Sommersemester2007 BernhardBeckert GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI Vorlesung

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Bernhard Beckert

Institut für Informatik

Sommersemester 2007

Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von

Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal)

Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank.

– Bernhard Beckert, April 2007

Erinnerung: Endliche Automaten

akzeptieren reguläre Sprachen

Einziger Speicher: derZustand(endlich).

Die Zustandsmenge kann groß sein, ist aber endlich.

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Erinnerung: Endliche Automaten akzeptieren reguläre Sprachen

Einziger Speicher: derZustand(endlich).

Die Zustandsmenge kann groß sein, ist aber endlich.

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Erinnerung: Endliche Automaten akzeptieren reguläre Sprachen

Einziger Speicher: derZustand(endlich).

Die Zustandsmenge kann groß sein, ist aber endlich.

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Erinnerung: Endliche Automaten akzeptieren reguläre Sprachen

Einziger Speicher: derZustand(endlich).

Die Zustandsmenge kann groß sein, ist aber endlich.

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Erinnerung: Pushdown-Automaten

akzeptieren kontextfreie Sprachen Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: derKeller

(unbeschränkte Größe, beschränkte Zugriffsart)

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Erinnerung: Pushdown-Automaten akzeptieren kontextfreie Sprachen Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: derKeller

(unbeschränkte Größe, beschränkte Zugriffsart)

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Erinnerung: Pushdown-Automaten akzeptieren kontextfreie Sprachen Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: derKeller

(unbeschränkte Größe, beschränkte Zugriffsart)

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Erinnerung: Pushdown-Automaten akzeptieren kontextfreie Sprachen Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: derKeller

(unbeschränkte Größe, beschränkte Zugriffsart)

Das Eingabewort wird nur einmal gelesen, von links nach rechts.

Ausblick: Turing-Maschinen

akzeptieren Sprachenvom Typ 0.

Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: Band

(unbeschränkte Größe,Zugriff an beliebiger Stelle

Turing-Maschine hat einen Schreib-/Lesekopf, den sie über diesem Band in einem Rechenschritt um ein Feld nach rechts oder links bewegen kann.

Das Eingabewort steht (am Anfang) auf dem Band.

Die Maschine kann esbeliebig oft lesen.

Ausblick: Turing-Maschinen

akzeptieren Sprachenvom Typ 0.

Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: Band

(unbeschränkte Größe,Zugriff an beliebiger Stelle

Turing-Maschine hat einen Schreib-/Lesekopf, den sie über diesem Band in einem Rechenschritt um ein Feld nach rechts oder links bewegen kann.

Das Eingabewort steht (am Anfang) auf dem Band.

Die Maschine kann esbeliebig oft lesen.

Ausblick: Turing-Maschinen

akzeptieren Sprachenvom Typ 0.

Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: Band

(unbeschränkte Größe,Zugriff an beliebiger Stelle

Turing-Maschine hat einen Schreib-/Lesekopf, den sie über diesem Band in einem Rechenschritt um ein Feld nach rechts oder links bewegen kann.

Das Eingabewort steht (am Anfang) auf dem Band.

Die Maschine kann esbeliebig oft lesen.

Ausblick: Turing-Maschinen

akzeptieren Sprachenvom Typ 0.

Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: Band

(unbeschränkte Größe,Zugriff an beliebiger Stelle

Turing-Maschine hat einen Schreib-/Lesekopf, den sie über diesem Band in einem Rechenschritt um ein Feld nach rechts oder links bewegen kann.

Das Eingabewort steht (am Anfang) auf dem Band.

Die Maschine kann esbeliebig oft lesen.

Ausblick: Turing-Maschinen

akzeptieren Sprachenvom Typ 0.

Erster Speicher: der Zustand (endlich) Zweiter Speicher: Band

(unbeschränkte Größe,Zugriff an beliebiger Stelle

Turing-Maschine hat einen Schreib-/Lesekopf, den sie über diesem Band in einem Rechenschritt um ein Feld nach rechts oder links bewegen kann.

Das Eingabewort steht (am Anfang) auf dem Band.

Die Maschine kann esbeliebig oft lesen.

Definition 9.1 (Turing-Maschine (DTM))

Einedeterminierte Turing-Maschine (DTM)Mist ein Tupel M= (K,Σ,δ,s)

Dabei ist

K eine endliche Menge von Zuständen mith6∈K, (hist derHaltezustand)

Σein Alphabet mitL,R6∈Σ,#∈Σ,

δ:K×Σ→(K∪ {h})×(Σ∪ {L,R})eine Übergangsfunktion s∈K ein Startzustand.

Anzahl der Zustände: |K| −1 (Startzustand wird nicht mitgezählt).

Definition 9.1 (Turing-Maschine (DTM))

Einedeterminierte Turing-Maschine (DTM)Mist ein Tupel M= (K,Σ,δ,s)

Dabei ist

K eine endliche Menge von Zuständen mith6∈K, (hist derHaltezustand)

Σein Alphabet mitL,R6∈Σ,#∈Σ,

δ:K×Σ→(K∪ {h})×(Σ∪ {L,R})eine Übergangsfunktion s∈K ein Startzustand.

Anzahl der Zustände: |K| −1 (Startzustand wird nicht mitgezählt).

Definition 9.1 (Turing-Maschine (DTM))

Einedeterminierte Turing-Maschine (DTM)Mist ein Tupel M= (K,Σ,δ,s)

Dabei ist

K eine endliche Menge von Zuständen mith6∈K, (hist derHaltezustand)

Σein Alphabet mitL,R6∈Σ,#∈Σ,

δ:K×Σ→(K∪ {h})×(Σ∪ {L,R})eine Übergangsfunktion s∈K ein Startzustand.

Anzahl der Zustände: |K| −1 (Startzustand wird nicht mitgezählt).

Definition 9.1 (Turing-Maschine (DTM))

Einedeterminierte Turing-Maschine (DTM)Mist ein Tupel M= (K,Σ,δ,s)

Dabei ist

K eine endliche Menge von Zuständen mith6∈K, (hist derHaltezustand)

Σein Alphabet mitL,R6∈Σ,#∈Σ,

δ:K×Σ→(K∪ {h})×(Σ∪ {L,R})eine Übergangsfunktion s∈K ein Startzustand.

Anzahl der Zustände: |K| −1 (Startzustand wird nicht mitgezählt).

Definition 9.1 (Turing-Maschine (DTM))

Einedeterminierte Turing-Maschine (DTM)Mist ein Tupel M= (K,Σ,δ,s)

Dabei ist

K eine endliche Menge von Zuständen mith6∈K, (hist derHaltezustand)

Σein Alphabet mitL,R6∈Σ,#∈Σ,

δ:K×Σ→(K∪ {h})×(Σ∪ {L,R})eine Übergangsfunktion s∈K ein Startzustand.

Anzahl der Zustände: |K| −1 (Startzustand wird nicht mitgezählt).

Definition 9.1 (Turing-Maschine (DTM))

Einedeterminierte Turing-Maschine (DTM)Mist ein Tupel M= (K,Σ,δ,s)

Dabei ist

K eine endliche Menge von Zuständen mith6∈K, (hist derHaltezustand)

Σein Alphabet mitL,R6∈Σ,#∈Σ,

δ:K×Σ→(K∪ {h})×(Σ∪ {L,R})eine Übergangsfunktion s∈K ein Startzustand.

Anzahl der Zustände: |K| −1 (Startzustand wird nicht mitgezählt).

Definition 9.1 (Turing-Maschine (DTM))

Einedeterminierte Turing-Maschine (DTM)Mist ein Tupel M= (K,Σ,δ,s)

Dabei ist

K eine endliche Menge von Zuständen mith6∈K, (hist derHaltezustand)

Σein Alphabet mitL,R6∈Σ,#∈Σ,

δ:K×Σ→(K∪ {h})×(Σ∪ {L,R})eine Übergangsfunktion s∈K ein Startzustand.

Anzahl der Zustände: |K| −1 (Startzustand wird nicht mitgezählt).

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Arbeitsschritt einer Turing-Maschine Übergang

δ(q,a) = (q⁰,x) bedeutet:

In Abhängigkeit

vom aktuellen Zustandq∈K

von dem Zeichena∈Σ, das unter dem Schreib-/Lesekopf steht geschieht folgendes:

entweder einSchritt nach links, fallsx=List oder einSchritt nach rechts, fallsx =Rist

oderdas Zeichena, das momentan unter dem Schreib-/Lesekopf steht, wirddurchb∈Σüberschreiben, fallsx =b∈Σ

derZustandwird zuq⁰∈K∪ {h}geändert,

Leerzeichen

Das spezielle Zeichen#(blank) ist das Leerzeichen.

Es ist nie Teil des Eingabeworts; man kann es u.a. dazu benutzen, Wörter voneinander abzugrenzen.

Begrenzung des Bandes

Das Band einer DTM isteinseitig unbeschränkt:

Nach rechts ist es unendlich lang.

Nach links hat es ein Ende.

Wenn eine DTM versucht, das Ende zu überschreiten, bleibt sie „hängen“.

In diesem Fallhält sie nicht.

Begrenzung des Bandes

Das Band einer DTM isteinseitig unbeschränkt:

Nach rechts ist es unendlich lang.

Nach links hat es ein Ende.

Wenn eine DTM versucht, das Ende zu überschreiten, bleibt sie „hängen“.

In diesem Fallhält sie nicht.

Begrenzung des Bandes

Das Band einer DTM isteinseitig unbeschränkt:

Nach rechts ist es unendlich lang.

Nach links hat es ein Ende.

Wenn eine DTM versucht, das Ende zu überschreiten, bleibt sie „hängen“.

In diesem Fall hält sie nicht.

Anfangskonfiguration

Ganz links auf dem Band steht ein Blank Direkt rechts davon steht das Eingabewort

Wenn eine DTM mehrere Eingabewörter hintereinander bekommt, sind sie durch Blanks getrennt.

Rechts vom letzten Eingabewort stehen nur noch Blanks.

Der Schreib-/Lesekopf der DTM steht auf dem Blank direkt rechts neben dem (letzten) Eingabewort.

Merke

Das Band enthält immer nur endlich viele Symbole, die keine Blanks sind.

Anfangskonfiguration

Ganz links auf dem Band steht ein Blank Direkt rechts davon steht das Eingabewort

Wenn eine DTM mehrere Eingabewörter hintereinander bekommt, sind sie durch Blanks getrennt.

Rechts vom letzten Eingabewort stehen nur noch Blanks.

Der Schreib-/Lesekopf der DTM steht auf dem Blank direkt rechts neben dem (letzten) Eingabewort.

Merke

Das Band enthält immer nur endlich viele Symbole, die keine Blanks sind.

Anfangskonfiguration

Ganz links auf dem Band steht ein Blank Direkt rechts davon steht das Eingabewort

Wenn eine DTM mehrere Eingabewörter hintereinander bekommt, sind sie durch Blanks getrennt.

Rechts vom letzten Eingabewort stehen nur noch Blanks.

Der Schreib-/Lesekopf der DTM steht auf dem Blank direkt rechts neben dem (letzten) Eingabewort.

Merke

Das Band enthält immer nur endlich viele Symbole, die keine Blanks sind.

Anfangskonfiguration

Ganz links auf dem Band steht ein Blank Direkt rechts davon steht das Eingabewort

Wenn eine DTM mehrere Eingabewörter hintereinander bekommt, sind sie durch Blanks getrennt.

Rechts vom letzten Eingabewort stehen nur noch Blanks.

Der Schreib-/Lesekopf der DTM steht auf dem Blank direkt rechts neben dem (letzten) Eingabewort.

Merke

Das Band enthält immer nur endlich viele Symbole, die keine Blanks sind.

Anfangskonfiguration

Ganz links auf dem Band steht ein Blank Direkt rechts davon steht das Eingabewort

Wenn eine DTM mehrere Eingabewörter hintereinander bekommt, sind sie durch Blanks getrennt.

Rechts vom letzten Eingabewort stehen nur noch Blanks.

Der Schreib-/Lesekopf der DTM steht auf dem Blank direkt rechts neben dem (letzten) Eingabewort.

Merke

Das Band enthält immer nur endlich viele Symbole, die keine Blanks sind.

Anfangskonfiguration

Ganz links auf dem Band steht ein Blank Direkt rechts davon steht das Eingabewort

Wenn eine DTM mehrere Eingabewörter hintereinander bekommt, sind sie durch Blanks getrennt.

Rechts vom letzten Eingabewort stehen nur noch Blanks.

Der Schreib-/Lesekopf der DTM steht auf dem Blank direkt rechts neben dem (letzten) Eingabewort.

Merke

Das Band enthält immer nur endlich viele Symbole, die keine Blanks sind.

Anfangskonfiguration

Ganz links auf dem Band steht ein Blank Direkt rechts davon steht das Eingabewort

Wenn eine DTM mehrere Eingabewörter hintereinander bekommt, sind sie durch Blanks getrennt.

Rechts vom letzten Eingabewort stehen nur noch Blanks.

Der Schreib-/Lesekopf der DTM steht auf dem Blank direkt rechts neben dem (letzten) Eingabewort.

Merke

Das Band enthält immer nur endlich viele Symbole, die keine Blanks sind.

Beispiel 9.2 (R(a):a’s durchb’s ersetzen)

Die folgende Turing-MaschineR(^a)erwarteteinEingabewort.

Sie liest es von rechts nach links einmal durch und macht dabei jedesazu einemb.

Es ist

R(a)= ({q0,q1},{a,b,#},δ,q0) mit folgenderδ-Funktion:

q0,#7→q1,L q1,#7→ h,#

q0,a7→q0,a q1,a7→q1,b q₀,b7→q₀,b q₁,b7→q₁,L

Beispiel 9.2 (R(a):a’s durchb’s ersetzen)

Die folgende Turing-MaschineR(^a)erwarteteinEingabewort.

Sie liest es von rechts nach links einmal durch und macht dabei jedesazu einemb.

Es ist

R(a)= ({q0,q1},{a,b,#},δ,q0) mit folgenderδ-Funktion:

q0,#7→q1,L q1,#7→ h,#

q0,a7→q0,a q1,a7→q1,b q₀,b7→q₀,b q₁,b7→q₁,L

Beispiel 9.2 (R(a):a’s durchb’s ersetzen)

Die folgende Turing-MaschineR(^a)erwarteteinEingabewort.

Sie liest es von rechts nach links einmal durch und macht dabei jedesazu einemb.

Es ist

R(a)= ({q0,q1},{a,b,#},δ,q0) mit folgenderδ-Funktion:

q0,#7→q1,L q1,#7→ h,#

q0,a7→q0,a q1,a7→q1,b q₀,b7→q₀,b q₁,b7→q₁,L

Beispiel 9.3 (L_#)

Die folgende Turing-MaschineL#läuft zum ersten Blank links von der momentanen Position.

Es istL#= ({q₀,q₁},{a,b,#},δ,q₀)mit folgenderδ-Funktion:

q0,#7→q1,L q1,#7→ h,# q₀,a7→q₁,L q₁,a7→q₁,L q0,b7→q1,L q1,b7→q1,L q0: Anfangsposition

q₁: Anfangsposition verlassen

Beispiel 9.3 (L_#)

Die folgende Turing-MaschineL#läuft zum ersten Blank links von der momentanen Position.

Es istL#= ({q₀,q₁},{a,b,#},δ,q₀)mit folgenderδ-Funktion:

q0,#7→q1,L q1,#7→ h,# q₀,a7→q₁,L q₁,a7→q₁,L q0,b7→q1,L q1,b7→q1,L q0: Anfangsposition

q₁: Anfangsposition verlassen

Beispiel 9.3 (L_#)

Die folgende Turing-MaschineL#läuft zum ersten Blank links von der momentanen Position.

Es istL#= ({q₀,q₁},{a,b,#},δ,q₀)mit folgenderδ-Funktion:

q0,#7→q1,L q1,#7→ h,# q₀,a7→q₁,L q₁,a7→q₁,L q0,b7→q1,L q1,b7→q1,L q0: Anfangsposition

q₁: Anfangsposition verlassen

Beispiel 9.3 (L_#)

Die folgende Turing-MaschineL#läuft zum ersten Blank links von der momentanen Position.

Es istL#= ({q₀,q₁},{a,b,#},δ,q₀)mit folgenderδ-Funktion:

q0,#7→q1,L q1,#7→ h,# q₀,a7→q₁,L q₁,a7→q₁,L q0,b7→q1,L q1,b7→q1,L q0: Anfangsposition

q₁: Anfangsposition verlassen

Beispiel 9.4 (Copy)

Die folgende DTMCerhält als Eingabe einen String Einsen.

Dieser String wird kopiert:

FallsnEinsen auf dem Band stehen, stehen nach Ausführung vonC²ⁿ Einsen auf dem Band stehen, (getrennt durch ein Blank#).

state # 1 c

q0 hq1,ci − − q₁ hq₂,Ri hq₁,Li hq₁,Li q2 − hq3,#i hq7,#i q3 hq4,Ri − − q₄ hq₅,1i hq₄,Ri hq₄,Ri q5 hq6,1i hq5,Li hq5,Li q6 − hq2,Ri − q7 hq8,Ri − − q8 hh,#i hq8,Ri −

Beispiel 9.4 (Copy)

Die folgende DTMCerhält als Eingabe einen String Einsen.

Dieser String wird kopiert:

FallsnEinsen auf dem Band stehen, stehen nach Ausführung vonC²ⁿ Einsen auf dem Band stehen, (getrennt durch ein Blank#).

state # 1 c

q0 hq1,ci − − q₁ hq₂,Ri hq₁,Li hq₁,Li q2 − hq3,#i hq7,#i q3 hq4,Ri − − q₄ hq₅,1i hq₄,Ri hq₄,Ri q5 hq6,1i hq5,Li hq5,Li q6 − hq2,Ri − q7 hq8,Ri − − q8 hh,#i hq8,Ri −

Beispiel 9.4 (Copy)

Die folgende DTMCerhält als Eingabe einen String Einsen.

Dieser String wird kopiert:

FallsnEinsen auf dem Band stehen, stehen nach Ausführung vonC²ⁿ Einsen auf dem Band stehen, (getrennt durch ein Blank#).

state # 1 c

q0 hq1,ci − − q₁ hq₂,Ri hq₁,Li hq₁,Li q2 − hq3,#i hq7,#i q3 hq4,Ri − − q₄ hq₅,1i hq₄,Ri hq₄,Ri q5 hq6,1i hq5,Li hq5,Li q6 − hq2,Ri − q7 hq8,Ri − − q8 hh,#i hq8,Ri −

Übergangsfunktionδnicht überall definiert

Wir erlauben ab jetzt auch, daßδnicht überall definiert ist.

Falls die DTM dann in einen solchen nichtdefinierten Zustand kommt, sagen wirdie DTM hängt. Siehältalso nicht.

Dies wird z.T. in der Literatur anders gehandhabt.

Übergangsfunktionδnicht überall definiert

Wir erlauben ab jetzt auch, daßδnicht überall definiert ist.

Falls die DTM dann in einen solchen nichtdefinierten Zustand kommt, sagen wirdie DTM hängt. Siehältalso nicht.

Dies wird z.T. in der Literatur anders gehandhabt.

Übergangsfunktionδnicht überall definiert

Wir erlauben ab jetzt auch, daßδnicht überall definiert ist.

Falls die DTM dann in einen solchen nichtdefinierten Zustand kommt, sagen wirdie DTM hängt. Siehältalso nicht.

Dies wird z.T. in der Literatur anders gehandhabt.

Beispiel 9.5 (Printn)

Für jedesn∈Nkonstruieren wir eine Maschine, die genaunEinsen auf das leere Band schreibt (mit möglichst wenig Zuständen):

1 schreibebⁿ₂cviele Einsen auf das Band (höchstensbⁿ

2cZustände)

2 kopiere diesen String (8 Zustände)

3 ersetze das trennende # durch eine 1

4 fallsngerade ist, ersetzen die letzte 1 durch # (2 neue Zustände) Insgesamt können wirnEinsen mit höchstensbⁿ₂c+10 Zuständen konstruieren

Beispiel 9.5 (Printn)

Für jedesn∈Nkonstruieren wir eine Maschine, die genaunEinsen auf das leere Band schreibt (mit möglichst wenig Zuständen):

1 schreibebⁿ₂cviele Einsen auf das Band (höchstensbⁿ

2cZustände)

2 kopiere diesen String (8 Zustände)

3 ersetze das trennende # durch eine 1

4 fallsngerade ist, ersetzen die letzte 1 durch # (2 neue Zustände) Insgesamt können wirnEinsen mit höchstensbⁿ₂c+10 Zuständen konstruieren

Beispiel 9.5 (Printn)

Für jedesn∈Nkonstruieren wir eine Maschine, die genaunEinsen auf das leere Band schreibt (mit möglichst wenig Zuständen):

1 schreibebⁿ₂cviele Einsen auf das Band (höchstensbⁿ

2cZustände)

2 kopiere diesen String (8 Zustände)

3 ersetze das trennende # durch eine 1

4 fallsngerade ist, ersetzen die letzte 1 durch # (2 neue Zustände) Insgesamt können wirnEinsen mit höchstensbⁿ₂c+10 Zuständen konstruieren

Beispiel 9.5 (Printn)

Für jedesn∈Nkonstruieren wir eine Maschine, die genaunEinsen auf das leere Band schreibt (mit möglichst wenig Zuständen):

1 schreibebⁿ₂cviele Einsen auf das Band (höchstensbⁿ

2cZustände)

2 kopiere diesen String (8 Zustände)

3 ersetze das trennende # durch eine 1

4 fallsngerade ist, ersetzen die letzte 1 durch # (2 neue Zustände)

Insgesamt können wirnEinsen mit höchstensbⁿ₂c+10 Zuständen konstruieren

Beispiel 9.5 (Printn)

Für jedesn∈Nkonstruieren wir eine Maschine, die genaunEinsen auf das leere Band schreibt (mit möglichst wenig Zuständen):

1 schreibebⁿ₂cviele Einsen auf das Band (höchstensbⁿ

2cZustände)

2 kopiere diesen String (8 Zustände)

3 ersetze das trennende # durch eine 1

4 fallsngerade ist, ersetzen die letzte 1 durch # (2 neue Zustände) Insgesamt können wirnEinsen mit höchstensbⁿ₂c+10 Zuständen konstruieren

Beispiel 9.5 (Printn)

Für jedesn∈Nkonstruieren wir eine Maschine, die genaunEinsen auf das leere Band schreibt (mit möglichst wenig Zuständen):

1 schreibebⁿ₂cviele Einsen auf das Band (höchstensbⁿ

2cZustände)

2 kopiere diesen String (8 Zustände)

3 ersetze das trennende # durch eine 1

4 fallsngerade ist, ersetzen die letzte 1 durch # (2 neue Zustände) Insgesamt können wirnEinsen mit höchstensbⁿ₂c+10 Zuständen konstruieren

Begriff der Konfigurationen

Konfigurationbeschreibt diekompletteaktuelle Situation der Maschine in einer Rechnung.

EineRechnungist eine Folge von Konfigurationen,

wobei immer von einer Konfiguration zu einer Nachfolgekonfiguration übergegangen wird.

Konfiguration einer DTM Besteht aus 4 Elementen:

das aktuellen Zustandq,

das Wortwlinks vom Schreib-/Lesekopf, das Zeichena, auf dem der Kopf gerade steht, das Worturechts von der aktuellen Kopfposition.

Begriff der Konfigurationen

Konfigurationbeschreibt diekompletteaktuelle Situation der Maschine in einer Rechnung.

EineRechnungist eine Folge von Konfigurationen,

wobei immer von einer Konfiguration zu einer Nachfolgekonfiguration übergegangen wird.

Konfiguration einer DTM Besteht aus 4 Elementen:

das aktuellen Zustandq,

das Wortwlinks vom Schreib-/Lesekopf, das Zeichena, auf dem der Kopf gerade steht, das Worturechts von der aktuellen Kopfposition.

Begriff der Konfigurationen

Konfigurationbeschreibt diekompletteaktuelle Situation der Maschine in einer Rechnung.

EineRechnungist eine Folge von Konfigurationen,

wobei immer von einer Konfiguration zu einer Nachfolgekonfiguration übergegangen wird.

Konfiguration einer DTM Besteht aus 4 Elementen:

das aktuellen Zustandq,

das Wortwlinks vom Schreib-/Lesekopf, das Zeichena, auf dem der Kopf gerade steht, das Worturechts von der aktuellen Kopfposition.

Begriff der Konfigurationen

Konfigurationbeschreibt diekompletteaktuelle Situation der Maschine in einer Rechnung.

EineRechnungist eine Folge von Konfigurationen,

wobei immer von einer Konfiguration zu einer Nachfolgekonfiguration übergegangen wird.

Konfiguration einer DTM Besteht aus 4 Elementen:

das aktuellen Zustandq,

das Wortwlinks vom Schreib-/Lesekopf, das Zeichena, auf dem der Kopf gerade steht, das Worturechts von der aktuellen Kopfposition.

Begriff der Konfigurationen

Konfigurationbeschreibt diekompletteaktuelle Situation der Maschine in einer Rechnung.

EineRechnungist eine Folge von Konfigurationen,

wobei immer von einer Konfiguration zu einer Nachfolgekonfiguration übergegangen wird.

Konfiguration einer DTM Besteht aus 4 Elementen:

das aktuellen Zustandq,

das Wortwlinks vom Schreib-/Lesekopf, das Zeichena, auf dem der Kopf gerade steht, das Worturechts von der aktuellen Kopfposition.

Begriff der Konfigurationen

Konfigurationbeschreibt diekompletteaktuelle Situation der Maschine in einer Rechnung.

EineRechnungist eine Folge von Konfigurationen,

wobei immer von einer Konfiguration zu einer Nachfolgekonfiguration übergegangen wird.

Konfiguration einer DTM Besteht aus 4 Elementen:

das aktuellen Zustandq,

das Wortwlinks vom Schreib-/Lesekopf, das Zeichena, auf dem der Kopf gerade steht, das Worturechts von der aktuellen Kopfposition.

Begriff der Konfigurationen

Konfigurationbeschreibt diekompletteaktuelle Situation der Maschine in einer Rechnung.

EineRechnungist eine Folge von Konfigurationen,

wobei immer von einer Konfiguration zu einer Nachfolgekonfiguration übergegangen wird.

Konfiguration einer DTM Besteht aus 4 Elementen:

das aktuellen Zustandq,

das Wortwlinks vom Schreib-/Lesekopf, das Zeichena, auf dem der Kopf gerade steht, das Worturechts von der aktuellen Kopfposition.

Konfigurationen sind endlich

wenthält das Anfangsstück des Bandes vom linken Ende bis zur aktuellen Kopfposition.

Links ist das Band endlich!

w=εbedeutet, daß der Kopf ganz links steht

uenthält den Bandinhalt rechts vom Schreib-/Lesekopf bis zum letzten Zeichen, das kein Blank ist.

Nach rechts ist das Band unendlich, aber es enthält nach rechts von einer bestimmten Bandposition an nur noch Blanks.

u=εbedeutet, daß rechts vom Schreib-/Lesekopf nur noch Blanks stehen.

Konfigurationen sind endlich

wenthält das Anfangsstück des Bandes vom linken Ende bis zur aktuellen Kopfposition.

Links ist das Band endlich!

w=εbedeutet, daß der Kopf ganz links steht

uenthält den Bandinhalt rechts vom Schreib-/Lesekopf bis zum letzten Zeichen, das kein Blank ist.

Nach rechts ist das Band unendlich, aber es enthält nach rechts von einer bestimmten Bandposition an nur noch Blanks.

u=εbedeutet, daß rechts vom Schreib-/Lesekopf nur noch Blanks stehen.

Konfigurationen sind endlich

wenthält das Anfangsstück des Bandes vom linken Ende bis zur aktuellen Kopfposition.

Links ist das Band endlich!

w=εbedeutet, daß der Kopf ganz links steht

uenthält den Bandinhalt rechts vom Schreib-/Lesekopf bis zum letzten Zeichen, das kein Blank ist.

Nach rechts ist das Band unendlich, aber es enthält nach rechts von einer bestimmten Bandposition an nur noch Blanks.

u=εbedeutet, daß rechts vom Schreib-/Lesekopf nur noch Blanks stehen.

Konfigurationen sind endlich

wenthält das Anfangsstück des Bandes vom linken Ende bis zur aktuellen Kopfposition.

Links ist das Band endlich!

w=εbedeutet, daß der Kopf ganz links steht

uenthält den Bandinhalt rechts vom Schreib-/Lesekopf bis zum letzten Zeichen, das kein Blank ist.

Nach rechts ist das Band unendlich, aber es enthält nach rechts von einer bestimmten Bandposition an nur noch Blanks.

u=εbedeutet, daß rechts vom Schreib-/Lesekopf nur noch Blanks stehen.

Definition 9.6 (Konfiguration einer DTM)

EineKonfigurationCeiner DTMM= (K,Σ,δ,s)ist ein Wort der Form C=q,w au. Dabei ist

q∈K∪ {h}der aktuelle Zustand, w∈Σ^∗der Bandinhalt links des Kopfes,

a∈Σdas Bandzeichen unter der Schreib-/Lesekopf.

Notation:Die Position des Schreib-/Lesekopfes ist durch einen Unterstrich gekennzeichnet.

u∈Σ^∗(Σ− {#})∪ {ε}der Bandinhalt rechts des Kopfes.

Definition 9.6 (Konfiguration einer DTM)

EineKonfigurationCeiner DTMM= (K,Σ,δ,s)ist ein Wort der Form C=q,w au. Dabei ist

q∈K∪ {h}der aktuelle Zustand, w∈Σ^∗der Bandinhalt links des Kopfes,

a∈Σdas Bandzeichen unter der Schreib-/Lesekopf.

Notation:Die Position des Schreib-/Lesekopfes ist durch einen Unterstrich gekennzeichnet.

u∈Σ^∗(Σ− {#})∪ {ε}der Bandinhalt rechts des Kopfes.

Definition 9.6 (Konfiguration einer DTM)

EineKonfigurationCeiner DTMM= (K,Σ,δ,s)ist ein Wort der Form C=q,w au. Dabei ist

q∈K∪ {h}der aktuelle Zustand, w∈Σ^∗der Bandinhalt links des Kopfes,

a∈Σdas Bandzeichen unter der Schreib-/Lesekopf.

Notation:Die Position des Schreib-/Lesekopfes ist durch einen Unterstrich gekennzeichnet.

u∈Σ^∗(Σ− {#})∪ {ε}der Bandinhalt rechts des Kopfes.

Definition 9.6 (Konfiguration einer DTM)

EineKonfigurationCeiner DTMM= (K,Σ,δ,s)ist ein Wort der Form C=q,w au. Dabei ist

q∈K∪ {h}der aktuelle Zustand, w∈Σ^∗der Bandinhalt links des Kopfes,

a∈Σdas Bandzeichen unter der Schreib-/Lesekopf.

Notation:Die Position des Schreib-/Lesekopfes ist durch einen Unterstrich gekennzeichnet.

u∈Σ^∗(Σ− {#})∪ {ε}der Bandinhalt rechts des Kopfes.

Definition 9.7 (Nachfolgekonfiguration)

Eine Konfiguration

heißt

von

, in Zeichen

C₁

`

falls gilt:

C_i

=

,

für

∈ { 1 , 2 } , und

es gibt einen Übergang δ(

,

) = (

,

) wie folgt:

Fall 1:

∈ Σ.

=

,

=

,

=

Fall 2:

=

.

=

Füru2gilt: Wenna1

= #

= ε

= ε

=

Fall 3:

=

.

=

Füra2undu2gilt: Wennu1

= ε

= ε

= #

=

Definition 9.7 (Nachfolgekonfiguration)

Eine Konfiguration

heißt

von

, in Zeichen

C₁

`

falls gilt:

C_i

=

,

für

∈ { 1 , 2 } , und

es gibt einen Übergang δ(

,

) = (

,

) wie folgt:

Fall 1:

∈ Σ. Dann ist

=

,

=

,

=

Fall 2:

=

.

=

Füru2gilt: Wenna1

= #

= ε

= ε

=

Fall 3:

=

.

=

Füra2undu2gilt: Wennu1

= ε

= ε

= #

=

Definition 9.7 (Nachfolgekonfiguration)

Eine Konfiguration

heißt

von

, in Zeichen

C₁

`

falls gilt:

C_i

=

,

für

∈ { 1 , 2 } , und

es gibt einen Übergang δ(

,

) = (

,

) wie folgt:

Fall 1:

∈ Σ. Dann ist

=

,

=

,

=

Fall 2:

=

. Dann gilt für

und

:

=

.

Für

gilt: Wenn

= # und

= ε ist, so ist

= ε , sonst ist

=

.

Fall 3:

=

.

=

Füra2undu2gilt: Wennu1

= ε

= ε

= #

=