum Hauptteil der Gleichungen sehr großen planetarisehen und topographischen f ö -Term e.

Die numerische Realisierung des vollständigen Modells wird im folgenden K ap itel II beschrieben.

II. DIE NUMERISCHE REALISIERUNG

II.1 Einführung

T r o tz der relativ einfachen Struktur des Gleichungssystems 1.14 - 1.16 ist eine Lösung für realistische Bodentopographie und Windfelder nur numerisch möglich. Da zudem fortschreitende Wellen beschrieben werden sollen, kommt der Güte der numerischen Approximation eine besondere Bedeutung zu, w eil - w ie O'BRIEN und GROTJAHN (1976) gezeigt haben - die durch endliche Auflösung bedingte numerische Dispersion zu erheblichen Fehlern in der W iedergabe der Ausbreitungseigenschaften der Wellen führen kann.

In dieser Situation bieten sich spektrale Methoden zur Darstellung der räumlichen Abhängigkeiten an, die auch bei einer geringen Anzahl von Freiheitsgraden gute numerische Approximationen liefern . Spektrale Lösungsverfahren für D ifferentialgleichungen sind auf sehr unter­

schiedliche A rt und Weise entw ickelt worden. Einen Überblick über die prinzipiellen Formen geben GOTTLIEB und ORSZAG (1977). Allen Verfahren gemeinsam ist die Darstellung der numerischen Lösung als endliche Summe globaler Entwicklungsfunktionen, wobei die bekannten funktionalen Eigenschaften dieser Funktionen eine bessere Approximation der D ifferen tialoperatoren zulassen, als dies z.B. bei F in ite-D ifferen zen - Verfahren der Fall ist. Spektrale Verfahren sind wiederholt für quasi-geostrophische Modelle verw endet worden - allerdings ausschließlich für doppelt-periodische oder quadratische G ebiete und zudem nur für Gleichungen mit konstanten K o e ffizien te n . Typische Realisierungen dieser A rt beschreiben HAIDVOGEL (1977) und ROGERS (1985). Im vorliegenden Fall lassen sich diese vereinfachenden Voraussetzungen nicht machen, so daß hier ein anderer Weg beschntten wird, der im Folgenden kurz skizziert werden soll:

Die horizontalen Randbedingungen erfordern eine spektrale Darstellung der Lösung mittels Tschebyscheff-Polynom en im Raum. Dies führt zu sehr hohen Auflösungen in der Nähe der Ränder, woraus aus Gründen der numerischen Stabilität sehr kurze Zeitsch ritte von wenigen Stunden für exp lizite Zeitsch rittverfah ren resultieren (RO GERS, 1985). Abgesehen von den Schw ierigkeiten, die die Ableitung einer expliziten Form für die spektralen E ntwicklungskoeffizienten beinhaltet, legen die zu lösenden Gleichungen ein im plizites Zeitsch rittverfah ren nahe. Dadurch werden sehr große

Zeitsch ritte möglich, deren Länge nur von der zu beschreibenden Jahresperiode und den Anforderungen an die Genauigkeit begrenzt wird. Ein solches Verfahren mit Schritten von drei Monaten wird in Abschnitt II.2 beschrieben.

Aus diesem Verfahren resultiert zu jedem Zeitsch ritt ein gekoppeltes elliptisches System, das m ittels spektraler Defektkorrektur (O R S Z A G , 1979) gelöst wird. Diese Methode und einige ihrer Eigenschaften sowie die spektrale Darstellung der Lösung werden in Abschnitt II.3 im Hinblick auf einen für das physikalische M odell zutreffenden Param eterbereich diskutiert.

Die spektrale Defektkorrektur e rfo rd ert wiederum die mehrfache Invertierung eines geeigneten F in ite-D ifferen zen -O p erators des gleichen elliptischen Problems. Da diese innerste Komponente am häufigsten verw endet wird, hängt die E ffizie n z des Gesamt-Verfahrens wesentlich von der Schnelligkeit des hierfür gewählten Algorithmus ab. Dafür wird in Abschnitt II.4 ein M eh rgitterverfah ren , das sich als robust gegenüber Param etervariationen und als schnell erw eist, v orgestellt.

Schließlich wird in Abschnitt II.5 die Struktur des gesamten numerischen Modells zusammenfassend d argestellt und der Ablauf einer vollständigen Rechnung erläutert.

II.2 Die zeitlich e Diskretisierung

Das Gleichungssystem 1.14, 1.15 läßt sich etwas schematischer beschreiben als

wobei die elliptische Operatoren zw eiter Ordnung sind und U/ ein Operator erster Ordnung ist, der die Wechselwirkung der b e i d e n Lösungskomponenten Pa und über der Topographie beschreibt.

^ und sind p e r io d is c h e F u n k t io n e n d er Z e i t , d.h. es ist

Da das S ystem 2.1 l in e a r is t , w e r d e n auch d ie Lösungen fü r P0 und ^ nach e in e r E in sch w in g p h a se p e r io d i s c h mit U 0 sein . Da es in der v o r lie g e n d e n A r b e i t l e d i g l i c h a u f d ie s e p e r io d is c h e n Lösu ngen ankom mt, e r s c h e in t es w ü n s c h e n s w e r t, d ie s e E i g e n s c h a f t e n der Lösu ng bei d e r z e i t l i c h e n D is k r e t is ie r u n g des System s 2.1 zu b e r ü c k s i c h t ig e n . W e it e r h in s o l l t e d ie p e r i o d is c h e L ö s u n g mit e i n e r m inim alen A n z a h l vo n Z e i t s c h r i t t e n e r r e i c h t w e r d e n . Sei dann 7 ft/ c ja - A/&t . Eine i m p liz it e D isk retisieru n g z e n t r a l um den Z e itp u n k t tn a t ist g e g e b e n durch

Für d ie a n g e s t r e b t e n sehr großen Z e i t s c h r i t t e ist d ie s s ic h e r li c h e in seh r g r o ß e r D i s k r e t i s i e r u n g s f e h l e r . Für

2.2

F ü r T - 2t- ist d ie s e in e norm ale D is k r e tis ie ru n g mit z e n t r a le n D i f f e r e n z e n in d e r Z e i t , d ie k o n s isten t von d er O rd n u n g ^ ¿ / 2 ist.

2.3

läßt sich d i e s e r F e h l e r jedo ch v e r m e id e n .

F ü r z e i t l i c h p e r io d is c h e F u n k t io n e n %>, f~0, is t d ie D is k r e t is ie r u n g 2.2 m it 2.3 e x a k t . D a fü r g e h t z . B . d ie e r s t e G le ic h u n g von 2.2 über in

T-L ,„ r “ ' * , v r J - ' J

-- 2 cO

o d e r mit 2.3

, „ ChJ c*> <»/

t-o„ Po + L + o P0 + ^ P~ - p.

W e it e r h in b e s i t z t d i e F u n k t io n y - < o t ( x ) im I n t e r v a l l O - v - ^ e in e g l e ic h m ä ß ig k o n v e r g e n t e P o t e n z r e i h e n e n t w i c k l u n g in Jr ( A B R A M O W I T Z und S T E G U N , 1964), d .h . es ist

~ - £ t r ( -1 ->■ Q, d i * + 4 <, ■ 4 i: 1* - f... )

so daß d i e D is k r e t is ie r u n g 2.2 mit T gemäß 2.3 e b e n f a l l s ko n s isten t ist von d e r O rd n u n g i d i ) , s o la n g e g ilt

. CJM A ¿r _ /6 ^ tc

o * - f - - v " x / > V

.

Der m a x im a le Z e i t s c h r i t t fü r d i e J a h r e s p e r i o d e b e t r ä g t a ls o d r e i ¡Monate.

Dies ist auch d e r Z e i t s c h r i t t mit d e m d i e s p ä t e r e n R e c h n u n g e n a u s g e f ü h r t w e r d e n . Es sei noch b e m e r k t , daß d ie s e A r t d e r z e i t l i c h e n D i s k r e t is ie r u n g den von G O T T L I E B und T U R K E L (1 9 8 0 ) fü r e x p l i z i t e Z e i t s c h r i t t v e r f a h r e n mit s p e k t r a le n A p p r o x i m a t i o n e n im Rau m v o r g e s c h l a g e n e n sehr äh n lich is t , o b w o h l sie h ie r aus e i n e r a n d e re n M o t i v a t i o n heraus e r f o l g t .

Einer b e s o n d e r e n B e h a n d lu n g b e d a r f d ie Ra n dbed in g u n g 1.16 fü r . Das zum Z e itp u n k t zu lö sen d e P ro b le m la u t e t :

¿ O to * u % = £ „ (*■<>, p» , - /

2.4

L ^ P * + k / P - <r„ ( % , , P-, /

mit

Die L ö su n g zum Z e it p u n k t e r f ü l l e die Ra n dbed in g u n g 1.16. Dann lä ß t sich d i e neu e L ö s u n g a u fs p a lt e n in

P

.'

Po x + C >y P0a

^

“ ' + Î J f < + i ) ? y c 'S

~ *^7

w o b e i °0 / K, dem S ystem 2.4 mit h om ogenen R andbedingungen genü gt und ^ ^ dem h o m o g e n e n S ystem 2.4, d.h. mit 0 'o = ^ r ~ 0 , mit d e r R a n dbed in g u n g

Sl

po - °/ P* - 1 auf dem Ra n d.

Die R a n d b e d in g u n g 1.16 e r g i b t dann

/ /

^{K d i}

C - “ --- -_{/ , a 2.5}

J i p, ■>*

wo b e i Pa und P„ nur ein m al zu B egin n d er Rec h n u n g bestim m t w e r d e n müssen.

Damit ist d i e z e i t l i c h e D is k r e t is ie r u n g des System s 1.14, 1.15 mit d e r

R a n d b e d in g u n g e n 1.16 v o l l s t ä n d i g b e s c h r ie b e n . Die s p e k t r a l e A u s w e r t u n g d er I n t e g r a l e in 2.5 w ir d in A p p e n d i x A b e s c h r ie b e n .

I I .3 Die spektrale Lösung der elliptischen Operatoren

Das in d i e s e r A r b e i t g e w ä h l t e s p e k t r a l e V e r f a h r e n zur L ö s u n g des e l l i p t i s c h e n S y s te m s 2A s o ll zu näch st am ein d im e n sio n ale n S to m m e l- P r o b le m 1.18 e r l ä u t e r t w e r d e n .

W e g e n d e r R a n d b e d in g u n g in 1.18 l i e g t es zu näch st nahe, e in e N ä h eru n gslösu n g in d er F o r m

„ <T7A / '>■' / uTZX )

P ( X ) = Z ~ PH ( ~ L ~ ) 2

Pf r *

zu suchen. W e g e n d e r V o l l s t ä n d i g k e i t d e r sin u s-Fu n ktion en fü r ö ^ y - L b e s i t z t d ie L ö s u n g P (* ) von 1.18 e i n e g l e ic h m ä ß ig k o n v e r g e n t e R e i h e n e n t w i c k l u n g in d ies en F u n k t io n e n . Das ist a b e r fü r d ie e r s t e A b l e i t u n g von P n icht d e r F a l l , so daß sich mit d ie s e m F u n k t io n e n s y s t e m k e in e k o n s is t e n t e A p p r o x i m a t i o n d e r G l e i c h u n g 1.18 e r r e i c h e n lä ß t . Wie B Ö N IN G (1985) g e z e i g t h a t , e r g e b e n sich da ra u s s p e k t r a l e L ö s u n g e n , d e r e n F e h l e r l e d i g l i c h mit V 2 abn ehm en . D iese s V e r h a l t e n ist n ich t b e s s e r als das e in e s F D - V e r f a h r e n s ( F i n i t e - D i f f e r e n z e n - V e r f a h r e n ) z w e i t e r Or d nu n g und r e c h t f e r t i g t so m it n icht den e r h e b l ic h e n M e h r a u fw a n d e i n e r s p e k t r a l en L ö su n g .

Die o b ig e n S c h w i e r i g k e i t e n w e r d e n mit den T s c h e b y s c h e f f - P o l y n o m e n Tu ( r ) , - 1 f - -1 , v e r m i e d e n , da ihr K o n v e r g e n z v e r h a l t e n l e d i g l i ch von der D i f f e r e n z i e r b a r k e i t d e r zu e n t w i c k e l n d e n Fu n k tio n im In n eren des I n t e r v a l l s , nic ht a b e r von d e r e n R a n d w e r t e n a b h ä n g t. Sie e r la u b e n also E n t w ic k lu n g e n von P und s ä m t li c h e r A b l e i t u n g e n , s o la n g e P h i nr ei chend o f t d i f f e r e n z i e r b a r i s t . A l l e im f o l g e n d e n b e n ö t i g t e n f u n k t i on a l e n E i g e n s c h a f t e n d i e s e r P o ly n o m e sind bei G O T T L I E B und O R S Z A G (1977) und

A B R A M O W I T Z und S TEG U N (1 9 6 4 ) z u s a m m e n g e t ra g e n .

Durch r = — - -/ g e h t 1.18 nach e in ig e n Umfo rm ungen über in L

£ l + - et- P = ( r C - r ) , P ( - * ) = 0 2.7

mit Q. = [ J L L j 1 , h e r } d l . + A L -

z s l ' 2* 1RH0

Es w ir d dann e i n e Nä h eru n gslö su n g zu 2.7 in d er F o rm

P ( ' r ) =

¿7 X

^{\ ^ ) , $ t-1) = = 0 2 %}

h = 0

g e s u c h t . W e g e n ( cos e x .)) - c o s ( m i t . ) fü r 0 * * £ 7T e r h ä l t man a u f dem " C o l i o k a t i o n s g i t t e r " r±

kj

p. , h - r j = ¿7 K , n

b : o

Es b e s t e h t h ier a ls o ein d i r e k t e r Zusammenhang mit den F o u n e r - c o s i n u s - R e i h e n .

M i t d er d i s k r e t e n O r t h o g o n a l i t ä t d er cosin us-Fu n ktio n en

— t o i ( I j i h i ) ■ <o% <*■* J =■ £L C £ C ■ - J

/— ¿T A/ J ' N 2. *t b,H, ! 1 1

■*- ü

L

SOHft

e r h ä l t man d ie zu 2.8 i n v e r s e B e z ie h u n g A/

^ ^ j j - * * / , h s o, ■ ■■> N 2.9

/° = — - h i/ „ i--- ~=r P f ( ~ 1 A/ ) I I h - o . .., N' '

H a t w e i t e r h i n > C y ) d ie D a r s t e llu n g 2.8, so e r g e b e n sich a n a l o g e D a rs t e llu n g e n f ü r d ie A b l e i t u n g e n vo n $ C r) gemäß

^ 7 * — -v * r~~7 .

P f r ; - 2 - PH , r. = Z _ * pd

h - o *> J - b t - t

y 4» = 'f »*to t2

-Ü. ^

// —I— // // v. / '-W

/> (-T) -- 2 - ^ ^ - — Z />,.

2.10

0

g + h = 0 L-acfl CH = 1 f ür o , sonst -7.

M i t den B e z i e h u n g e n 2.8 - 2.10 l ä ß t sich d ie s p e k t r a l e A u s w e r t u n g der A b l e i t u n g e n e i n e r a u f d e m C o l l o k a t i o n s g i t t e r v o r l i e g e n d e n Fu n k tio n P in d r e i S c h r it t e n e r r e i c h e n :

/f -V-

1.) P-i mit 2.9 (H i n t r a n s f o r m a t io n ) -V --w/ -v. / j

2.) ^ ^ mit 2.10 ( s p e k t r a l e A b l e i t u n g ) //

F o r m a l läßt sich d ie s ausdrücken in z w e i M a t r i x - M u l t i p l i k a t i o n e n

^ ' c—7 / '1 // 5T7 ‘

£ =

_{■* - -7}

V ' , p- 2 V

mit d e r e x p l i z i t e n D a r s t e llu n g d er A b l e i t u n g s m a t r i z e n

ioi(% * *J c°'(%**')

+ h —O c h

y r * j z' Ik.oif l

c = ¡s r t £ ^ w

¿,se) " J - - * « Cj j * ¿, s o o c/ 2

<*, = -1, .. ■ .j Kr - 1 .

U l

Dabei w u rd e d ie R a n d b e d in g u n g h ~ ^ ~ ° b e r ü c k s ic h t i g t . L i e g e n lf - £ ct I und (r : ) aus 2.7 auf dem C o l l o k a t i o n s g i t t e r nun

v o r , so e r h ä l t man e in e m ö g lic h e s p e k t r a l e A p p r o x im a t io n der G le ic h u n g 2.7 in n a h e lie g e n d e r W e i s e durch

A /-1

2.12

^ - o

* » ■ = ■ / ___ A ' - i und P* ~ a/ - & .

Dies ist d ie p s e u d o - s p e k t r a l e F o r m d er G le ic h u n g 2.7 ( O R S Z A G , 1970).

H ie r m it läßt sich im G e g e n s a t z zu a n d eren s p e k t ra le n M eth od en d e r v a r ia b le K o e f f i z i e n t k>(r) ohne z u s ä t z lic h e n A u fw a n d b eh a nd eln . A l le r d in g s l i e f e r t 2.12 k e in e e x a k t e s p e k t r a l e Lö su n g , da das P rod u k t mit be-r) in der R e g e l mehr als V E n t w ic k lu n g s fu n k tio n e n e n t h ä l t , d ie sich h ier als A l i a s i n g - F e h l e r in d er e r s t e n AS K o m p o n en te n n ie d e r s c h la g e n . H A I D V O G E L (197 7) z e i g t a b e r , daß A l i a s i n g - F e h l e r so ga r bei n ic h t lin e a r e n T e r m e n sehr klein sind, so daß sie hier nicht w e i t e r b e a c h t e t w e r d e n s o lle n . F ü r k o n s ta n t e s b (r) ist 2.12 id en tisch mit d e r C o llo k a t io n s - M e t h o d e ( s ie h e z . B . G O T T L I E B und O R S Z A G , 1977).

Die d i r e k t e I n v e r t i e r u n g des G leich u n g ssy stem s 2.12 b e r e i t e t zu m in dest im z w e id i m e n s io n a le n F a l l e r h e b l i c h e S c h w i e r i g k e i t e n , da es sich bei um e i n e v o l l b e s e t z t e M a t r i x mit sehr s c h le c h t e r K o n d itio n h an d elt. Daher ist es n o t w e n d i g , zum einen d ie d i r e k t e B e rech n u n g (und S p e ic h e ru n g ) der M a t r ix L$ft zu v e r m e id e n und zum anderen d ie K o n d itio n zu v e r b e s s e r n . B e i de s l e i s t e t ein i t e r a t i v e s V e r fa h r e n mit D e f e k t - K o r r e k t u r , dessen p r i n z i p i e l l e F o rm l a u t e t :

^ - - V «■ - 4 , * ' * 7 , 2.13

Dabei ist e in m ö g lic h s t o p t im a l zu w ä h le n d e r R e l a x a t i o n s k o e f f i z i e n t und e in e F D - A p p r o x i m a t i o n d e r G le i c h u n g 2.7 ( O R S Z A G , 1979). Durch d ie s e I t e r a t i o n w ird d i e L ö s u n g d es s p e k t r a l e n P r o b le m s mit hoher G e n a u i g k e it (K o n s is t e n z o r d n u n g N), a b e r s c h l e c h t e r K o n d it io n durc h m e h r f a c h e L ö s u n g des F D - P r o b le m s mit g e r i n g e r G e n a u ig k e it ( K o n s is t e n z o r d n u n g 1 o d e r 2) a n g e n ä h e r t , w o b e i d e r D e f e k t d e r Näheru ngslö su ng <r - L$f> ** J b e z ü g l i c h des s p e k t r a le n O p e r a t o r s w ie d e r u m zur K o r r e k t u r v e r w e n d e t w ir d . D ie K o n v e r g e n z r a t e d i e s e r I t e r a t i o n h än gt d a b ei w e s e n t l i c h vo n der Wahl v o n und , d.h. von den E i g e n w e r t e n d e r It e r a t io n s m a t r ix

y - f r - L j

a b . Nur fü r sehr e i n f a c h e O p e r a t o r e n lassen sich d a rü b e r a pr io r i g e n a u e A u s s a g e n m achen. W e i t e r h i n haben H A L D E N W A N G e t a l. (1 98 4) g e z e i g t , daß sich d i e K o n v e r g e n z r a t e n im A l l g e m e i n e n w e s e n t l i c h v e r b e s s e r n lassen indem c< vom F o r t g a n g d er I t e r a t i o n a b h ä n g ig g e m a c h t w i r d .

Ein e p a r a m e t e r f r e i e V a r i a n t e von 2.1 3, d ie d i e s e A s p e k t e b e r ü c k s i c h t i g t und d ie f ü r d i e f o l g e n d e n R e c h n u n g e n v e r w e n d e t w i r d , l a u t e t ( M A L I K e t a l.,

1985):

Cp / ' v SP /

ChJ

sp

2.14

w o b e i ( ’ / • ) das d is k r e t e - S k a la r p r o d u k t ist.

D iese I t e r a t i o n i s t b i s a u f den in s t a t io n ä r e n R e l a x a t i o n s k o e f f i z i e n t e n oc id e n t is c h mit 2.13 und k o n v e r g i e r t , s o la n g e d er h erm itis ch e T e i l von

L ~ * L sp p o s i t i v d e f i n i t is t . Das ist fü r d ie fo l g e n d e n B e i s p i e l e d e r F a l l .

Da d er O p e r a t o r l e d i g l i c h zur B e rech n u n g der s p e k t ra le n R e s id u en b e n ö t i g t w i r d , e n t f ä l l t auch d ie v o l ls t ä n d ig e B e re c h n u n g d er e n t s p r e c h e n d e n M a t r i x . D ie A u s w e r t u n g von L sp e r f o l g t in den d r ei S c h r it t e n 2.9, 2.10 und 2.8, w o b e i f ü r d ie T r a n s fo r m a tio n e n 2.9 und 2.8 ein fü r cosinus-Summen m o d i f i z i e r t e r F F T - A l g o r i t h m u s v e r w e n d e t w ird ( D E V I L L E und L A B R O S S E , 1982).

Die K o n s tr u k t io n d es F D - O p e r a t o r s L9/a e r f o l g t n icht d i r e k t a u f dem C o l l o k a t i o n s g i t t e r , so ndern nach d e r K o o r d i n a t e n t r a n s fo r m a t io n

nr = cos f-»c) o - £ f f

a u f dem ä q u id is t a n t e n G i t t e r ■ * • < sOi- - -i W, da so m i t t e l s z e n t r a l e r D i f f e r e n z e n e in e A p p r o x im a t io n d e r G le ic h u n g 2.7 von der K o n s is t e n z o r d n u n g 2 e r r e i c h t w ir d .

Die t r a n s f o r m i e r t e G l e i c h u n g 2.7 und d e r e n D is k r e t is ie ru n g lauten:

Es sind noch a n d e r e , e t w a s w e n i g e r a u f w e n d i g e F o rm en fü r m öglic h ( s i e h e H A L D E N W A N G e t a l . , 1984, Z A N G e t a l., 1982). H ie r w u rd e d i e F o rm 2.16 g e w ä h l t , d a so als N e b e n p ro d u k t d e r s p e k t r a le n I t e r a t i o n e in e v o l l s t ä n d i g e F D - L ö s u n g d es g l e i c h e n ph ysik alis ch e n P r o b le m s e r h a lt e n w ir d . Die I n v e r t i e r u n g d e r t r i d i a g o n a l e n M a t r i x L qp nach 2.16 ist p r o b le m lo s . Im z w e i d i m e n s i o n a l e n F a l l w ird f ü r d ies en S c h r it t ein M e h r g i t t e r v e r f a h r e n e n t w i c k e l t ( s i e h e I I . 4).

Das V e r h a l t e n d e r I t e r a t i o n 2.14 w ir d nun an e in ig e n e x t r e m e n B e i s p ie le n d e m o n s t r i e r t und d ie E r g e b n is s e d e r F D - A n fa n g s n ä h e r u n g 2.16 g e g e n ü b e r g e s t e l l t . T y p i s c h e P a r a m e t e r w e r t e f ü r G le ic h u n g 2.7 sind:

—6

*

t = 5 0 0 O k ^ ' ß - 2 $ 0 0 / 2. - * 0

= C - l ■ 'fO S<rc~''/ / i 0 - 2 1 * ** ( S ä * . Z C aA/J

w o r a u s sich d ie K o e f f i z i e n t e n d er G le ic h u n g e r g e b e n zu

b c - r ) - fC> + V - - i o V f et - r v x

Da bei w ird f ü r e in e " B o d e n n e i g u n g " in d e r G rö ß e n o rd n u n g ' i o ^an g e ­ nom men. Fü r z w e i v e r s c h i e d e n e w e r d e n j e w e i l s z w e i F ä l l e b e t r a c h t e t :

1.) ö ' t v ) ~ c o n t [ ) j es e n t s p r ic h t dem kla ssischen S t o m m e l- P r o b le m mit e i n e m k o n s ta n t e n W in d s tr ess.

2.) H ie r w ird e i n e a n a l y t i s c h e L ö s u n g ß - £ ^ ■ ‘r ' ' /

v o r g e g e b e n und daraus m i t t e ls 2.7 6 -c'*'? b e s tim m t . Dann w ird mit d i e s e r r e c h t e n S e i t e d i e n u m eris ch e L ö s u n g b e r e c h n e t .

In a lle n F ä lle n w ird mit A S - ¿ 9 g e r e c h n e t . Daraus e r g i b t sich für das C o l l o k a t i o n s g i t t e r e i n e m a x im a le G i t t e r d i s t a n z vo n 122,7 km in der M i t t e d e s I n t e r v a l l s . D ie W e l l e n l ä n g e in & b e t r ä g t 333 km.

A b b . I I . 1 a ) S t o m m e l l ö s u n g , = 0 A b b . I I . 2 a ) S t o m m e ll ö s u n g , y i v ) - j o'* t i « ( ir c - r )

...F D , --- s p e k t r a l . . . . F D , s p e k t r a l

b ) H o c h v a r i a b l e L ö s u n g P --- b ) H o c h v a r i a b l e L ö s u n g " ---

p u n k t w e i s e r F e h l e r F D , --- s p e k t r a l p u n k t w e i s e r F e h l e r -F D , ---s p e k t r a l

A b b il d u n g I I . 1 z e i g t d ie E rgeb n isse fü r ^ ,c y) = o , I I . 2 d ie f ü r ( z n -tt) . In b e id e n F ä l l e n u n t e r s c h e id e n sich d i e FD - und d ie s p e k t r a l e S to m m e l- L ö s u n g n icht w e s e n t l i c h , d .h . d ie s p e k t r a l e I t e r a t i o n g ib t kaum e in e n G e w in n . Dies ist n icht v e r w u n d e r l i c h , d a d i e L ö s u n g im In n eren des I n t e r v a l l s sehr g l a t t ist und d i e w e s t l i c h e R e i b u n g s g r e n z s c h i c h t e in e e x t r e m hohe A u f l ö s u n g b e s i t z t (m in im a le G i t t e r d i s t a n z 3 km). Das a n d e r e E x t r e m z e i g t d ie h o c h v a r i a b l e Lö su n g . H ie r l i e g t d er p u n k t w e is e m a x im a le F e h l e r d e r F D - L ö s u n g im e r s t e n F a l l bei 100%

im z w e i t e n F a l l so ga r b e i 150%. T r o t z d e m lä ß t sich d ie s e N äh eru n g mit w e n ig e n I t e r a t i o n e n s p e k t r a l v e r b e s s e r n , so daß d e r F e h l e r a u f 0,01%

r e d u z i e r t w ir d , o b w o h l d ie W e l l e n l ä n g e d er L ö s u n g n ic h t v i e l g r ö ß e r als 2 m a x im a le G i t t e r d i s t a n z e n is t . D i e s e S itu a tio n e n t s p r ic h t a b e r in e t w a d er zu e r w a r t e n d e n L ö s u n g d es z e i t a b h ä n g i g e n P r o b le m s aus K a p i t e l I:

Ein er r e l a t i v g r o ß s k a lig e n und d a m it g l a t t e n b a r o t r o p e n K o m p o n e n t e mit G r e n z s c h i c h t c h a r a k t e r , dem das am R a n d h o c h a u f lö s e n d e G i t t e r R e c h n u n g t r ä g t , s t e h t e i n e h o c h v a r i a b l e b a r o k l i n e L ö s u n g g e g e n ü b e r , d ie durch d i e s p e k t r a l e I t e r a t i o n w e s e n t l i c h v e r b e s s e r t w e r d e n kann.

S c h lie ß lic h so lle n noch d i e b e id e n s p e k t r a l e n I t e r a t i o n s f o r m e n 2.13 und 2.14 h in s ic h t lic h ih re r K o n v e r g e n z r a t e n v e r g l i c h e n w e r d e n . Zu d ie s e m Z w e c k w u rden fü r den F a l l = ' 2 'ta 3 s/h ( H Z v / d i e E i g e n w e r t e d e r M a t r i x L5fi m i t t e l s E I S P A C ( S M IT H e t a l., 1976 und G A R B O W e t al., 1977) b e r e c h n e t und d a ra u s d er fü r 2.13 nach O R S Z A G ( 19 7 9 ) o p t i m a l e R e l a x a t i o n s f a k t o r ^ t = o b e s tim m t Die d a fü r t h e o r e t i s c h m ö g l i c h e K o n v e r g e n z r a t e b e t r ä g t 0,54 f ü r 2.13. Damit wurden j e w e i l s 20 I t e r a t i o n e n mit 2.13 und 2.14 fü r d ie h o c h v a r ia b l e L ö su n g a u s g e f ü h r t . Die E r g e b n i ss e , s o w i e d ie E i g e n w e r t e z e i g e n A b b . I I . 3a,b.

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l I l l l I l I I I l I l I I I I l I .

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A b b . I I . 3

1’ 00 REAL 2-00

^{3 .0 0 ITER 20}

a) E i g e n w e r t e von L^p' L*f fü r ^ 1 ^

b ) K o n v e r g e n z r a t e n d e r I t e r a t i o n 2.13 ( ...) und 2.14 (* + - * ■ )

A b b . I l. 3 a z e i g t d e u t li c h das w e s e n t l i c h b e s s e r e a s y m p t o t is c h e V e r h a lt e n von 2.14, o b w o h l das in d e r A n f a n g s p h a s e nicht so ist. Dies l i e g t an d en r e l a t i v g r o ß e n I m a g i n ä r t e i l e n d e r E i g e n w e r t e , d ie w ied er u m von dem im V e r g l e i c h zum H a u p t t e il d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g sehr großen - T e r m h errü h ren und d i e d e m V e r f a h r e n 2.13 e in e o s z i l l a t o r i s c h e K o m p o n e n t e g e b e n . Dies w ird mit 2.14 w e i t g e h e n d v e r m ie d e n , so daß sich d er g e r i n g e M e h ra u fw a n d fü r d i e B e r e c h n u n g d es va ria b le n R e l a x a t i o n s f a k t o r s lo h n t, z umal k e in e e x a k t e K e n n tn is d e r E i g e n w e r t e d e r R e l a x a t i o n s m a t r i x von v o r n h e r e i n n o t w e n d i g is t. Damit sind d ie s e v o r l ä u f i g e n B e tr a c h t u n g e n zum e i n d i me n s i o n a l e n B e i s p i e l a b g e s c h lo s s e n .

Das P r i n z i p d er L ö su n g en d er e llip t is c h e n P r o b le m e im z w e id im e n s i o n a le n F a l l ist v ö l l i g a n a l o g zum oben b e s c h r ie b e n e n V e r f a h r e n . A l s B e i s p i e l h i e r f ü r w ird d ie s t a t i o n ä r e S to m m e l-G le ic h u n g mit T o p o g r a p h i e 1.17 b e t r a c h t e t , d e r e n L ösu ng in Form e in e r en dlich en R e i h e von T s c h e b y s c h e f f - P o l y n o m e n in z w e i Dim ensionen gesu ch t w ir d .

P ( v , s ) --

2 7 2 1

^{T ^ f t j}

h - o *** S o /

2.17

D a fü r ist zunächst e in e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n n o t w e n d i g , d ie den M o d e l l - O z e a n a b b i ld e t a u f das S ta n d a rd -Q u a d r a t L - f , ' i J x C - ' 1/ . Es so ll nun ein sch rä n k en d angen om m en w e r d e n , daß d e r M o d e l l - O z e a n im Süden und N o rd en durch z w e i B r e i t e n k r e i s e , im W e s t e n und O s t e n durc h z w e i e i n d e u t i g e F u n k t io n e n und b e g r e n z t w ird ( s i e h e A b b . I I . 4). Dies ist fü r den

N o r d a t l a n t i k z w is c h e n 5°N und 45°N r e c h t gut e r f ü l l t .

Eine e i n f a c h e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n mit d en g e w ü n s c h t e n E i g e n s c h a f t e n is t

T ~ - 2 • ^ - 7 t S - - ' f , 8 / j J - ( j j - £ , , 'y j 2. iS

Di ese T r a n s f o r m a t i o n hat den N a c h t e i l , daß sie ni cht o r t h o g o n a l ist, j edoch sind a n d e r e K o o r d i n a t e n s y s t e m e f ü r b e l i e b i g e R a n d f u n k t i o n e n in der R e g e l nur numerisch zu g e n e r i e r e n ( s i eh e T H O M P S O N und W A R S I , 1982), so daß d i e s e r N a c h t e i l in K a u f g e n o mme n wi r d .

Die mit 2.18 t r a n s f o r m i e r t e G le i c h u n g 1.17 la u te t

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2.19

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