K a pi te l 1 2
F o ur ie re n tw ic k lung
EinTaylorpolynomN-terOrdnungvermitteltdielokaleApproximationeinerFunk-tion–dieDi↵erenzf(x)TNf(x,a)istumsokleiner,dieApproximationumsobesser,jen
¨aher
xdemEntwicklungspukta–vgl.Abbildung11.1.GlobalistdieN
gen ¨aherungnichtgut–schließlichgehtsoeinTaylorpolynomN-terOrdnungf¨ur
¨uge
ndgroßeEntfernungvomEntwicklungspunktnach±1,wasinsbesonderef¨urbeschr
¨ankte
FunktioneneinemehralsschlechteN
¨aherung
darstellt. 1
Abb12.1Eine2⇡-periodischeFunktion,aufdemPeriodenintervall[⇡,⇡]definiertf(x)=x 2,nebstihrenapproximierendenFourierpolynomenvomGrade1,2und3,vgl.Gl.(12.29). Komplement¨ardazudienunvorzustellendeFourierapproximation:hiersuchtmaneineFunktionglobalzuapproximieren,alsoso,dassdieAbweichungingesamtm
¨oglic
hstkleinwirdwobeimaninniedrigenOrdnungen,wasdielokaleGenau-igkeitbetri↵t,einAugezudr¨uckt.FourierapproximationensindinsbesonderebeiperiodischenFunktionenbeliebt,f¨uhrensiedochschoninniedrigenOrdnungenzurechtbrauchbarenErgebnissen–vgl.dienebenstehendeAbbildung12.1.
1Macht“mehralsschlecht”Sinn?
cMartinWilkens16931.Dezember2019
170Fourierentwicklung
1 2 .1 F o ur ie rp o y no m e und B e ss e ls che A ppr o x im a - tion
Die(komplexwertige)Funktion
TN(x):= 1p2⇡ NX
n=N cne inx,cn2C,(12.1)
heißteintrigonometrischesPolynomN-tenGrades. 2
IsteintrigonometrischesPolynomTNgegeben,lassensichdieKoeffizientencnleichtberechnen,
cn= 1p2⇡ Z⇡
⇡ TN(x)e inxdx.(12.2)
ZumBeweismusslediglicheinelementaresIntegralberechnetwerden,12⇡ Z⇡
⇡ e i(mn)xdx=mn.(12.3)
HieristmnKronecker’sSymbol,mn=1fallsm=nundmn=0fallsm6=n.
DieTNsindo↵ensichtlich2⇡-periodischeFunktionen,TN(x)=TN(x+2⇡),stetigunddi↵erenzierbar.Wozusindsiegut?ZurApproximationvonperiodischenFunktionen!
SeialsofeineperiodischeFunktion,f(x)=f(x+2⇡),vonderwirzun
voraussetzensiem ¨achtnur
¨oge
aufihremPeriodenintervall[⇡,⇡]integrabelsein.F
¨ur
solcheFunktionenheißtdie(endliche)Reihe
SNf:= 1p2⇡ NX
n=N ˜fne inx,˜fn:= 1p2⇡ Z⇡⇡ e inxf(x)dx(12.4)
2Achtung–IndiesemKapitelwirdmitTNeinetrignometrischesPolynombezeichnet,keinTaylorpolynom!
31.Dezember2019170cMartinWilkens
12.1FourierpoynomeundBesselscheApproximation171
dasFourierpolynomN-tenGradesvonf.
DasFourierpolynomSNfistnat
¨urlic
heintrigonometrischesPolynom,undzwargenaudasjenigewelchesdasFehlerintegral
d(f,TN):= Z⇡
⇡ |f(x)TN(x)| 2dx(12.5)
bez¨uglichallertrigonometrischenPolynomeN-tenGradesminimiert
d(f,TN)minimal,TN=SNf.(12.6)
DerBeweisistschnellerbrachtZ⇡
⇡ |f(x)TN(x)| 2dx= Z⇡
⇡ |f(x)| 2dx+ Z⇡
⇡ |TN(x)| 2dx(12.7)Z⇡
⇡ f ⇤(x)TN(x)dx Z⇡
⇡ T ⇤N(x)f(x)dx(12.8)
= Z⇡
⇡ |f(x)| 2dx+ NX
n=N |cn| 2(12.9)
NX
n=N ˜f ⇤ncn NX
n=N c ⇤n ˜fn(12.10)
= Z⇡
⇡ |f(x)| 2dx NX
n=N ˜fn 2(12.11)
+ NX
n=N ˜fncn 2(12.12)
wasmitderWahlcn=˜fno↵ensichtlichminimalwird.
cMartinWilkens17131.Dezember2019
172Fourierentwicklung
WirdalsoeineFunktionfdurchihrFourierpolynomSNfapproximiert,betr
¨agt
derFehlerimquadratischenMittelZ⇡
⇡ |f(x)SNf(x)| 2dx= Z⇡
⇡ |f(x)| 2dx NX
n=N ˜fn 2.(12.13)
DainjedemFall˜fn 20,unddadieWerteder˜fnwegenderOrthogonalit¨atsre-
lation(12.3)endg
¨ultigsind,alsovomGradderN
¨aherung
Ngarnichtabh
¨angen,
siehtmansofort,dassderFehlermitwachsendemNkleinerwird,zumindestabernichtanw
¨achst.Im
¨ubrige
nlesenwirhierabX
n |˜fn| 2 Z⇡⇡ |f(x)| 2dx(12.14)
sogBessel’scheUngleichung.Dasshier–vonpathologischenF
¨allen
abgesehen–sogarGleichheitherrschtwirdweiterunten,StichwortParseval’scheGleichung,de-monstriert.
DieBessel’scheUngleichungbesagt,dassdie|˜fn| 2eineNullfolgebilden.Dasgehtabernurwennauchdie˜fneineNullfolgebilden.InR
n!1 lim ⇡Znderf˜ ¨uckbesinnungaufdieDefinition
⇡ f(x)e inxdx=0,(12.15)
sogRiemann’schesLemma.
1 2 .2 F o ur ie rr e ihe n
InderTatistessogarso,dassf¨urdiemeistenFunktionen,einschließlichsolchermitendlichvielenKnickenund/oderSprungstellen,limN!1d(f,SNf)=0,was
31.Dezember2019172cMartinWilkens
12.2Fourierreihen173
zuweilen(alsomeist)auchetwaslaxsogeschriebenwird
f(x)= 1p2⇡ X
n ˜fne inx,˜fn= 1p2⇡ Z⇡⇡ e inxf(x)dx.(12.16)
DierechteSeiteheißtFourierreihederFunktionf.DieGleichheitvonfundReihebedeutetdabeipunktweiseGleichheit“fast
¨ub
erall”,alsobisaufeineabz
¨ahlbare
PunktmengevomMaßnull.F
¨ur
stetigeFunktionensogarpunktweise“
¨ub
erall”.InjedemFallaber“KonvergenzimquadratischenMittel”,alsolimN!1d(f,SNf)=0.
ZumBeweisdieserAussage,dieuntennocheinmalindreiS
¨atzen
pr¨azisiert
wird,benutzenwirdieIdentit
NSf(x)= ⇡Z ¨at
⇡ DN(xx 0)f(x 0)dx 0(12.17)
mitDNsogDirichletkern
DN(xx 0):= 12⇡ NX
n=N e in(xx0).(12.18)
AnsWerk.AuchderDirichletkernisteintrigonometrischenPolynom,allerdingseinbesonderseinfaches:alleKoeffizientensindgleich.BevorSiehierIhreFormelsmm-lungbem
¨uhe
numdieReiheineinegeschlosseFormzubringen,setzenwirabk
¨urz
end⌧:=xx 0,vergewissernunse in⌧=(e i⌧) n,setzenabk
¨urz
endq:=e in⌧,undrufenun-serSchulwissenauf:(1+q+q 2+...+q m)(1q)=1q m+1bzw P
n=0mq n= 1qm+1
1q ,dieFormelf¨urdieendlichegeometrischeReihe.Damitausger¨ustetk
¨onn
tenSiejetzt
cMartinWilkens17331.Dezember2019
174Fourierentwicklung
diefolgendenZeileneinfachselberhinschreiben,
DN(⌧)= 12⇡ NX
n=N e in⌧= 12⇡ e iN⌧ 2NX
n=0 e in⌧(12.19)
= 12⇡ e iN⌧1e i(2N+1)⌧
1ei⌧ (12.20)
= 12⇡ e i(N+ 12)⌧e i(N+ 12)⌧
e i 12⌧e i 12⌧ (12.21)
= 12⇡ sin[N+ 12 ]⌧sin( 12 ⌧) (12.22)
MachtmansicheinBildvonDN(⌧)schautman–f¨urgroßeN–aufeinbei⌧=0konzentrierteswildoszillierendesMonstermitlangsamemAbfallnachdenSeiten.
Abb12.2DieDirichletkernederOrd-nungen3und10. Einfl
¨uchtigerBlickaufdieDefinition(??)desDirichletkernsgen
¨ugt,
umsichvonR⇡⇡ DN(xx 0)dx 0=1bzw
Z⇡
⇡ 12⇡ sin[N+ 12 ]⌧sin( 12 ⌧) =1(12.23)
zu
¨ub
erzeugen.
F¨ur
dasweiterenehmenwirin(12.17)einelineareTransformationderIntegrati-onsvariablenvor,x 07!⌧:=xx 0.AufdieTransformationderGrenzenkannDankder2⇡-Periodizit¨atdesIntegrandenverzichtetwerden,undnachAbzugeiner
31.Dezember2019174cMartinWilkens
12.2Fourierreihen175
Konstantenf(x)aufbeidenSeitenderGleichungschauenwirauf
(SNf)(x)f(x)= 12⇡ Z⇡
⇡ 0B@f(x⌧)f(x)|{z}:=g(⌧) 1CA sin[N+ 12 ]⌧sin( 12 ⌧) d⌧(12.24)
= 12⇡ Z⇡
⇡ g(⌧
) cos
12 ⌧sin 12 ⌧|{z}:=h(⌧) sinN⌧d⌧+ 12⇡ Z⇡⇡ g(⌧)cosN⌧d⌧(12.25)
= 12⇡ Z⇡
⇡ (⌧)e iN⌧d⌧(12.26)
worinHilfsfunktion
:= g(⌧)+g(⌧)2 + h(⌧)h(⌧)2i (12.27)
=(12.28)
SofernnurderDi↵erenzquotient⌧7! f(x⌧)f(x)⌧ ,⌧6=0beschr¨ankt,istbeschr¨anktmitallenfallsendlichvielenUnstetigkeitsstellen(dieesvonferbt).F
bereitsbewiesenw kanndasRiemann’scheLemma(12.15)eingesetzwerdenwomitderfolgendeSatz ¨urdiesenFall
¨are.
Satz1Seifeinebeschr¨ankte2⇡periodischeFunktionmitnurendlichvielenUn-stetigkeitsstellenimPeriodenintervall[⇡,⇡],undseix0eineStelle,f¨urdiederDi↵erenzquotient⌧7!(f(x0+⌧)f(x0))/⌧,⌧6=0beschr¨anktist.DannkonvergiertdieFourierreihevonfandieserStellegegendenFunktionswert.
Einsch
Intervall]⇡,⇡].DieperiodischeFortsetzungderFunktionisteinest ¨oneAnwendungdiesesSatzesfindetsichf¨urdasBeispielf:x7!xaufdem 2
¨uckweisestetige
cMartinWilkens17531.Dezember2019
176Fourierentwicklung
FunktionmitKnickenbeix=(2n+1)⇡,n=0,±1,...–vgl.Abbildung12.1.DerDi↵erenzenquotientistaberbeijedemdieserKnickebeschr¨ankt,|f(x0+⌧)f(x0)|C|⌧|,imvorliegendenFallC=2⇡.Satz1istalsoanwendbar,dieFourierreiheSNfkonvergiertf¨urN!1punktweisegegenx 2,mitFugundRechtalso(Beweis:¨Ubung)
x 2= ⇡ 2
3 +4 1X
n=1 (1) n
n2 cos(nx),x2[⇡,⇡].(12.29)
Dasistganzpfiffig,dennsetztmanhiereinfachx=⇡undx=0erh
¨alt
mannicht-trivialeAussagen,
1X
n=1 1n2 = ⇡ 26 , 1X
n=1 (1) n+1
n2 = ⇡ 2
12 .(12.30)
NebendengeknicktenFunktionenspielenaberinsbesondereauchFunktionenmitSprungstellenf¨urdieAnwendungeneinewichtigeRolle,denkenSienuraneinTelegraphen-oderMorsesignal.AneinerSprungstellevonf,sagenwirx0,istdieVoraussetzungdesbeschr¨anktenDi↵erenzquotientenabernichterf
¨ullt.
BesonderswichtigsindSprungstellenf¨urdiedienebenderExistenzderhalbseitigenGrenzwertelimx!x0±0f(x):=f±(x0)auchdieExistenzderhalbseitigenDi↵erenz-quotientengew
¨ahrleistet
ist.F
keitsstelleersterArt. diesenEigenschaftennenntmanauchgerneinensauberenSprungbzwUnstetig- SchutzdesIntegralskeinenEinflussaufdieFourierkoeffizienten.EinenSprungmit 0+00wirdenMittelwertf(x):=(f(x)+f(x))/2.Diesederunghatunterdem¨An ¨urdenFunktionswertanderSprungstelleselbstsetzen
F¨urzweiFunktionenf,gdiebeidebeix0einensauberenSprungderselbenH
¨ohe
hinlegen,istdieDi↵erenzfunktionfgbeix0stetigundhatbeschr¨anktenDi↵e-renzquotienten!IhreFourierreihenkonvergierenalsonachSatz1beix0gegenden
31.Dezember2019176cMartinWilkens
12.2Fourierreihen177 Funktionswertf(x0)g(x0).DieMoralhieristdassmanzugegebenemx0nureineinzigesBeispieleinerbeix0sauberspringendenFunktiongzufindenbraucht,derenFourierreihebeix0gegendenFunktionswertg(x0)konvergiert,umzuwissen,dassdasf¨urallebeix0sauberspringendenfgilt.Formuliertals
SatzSeifeinebeschr¨ankte2⇡periodischeFunktionmitnurendlichvielenUns-tetigkeitsstellenimPeriodenintervall[⇡,⇡],undseixeineStelle,anderdiehalbseitigenGrenzwertelimx!x0±0f(x):=f±(x0)existierenunddiehalbsei-tigenDi↵erenzquotientenbeschr
¨ankt
sind.DannkonvergiertdieFourierreihevonfandieserStellegegendenMittelwert(f+(x0)f(x0))/2.
DerBeweisbedarfwieschongesagtnureineseinzigenBeispiels,unddaw
¨ahlen
wirhaltdiebeix0springendeStufenfunktionmitg(x0+⌧)=g(x0+⌧).Zuzeigenbleibt,dassderenFourierreihesichimPunktx0zuNullberechnet.RuftmansichhierdieDirichletdarstellungf¨urdieN-tePartialsummeinErinnerung,(SNg)(x0)= 12⇡ R⇡⇡ g(x0+⌧) sin(N+12)⌧sin⌧2 ,undbeachtetdassgungerade,derDirichlet-kernabergerade,best¨atigtsich(SNg)(x0)=0wieerho↵t.
S¨at
ze1und2werdengernezueinemSatzzusammengefasst,demSatzvonDirichlet,unddieBedingungen,dieandieFunktionenfgestelltwerden,heißenDirichlet’scheBedingungen.DieDirichlet’schenBedinungensind(o↵ensichtlich)hinreichendf¨urdiegenanntenKonvergenzeigenschaften,siesindabernichtnotwendig.
SatzSeifeine2⇡periodischeFunktion,quadratintegrabel
¨ub
erdemPerioden-intervall, R⇡⇡ |f(x)| 2dx<1.DannkonvergiertdieFourierreihevonfimquadratischenMittelgegenfundesgiltdieParseval’scheGleichungZ⇡
⇡ |f(x)| 2dx= X
n |˜fn| 2(12.31)
cMartinWilkens17731.Dezember2019
178Fourierentwicklung
DiebehaupteteKonvergenzisthieralsonichtpunktweise,sondernebennurimquadratischenMittel.LimesfunktionSNfundfk¨onnen
sichdurchausaufeiner,allerdingsnichtmessbarenPunktmenge,unterscheiden.
F¨urstetigeFunktionen,diedenDirichletbedingungenausSatz1gen
¨uge n,istdaso↵ensichtlich.IndiesemFallegiltjapunktweiseKonvergenz,limN!1(SNf)(x)=f(x),trivialerweiselimN!1d(f,SNf)=0,undalso()wiebehauptet.
F¨ur
FunktionenmiteinerendlichenZahlvonsauberenSpr
¨unge nkonvergiertSNfzwarnichtmehrpunktweise,dieAbweichungensindimLimesN!1aufeineendlichePunktmengevomMaßNullbeschr¨ankt,wasunterdemSchutzdesIntegralsallerdingsnichtzumTragenkommt.Auchf¨ursolcheFunktionentri↵tSatz3alsozu.
EtwasschwierigergestaltetsichderBeweisf¨urFunktionendiezwarquadratintegra-bel,abermitm
¨oglic
herweiseunbeschr
¨anktem
Di↵erenzquotientendaherkommen,zbf:x7! p|x|,x2[⇡,⇡],eineFunktionderenlinks-wierechtsseiteAbleitungf¨urx!0±unbeschr
¨ankt.
DieMathematik,diewirhiernichtdarstellenk
¨onnen,
lehrtdassauchf¨ursolcheFunktionenKonvergenzderFourierreiheimquadratischenMittelgesichertist,unddieParseval’scheGleichunggilt.
1 2 .3 A uf g a b e n
.Aufgabe12-1
DerDirichletkern,daranseierinnert,istdefiniert
DN(xx 0):= 12⇡ NX
n=N e in(xx0).(12.32)
31.Dezember2019178cMartinWilkens
12.3Aufgaben179
(a)BeweisenSie
DN(xx 0)= 12⇡ sin[N+ 12](xx 0)sin( 12 (xx0)) (12.33)
undskizzierenSieFunktionsgraphenf¨urf¨urfestesx 0undN=1,2,10.Wiew
¨urde
nSiedieFunktionDN(xx 0)f
¨ur
großeNinwenigenWortencha-rakterisieren?Hinweis:DerDirichletkernisteintrigonometrischenPolynom,allerdingseinbesonderseinfaches:alleKoeffizientensindgleich.BevorSiehierIhreFormelsmmlungbem
gen,setzenSieabk ¨uhenumdieReiheineinegeschlosseFormzubrin-
¨urz
end⌧:=xx 0,vergewissernsiche in⌧=(e i⌧) n,setzenabk
¨urz
endq:=e in⌧,undrufenihreKenntnissediegeometrischeReihebetref-fendauf:(1+q+q 2+...+q m)(1q)=1q m+1bzw P
n=0mq n= 1qm+1
1q ,dieFormelf¨urdieendlichegeometrischeReihe.Damitausger¨ustetsolltenSiedenBeweisf¨uhrenK
gehtdochdieSumme sollteSienichtirritieren.SchreibenSiedocheinfachq=qq,unddann nNn+N ¨onnen....Achja–unddassdieSummebeiNlosgeht
¨ub
ern+NbeiNulllos...
(b)BeweisenSieZ⇡
⇡ 12⇡ sin[N+ 12 ]⌧sin( 12 ⌧) =1(12.34)
Hinweis:BenutzenSiedocheinfachdieDefinition(12.32)undintegrierendierechteSeitegliedweise....
cMartinWilkens17931.Dezember2019
180Fourierentwicklung 31.Dezember2019180cMartinWilkens
![Introduction W e h a v e is o la te d a n d e lu c id a te d th e s tru c tu re s o f p e n ie n o n e (1) [1], p e n id ie n o n e [2] a n d p en ih y - d r o n e [1] fro m th e c u ltu re filtra te o f Penicillium sp](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)