1. L¨ osen Sie die folgenden Anfangswertprobleme. Sind die L¨ osungen jeweils eindeutig? Auf welchen Intervallen sind sie maximal definiert?

1. L¨ osen Sie die folgenden Anfangswertprobleme. Sind die L¨ osungen jeweils eindeutig? Auf welchen Intervallen sind sie maximal definiert?

(a) u ⁰⁰ (t) − u ⁰ (t) + 6u(t) = t ² + ² ₃ t, u(0) = 2 (b) y ⁰ (x) = − sgn(y(x) − 2), y(0) = 0

(c) x ⁰ (t) = _1+2x(t) ^2t , x(2) = 0

2. (a) Sei A ∈ M ^n×n ( R ) und {ϕ _i ∈ R ⁿ ; 1 ≤ i ≤ n} eine Basis f¨ ur R ⁿ von Eigenvektoren von A. Die zugeh¨ origen Eigenwerte nennen wir {λ _i } ⁿ _i=1 , das heißt: Aϕ _i = λ _i ϕ _i . Zeigen Sie, dass

exp(tA)ϕ _i = e ^λ

^t ϕ _i .

(b) Sei A ∈ M ^3×3 ( R ) eine Matrix mit folgenden Eigenwerten und Eigenvektoren:

λ ₁ = 1 mit ϕ ₁ =



 1 1 1



 , λ ₂ = −1 mit ϕ ₂ =



 1

−1 1



 und λ ₃ = 0 mit ϕ ₃ =



 0 0 1



 .

Berechnen Sie die L¨ osung zu



 x ⁰ (t) y ⁰ (t) z ⁰ (t)



 = A



 x(t) y(t) z(t)



 mit



 x(0) y(0) z(0)



 =



 2 0 0



.

3. Wie m¨ ussen die Vorzeichen von c ₁ und c ₂ in

−u ⁰⁰ (t) = c ₁ u(t) + c ₂ u ⁰ (t) + f

gew¨ ahlt werden, damit die Gleichung physikalisch die Auslenkung einer Feder unter Ber¨ ucksichtigung der Reibung beschreibt?

4. Man hat Skizzen zu drei verschiedenen Differentialgleichungen hergestellt:

1. u ⁰ (x) = x ² − (u (x)) ² 2. u ⁰ (x) = x − sin (u(x)) 3. u ⁰ (x) = 1 − x − sin (u(x)) Welche Skizze geh¨ ort zu welchem Bild?

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-2 -1 1 2 3 uHxL

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-2 -1 1 2 3 uHxL

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x

-2 -1 1 2 3 uHxL

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5. Gegeben sei das folgende System:

u ⁰ (t) = − ¹ ₂ (u(t)) ³ + 2u(t) (v (t)) ² v ⁰ (t) = − (v (t)) ³

(a) Berechnen Sie die Linearisierung um den Gleichgewichtspunkt des Systems. Welche Aussage kann man ¨ uber die Stabilit¨ at des Systems treffen?

(b) Bestimmen Sie eine Lyapunov-Funktion der Form V (u, v) = av ² + bu ² . Welche Aussage kann man nun ¨ uber die Stabilit¨ at treffen?

6. Finden Sie eine Familie von Trajektorien, die orthogonal liegen zu (x, y); y ² + 2x ² = c _c∈

R .

7. Gegeben seien die Differentialgleichungen u ⁰⁰ (t) = (u(t)) ³ 1 + (u(t)) ²

u ⁰⁰ (t) = (u(t)) ³ 1 − (u(t)) ² und folgende Phasenportraits:

-2 -1 1 2 u

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 u^¢

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 u

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 u^¢

(a) Ordnen Sie die Phasenportraits der jeweils zugeh¨ origen Differentialgleichung zu.

(b) Zeichnen Sie station¨ are Punkte und Durchlaufrichtung der Trajektorien ein.

(c) Entscheiden Sie in beiden F¨ allen, ob es periodische L¨ osungen gibt (ohne Beweis).

8. Zeigen Sie, dass das folgende Randwertproblem mindestens eine L¨ osung hat.

u ⁰⁰ (x) = cos (u(x)) (u(x) − 1) f¨ ur x ∈ (−1, 1) u(−1) = u(1) = 0

9. F¨ ur welche λ ∈ R hat







−u ⁰⁰ (x) + λu(x) = f (x) f¨ ur x ∈ (0, 1) u(0) = 0

u ⁰ (1) = 0 f¨ ur jedes f ∈ C[0, 1] genau eine L¨ osung?

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10. Es seien die folgenden Differentialgleichungen gegeben:

i) u ⁰ (t) = 1 + (u(t)) ³ , u(0) = c ii) u ⁰ (t) = 1 − (u(t)) ³ , u(0) = c iii) u ⁰ (t) = p

u(t), u(0) = c

Entscheiden Sie f¨ ur jede Differentialgleichung mit Begr¨ undung, ob die folgenden Aussagen zutreffen.

(a) Jede L¨ osung der Differentialgleichung existiert f¨ ur alle t ≥ 0.

(b) Jede L¨ osung der Differentialgleichung endet in endlicher Zeit, d.h. in Abh¨ angigkeit vom Anfangswert u(0) = c gibt es ein t _c > 0, so dass u(t) nicht existiert f¨ ur t > t _c . (c) Zu jedem Anfangswert u(0) = c gibt es genau eine L¨ osung.

(d) Es gibt einen Anfangswert u(0) = c mit mehreren L¨ osungen.

(e) Jede L¨ osung der Differentialgleichung ist beschr¨ ankt auf [0, ∞), d.h. zu jeder L¨ osung u gibt es ein M _u > 0, so dass |u(t)| < M _u gilt f¨ ur alle t > 0.

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