Aufgabe 12.2 Vermutlich ist das Ausscheiden der deutschen Nationalelf auf die ungünstige Wahl der Topologie auf dem Fuÿballfeld zurückzuführen

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

7. Juli 2008 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Funktionalanalysis 12. Übungsblatt

Aufgabe 12.1 Es sei S eine beliebige kompakte Teilmenge von C und (λ_j)_j∈N eine dichte Teilmenge vonS. Zeigen Sie: Es existiert ein BanachraumXund einA∈ L_b(X, X)mitσ(A) =S, genauer:P_σ(A) ={λ_j :j∈N},R_σ(A) =∅ undC_σ(A) =S\P_σ(A).

Hinweis: Setzen SieX:=`²,D(A) :=X undAx= ((Ax)j)j∈N wobeiAxj:=λjxj.

Aufgabe 12.2 Vermutlich ist das Ausscheiden der deutschen Nationalelf auf die ungünstige Wahl der Topologie auf dem Fuÿballfeld zurückzuführen. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass ein Fuÿballspieler als Punkt desQ² aufgefaÿt werden kann. Die Tore des Fuÿballfeldes F := ([0,2]×[0,1])∩Q²⊂R²seienS := ([0,¹₈]×[³₈,⁵₈])∩F(Spanien) undD:= ([¹⁵₈,2]×[³₈,⁵₈])∩F (Deutschland). Ein Positionswechsel des Balles wird durch eine Folge(B_n)_n∈N⊂F beschrieben.

Ein Tor fällt genau dann, wenn ein Fuÿballspieler einen Positionswechsel (B_n)_n∈N des Balles auslöst, so dass (B_n)_n∈N gegen einen Punkt p ∈ (0,¹₈)×(³₈,⁵₈) oder gegen einen Punkt p⁰ ∈ (¹⁵₈ ,2)×(³₈,⁵₈) konvergiert. Nun zur Aufgabe: Finden Sie eine Topologie auf F, so dass es für Deutschland möglichst einfach und für Spanien möglichst schwer ist, das Tor des Gegners zu treen.

Abgabetermin: Montag 14. Juli 2008, vor 10:00 Uhr in die Briefkästen bei F411.