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Max Planck 1858-1947
Spektrum des Schwarzen Körpers:
Herleitung nach Planck und Einstein
Albert Einstein 1879-1955
Spektrale Energiedichte im Frequenzintervall u bis u+du
= Spektrale Modendichte · mittlere Energie pro Mode
u u u u
u
u u
u u
d T c k
d T w T
k W
d c W
d W d
T w
2 3
2 3
, 8 , 8
Rayleigh-Jeans-Gesetz (steigt mit n2 und führt somit zur "Ultraviolett-Katastrophe").
Planck
Ausweg: Energie einer Mode ist ganzahliges Vielfaches von Energiequanten, die proportional zur jeweiligen Frequenz sind (Proportionalitätsfaktor h ist das sog. Plancksche Wirkungsquantum):
u
n h u W
Aber: Die Wahrscheinlichkeit soll mit der Energie (d.h. mit der Zahl der Quanten n) exponentiell abnehmen. Die mittlere Energie pro Mode ist dann
/ exp 1 / 1
exp
/ exp
0 0
0
h h k T
T k h n
T k h h n
n p
h n W
n n
n
u u
u u u
u
Der Zähler ist ein Boltzmann-Faktor wie in der kinetischen Gastheorie, der Nenner dient der
Normierung (Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1). Herleitung des letzten Schritts s. nächste Seite.
Aus der kinetischen Gastheorie entlehnte Annahme:
n: ganze Zahl
für exp 1
1 mit 1
1 exp
exp 1
exp
exp exp 1
1
1 exp
exp exp
exp
1 und
Setze
0 0
0
0 0
u
q q q
n n n
n n
T h k
n n n
n
n n
Damit
u
u u u
u d
kT h
h d c
T
w
exp( / ) 1
, 8
3
3 Plancksche Strahlungsformel
u u u u
u
d n T w n
d n T w
h kT E
E n
n
E E
E
, ,
exp
0 0
mit
Verhältnis von angeregten zu nicht angeregten Atomen
Absorptionen pro Zeit und Volumen = spontane Emissionen + stimulierte* Emissionen
exp( / ) 1
1 )
/ exp(
1
) / exp(
/ 1
, /
0 0
0
h kT h kT
kT h
n n
n n n
n d n
T w
E E E
E
u
u
u
u u
* stimulierte Emission wurde hier ad hoc eingeführt, erweist
Einstein
u u
u
d h
c
8
3 2führt wieder zur Planckschen Strahlungsformel
geometrische Reihe
Planck (Fortsetzung)
3
2.2 Der photoelektrische Effekt
Durch die Bestrahlung mit Licht (insbesondere UV) werden aus einer Metallplatte Elektronen herausgelöst. Quantitative Untersuchungen wurden von P. Lenard um 1900 durchgeführt. Davor gab es einige Hinweise z.B.:
Becquerel-Effekt (Alexande Becquerel 1839): Zwischen gleichartigen Elektroden in einem Elektrolyten entsteht eine Spannung, wenn sie belichtet werden.
Hallwachs-Effekt (Wilhelm Hallwachs und Heinrich Hertz um 1886):
Ein Elektrometer zeigt einen Ausschlag, wenn es belichtet wird. Phillip Lenard (1862 – 1947)
W
ah U e
E
max
0 u
Die max. kinetische Energie der emittierten Elektronen wird durch die Gegenspannung U0 bestimmt, bei der ein Stromfluss einsetzt.
Sie ist gleich der Photonenenergie h·u minus der Austrittsarbeit Wa und unabhängig von der Lichtintensität.
Teilchencharakter von Licht
Eine Lichtwelle würde ihre Energie gleichmäßig auf alle Atome verteilen. Die Elektronenemission würde mit großer Verzögerung einsetzen (Stunden!) und die kinetische Energie würde von der Lichtintensität abhängen. Trotzdem ist die Wellenvorstellung sehr erfolgreich (Beugung).
Welle-Teilchen-Dualismus
Licht hat sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter, abhängig von der experimentellen Situation.
Experiment zum Photoeffekt
Objektiv f = 120
Linse f = 100
Linse f = 70 Linse
f = 150
Objektiv f = 250 Spektrallampe
Hg 10 Spalt 1 Geradsichtprisma Spalt 2 Vakuumfotozelle Linienspektrum
Eine Quecksilberdampflampe emittiert u.a. gelbes, grünes und blaues Licht, das auf eine Fotozelle gelenkt wird:
Die Kalium-Beschichtung (Austrittsarbeit 2,25 eV) des Glaskolbens dient als Photokathode, ein ringförmiger Draht als Anode. Gemessen wird eine Photostrom, der bei einer bestimmten Gegenspannung verschwindet. Diese
Spannung entspricht der kinetischen Energie der Photoelektronen in eV. Messung:
Farbe Frequenz (Hz)
Photonenergie (eV)
Spannung (V)
gelb 5,19∙1014 2,15 0,36
grün 5,49∙1014 2,27 0,48
blau 6,88∙1014 2,85 0,93
Die Steigung der Ausgleichsgeraden ergibt h = 3,33∙10-15 eV∙s (Literaturwert 4,14 ∙10-15 eV∙s), der Punkt bei Frequenz 0 entspricht der AustrittsarbeitWa = 1,36 eV (Literaturwert 2,25 eV).
Nachweis einzelner Photonen
Richtleuchte mit Kondensor
Irisblende
Lichtleiter
Schirm Photomultiplier
= 1 k K1
Pappröhre
Mit einem Oszillografen werden Signale einzelner Photonen sichtbar, wenn die Lichtquelle abgeschwächt wird. Als Detektor dient ein sog. Photomultiplier (typ. Pulsdauer einige 10 ns).
5
Das Plancksche Wirkungsquantum
s eV 10
582 , 6 s J 10 055 , 2 1
2
s eV 10
136 , C 4
10 602 , 1
s J 10 626 , 6
s J 10 29 0,000.000.
57 . 069 . 626 , 6
16 34
15 19
34
34
u
h h h E
e h
h
(SI-Einheiten)
("natürliche" Einheiten)
Energie eines Photons (eines Lichtquants) (sprich: "h quer")
Bestimmung
Historisch
- Anpassung der Strahlungsformel an das Spektrum eines schwarzen Körpers
- Steigung der Auftragung der kinetischen Energie von Photoelektronen als Funktion der Frequenz Zurzeit genaueste Messung
- Watt-Waage:
gespannter Draht, Strom I im Magnetfeld B kompensiert Gewicht,
Draht wird durch das Magnetfeld bewegt, Bestimmung von B durch Induktionsspannung U, Messung von U mit sog. "Josephson-Effekt" (Tunnelstrom zwischen zwei Supraleitern),
Messung von I mit sog. "Quanten-Hall-Effekt" (Sprünge der Hall-Spannung bei tiefen Temperaturen), in beide Effekte geht der Wert von h ein, der auf diese Weise bestimmt werden kann.