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Der Kompressor
Ein Gas soll in einem dreistufigen Kompressor vom Druckp0 auf den Druck p > p0 komprimiert werden. Der Kompressor ist mit zwei K¨uhlkammern verse- hen, die das Gas vor jedem Kompressionsvorgang wieder auf die Ausgangstem- peratur bringen.
K om p res s or 3 K om p res s or 2 K om p res s or 1
K ü h lk am m ern
G as m it p1
p1
p2
p2
p ,T T0 T2 T0 T1
G as m it
p0,T0
Abbildung 1: dreistufiger Kompressor
Bezeichnet man mit p1 bzw. p2 den Druck des Gases nach der 1. bzw. 2.
Kompressionsstufe, so gilt f¨ur die Kompressionsarbeit je Mol des Gases die Formel:
A=f(p1, p2) = R·T0
α · p1
p0 α
−1
+ p2
p1 α
−1
+ p
p2 α
−1
(1) Hierbei sindT0die absolute Temperatur des Gases vor der Kompression und α <1 eine Konstante, die von der Konstruktion des Kompressors abh¨angig ist.
Wie sind die Dr¨ucke p1 und p2 zu w¨ahlen (p0 < p1 < p2 < p) , damit die aufzuwendende Arbeit m¨oglichts klein wird ?
1. Skizziere den zul¨assigen BereichB in derp1, p2 Ebene !
2. In welchem Punkt P(p10, p20) besitzt die Funktion f(p1, p2) ein lokales Extremum ? Welche Art von Extremum liegt vor ?
3. Zeige das der Punkt P(p10, p20) im Bereich B liegt !
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L¨ osung
Zul¨assiger Bereich B
Der zul¨assige Bereich wird von den Geraden p0,p,p1 =p2 und er p2− Achse begrenzt. Die Geraden selbst geh¨ohren dem Bereich B nicht mehr an, da die Bedingung p0 < p1 < p2 < plautet.
0 p1
p1= p2
p0 p
zu lä s s ig er B ereic h p2
Abbildung 2: Zul¨assiger BereichB in derp1, p2 Ebene
Lokales Extremmum der Funktion f(p1, p2)
F¨ur Funktionen mit zwei Ver¨anderlichen lautet die notwendige Bedingung f¨ur ein lokales Extremum :
∂f(p1, p2)
∂p1 = 0, ∂f(p1, p2)
∂p2 = 0 (2)
Wir bilden die ersten Ableitungen und bestimmen deren Nullstellen:
∂f(p1, p2)
∂p1 = RT
p1
p0
−1+α
α
p0 −p2
p2 p1
−1+α
α p12
α
3
Die Nullstellen der partiellen Ableitungfp1 lauten:
{{p1→ −√p0√p2},{p1→√p0√p2}}
∂f(p1, p2)
∂p2 = RT
−p p
p2
−1+α
α
p22 +
p2 p1
−1+α
α p1
α Die Nullstelle der partiellen Ableitungfp2 lautet:
{{p1 → p22
p }}
Wir fassen die Nullstellen von fp1 und fp2 zusammen:
p1 =√p0·√p2 = (p2)2
p → p10= 3 p·p20, p20= 3 p2·p0 (3) Es muß nun die Art des Extremums ¨uberpr¨uft werden. Wir bilden die zwei- ten partiellen Ableitungen:
fp1p1 = RT((p1p0)α(−1 +α) + (p2p1)α(1 +α)) p12
fp2p2 = RT((p2p1)α(−1 +α) + (p2p )α(1 +α)) p22
fp1p2 = RT
− p2
p1
−1+α
α p12 −p2
p2 p1
−2+α
(−1+α)α p13
α
Als hinreichende Bedingung muß der Wert der Funktionaldeterminante ∆ an der StelleP(p10, p20) gr¨oßer Null sein:
∆=
fp1p1 fp1p2 fp2p2 fp2p1
(4)
∆ = p121p22
R2T2−p2p12αα2+ p2
p1
α
(−1 +α) + p
p2
α
(1 +α) p1
p0
α
(−1 +α) + p2
p1
α
(1 +α)
Die zweite partielle Ableitungfp1p1entscheidet ¨uber die Art des Extremums:
fp1p1(p10, p20) > 0 →Minimum (5)
fp1p1(p10, p20) < 0 →Maximum (6)
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Zur weiteren Auswertung legen wird f¨ur die Konstanten numerische Werte fest:
α= 0.5, T0 = 1, R= 1, p0 = 1, p= 10 (7) Damit ergeben sich f¨ur die berechneten Gr¨oßen:
p10 = 3 p·p20= 2.15443 (8)
p20 = 3 p2·p0= 4.64159 (9)
∆(p10, p20) = 0.0161583 (10)
fp1p1(p10, p20) = 0.316228 (11)
Die Werte f¨ur p1 und p2 liegen im zul¨assigen Bereich, da die Bedingung p0 < p1< p2< perf¨ullt ist.
Der Wert der Funktionaldeterminante ∆ ist gr¨oßer Null, womit auch das hin- reichende Kriterium f¨ur ein lokales Extremum erf¨ullt ist.
Die zweite Ableitung fp1p1 ist gr¨oßer Null womit es sich um ein lokales Mi- nimum an der Stelle P(p10, p20) handelt.
Das Minimum betr¨agt:
f(p10, p20) = 2.8068 (12)
Globales Extremum ¨uber dem Gebiet B
Zum Abschluß soll das Bild der Funktionf(p1, p2) ¨uber dem GebietBanalysiert werden.
4 2 8 6 10
p1
4 2 8 6
10
p2
3 4 5 6 7
f@p1,p2D
Abbildung 3: Funktionsbild ¨uber dem Bereich B
Die Abbildung zeigt das, das lokale Minimum auch globales Minimum ¨uber B ist. Alle Funktionswerte außerhalb vonP(2.15,4.64) liegen oberhalb des Mi- nimums bis zum Rand vonB.
