Aufgabe 1 Fourier-Transformation bzgl.x in Dgl. ergibt:

Technische Universit¨ at Berlin SommerSemester 2003 Institut f¨ur Mathematik

Dr. Frank Jochmann

1 L¨ osung zur Juli-Klausur (Verst¨ andnisteil)

Aufgabe 1 Fourier-Transformation bzgl.x in Dgl. ergibt:

∂

∂t U(k, t) = F ∂

∂t u(·, t)

(k) = −F ∂ ⁴

∂x ⁴ u(·, t)

(k) (3 Punkte)

Mit dem Differentiationssatz folgt:

∂

∂t U(k, t) = −k ⁴ F [u(·, t)] (k) = −k ⁴ U(k, t).

Dies ist eine gew¨ohnliche Differentialgleichung (1.Ordnung) bzgl. t. Ihre L¨osung lautet:

U(k, t) = U(k, 0) exp (−tk ⁴ ) (5 Punkte)

Mit

U(k, 0) = F [u(·, 0)] (k) = exp (−k ² ) folgt:

U(k, t) = exp (−k ² ) exp (−tk ⁴ ) = exp (−k ² − tk ⁴ ) (3 Punkte)

Aufgabe 2 1) falsch, 2)richtig, 3)richtig, 4)falsch.

Aufgabe 3 Mit dem Differentiationssatz f¨ ur die Laplace-Transformation folgt L[t ^{3 / 2} ](s) = d ²

ds ² L[t ^{−1 / 2} ](s) = π ^{1 / 2} d ²

ds ² s ^{−1 / 2} = π ^{1 / 2} 3 4 s ^{−5 / 2} . (6 Punkte)

Mit dem D¨ampfungssatz folgt:

L[t ^{3 / 2} exp (−3t)](s) = L[t ^{3 / 2} ](s + 3) = π ^{1 / 2} 3

4 (s + 3) ^{−5 / 2} . (4 Punkte)

Aufgabe 4 i) Es gilt:

∆ϕ j,k (x ¹ , x ² ) = ∂ ²

∂x ² 1

(sin (jx ¹ ) sin (kx ² )) + ∂ ²

∂x ² 2

(sin (jx ¹ ) sin (kx ² ))

= −λ ² _j,k ϕ _j,k (x 1 , x 2 ) mit λ ² _j,k = j ² + k ²

f¨ ur alle j, k ∈ IN . (2 Punkte)

ii) Ansatz f¨ ur u (verallgem. Fourierentwicklung) : u(x ¹ , x 2 , t) =

∞

X

j,k =1

b _j,k (t)ϕ j,k (x ¹ , x 2 ), x 1 , x 2 ∈ (0, π), t > 0.

Zu bestimmen sind die Koeffizienten b j,k (t). (2 Punkte) Einsetzen in Dgl.:

∞

X

j,k =1

b ⁰ _j,k (t)ϕ _j,k (x 1 , x 2 ) = ∂

∂t u(x 1 , x 2 , t) = ∆u(x ^! 1 , x 2 , t) − u(x 1 , x 2 , t)

=

∞

X

j,k =1

b _j,k (t)[∆ϕ _j,k (x 1 , x 2 ) − ϕ _j,k (x 1 , x 2 )] = −

∞

X

j,k =1

b _j,k (t)[λ ² _j,k + 1]ϕ _j,k (x 1 , x 2 )]

Koeffizientenvergleich ergibt

b ⁰ _j,k (t) = −[1 + λ ² _j,k ]b j,k (t) f¨ ur alle j, k ∈ IN.

und damit

b _j,k (t) = b _j,k (0) exp (−[1 + λ ² _j,k ]t ) f¨ ur alle j, k ∈ IN.

(4 Punkte)

Mit der Anfangsbedingung u(x, 0) = F (x) folgt:

∞

X

j,k =1

b _j,k (0)ϕ j,k (x ¹ , x 2 ) = u(x ¹ , x 2 , 0) = ^! F (x ¹ , x 2 ) =

∞

X

j,k =1

a _j,k ϕ _j,k (x ¹ , x 2 )

= ⇒ b _j,k (t) = b _j,k (0) exp (−[1 + λ ² _j,k ]t) = a _j,k exp (−[1 + λ ² _j,k ]t ) f¨ ur alle j, k ∈ IN, und somit

u(x ¹ , x 2 , t) =

∞

X

j,k =1

a _j,k exp (−[1 + λ ² _j,k ]t)ϕ j,k (x ¹ , x 2 )

=

∞

X

j,k =1

a j,k exp (−[1 + j ² + k ² ]t) · sin (jx 1 ) · sin (kx 2 ), x 1 , x 2 ∈ (0, π), t > 0.

(3 Punkte)

Allgemein gilt(siehe VL und ¨ Ubung): Eigenfunktionen f¨ ur ein Rechteck mit den Seitenl¨angen L 1 , L 2 :

ϕ _j,k (x 1 , x 2 ) = sin jπ

L 1

x 1

sin

kπ L 2

x 2

f¨ ur j, k ∈ IN, und x 1 ∈ (0, L 1 ), x 2 ∈ (0, L 2 ).

f¨ ur ein Rechteck mit den Seitenl¨angen L 1 , L 2 :

∆ϕ j,k = −λ ² _j,k ϕ j,k

mit den Eigenwerten λ ² _j,k = π ²

j ² L ² 1

+ k ² L ² 2

f¨ ur alle j, k ∈ IN.

(verallgem.) Fourierentwicklung von f : R → C I : f(x 1 , x 2 ) =

∞

X

j,k =1

α _j,k ϕ _j,k (x 1 , x 2 ), x 1 ∈ (0, L 1 ), x 2 ∈ (0, L 2 ), wobei

α _j,k = kϕ _j,k k ⁻² _L

hf, ϕ _j,k i _L

= 4

L 1 L 2

Z L

0

Z L

0

f (x 1 , x 2 ) sin jπ

L 1

x 1

sin

kπ L 2

x 2

dx 1 dx 2 .